Centrale Physique PSI 2004

 

_OEfl mä=...m . , ...DÛ_OE>In_ ...m>=mäw

ËQN u&mQ=OE - OEËÈOEU OE=ouccü

Plasma d'argan créé par une onde de choc

Les plasmas sont des milieux macroscopiquement neutres, partiellement ou 
totalement
ionisés. Naturels ou artificiels, on les rencontre sous de nombreuses formes : 
arcs et
décharges électriques, foudre, vent solaire, ionosphère, étoiles, lasers à 
gaz... Dans ce
problème on se propose de déterminer par interférométrie la densité électroni-
que ne d'un plasma d'argon créé par une onde de choc. On étudiera en premier
lieu certaines propriétés générales des plasmas, puis les caractéristiques d'une
onde de choc, et pour finir, le dispositif expérimental permettant la mesure de 
la
densité électronique. Les différentes parties sont en grande partie indépendan--
tes. On donne le laplacien en coordonnées sphériques d'une fonction f (r) :

2
Af(r) : %____ô (;f£r))_
"

Les données numériques nécessaires à la résolution de ce problème sont
données ci--dessous :

Permittivitê dié-- --1 Constante de _ -23 . --1
Charge élémen- __ --19 Masse de _ --31
Constante de __ --34 _ Nombre _ 23 --1
Planck h-6,62x10 ] s NA--6,02x10 mol

Énergie d'ionisa-- Masse . 1
tion de l'atome molaire de M = 39, 9 g - mol--
d'Argon l'argon

Vitesse de la 8
lumièredans c : 3,00x10 m-- s
levide

Constante des --1

gaz parfaits

R=8,311--K"-rnol "

Partie I - Quelques généralités sur les plasmas

On considère un plasma d'argon contenant, en moyenne et par unité de
volume, n e électrons libres de masse me et de charge -e , ni : n e ions Ar+ de

masse mi et no atomes Ar de masse m0. On définit le degré d'ionisation-de ce
plasma par le rapport

n
et: e .
ne+n0

On considère d'autre part que le plasma est en équilibre thermodynamique
local, ce qui permet de définir la température thermodynamique T de ce
plasma.

I.A - Étude de l'écart local àla neutralité : longueur de Debye

Considérons un ion argon Ar+ particulier, placé en 0 , et pris comme origine--. 
Du
fait de l'attraction Coulombienrie, au voisinage de cet ion, on observe un 
surplus
de charge négative, responsable d'un. écart local à la neutralité globale du
plasma. Soit V(r) le potentiel qui règne en un point M situé à la distance r de
l'ion Ar+ situé en 0 (l'origine des potentiels est prise à l'infini). Les 
densités
volumiques d'ions et d'électrons en M s'écrivent respectivement :

n + : neexp(f--îg?) et n_ : neexp(e£;(})) ,

avec k B constante de Boltzmann.

I.A.1) Quelle(s) remarque(s) vous suggère(nt) les expressions de n+ et n_ ? -
Quel nom donne--t-on usuellement à ces lois de répartition ?

I.A.2)

a) Donner l'expression de la densité volumique totale de charges au point M ,
pc(r) pour r a: 0 .

b) Quelle est l'équation locale satisfaite 'en M par le potentiel V(r) ?

0) On se place dorénavant dans l'hypothèse eV(r) « k BT. Simplifier l'équation
obtenue en I.A.2-b, et la résoudre en introduisant la fonction u(r) : rV(r). On
introduira pour cela deux constantes d'intégration A1 et A2 .

d) On admet que V(oe) : 0 et qu'au voisinage immédiat de l'ion Ar+ ,
l'influence de sa charge, supposée ponctuelle, l'emporte sur celle des charges
électroniques distribuées en volume. Déterminer les Constantes A1 et A2 . Don--
ner ensuite l'expression du potentiel V(r) en fonction de e , 80 permittivité 
dié--
lectrique du vide, r , et d'une distance caractéristique XD (appelée longueur de

Debye) que l'on explicitera en fonction de 80 , kB , T, ne et e. Commenter le
résultat obtenu.

I.A.8) En déduire la densité volumique totale de charge pc(r) en r =: 0 , puis 
la
charge totale Q(r) (y compris la charge ponctuelle centrale) contenue dans une
sphère de centre O et de rayon r en fonction de e , XD et r . Discuter les cas 
r --> 0
et r --> oo. Conclure.

LA 4) Application numérique: on donne pour ce plasma d'Argon
=3, 0 x 10213.m_ Calculer la valeur numérique de XD à la température de
1000 K , puis de 10000 K. Discuter la validité de l'approximation faite en 
I.A.2- c--.

I.B - Comportement collectif d'un plasma : pulsation plasma

Tout gaz ionisé dont la dimension caractéristique est
grande devant la longueur de Debye XD est dominé par
les effets collectifs induits par la charge d'espace, effets
qui viennent masquer les comportements individuels
étudiés dans le LA. Pour illustrer le comportement col-
lectif, qui se manifeste notamment lorsqu'on observe ses
fluctuations autour de l'équilibre, "on s'intéresse à une
boule de plasma de centre O et de rayon R , qu'on con--
sidérera comme la superposition de deux fluides
incompressibles : un fluide d'électrons, susceptible de se F1gureg 1
mouvoir, et un fluide d'ions qu'on suppose au repos (les

densités ioniques et électroniques des deux fluides précédents sont considérées
comme uniformes). On admet qu'à l'instant t, le gaz d'électrons s'est déplacé
radialement et qu'il occupe la région de l'espace comprise entre deux sphères,
une sphère de rayon r0(t) , et une sphère de rayon R + r1(t) , avec r1(t) très 
petit
devant R (voir figure 1).

LE. 1) Sachant que le fluide d'électrons est supposé incompressible, quelle est
la relation qui relie r0(t) à "1(t) et R ?

I. B. 2) On considère un électron de ce fluide, situé au point M à la distance r
de 0, avec rE[ro, R]. Déterminer, en fonction de e, ne ,r, 80 et r0(t) puis de 
e ,

R, r ,sO et rl(t), le champ électrique E(M, t) régnant en M àl'instantt. En
déduire la force électrique s 'exerçant sur l'électron situé en M.

I. B. 3) Un électron, évoluant a la distance moyenne R du point 0, possède a
l'instant t le vecteur vitesse r1(t) u,... De même, le vecteur vitesse d'un 
électron
oscillant autour du point M précédent est v(r, t)= v(r, t) u,... En utilisant

l1ncompress1b1hte du gaz d'électrons, écrire la relation existant entre la 
vitesse
v(r, t) de l'électron, f1(t), r et R.

I.B.4) Déduire des deux questions précédentes l'équation différentielle satis-

faite par rl(t). Mettre en évidence l'existence d'une pulsation (op 
caractéristi-

que de ce comportement collectif, appelée pulsation plasma, dont on donnera
l'expression en fonction de ne , e , m e et 80 .

I.B.5) Quel phénomène vient en pratique amortir les oscillations collectives
du plasma ?

I.B.6) Calculer, pour un plasma d'argon de densité électronique
ne : 3, 0 x 1021 m'3 à la température de 10000 K , la valeur de la pulsation 
plasma
(op. En réalité, à un éventuel mouvement pulsatoire collectif, radial, se 
super--
pose le mouvement désordonné du plasma, dû à l'agitation thermique de ses

constituants. L'ordre de grandeur de la section efficace moyenne se eÀÏ lors 
d'une

collision élastique ion-électron est de 5 x 10 .On donne a'utre part
l'expression de la valeur moyenne du module de la vitesse d'un électron :
_ 8kBT
v :
nm

e

Compte tenu de ces valeurs, le mouvement collectif peut-il être mis en
évidence ?

Partie II - Étude d'une onde de choc droite dans le gaz
argon

La température d'un gaz peut être fortement élevée par compression
adiabatique ; l'ionisation a alors lieu, et un plasma se forme. Une telle 
compres--
sion peut être obtenue par une onde de choc. Une onde de choc droite est une
surface plane au travers de laquelle les variables caractérisant l'état fluide
subissent une discontinuité, ou un « saut ». Cette onde de choc se propage à une
vitesse U normale à la surface de discontinuité par rapport au référentiel de
l'observateur. Le passage de cette onde de choc dans l'argon gazeux est respon-
sable de l'apparition d'un plasma partiellement ionisé.

Dans le cadre de notre étude, l'argon est contenu dans un tube rectangulaire, de
section S suivant les axes OX et OY , de grande longueur suivant l'axe OZ (voir
figure 2 ci-après). O est choisi à l'extrémité gauche du tube, et le référentiel
R(O, ê... Èy, @) lié àla cuve est supposé galiléen. On note R'(O', êx, êy, ëz) 
le réfé-
rentiel lié à l'onde de choc. Les coordonnées d'un point quelconque M dans R
(resp. R' ) sont (X, Y, Z) (resp. X': X, Y'= Y, Z'). Àl'instant initial t = 0 
,l'onde
de choc est créée dans le plan Z = 0 ,elle se propage ensuite suivant l'axe OZ

avec une vitesse U: U ez (U > O) uniforme et supérieure à celle du son dans le
même milieu.

Pour Z ' > 0 , l'argon, qui n'a pas encore été atteint par l'onde de choc et 
qui est
encore immobile dans R , est sous forme gazeuse (région 1 ). Pour Z ' < 0 (région 2 ) l'argon est sous forme d'un plasma partiellement ionisé (Ar, Ar ,e ) en mou- vement par rapport à R àla vitesse uniforme V= Vez avec V > 0.

Pour simplifier l'étude, on
adopte les hypothèses Y'
suivantes :

Figure 2

0 les différentes gran-
deurs intensives carac-
térisant l'état du
système de part et
d'autre de l'onde de choc
sont uniformes dans les
régions considérées ;

' l'écoulement est sta-
tionnaire dans le réfé--
rentiel R' ;

. plasma et gaz d'argon sont en équilibre thermodynamique,
° l'onde de choc se produit de façon adiabatique non réversible.

On notera U1 : ---U 1ez (resp. U 2 : --U2ez )la vitesse dans R' de l'écoulement 
de
la région 1 (resp. 2), T (resp- T2 ) la température, p1 (resp. p2 ) la 
pression, p1
(resp. p2 ) la masse volumique, h1 (resp. h2 ) l'enthalpie massique de la 
région 1
(resp. 2). U 1 et U 2 sont desgrandeurs positives.

L'argon gazeux sera considéré comme un gaz parfait monoatomique constitué de
n1 molécules par unité de volume (densité particulaire), le plasma, comme un
mélange idéal de trois gaz parfaits « monoatomiques » : un gaz d'électrons (de
masse me ) de densité particulaire ne2 , un gaz d'ions Ar+ (de masse m,-- ) de 
den-
sité partiCulaire n,--2 : ne2 , et un gaz d'argon (de masse mo) de densité 
particu-
laire n02 . On poSe d'autre part n2 : ne2 + n02 et 012 : nez/(nez + nez) (degré
d'ionisation du plasma). On suppose d'autre part me « mo , m e « m,- et mo - 
m,-- .

II.A - Équation fondamentales de l'onde de choc droite

II.A.1) Afin de simplifier l'étude de l'onde de choc, on se place dans le 
référen-
tiel mobile R' . On rappelle que le gaz d'argon est initialement immobile dans 
le
référentiel R lié àla cuve. Quelle relationsimple relie U à U 1 ? Exprimer U 2
en fonction de U et de la vitesse V définie plus haut (on rappelle que V est la
vitesse du plasma par rapport à R ).

II.A.2) Par application dans R' de principes fondamentaux à un système que
l'on précisera soigneusement, établir les trois équations bilans suivantes :

91U1 : PzU2 (1)

P1+PlUÎËP2+PZUÊ_ , ' (2)
2h] +-- UÏ = _2h2 + uâ . (3)

II.B - Éqùations thermodynamiques
II.B.1) Donner les relations reliant p1 et n1 d'une part, p2 et n2 d'autre-part.

II.B.2) Donner, dans le milieu 1 , la relation liant p1 , T1 et n1 . En déduire
l'équation (4) : '

101 = w T1-- ' ' (4)

en donnant l'expression littérale puis la valeur numérique du coefficient r 
ainsi
que son unité. '

II.B.3) Donner, dans le milieu 2, la relation liant p2, T2, ne2 et n°2, En
déduire l'équation (5) :

P2,= Pz" T2(1+a2) (5)

II.B.4) Sachant que le milieu 1 est un gaz parfait monoatomique, donner
l'expression del'enthalpie massique h1 en fonction de T1 , de r , et d'un 
coeffi-
cient numérique [3 dont on donnera la valeur.

II.B.5) Quelle serait l'expression de l'enthalpie massique h2 obtenue
en considérant le plasma comme mélange idéal de gaz parfaits monoatomîques,
en fonction de T2 , r , {$ et a2 ? En pratique, on est obligé, pour tenir 
compte des
propriétés thermodynamiques complètes des plasmas, de rajouter à l'expression
de h2 obtenue ci-dessus un terme supplémentaire a2hi0n , représentant la
contribution du phénomène d'ionisation à l'enthalpie massique de l'écoulement

plasmatique. hion s'obtient à partir de l'énergie d'ionisation par hion : E,- 
on/ m() .

Donner alors l'expression complète de h2 en fonction de T2 , r , B , hio et ca,.

n

Calculer numériquement hion en J - kg"1 .

II.B.6) Réécrire alors l'équation (3) en fonction uniquement de (12 , r , T2 , 
U 2 ,
hion , T1 , U1 et B . On obtient ainsi l'équation 3 bis.

II.B.7) L'état du gaz d'argon avant le passage de l'onde de choc est parfaite-
ment connu de l'expérimentateur, et la vitesse de l'onde de ch0c est 
parfaitement
maîtrisée. Les grandeurs p1 , T1 (et donc pl ), ainsi que U1 sont donc des gran-
deurs imposées dans cette expérience. Les inconnues du problème sont donc p2 ,
p2 , T2 , U 2 , % et h2 . Combien a-t-il établi d'équations indépendantes 
permet--
tant de relier ces inconnues ? Que pensez--vous alors de la résolution du
problème ?

H. B. 8) L'équilibre d'ionisation--recombinaison dans le plasma d'argon en équi-
libre thermique se traduit par une équation d'équilibre appelée équation de

Saha, dont l'expression est la suivante:

n2
Ë£2= 2Ë(2nmek3Tz)3/Zexp(_Eion)
h2 kBT2

"02 g 0

avec h constante de Planck. go et g1 ' sont deux constantes sans dimension 
phy--'
sique représentant les poids statistiques de l'état électronique fondamental et
du premier état excité. On donne g0 : 1, 005 et g1 : 5, 726. Commenter cette
relation en vous aidant d'une analogie empruntée au cours de thermochimie.

Montrer que cette relation est homogène et qu'elle peut se mettre sous la forme
suivante :
2

"1 "% 5/2 B
p = A T exp ------ (6)
2 z 2 ( T2)

0'2

avec A et B des constantes dont on donnera l'expression et l'unité. Le problème
présenté est-il à présent soluble ?

II.B.9) Les équations obtenues ici, notamment l'équation de Saha, sont des
équations non linéaires, et leur résolution passe par une approche numérique
qu'on n'abordera pas ici. On introduit alors le nombre de Mach

U1

/er1 ,

avec y = 5/3 dans le gaz argon.

Pour T1= 300K, p1= 93,3Pa et M1= 20,0 on trouve: 012 = 0,335,
T2 : l, 30 x 104 K et p2 : 0,0159 kg.m'3 .

Que représente physiquement la quantité /er1 ?

Déterminer la vitesse U 2 et la pression p2 correspondant aux données précé-
dentes.

Déduire de ce qui précède la vitesse V avec laquelle le plasma se déplace dans
le repère R (se reporter au résultat de la question II.A.1).

Ml:

Partie III - Détermination interférométrique de la densité
électronique du plasma d'argan
On se propose d'étudier la méthode expérimentale de détermination interféro-

métrique dela densité électronique ne du plasma d'argon créé par l'onde de choc
précédente.

On utilise pour cela le

montage de Mach--Zehn- - R')
der représenté figure 3.
Un faisceau laser de pul-
sation oe et de longueur
d'onde dans le vide
)» = O, 6328 pm est divisé
en deux faisceaux de
même intensité par une
lame séparatrice (S). Il
transite ensuite selon miroir plan parfaitement

deux trajets de même lon- Figure 3 réfléChwsant

gueur jusqu'à un

récepteur optique (R) supposé ponctuel." L'un des chemins traverse la largeur L
du tube mentionné dans la partie II, parallèlement à OX et au voisinage de
' Z = L/ 2 . L'autre s'effectue dans l'air, d'indice pris égal à celui du vide. 
On pren--
dra pour les applications numériques L = 10,0 cm.

miroir plan parfaitement À
réfléchissant *

Tube de
largeurL Y

0

On considérera que le faisceau laser initial peut être représenté par une onde
électromagnétique plane monochromatique, d'intensité I 0 et que l'indice du gaz
argon de faible densité est celui du vide.

III.A - Détermination de l'indice optique du plasma d'argon

On" se place dans le référentiel lié au plasma, supposé galiléen. Dans ce réfé-
rentiel, on considère le mouvement de l'un de ses électrons libres, en présence
d'une onde électromagnétique plane de pulsation oe. On note ï°(t) le vecteur
position de cet électron à l'instant t dans le référentiel considéré. On 
utilisera
pour ce plasma les notations de la partiel. On adopte les hypothèses simplifica-
trices suivantes : °

° le rôle du champ magnétique de l'onde est négligeable ; l'onde agit donc 
selon _
son seul champ électrique ;

° l'expression complexe du champ électrique de l'ondäe aæ'ssant sur l'électron
peut être écrite sous la forme simplifiée suivante : E : E0e"°t ;

° l'électron est soumis de la part du plasma à une force de rappel d'expression

2
nee

" >
Fp=-- ";

EURo
0 les ions sont supposés immobiles ;
° la force de frottement induite par les collisions est négligeable.

II"I.A.1) Discuter et justifier chacune des hypothèses adoptées. On pourra se
servir des résultats de la partie I.

III.A.2) Écrire et résoudre, en régime d'oscillations forcées, l'équation du 
mou--
vement de cet électron. On adoptera avec profit la notation complexe, et on 
intro-

duira la pulsation plasma (op.

III. A. 3) Chaque électron, écarté de sa _pomtmn d'équilibre due aux ions Ar ,
entraîne l'existence d'un dipôle p= --e r. Déterminer, en notation complexe, le
vecteur polarisation P du plasma. En déduire la susceptibilité diélectrique
Xe(oe) de ce milieu, puis sa permittivité diélectrique relative eR. Tracer le 
gra-
phe de SR en fonction de w.

III. A. 4) Établir l'équation de dispersion du plasma (relation entre le module 
k
du vecteur d'onde et la pulsation m). En déduire l'indice optique de ce milieu,
n(oe) (grandeur éventuellement complexe). Étudier alors le comportement du

pfasma en fonction de la pulsation excitatrice oe. Que se passe--t--il lorsque
... _. oo ?

III.A.5) Montrer que, si on
sion simplifiée suivante :
1 w 2
- .. .. ..£
QP(oe)_l 2(oe) ' ,
Traduire la condition 1 en une condition numérique sur la densité électronique
ne (on rappelle que la pulsation m est celle du faisceau laser de longueur 
d'onde
dans le vide >» = O, 6328 um ). Expérimentalement, on n'a jamais ne > 1024 m'3.
La condition 1 est-elle alors toujours satisfaite ?

III.B - Interférométrie laser
On suppose désormais que la condition 1 du III.A.5 est satisfaite.

III.B.1) On admet que chacune des deux lames séparatrices S de l'interféro-
mètre représenté sur la figure 3 possède un coefficient de réflexion en 
amplitude
g et un coefficient de transmission en amplitude 1: tels que

ei(n/2) ' t 1

[2 fz " ' &

Grâce à ces séparatrices, l'interféromètre de Mach--Zehnder peut être équipé
d'un deuxième récepteur (R'), représenté en pointillés sur la figure 3, 
suscepti--
ble de recevoir lui aussi deux faisceaux lumineux issus du faisceau initial
d'intensité I o-

Pour un certain état du tube contenant l'argon, les deux rayons qui interférent
sur le récepteur (R) ont une différence de marche 6. Quel est le déphasage cp

correspondant. ? Exprimer cp', déphasage entre les deux rayons pouvant inter--
férer sur (R'), en fonction de cp.

p « (» (condition 1) l'indice du plasma prend l'expres-

E:

III.B.2) Démontrer que l'intensité lumineuse recueillie par (R) peut se mettre
sous la forme :

I(t) : Iocosz("ô£t)) .

Quelle est l'intensité lumineuSe I ' (t) qui peut être recueillie sur (R ') ? 
Quelle
est la relation entre IO , I(t) et I'(t) ?

Exprimer ô(t) en fonction de n(t) et L , avec n(t) indice du milieu contenu dans
le tube au voisinage de L/ 2 à l'instant t , sachant que 6 = 0 lorsque n = 1 .

III.B.3) ' Montrer que le rapport ô(t)/k peut se mettre sous la forme :
ô(t)/k : K (t)nekL . Préciser l'unité et l'évolution temporelle de la valeur 
numé--
rique de K (t) (on rappelle que le front de l'onde de choc, qui se trouve en Z 
= 0
à t = 0 , se déplace dans le tube, selon OZ àla vitesse U ).

III.B.4) Après le passage de l'onde de choc, n Figure 4
le plasma ne présente pas, comme nous l'avi-- e

ons supposé dans la partie Il, une distribu--

tion électronique uniforme. La figure 4 ne M

représente, à un instant donné, dans le réfé-
rentiel R' lié à l'onde de choc, l'allure réelle
du profil de densité électronique n e(Z '). Sa
valeur maximale, mesurée juste derrière le
choc, est notée neM. C'est cette valeur neM
qui correspond en fait àla valeur de ne2 de
la partie II. Donner l'allure temporelle du 0 Z '

signal observé pour :

- neM = 3 x1021m--3

III.B.5) Montrer que, si neM est supérieure à une valeur critique ne c,, qu'on
déterminera, le passage de l'onde de choc produira au moins une oscillation du
signal délivré par (R) autour de la valeur 10/2 . C'est ce critère qui garantit 
une
détermination suffisamment précise de ne(Z ') . Conclure sur la qualité des
observations dans le cadre du III.B.4.

ooo FIN ooo