Centrale Physique PSI 2005

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j est le nombre complexe de module 1 et d'argument + u/ 2 et donc j2 = --1 .
Rappel mathématique :
' 2 étant un nombre complexe et n un entier naturel,on a pour 2 := 1 l'égalité :

zn+l

1+z+z+.. =iîoz :

1
Pour n infini, si lzl < 1 alors la somme infinie vaut ---- 1-- --z Ce sujet traite divers aspects dela circulation automobile: fluidité ou non d'un trafic routier, formation de bouchons, marche en accordéon. .. Aucune connais- sance préalable n'est requise sur une quelconque théorie du trafic routier. Les deux premières parties correspondent à un modèle continu du trafic routier. La première partie concerne le régime stationnaire où toutes les voitures, sépa- rées d'une même distance L , ont une vitesse v indépendante du temps t. La deuxième partie s'intéresse aux régimes dynamiques. Enfin la troisième partie, qui est dans une large mesure indépendante des deux premières, traite du pro- blème spécifique de la formation de bouchons en accordéon, dans le cadre d'un modèle discret où chaque voiture est répertoriée. Dans tout le problème on appelle L0 la longueur des voitures que l'on suppose toutes identiques. On simplifie le problème en ne considérant qu'une route mono-voie en ligne droite. On repère la position d'une voiture par l'abscisse x et le flux de voitures est dirigé vers les x croissants. Préliminaires : .1) Expliquer brièvement à quoi correspond le « modèle continu» en mécanique des fluides. Transposer ce modèle à l'étude du trafic routier. On se place dans ce cadre pour les parties I et II. 2) On appelle n(x, t) la concentration de voitures par unité de longueur de route à l'abscisse x et à l'instant t. ' a) Donner l'unité de n. h) Déterminer la valeur nmax du domaine de définition [0; nu...] de n. 3) On appelle j (x t) le débit de Voitures, c'est-à-dire le nombre de voitures par unité de temps traversant la section de la route située a l'abscisse x. a) Donner l'unité de j. - b) Montrer que j(x, t) : n(x, t) v(x, t) où v(x, t) est la vitesse des voitures passant en x à l'instant t . Connaissez vous d'autres domaines de la physique obéissant à une loi de même nature ? Lesquels ? Partie I - Le diagramme fondamental On cherche dans cette partie à établir une relation entre concentration n et vitesse v dans le cas du régime stationnaire (les voitures sont alors régulièrement réparties le long de la route), puis à tracer la courbe reliant le débit à la concentration, soit j(n). Cette courbe est appelée diagramme fonda- mental. ' LA - Modèle de la distance de sécurité . On appelle 151 le temps de réaction supposé identique pour chaque automobi- liste. Ce temps correspond au temps de perception (temps que va mettre l'auto- mobiliste pour reconnaître un obstacle ou une modification du trafic) augmenté du temps de décision (temps nécessaire pour décider de ralentir ou d'accélérer). On suppose que la distance L(v) séparant deux « avants » de voitures consécu-- tives ala forme suivante : L(v) = Cv2+tlv+Lo. L constitue la distance permettant d'éviter un accident dans le cas où la voiture de devant stoppe de façon nette. I A 1) Justification de l'expression. On cherche à justifier l'expression précédente. On ne s i'ntéresse pour les ques-- tions I. A. 1- -a et I .A. 1-b qu' au premier terme de L(v). a) Que représente ce premier terme ? En déduire l'expression de C en suppo-- sant que la voiture subit une force de frottement de module fMg pendant la phase de freinage, où f est le coefficient de frottement caractéristique de l'inter-- face caoutchouc (du pneu) - bitume (de la route) et M désigne la masse de la voi-- ture. b) Le code de la route donne le tableau suivant pour les distances de freinage en fonction de la vitesse : _...m _u... Montrer graphiquement que la distance de freinage est bien proportionnelle à la vitesse au carré. En déduire la valeur numérique du coefficient de frottement f. On donne g = 9, 8 ms_2. c) Interpréter le second terme puis le troisième et en déduire la cohérence d'une telle représentation de L(v) . Bien que L(v) constitue la distance permettant d'éviter un accident dans le cas où un obstacle apparaît brutalement sur la route, la distance de sécurité recom-- mandée par la sécurité routière est telle que C = 0 , dans la mesure où le véhi- cule situé devant ne s'arrête jamais de manière instantanée. Nous garderons ainsi cette hypothèse dans toute la suite. Par ailleurs, la sécurité routière donne un moyen simple pour ajuster sa dis- tance de sécurité (distance entre l'avant de son véhicule et l'arrière du véhicule précédent) : divisez votre vitesse (en km/h ) par 2 et cela donne cette distance (en m ). d) En déduire la valeur numérique de 171 . En pratique, les conducteurs ne respectent pas forcément les distances de sécu-- rité. Ainsi, le temps 1: 1 est à remplacer par un temps 'td que l'on supposera éga- lement constant : L(v) : 1:dv + L() , expression que l'on utilisera pour la suite, où "Cd peut avoir une valeur différente de 1:1 . -I.A.2) Modèle asymptotique (A) a) Démontrer le lien simple qui existe entre n et L(v) . En déduire v(n) puis 1 (n) - b) Pourquoi ces relations ne sont-elles pas valables à trop faible concentration ? Sur la route que l'on étudie, la vitesse est limitée à v... c) En déduire que les relations du I. A. 2- a) ne sont valables que si n > no , 
valeur
dont on donnera l'expression.

(1) Que vaut j(n) si n  nc :

On cherche à déterminer la vitesse de pro-

pagation U (algébrique) de l'onde de choc dans le référentiel de la route, 
c'est-à--
dire la vitesse de déplacement du front de concentration séparant les deux par--
ties dela courbe ci-dessus.

a) On se place dans le référentiel lié àla route. En écrivant la conservation du
nombre de voitures entre t et t + At , démontrer la formule de Rankine-
Hugoniot : '

' j 2 -- j 1

n2""1

U:

b) Retrouver ce résultat en raisonnant dans le référentiel lié au front de 
concen--
tration.

c) Comment peut--on mesurer graphiquement la vitesse U sur le diagramme
fondamental ?

II.B - Application : disparition d'un bouchon créé par un tracteur

On s'intéresse à un phénomène arrivant couramment en campagne : un tracteur

arrive soudainement sur une route où il est interdit de doubler, créant ainsi un
bouchon.

Au bout de 3 km , il quitte la route. On cherche à Tronçon de 3 km
savoir combien de temps le bouchon va subsister
une fois que le tracteur aura délaissé la portion ;» 1

de route. _ "| D |___--'

II.B.1) La route a initialement une concentra- Entrée Sort1e
tion de 25 véhicules/km. Le tracteur roule à

10 km/h et la vitesse est limitée à 50 km/h. Le diagramme fondamental est donc
celui de la section I.C.

a) À quel point de fonctionnement du diagramme fondamental correspond la
circulation initiale sur la route (sans le tracteur) ? On nommera (n 1, j 1) 
les coor--
données de ce point. Le trafic est--il fluide ou congestionné ?

b) À quel point de fonctionnement du diagramme fondamental correspond la
vitesse du tracteur ? On nommera (n2, j2) les coordonnées de ce point. Le trafic
est-il alors fluide ou congestionné ?

c) Tracer l'allure du profil de concentration n(x) à une date quelconque lorsque
le tracteur est sur la voie. On repérera par x, l'abscisse du tracteur. On mon-
trera sans calcul que le profil est constitué de 4 différents paliers (dont 
deux sont
au même niveau).

(1) Calculer la vitesse U 1 de l'onde de choc.

e) A quelle vitesse la longueur du bouchon augmente--t-elle ? Après avoir 
calculé
le temps mis par le tracteur pour parcourir le tronçon de 3 km , en déduire la 
lon-
gueur du bouchon juste avant que le tracteur ne quitte la route.

f) Combien de véhicules sont derrière le tracteur, dans le bouchon, juste avant
que le tracteur ne quitte le tronçon ?

II.B.2) Quand le tracteur quitte la route, on fait l'hypothèse que le flot de 
voi-
tures situé en avant du peloton passe au point de débit maximal (nC,'jC). Le
bouchon se résorbe donc progressivement par l'avant.

a) Tracer l'allure du profil de concentration n(x) . On repérera par x d la 
position
du début du bouchon et x f la position de la fin du bouchon.

b) Calculer la vitesse U 2 de l'onde de choc sur le front avant du bouchon.

c) En déduire à quelle vitesse la longueur du bouchon diminue. On n'oubliera
pas qu 'il y a deux contributions aux variations de la longueur du bouchon. les
voitures arrivant à l'arrière et les voitures sortant à l'avant.

(1) Connaissant la longueur du bouchon quand le tracteur quitte la route (ques-
tion II.B.1--e), en déduire le temps que va mettre le bouchon pour se résorber
complètement.

Partie III - Création de bouchons en accordéon

Les sections C et D peuvent être traitées Sans avoir abordé la section B.

Cette dernière partie tente de L 0 L 0

prendre en compte le temps de '----'*--'

réaction des conducteurs dans 0 ' Ûn_1 O,, O,, ...

l'étude de l'écoulement du tra- --|--------__l_--|.__|_-->
fic. Ainsi, la relation locale j(n) ' ïEn--1 E%n ; Ën+1

n'est plus valable dans le cas
d'un régime variable quelcon-

----.-- ------> ---->--
que. Par ailleurs, le modèle con-- E--> @» LÎË->
: G : G ' ' Gn + 1

tinu est remplacé par un _ ,, _ ,

modèle discret où chaque véhi- 'T-- ?
cule est répertorié. Les véhicu-- ° "

les vont ainsi être considérés comme une chaîne infinie d'oscillateurs couplés.
Les voitures sont numérotés par le nombre entier n. On repère la position G,,
de l'avant du véhicule n par rapport au point O,, , où DO,, : nL0 . Les points 
O,,
sont ainsi régulièrement espacés d'une distance L0 et lorsque les G,, sont con-

fondus avec les O,, , toutes les voitures sont pare-chocs contre pare-chocs. On
note EUR,, = O,, G,, (algébrique).

III.A- Comportement d'un conducteur suivant la voiture qui le
précède

Tous les conducteurs sont supposés se comporter de la même façon. Le trafic est
suppose congestionné de telle sorte que chaque conducteur tente d'adapter sa
vitesse pour respecter la distance de sécurité avec la voiture qui le précède.
Cette vitesse dite de référence est donnée par l'équation vréf ,,(t) : 
D,,(t)/rd où
D,,(t) représente la distance entre l'arrière du véhicule n + 1 et l'avant du 
véhi-
cule n , "td étant une constante homogène à un temps (ayant été définie àla 
par--
tie I). L'équation qui traduit le comportement du conducteur de la voiture _n
ayant une vitesse notée v,,(t) s'écrit :

2"dv -ä-'(t) + u ,,(t) = vf,éf(t-- r,)

où 1:, et 12 dtsont des constantes caractéristiques'propres à l'ensemble 
conducteur
+ voiture.

HLA. 1) Pour comprendre cette équation, on étudie la réponse à un échelon de
vitesse: on suppose vréf ,,(t) = 0 si t0.

a) Vérifier que v,,(t) : 0 pour t < 0 est bien solution. b) Que vaut v,,(t) pour 0 < t <1:1 ? c) Déterminer Un(t) pour t >1:1 .

(1) Donner l'allure de vréfn(t) et vn(t) en fonction du temps. Introduire 
graphi--
quement le temps 1:2 .

e) Donner une signification aux deux constantes 1:1 et 12 (on demande une
interprétation qualitative).

III. A. 2) On se place en régime sinusoïdal forcé et l'on utilise la notation 
com--
plexe. Les grandeurs complexes associées sont notées avec une barre en-dessous

(notation utilisée dans toute la suite du problème): vré fn=(t) V0 exp ( ](Dt)

réf

3) Déterminer v n(t) et en déduire la fonction de transfert H (ou) définie par

a (t)/v...» (t)

h) Montrer que si oe1:1 « 1 et oe1:2 « 1 , la fonction de transfert est 
équivalente à
celle d'un filtre passe--bas d'ordre 1 de pulsation de coupure 1/1 où 17 
s'exprime
très simplement en fonction de 171 et 12 (pour cela, on pourra identifier les 
déve--
loppements limités à l'ordre 1 en m de l'inverse des deux fonctions de 
transfert).

c) En déduire dans cette approximation la nouvelle équation différentielle (que
l'on utilisera pour la suite) reliant v n(t) et sa dérivée à vréf n.(t)

III. A. 3)
a) Comment/s'écrit Dn(t) en fonction des ën(t) ?
b) En déduire l'équation différentielle du second ordre reliant un(t) à Un 
+1(t) :

III.A.4) On traite le cas d'un régime sinusoïdal forcé par la voiture de devant 
:
Qn + 1(t) : Vo exp ( j oet) en utilisant à nouveau la notation complexe. La 
vitesse de
la voiture n peut alors s'écrire v n(t) : H (01) V() exp ( joet).

a) Déterminer la fonction de transfert H (w) = v "(t)/vn 1(t).

b) Donner l'expression du module de H(oe) et de son argument noté (p(oe) .

c) Résoudre l'équation |H(oe)l : 1 avec (» == 0 . On note a)] la solution 
lorsqu'elle
existe. '

(1) Montrer que IH (oe)| peut posséder un eXtremum en oemax == 0 à une certaine
condition.

e) Comment s'exprime oemax en fonction de co1 ?
f) Dessiner l'allure de |H(oe)l en fonction de m dans les différents cas.

III.B - Relation de dispersiOn

III.B.1) On suppose que on: « 1 et nord « 1 . Un développement limité de |H(oe)l
au deuxième ordre en oe aboutit à : |H(oe)l --- 1 + td(r ---1:d/ 2) (oz.

Procéder de même avec cp(oe) ,

III.B.2) On cherche des solutions pour le déplacement des différents véhicules
sous forme d'ondes progressives sinusoïdales de la forme :
Ën(t) : î--;Oexp (j(oet--knLo)) , où k est a priori un nombre complexe : k = k' 
+jk"
(k' et k" réels).

a) Comment s'écrivent alors les Qn(t) ? En déduire l'expression du rapport
E(OE) = Qn(t)/Qn+l(t)-

b) En identifiant ce rapport avec les résultats du III.B.1, déduire la relation 
de
dispersion k = f (oe) :Montrer que k' : --(oerd)/LO et donner l'expression de 
k".

c) Calculer la vitesse de propagation d'une l'onde ën(t) . Montrer que le 
résultat
obtenu par ce modèle discret utilisant la notion de distance de sécurité (avec
cord « 1 ) est très proche de l'un de ceux de la question II.A.3-g qui était dû 
à un
modèle continu. En comparant la longueur d'onde ?» de l'onde associée à Ën(t)

à la distance L0 commune aux deux modèles, justifier qualitativement cette
concordance.

III.C - Analyse du modèle

Cette section reprend et analyse les résultats du III.A. On peut observer quel-
que fois sur des autoroutes où le trafic est relativement dense l'apparition
« d'accordéons » :les bouchons se succèdent et obligent le conducteur à 
accélérer
à la sortie d'un bouchon pour ensuite ralentir à l'entrée du prochain. La figure
ci-dessous est le schéma d'une telle situation.

DEJEJD D D OEOEOEOEDOEEËOE

III.C.1) Le mouvement d'un véhicule peut être alors vu comme un mouvement
uniforme additionné d'un mouvement oscillant. En supposant les oscillations
sinusoïdales, la vitesse de la voiture n + 1 s'écrit donc, avec VO < VC : "n+1(t) = VC + Vocos(oet) . a) Comment s'écrit alors la vitesse de la voiture n en fonction de Vc , V0 , |LI(oe)| et cp(oe) ? b) Calculer et interpréter les limites de |I_i(oe)l lorsque la fréquence tend vers 0 ou 00. c) À quelles conditions sur t et ou les oscillations s'amplifient-t-elles en amont de la file ? d) Expliquer pourquoi un flot uniforme de voitures est instable si 1: est trop grand. e) En admettant que c'est la configuration la plus instable (c'est-à--dire où l'amplification est la plus grande) qui s'impose devant les autres, donner la période temporelle Tacc des oscillations des véhicules dans l'accordéon. III.C.2) Les valeurs numériques pour 11 et l1:d dépendent de beaucoup de para- mètres (condition météorologique, heure de la journée, respect des distances de sécurité...). On donne 1: = 2, 9 s et rd : 0,9 s. a) Est--on dans une situation où les accordéons peuvent apparaître spontanément ? b) Calculer numériquement Tacc. En pratique, les périodes observées sont de l'ordre de quelques minutes. Commenter. III.D - Amélioration du modèle Le défaut du modèle de la section III.A vient principalement du fait qu'en pra- tique un conducteur anticipe en regardant au-delà de la voiture qui le précède immédiatement. Ce défaut peut être corrigé en modifiant l'expression de la vitesse de référence qui s'écrit maintenant : f K vff (t) = a[Dn(t)+q Dn+l(t)+q xq Dn+2(t)+q3Dn+3(t)+ ...] +oe f K ' Uäé (t) : ;--l:Dn(t) + 2 qan +i(t):l d i = 1 que l'on écrira sous la forme encore plus compacte : väéf(t) : E[ 2 qiDn+i(t):l avec 0 5 q < 1 et K étant une constante de normalisation. Ainsi, le conducteur de la voiture n prend en considération pour fixer sa vitesse de référence les distan_-- ces Dn " entre la voiture n + i et n + i + 1 avec un coefficient de pondération K q' pour i allant de 0 à l'infini. III.D.1) a) Calculer K en fonction de q pour que, lorsque i ---+ oo , la somme des coeffi- cients pondérateurs soit égale à l'unité. Par la suite, K conservera cette valeur. b) Que doit valoir q pour se retrouver dans le cas du III.A où le conducteur prend en compte uniquement la voiture qui le précède ? c) On estime que, dans l'anticipation d'un conducteur, les N voitures qui le pré- cèdent directement comptent pour 90% dans l'estimation de la vitesse de réfé- rence. En déduire q en fonction de N . III.D.2) En s'inspirant de ce qui a déjà été fait, on cherche les solutions de la forme : Qn(t) : Voexp ( j (oet -- knL0)) et l'on cherche à calculer la nouvelle fonction de transfert I_Jq(oe) : Qn(t)/Qn+ 1(t) : exp(jkL0) . On rappelle que k peut être un nombre complexe. réf a) Comment s'écrit dQn /dt en fonction des u (t) ? --n+i b) À partir de l'équation déduite du III.A.2-c, montrer que : 1 q+q(jt oe 1:1: (02) ° _ d fiq(oe) = ----.--L----r 1--q+Jtdoe--ttdoe à condition que |Hq(oe)| > q

III.D.3) La ifigure ci- lÏ--I ((")l
contre represente la "
courbe |Hq (oe)| en '--
fonction de (» (expri-- ..

mée en s*1 ) pour diffé-
rentes valeurs du
paramètre q , avec
l'expression de Ï_Iq(oe)
déduite de la question
précédente. Les
valeurs numériques
sont les suivantes :
1:= 2,9s etrd : 0,9 s.

a) En faisant abstrac-
tion de la condition

|Hq ( oe)| > q, déduire de l'étude de ces courbes l'influence du degré 
d'anticipation
des conducteurs sur la formation de bouchons en accordéon.

b) Les courbes ne sont en fait valables que si |Hq (oe)| > q. Expliquer 
pourquoi la
conclusion reste cependant la même (on rappelle que 0 5 q 5 1 ).

III. D. 4) L'équation |Hq (oe)|= , w := 0, a une unique solution notée m' 1
lorsqu'elle existe. Quelques lignes d'un calcul non demandé aboutissent a:

m' --1 2--1:(.1;2)_1
1_1: Ici 1+q

a) En déduire l'inégalité faisant intervenir T , "Cd et q pour que le phénomène
d'accordéon ne puisse pas se produire.

b) En faisant l'approximation que la formule du III. A. 4-e est toujours 
valable,
et toujours dans l'hypothèse du III. C. Le, donner la nouvelle expression de Tom
dans le cas où les accordéons apparaissent.

c) Application numérique : 17 = 2, 9 s et N = 7. Calculer la valeur de q corres-
pondante.

Dire si des bouchons en accordéon apparaissent et dans l'affirmative, calculer 
la
période temporelle des oscillations dans les deux cas suivants :

i)'td : 0,9 s
ii)Td : l, 8 S
Conclure.

00. FIN ooo