Centrale Physique PSI 2011

Ü» Physique (1)

__c°/' PC, PSI

EDNE[IHHS EENTHHLE'SHFËLEE 4 heures Calculatrices autorisées

2011

Activités physiques

Ce problème est composé de trois parties indépendantes ayant pour thème commun 
la physique . . . d'une activité
physique.

I Physique du skimboard

Le skimboard est un sport qui se pratique au bord de la plage. Cette partie 
s'intéresse à une pratique nommée
« fiat >>. À marée basse, l'eau qui se retire lentement laisse des étendues où 
seule subsiste une mince couche
d'eau. Le sportif lance une planche devant lui, court et monte dessus : il peut 
ainsi glisser sur plusieurs mètres.
La planche est légèrement inclinée : l'avant pointant vers le haut. Messieurs 
Tuck et Dixon de l'Université
d'Adélaïde (Australie) ont proposé le modèle suivant pour rendre compte du 
mouvement de la planche.

Le référentiel lié a la plage est supposé galiléen. L'eau est assimilée à un 
fluide parfait incompressible de masse
volumique p. Elle est surmontée par de l'air a la pression pg ou par la 
planche. L'écoulement de l'eau est supposé
plan. L'influence de la gravité est négligée dans l'étude de l'écoulement. La 
planche, supposée rectangulaire de
largeur L, se déplace à la vitesse --Y : --VOEÏOE constante par rapport au 
référentiel lié a la plage et fait un
angle & avec l'horizontale (dit angle d'attaque) supposé petit dans tout le 
problème. Loin de la planche, l'eau
est supposée au repos dans le référentiel lié a la plage.

La figure 1 représente quelques paramètres du problème dans le référentiel R 
lié a la planche. Le mouvement
de la planche provoque un jet d'eau d'épaisseur 6 qui se détache de l'avant de 
la planche.

Figure 1 Modélisation de l'écoulement dans le référentiel lié a la planche

Au--dessus de la ligne de courant en pointillé, l'eau constitue le jet. 
En--dessous, l'eau s'écoule vers l'arrière de la
planche. Loin a l'avant de la planche, la hauteur d'eau est hT + 5 tandis 
qu'elle vaut hT derrière. La surface de
la planche qui n'est pas en contact avec le jet est dite « surface mouillée >>. 
Elle est de longueur EUR.... La hauteur
d'eau h A désigne la hauteur du point de stagnation (défini comme 
l'intersection de la planche et de la ligne de
courant en pointillé).

On notera Ï'(E)|R la quantité de mouvement d'un système 2 par rapport au 
référentiel R et on définit
POE(E) : P(E)|R - üoe.

Sauf indication contraire, l'étude sera menée dans le référentiel R lié a la 
planche où l'écoulement est stationnaire.

I.A -- Calcul de la résultante des forces pressantes s'eoeerçant sur la planche

Dans cette sous--partie on travaillera dans la région située sous la surface 
mouillée (x E [OEA; xT]). On suppose
que la hauteur d'eau h, la pression dans l'eau p et le champ des vitesses dans 
l'eau 77 ne dépendent que de
l'abscisse a: du point de l'écoulement considéré. Le champ des vitesses est a 
priori bidimensionnel mais en de
nombreux points de l'écoulement la composante verticale de la vitesse est 
négligeable devant la composante
horizontale ainsi 17 N v(æ)ü}. On note Ü(OEA) = vaû'æ où mA est l'abscisse du 
point de stagnation.

I.A.1) Résultats préliminaires
a ) En faisant un bilan de masse sur un système que vous expliciterez, montrer 
la relation hTV = h(oe)v(oe).

b ) Rappeler l'équation locale de conservation de la masse. À quelle relation 
entre V et v(æ) mène-t-elle'?
Cette relation est en contradiction avec la relation précédente : lever le 
paradoxe.

c) Dans le cadre de ce modèle, l'écoulement est-il rotationnel? On justifiera.
d) Rappeler l'énoncé du théorème de Bernoulli approprié à ce modèle et le 
démontrer.

I.A.2) Calcul direct

a) Soit æ désignant l'abscisse d'un point situé sur la surface mouillée de la 
planche, montrer que :

2
p(OE) --P0 = %pV2 [1 -- hÿ(Tm)]

b ) Établir une expression de h(oe) en fonction de &, hT, m et oeT.
0) On suppose que la pression de l'eau au contact de la surface non mouillée de 
la planche est po. La

résultante totale des forces de pression Ë que les fluides exercent sur la 
planche possède deux composantes :
F = Fæü'OE--l--F z1îz. On cherche leurs expressions approchées dans le cadre 
des faibles valeurs de l'angle &. Montrer
que

_p_v2

F2 2

LÆ...(1 _ A)

où l'on donnera l'expression de À en fonction de hr; et h A. Établir 
l'expression de Fm.

d) Soit T un point situé a l'arrière de la planche. Justifier précisément que 
le moment des forces de pression
M par rapport à l'axe (T; %) est

/ l1--ÆJ ,

où l'on exprimera K en fonction de données de l'énoncé. On ne demande pas de 
calculer cette intégrale.

e ) Un calcul, que l'on ne demande pas de mener, permet d'établir que M = 
%pV2LË... f (À) où f est une
fonction de À. Exprimer, en fonction de &... f et À, la distance @, de l'axe 
(T; %) a laquelle doit se placer le
sportif pour qu'il puisse être à l'équilibre dans R (on supposera que la 
planche possède une masse négligeable
devant celle du sportif). On admettra que @, < EUR....

I.A.3) Calcul par un bilan de quantité de mouvement

On se propose, par un bilan de quantité de mouvement, de retrouver la 
résultante des forces de pression s'exerçant
sur la planche.

a) En choisissant comme système fermé 2, l'eau contenue dans le volume situé 
sous la planche entre les
abscisses 56,4 et oeT (zone hachurée sur la figure 2) et celle qui va pénétrer 
dans ce volume entre les dates t et
t + dt, trouver une relation liant dPOE(E)/dt|R, p, L, hT, À et V.

Figure 2

b ) On note p A la pression en x : æA : p A = p(a:A). Montrer que la composante 
selon l'axe a: de la résultante
des forces s'exerçant sur 2 peut s'écrire (p A -- pg)h,4L -- Fm.

c) Retrouver les expressions de Fx et FZ établies à la question I.A.2c.

I.B -- Mouvement de la planche dans le référentiel terrestre

I.B.1) L'expression de la résultante des forces de pression sur la planche 
établie dans les questions précédentes
en régime stationnaire persiste (approximativement) en régime non stationnaire. 
On note m la masse du sportif
et de la planche. En se plaçant dans le référentiel lié a la plage, montrer que 
V est solution de l'équation :
dV/ dt : --goz.

I.B.2) On suppose hT connu.

a) Établir l'expression de la fonction EUR...(V, a). On fera intervenir les 
paramètres suivants : m, 9, p, L et hp.

b) Si l'angle & est constant, expliquer en une phrase pourquoi il est 
nécessaire que la vitesse V dépasse une
valeur minimale.

c) Un professeur de physique a filmé son fils en train de faire du skimboard au 
bord de la plage. La largeur
de la planche est L = 70 cm, sa longueur L' = 1,40 m. Il mesure que le 
skimboard a été lancé avec une vitesse
initiale V(t = 0) = 2,7 m -- s'1 et faisait un angle constant pratiquement égal 
à oz = 2,0°.

On a tracé figure 3 la courbe Æ...(V,a = 2,0°) avec les paramètres du problème 
(m = 35 kg, g = 10 m -- s_2,
hT = 2,0 cm, p = 1,0 >< 103 kg - m'3). EUR... est exprimé en mètre et V en 
mètre par seconde. Estimer la distance

parcourue par l'enfant.

EUR... (m)

>

| | | | | | |
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

V (m -- s"')
Figure 3 É...(V) (oz = 2,0°)

I.B.3) Le modèle néglige une ou plusieurs forces. Laquelle ou lesquelles ?

I.C -- Nécessité du jet d'eau

On se propose dans cette partie de montrer la nécessité de l'existence du jet 
d'eau pour assurer la consistance
du modèle.

I.C.1) En choisissant, comme système fermé Ë, l'eau contenue dans le volume 
hachuré figure 4 et celle qui
va pénétrer dans ce volume entre les dates t et t + dt, trouver une relation 
liant dPOE(E)/dt|R, p, L, 5 et V.

Z
_. 5
--V 6... Po
| \
__') ..............
V
_, h X
//////// / / ' / ///////////// ///'
£Zî'A OET
Figure 4

I.C.2) En déduire une relation liant FZ, p, L, 5, oz et V. Conclure.

I.C.3) Donner un ordre de grandeur de 5 en utilisant les données numériques de 
la question I.B pour une

vitesse V = 2 m -- s"'.

II Physique des ricochets

Lorsqu'on lance judicieusement une pierre au--dessus d'un lac, elle peut 
rebondir à plusieurs reprises avant de
finir sa course au fond du lac. Chaque rebond se nomme << ricochet ». On se 
propose d'étudier dans cette
partie un modèle simple d'interaction entre un galet et l'eau pour expliquer 
les ricochets.

71 2

Figure 5

On définit un référentiel R (Oæyz) lié à l'eau, supposé galiléen, l'origine des 
2 étant prise au niveau de la surface
libre lorsqu'elle est non déformée par le galet. L'axe 02 est dirigé selon la 
verticale ascendante. Le galet est un
carré de côté a, d'épaisseur négligeable, de masse m. Lorsqu'il frappe l'eau, 
on considère qu'il est basculé d'un
angle 9 (supposé constant) autour d'un axe horizontal et que son centre 
d'inertie possède une vitesse 17 faisant
l'angle & avec l'horizontale (voir figure 5). On considère que le galet déforme 
la surface libre de l'eau comme
indiqué sur la figure; il reste ainsi au-dessus de la surface déformée pendant 
toute la phase du ricochet. Si le
bord supérieur du galet devait descendre sous la surface libre alors l'eau 
entourerait celui-ci et le galet coulerait.

L'enfoncement du galet sera repéré par la cote z (2 < 0) de son extrémité 
inférieure. On définit par ailleurs une
base locale de projection composée du vecteur ñ' normal au galet et du vecteur 
t tangent comme indiqué sur la
figure 5. Au cours de son mouvement en contact avec l'eau, on admettra que le 
galet subit la force

_. 1 1 _.
F = 5 npv25imñ+ äCtpv2Simt

où Sim est la surface immergée du galet (c'est-à--dire la surface du galet en 
contact avec le liquide), 1) la vitesse
de son centre d'inertie, p la masse volumique du liquide, C,, et Ct des 
coefficients supposés constants et positifs.

II.A -- Étude de la phase de rebond

En aucune façon on ne considère de rotation du galet qui subit donc un simple 
mouvement de translation.
II.A.1) Donner l'expression de Sim en fonction de la variable 2 et des 
paramètres du problème.

II.A.2) Écrire les équations du mouvement du galet, en projection sur les axes 
x et 2, sous l'effet de la force
Ë' et de son poids.

Pour simplifier la résolution de ces équations on considère que, dans 
l'expression de la force Ë , la norme v de la
vitesse reste constante pendant cette phase et égale à sa vitesse initiale vo. 
On discutera de cette hypothèse à
la question II.A.5.

II.A.3) a ) Montrer que z vérifie une équation différentielle du type % +wâz = 
--9 où wo est un paramètre
que l'on exprimera en fonction de p, v, a, m, 9 et C' = C,, 0059 -- Ct sinÛ 
supposé positif.

b) Résoudre cette équation avec z(t = 0) = 0, à(t = 0) = sz (vz0 < 0).
0) Déterminer la profondeur maximale atteinte en fonction de g, wo et vzo.
d ) Montrer que le galet ne coule pas si (on note @@ : a(t = O))

2ag

pC'a,3 _ sin2 ao
2... sin 9

UQ>

Application numérique : déterminer la valeur minimale de vo pour que le galet 
ne coule pas si m = 20 g,
a = 7,0 cm, g = 10 m - s_2, p = 1,0 >< 103 kg-m"3, 9 = 5,0°, cm = 2,0°, C, = 
C,, = 1.

II.A.4) Le temps de rebond est le temps 7' qu'il faut pour que le galet repasse 
en z = 0. Écrire l'équation
donnant T. Justifier rapidement que, vu les ordres de grandeur (on prendra vo = 
50 m - 5--1), T = 7r/w0.

Dans ces conditions que vaut la composante selon l'axe 2 de la vitesse vz au 
moment où le galet ressort de
l'eau?

II.A.5) On note C' = On sin9 + Ct cos @, Um la composante de 17 selon l'axe IE, 
U,... = væ(t = 0) et Avoe la
variation de um entre les instants d'entrée et de sortie du galet de l'eau.

a) Montrer que

Avoe

vm0

g7r
UJO'Uo COS 050

CI
= Ü [2 tan cm +

et faire l'application numérique avec les données des questions II.A.3 et 
II.A.4.

b) Quelles hypothèses doivent être vérifiées afin qu'il soit légitime de 
considérer que 11 = vo dans l'expression
de la force ?

II.B -- Aspect énergétique
Fm et FZ désignent les composantes de la force 13 selon les axes 3: et z.

II.B.1) a ) On note AEC la variation d'énergie cinétique du galet entre son 
entrée et sa sortie dans l'eau.
Démontrer que :

,
AEc : / Fævoe dt
0
T T
b) En supposant que fo FOEUOE dt : %... fo Fm dt, montrer que

AEC : --,uvæo/ FZ dt
0

où l'on exprimera [.L en fonction des données du problème.

c) Justifier alors qu'on puisse écrire, en faisant une approximation que l'on 
explicitera, AEC : --uvmomgwlo
et montrer que AEC est en fait indépendant de vo.

II.B.2) Calculer le nombre de ricochets que l'on peut obtenir dans le cadre de 
ce modèle avec les données
numériques précédentes. À titre indicatif le record du monde 2007 détenu par 
Russell Byars est de 51 ricochets.

III Physique du skeleton

Le Skeleton est un sport d'hiver qui se pratique dans un couloir de glace en 
pente : le coureur s'allonge sur une
planche qui glisse sur la glace en prenant appui sur des patins.

descente

arrivée ralentissement

Figure 6

III.A -- Question préliminaire

L'ensemble coureur + Skeleton est assimilé à un solide de masse m = 100 kg 
pouvant glisser sans frottement. Il
franchit la ligne d'arrivée avec une vitesse vo et se ralentit simplement en 
montant une pente faisant un angle
& avec l'horizontale. Déterminer la longueur a de piste nécessaire au 
ralentissement.

Application numérique : on prendra U = 30 m - s_1 et g = 10 m - s_2 et on 
considérera une pente de 5%.

L'infrastructure ne se prêtant pas a la réalisation d'une piste inclinée de 
décélération on envisage un autre type
de freinage; c'est ce freinage et ses conséquences que l'on va étudier dans la 
suite du problème.

III.B -- Freinage du skeleton
On fixe sous la planche un cadre métallique conducteur ayant la forme d'un 
rectangle de côtés EUR >< L.

patins E L cadre

Figure 7 Skeleton vu de dessous

La piste de décélération est horizontale; on considérera un référentiel (Oxyz) 
galiléen lié au sol : l'origine O
est prise au point d'arrivée, l'axe 093 le long de la piste de décélération 
(qui correspond donc a a: > 0), l'axe

Oy selon la verticale ascendante. Un dispositif adéquat crée un champ 
magnétique B = B0ê'y stationnaire et
uniforme sur toute ou partie de la longueur de piste de décélération (et sur 
toute la largeur de la piste).

III.B.1) Le champ magnétique est étendu à toute la zone x > 0.

a ) La position du cadre est repérée par l'abscisse &: de son extrémité avant 
et on suppose sc = 0 a t = 0. Établir
l'équation différentielle a laquelle obéit la vitesse 1) = dcr/dt; on 
distinguera deux phases dans le mouvement.

Mettre en évidence un temps caractéristique 7' que l'on exprimera en fonction 
de BD, m, EUR et R (résistance du
cadre).

Figure 8

b) Déterminer m(t) pendant la phase de décélération et montrer que l'engin ne 
stoppe qu'à condition que L
soit supérieure a une certaine valeur que l'on précisera. Montrer par une 
application numérique que ceci n'est
pas réalisé et déterminer la vitesse finale du skeleton. En tout état de cause 
serait--il réaliste de n'envisager que
ce freinage pour arrêter l'appareil ?

On donne : EUR = 30 cm. L = 50 cm, B = 1,0 T et R = 1.0 >< 10"2 Q.

III.B.2) On suppose à présent que le champ magnétique (stationnaire et 
uniforme) n'est non nul que dans
la zone comprise entre a: = 0 et a: = d.

3/ É : Boëy ; ï

Figure 9

a) Si L 2 d, montrer qualitativement qu'il existe deux phases de freinage 
séparées par une phase où la vitesse
reste constante et déterminer la vitesse à l'issue des deux phases de freinage.

11) Même question si L EUR d.
0) Quelle valeur doit-on donner a d, en fonction de L, pour optimiser le 
freinage?

III.B.3) On place N zones de freinage identiques à la précédente séparées les 
unes des autres d'une distance
D. Quelle doit être la distance D pour encore une fois optimiser le freinage '?

Quelle valeur donner a N pour stopper le skeleton'? En déduire la distance 
d'arrêt et comparer sa valeur
numérique aux valeurs trouvées à la question III.B.1 et a la question 
préliminaire.

III.B.4) Applications numériques

a) Quelle est la durée de chaque phase de freinage '? Quelle devrait être la 
durée totale du freinage ? Conclu-
sion ?
b ) On peut alors choisir un freinage « hybride » : freinage électromagnétique 
d'abord jusqu'à ce que la vitesse

soit "ul = 10 m - s"1, puis freinage mécanique ensuite. Déterminer la durée du 
freinage électromagnétique ainsi
que le nombre de zones de champ nécessaire.

III.C -- Refroidissement du cadre

III.C.1) Dans un milieu homogène et isotrope caractérisé par sa masse volumique 
,a, sa capacité thermique
massique c et sa conductivité thermique /\ établir l'équation aux dérivées 
partielles a laquelle obéit le champ de
température T.

On se préoccupe de l'élévation de température dans le cadre consécutive au 
passage du courant.

III.C.2) On modélise les côtés du cadre comme des cylindres de rayon a (et de 
section 3 = 7ra2) dans lequel
la température T ne dépend que de r, distance à l'axe, et du temps 15. Le cadre 
est en cuivre :

-- de masse volumique ;; = 8,9 >< 103 kg - m"3.
-- de résistivité électrique p-- -- 1,7 >< 10_8 9 m,

-- de conductivité thermique À-- -- 390 W K 1n_1

-- et de capacité thermique massique c-- -- 390 J 1"K 1 kg_1 ,
-- sa section est s-- -- 1,0 cm2.
Donner et calculer le temps caractéristique des transferts thermiques dans le 
cylindre et comparer ce temps au

temps d'arrêt de l'engin calculé à la question III.B.4b. Commenter.

Dans toute la suite du problème la température du cadre sera considérée comme 
uniforme : T ne dépendant
que du temps éventuellement.

III.C.3) Considérant qu'on puisse négliger les transferts thermiques vers 
l'extérieur pendant la phase
d'échauffement, déterminer ainsi la variation de température AT du cadre en 
fonction de m' (masse du cadre), m,
vo et c (on considérera, pour simplifier, que la vitesse est nulle à l'issue de 
la phase de freinage électromagnétique).
On fera l'application numérique.

III.C.4) Après arrêt du skeleton le cadre se refroidit. Au cours de cette phase 
de refroidissement, la
température TC du cadre est supposée uniforme mais dépendant du temps : Tc(t) 
passe ainsi de T1 à TO
température de l'air, supposée uniforme et constante. Les transferts thermiques 
entre le cadre et l'air ont
lieu selon un mode dit conducto--convectif; il y a une discontinuité de 
température entre le cadre et l'air : la
température T0 est différente de Tc. La puissance thermique transférée vers 
l'air par unité de surface latérale
du cylindre est Pth = h(Tc -- Tg) où h est un coefficient supposé positif et 
constant.

a) Déterminer l'équation différentielle satisfaite par TC(t) et donner le temps 
caractéristique du refroidisse--
ment en fonction des paramètres déjà introduits.

b) Application numérique
Déterminer ce temps avec h = 10 W- m"2 -- K"1.

III.C.5) On a l'idée d'entourer le cadre cylindrique d'un manchon isolant 
thermique. Le manchon isolant
est de conductivité thermique Àis et de rayon b.

cadre manchon

Figure 10 Manchon isolant

a) On commence par raisonner en régime supposé permanent : la température du 
cadre est TC indépendante
de 15. Le champ de température dans l'isolant ne dépend que de 7" : on note 
Tis(r) la température dans l'isolant.
Entre l'isolant et l'air (de température toujours supposée égale à To) existe 
encore un transfert thermique de
type conducto--convectif possédant les mêmes caractéristiques que précédemment 
à ceci près que la température
TC doit être remplacée par Tis(b) : Pth = h(Tis(b) -- TO). Ce mode de transfert 
n'existe pas entre le cadre et
l'isolant, on a donc Tis(a) = TC.

Établir l'équation différentielle vérifiée par Tis(r) puis montrer que la 
puissance thermique P cédée par l'unité
de longueur du cadre peut s'écrire

x

P: Kh--
1+ Àîælnx

où sc = b/a, K étant une constante que l'on exprimera en fonction de h, a, T0 
et T0. À quoi correspond cette
constante K ?

b) Tracer la courbe montrant la dépendance de P avec x; on fera apparaître deux 
types de comportement
possibles que l'on interprétera physiquement.

On donne Àis = 0,10 W - m'1 -K_1 déterminer l'épaisseur d'isolant a placer pour 
que le refroidissement s'effectue
le plus rapidement possible.

0) On suppose le régime quasi--permanent : les résultats précédents sont 
supposés pouvoir être appliqués
à chaque instant. Déterminer le nouveau temps caractéristique du 
refroidissement du cadre lorsque l'isolant a
l'épaisseur calculée ci--dessus.

oooFINooo