Centrale Physique PSI 2013

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Les frottements de glissement

Diverses valeurs numériques sont regroupées a la fin de l'énoncé. On y trouvera 
aussi un formulaire fournissant
quelques intégrales utiles et deua: eoepressions d'analyse vectorielle.

Cet énoncé aborde quelques phénomènes associés aux frottements de deux solides 
21 et 22 en glissement relatif
le long de leur interface. Dans ce contexte, il est fondamental de distinguer 
l'aire apparente S de cette interface,
telle que l'on peut la percevoir à l'échelle macroscopique, de l'aire réelle de 
contact A. En effet, la surface
d'un solide, rugueuse à l'échelle micrométrique, présente des aspérités de 
hauteurs diverses. Seules les plus
proéminentes de chacun des solides se rencontrent et se déforment, faisant 
apparaitre de petites zones plates
appelées jonctions où l'interaction entre les solides se concentre.

I Effets thermiques aux jonctions

Lorsque 21 et 22 glissent l'un contre l'autre, les jonctions s'échauffent a 
cause de la dissipation d'énergie associée
aux frottements. Dans cette partie, on étudie quantitativement cet effet.

I.A -- Diffusion thermique dans un milieu semi-infini

On considère pour l'instant un solide indilatable, homogène et semi--infini,
situé dans le domaine 27 E [O, +oo[, latéralement limité par un cylindre de 0

section 3 et de génératrices parallèles à EUR; (figure 1). Ce solide 
cylindrique ------------------------------------
est calorifugé latéralement. On note À la conductivité thermique du maté--
riau dont est constitué le cylindre, p sa masse volumique et c sa capacité
calorifique massique, quantités indépendantes de la température. Oe mi--
lieu, présentant préalablement une température uniforme T 0, va recevoir
de l'énergie thermique au travers de sa surface d'équation z = 0 seulement. Le 
rythme auquel ce transfert
s'effectue sera précisé plus loin. On analyse l'évolution de sa température T 
supposée ne dépendre que de z et
du temps t. On note 9(z, t) = T (27, t) -- T 0 l'élévation de température 
provoquée par l'apport thermique.

Figure 1

I.A.1) Montrer que l'élévation de température 9(z, t) obéit à l'équation aux 
dérivées partielles

Ô9(z,t) _ ÀÔ29(z,t)
Ôt Ôz2
Que devient cette équation lorsque À dépend de la température T ?
I.A.2) Milieu chauffé brièvement
Dans cette question, le solide n'est chauffé que pendant une durée extrêmement 
brève entre les instants to -- ôt

et to : 0. Pendant ce très court échange, le solide reçoit la quantité de 
chaleur 5Qg : josôt. Il en résulte une
petite élévation de température notée 59(z, t).

a) Que vaut 69(z,t) pour t < --ôt et z > 0 ?
B z2

?) Onnoter,t =--ex ----
) ( ) @ p 4Dt

l'équation aux dérivées partielles établie dans la question I.A.1.

pc

À
avec D = --. Vérifier que la fonction 59(z, t) : G(z, t)ôt est solution de
pc

c) Exprimer la variation de l'énergie interne U du solide entre un instant t1 < --ôt et un instant t2 > 0,
d'une part en fonction de jo, d'autre part en utilisant G(z, t). En déduire 
l'expression de B en fonction de jo,
expression que l'on simplifiera en introduisant l'effusivité thermique e : 
\/Îpc.

d) Plaçons--nous maintenant dans la situation où le très bref échange thermique 
5Q0 a lieu a un instant to > O.
Exprimer 59(z, t) en distinguant deux intervalles de temps.

I.A.3) Milieu chauffé continument

a ) Le système est maintenant chauffé sans interruption a partir de l'instant 
initial avec une densité de flux
thermique jo fonction du temps.

Quelle quantité de chaleur 5Qg reçoit--il entre to -- ôt0 et to ? Quelle 
élévation de température 69(z,t) cela
provoque--t--il a la cote 27 a un instant t > to ? En déduire sous la forme 
d'une intégrale l'élévation de température
9(z, t) produite par l'apport thermique ininterrompu depuis l'instant initial.

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b} Dans le cas particulier où jo ne dépend pas du temps, le calcul de 
l'intégrale précédente, non demandé,

conduit a
9 0 et 27 < 0, s'échauffent a cause des frottements sur leur interface z = 0. On note 3 l'aire de cette interface, 1 
: j15
et 2 : 325 les flux thermiques reçus par chacun d'eux. Pour simplifier on 
suppose
que C1 glisse sur C2 immobile et que les deux solides n'échangent d'énergie que 
l'un (131
avec l'autre, leur ensemble étant isolé thermodynamiquement du reste de 
l'univers.

Soit ps la puissance surfacique négative des forces de frottement exercées par 
C2 l ]

C1

sur C1.

I.B.1) On note & = U,; + Eci avec i E {1,2} l'énergie totale du cylindre C,,

composée de ses énergies interne et cinétique. Appliquer le premier principe de 
la (132
thermodynamique a chacun des deux solides entres deux instants séparés de dt. C2

I.B.2) Appliquer le premier principe a l'ensemble des deux solides.

I.B.3) En déduire une relation entre ps, j1 et 32. F' 3
1gure

I.C -- Application ana: joncti0ns

Le modèle développé dans les questions précédentes permet d'estimer 
l'échauffement des jonctions décrites dans
l'introduction lorsque C1 glisse sur C2 a la vitesse @. Dans ce cas on note TC 
la force tangentielle par unité de
surface exercée par C2 sur C1. La puissance surfacique correspondante s'exprime 
par ps : --ch.

I.C.1) Quand C1 et C2 sont formés du même matériau avec le même état de 
surface, donner l'expression de
j1 et de 32 en fonction de ps.

I.C.2) Les jonctions ont un diamètre de l'ordre de 0,1 mm. Quelle est la durée 
7' du contact si @ = 1 m - s_1 ?
I.C.3) Pour estimer les effets thermiques au niveau des jonctions, on utilise 
les résultats de I.A.3.b a l'instant
t = T.

a} Comparer quantitativement les propriétés de l'acier, du granit et du Téflon 
en calculant l'élévation de tem--
pérature de l'interface et la profondeur 5 a la fin du contact.

b} Analyser la pertinence de l'approximation qui consiste a supposer les deux 
milieux semi--infinis pour étudier
la diffusion thermique dans chaque jonction (hypothèse introduite au début de 
LA).

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II Un système auto-lubrifié

Les forces de frottement associées au glissement d'un solide sur la glace ou la 
neige sont fréquemment étudiées en
raison de leur importance pour diverses pratiques récréatives ou pour les 
moyens de transport dans les régions
froides. À des températures de l'ordre de --40°C, ce glissement s'effectue avec 
une résistance énorme, comparable
a celle que l'on observe sur du sable. Pour des températures de l'ordre de 
--10°C, les forces de frottement chutent
d'un ordre de grandeur et le glissement devient aisé. Ce comportement 
s'explique par la fusion superficielle de
la glace sous l'objet glissant, la fine couche d'eau liquide apparue jouant le 
rôle de lubrifiant. L'écoulement de
cette eau est supposé incompressible dans tout le problème. Nous appellerons << patin >> le solide 21 glissant sur
la glace, désignée par Eg.

Dans les parties II et III, il est question des forces s'exerçant sur 21 dans 
les jonctions. On note A1 l'aire d'une
jonction et Ë1 la résultante des forces que 21 y subit. On la on décompose sous 
la forme Ë1 : R1oe EUR}; + Rlz EUR}...
Le vecteur unitaire e}} est perpendiculaire a l'interface apparente des deux 
solides ; ë'oe lui est parallèle dans la
direction du glissement. La réunion de toutes les jonctions donne l'aire réelle 
de contact A sur laquelle 21 est
soumis a des efforts de résultante R : R,, EUR}, + RZ @.

II.A -- Mécanisme de fusion

Deux hypothèses ont été émises pour expliquer la fusion superficielle de la 
glace :

-- selon Reynolds, la fusion s'explique par la surpression exercée par le patin 
sur la glace ;

-- selon Bowden, la fusion s'explique par l'élévation de température provoquée 
par les frottements.
Les questions ci--dessous apportent des éléments pour trancher parmi ces deux 
propositions.

II.A.1) Considérons une paire de skis d'aire apparente S = 0,3 m2 supportant un 
skieur de 75 kg (skis compris)
glissant sur un plan horizontal. On suppose que l'aire réelle de contact A 
représente un millième de l'aire
apparente. Calculer la surpression s'exerçant sur la neige.

II.A.2) Rappeler l'allure du diagramme d'état de l'eau dans le plan (P,T ) On 
assimile la courbe relative
a l'équilibre liquide--solide a une droite. Déterminer sa pente puis 
l'abaissement de la température de fusion
provoqué par la surpression de la question précédente.

II.A.3) Considérons maintenant l'échauffement associé aux frottements pour un 
patin glissant a la vitesse
@ = 1 m-s_1 sur une glace sèche, la force surfacique de frottement valant TC : 
1 >< 107 Pa. Calculer numériquement la puissance surfacique ps : --'UTC correspondante. II.A.4) Pour un patin isolant, toute la chaleur produite par les frottements diffuse vers la glace. En utilisant le résultat de la question I.A.3.b, exprimer l'échauffement de la surface de la glace pendant la durée 7' d'un contact. II.A.5) Calculer numériquement le temps nécessaire a un échauffement de 10°C. II.A.6) L'expérience montre que les forces de frottement augmentent énormément si @ tend vers 0 et que des patins en cuivre glissent beaucoup moins bien que des patins en bois de chêne. Parmi les hypothèses de Bowden et Reynolds, laquelle est correcte ? Vous expliquerez comment chacun des points précédents concourt a la conclusion ou au contraire s'y oppose. II.B -- Frottements visqnenoe et dissipation dans la couche lubrifiants Au niveau d'une jonction entre la glace immobile et le patin de vitesse vé}, existe un film d'eau liquide d'épaisseur h et d'aire A1. Soit 77 la viscosité dynamique de l'eau. On patm modélise la situation par un écoulement laminaire permanent dans lequel on recherche \ é}, un champ de vitesse du type ii : u(oe, z) ë'oe (figure 4). L'interface entre la glace et l'eau h ÿj ' ë*oe liquide a pour cote 27 = 0, EUR; désignant la verticale ascendante. II.B.1) Justifier que u(oe, z) ne dépend en réalité que de z. glace II.B.2) Dans la situation étudiée ici, la force surfacique s'exerçant vers les 27 croissants , F1gure 4 o o --) u --) / o au travers d'une surface de cote 27 du fluide s'exprime par Tv : --77d-- 633. En déduire z l'expression de la force volumique de viscosité f . II.B.3) On rappelle l'équation de Navier--Stokes régissant la dynamique des fluides visqueux newtoniens : ÔÜ' _, --» _, --» _, --» p(--+(u-V)U) = --Vp+pg+f Aucun gradient de pression n'est appliqué selon ë}, Déterminer le champ de vitesse u(z). II.B.4) Exprimer la composante tangentielle Roe1 de la force exercée sur le patin dans cette jonction. II.B.5) Exprimer la puissance P1 de la force exercée par le patin sur l'eau d'une jonction. II.B.6) Pour une épaisseur de film h = 0,1 nm et une vitesse @ = 1 m - s_1, calculer le nombre de Reynolds de l'écoulement. Quelle hypothèse de l'énoncé cette valeur permet--elle de confirmer ? 2013-03-25 11:52:46 Page 3/7 GC) BY--NC-SA II.B.7 ) On considère le système fermé constitué par l'eau contenue a l'instant t dans une jonction d'aire A1. L'écoulement est toujours supposé permanent et on négligle les effets de bord. a ) Justifier que le travail des forces de pression sur ce système est nul. 2 U A Z)) Montrer que la puissance thermique sortant du système vaut Pth : 77 1. h III Détermination de l'épaisseur de la couche lubrifiante La détermination de l'épaisseur h de la couche lubrifiante, conjointement a la force de frottement s'exerçant sur l'ensemble du patin, constitue un défi théorique qui n'a été que très partiellement relevé a ce jour. De nombreuses questions restent ouvertes concernant l'aire réelle de contact, le caractère intermittent des jonctions, l'état de surface de la glace et du patin, etc. Cette partie du problème explore quelques aspects de ces questions dans le cadre de modèles simples. Bien que l'épaisseur h dépende du temps, on admet que les résultats établis dans II.B s'appliquent a chaque instant. III.A -- Croissance du film d'eau contrôlée par les frottements seuls Toute l'énergie thermique produite par la dissipation visqueuse avec la puissance calculée en II.B.7.b est supposée disponible pour la fusion de la glace. L'eau liquide formée, de masse volumique p, s'accumule dans la jonction. On note L f l'enthalpie massique de fusion de la glace. Soit dh l'augmentation d'épaisseur du film d'eau dans une jonction d'aire A1, consécutive de la fusion de la dh glace pendant dt. Exprimer Æ en fonction de 77, u, p, L f et h(t). III.B -- Eoepulsz'on du film d'eau En réalité, l'eau liquide présente dans les jonctions en est expulsée sous l'effet des forces verticales, ce qui limite la croissance du film lubrifiant. Dans toute la partie III.B, 62: on se concentre sur ce phénomène d'expulsion pour évaluer la décroissance de h qu'il provoquerait s'il intervenait seul. On omet donc momentanément la translation du patin et la fusion de la glace. On adopte un modèle a symétrie cylindrique (figure 5), le patin et la glace étant h assimilés près d'une jonction a des disques de diamètre D = 0,1 mm séparés par le film d'eau d'épaisseur h(t) de l'ordre de 0,1 um . On utilise des coordonnées cylindriques 0 (r, 9, z) centrées sur l'axe de révolution de la jonction. La base locale associée est EUR}, ë'9, @. On recherche le champ de vitesse de la forme û(M) : u,.(r, z)ë} + uZ(r, z)ëz. En r = D / 2 l'eau liquide quitte la jonction et retrouve la pression atmosphérique PO. eau glace Figure 5 III.B.1) On procède a une analyse d'ordres de grandeurs pour résoudre l'équation de Navier--Stokes dont la projection sur ë} s'écrit : %+ %+ % __@+ 52... 3% n 52... p Ôt u,. Ôr % Ôz _ Ôr 77 Ôr2 rÔr r2 Ôz2 (1111) On note U un ordre de grandeur de u,. et W = h / 7' un ordre de grandeur de uZ avec 7' = 10_4 s. a) En exploitant l'incompressibilité de l'écoulement, relier U a W. Z)) Analyser l'ordre de grandeur des quatre termes diffusifs. Montrer numériquement que l'un est dominant. On néglige dans la suite les trois autres. c) Montrer de la même manière qu'on peut négliger les termes convectifs devant celui associé aux forces vis-- queuses. d) Faire de même pour le terme instationnaire proportionnel a e ) En déduire l'écriture simplifiée de l'équation III.1. Des analyses similaires, non demandées, permettent de montrer que les gradients axiaux de pression sont négli-- Ô geables ce qui revient a considérer que Ô_p : 0. 27 d III.B.2) Exprimer le champ de vitesse a, en fonction de z, h, 77 et _p_ dr III.B.3) Exprimer le débit volumique Dv sortant d'un cylindre de rayon r < D / 2 et de hauteur h. dh III.B.4) Relier d'autre part ce débit a Æ' 2013-03-25 11:52:46 Page 4/7 GC) BY--NC-SA III.B.5) En déduire l'expression suivante du champ de pression : 3 D2 dh p=po+_n(.2__) h3 4 dt III.B.6) Calculer la résultante des forces de pression Rp exercée sur le disque de rayon D / 2 par lequel le patin prend appui sur le fluide. III.B.7 ) Les termes indépendants de P0 de Rp s'identifient a Rzl, force normale s'exerçant sur la jonction. En supposant Rzl constante, trouver la loi horaire de diminution de h(t). On notera ho la valeur de h a t = 0 et _ 37771D4 _ 64hâRzl' III.B.8) Calculer numériquement M7") et 71 pour ho : 100 nm et R21 : 2 >< 10_2 N. 7'1 III.C -- Croissance isotherme du film d'eau limitée par eoepulsion 8Rzlh3 377D2 ' On reprend ici l'analyse des variations de h(t) en supposant que cet effet d'expulsion et celui de fusion de la glace considéré dans III.A s'additionnent. Pour les jonctions cylindriques envisagées ici, A1 : 7TD2/4. En poursuivant les calculs de III.B, on obtient une expression du débit expulsé de la jonction : DU : III.C.1) Montrer que dans ce modèle, h(t) obéit a une équation différentielle du type dh -- fi -- 02h3 (1112) où Cl et 02 sont deux constantes a exprimer en fonction de 77, @, p, L f, R21 et D. III.C.2) Exprimer la hauteur limite hlim qu'atteindra le film. III.C.3) Des résultats expérimentaux suggèrent qu'à des températures pas trop basses, la résultante des forces de frottement tangentielles exercées sur le patin est proportionnelle a @. Montrer que le modèle permet d'interpréter ce comportement. IV Frottement entre solides non lubrifiés Lorsque deux solides glissent l'un contre l'autre sans couche liquide intermédiaire, les forces de frottement qu'ils exercent l'un sur l'autre présentent un comportement très différent de celui étudié dans les parties II et III. Pour les décrire, on conserve cependant les notations A1, Ë1 : R1oe EUR}, + R12 52 et Ë : R,, EUR}, + RZ ë'Z définies au début de la partie II, ces efforts étant exercés directement par 22 sur 21 et non plus par l'intermédiaire d'une couche liquide. Dès le XVIIème siècle ont été découvertes deux propriétés essentielles -- lRoel est proportionnelle a RZ, le facteur de proportionnalité dépendant de la nature des matériaux en contact ; -- R,, est indépendante de la surface apparente de contact S. L'interprétation de ces observations date de 1950 environ et repose sur l'analyse des phénomènes ayant lieu au niveau des jonctions. En effet, ces jonctions se déforment sous l'effet des efforts perpendiculaires a l'interface et un contact intime s'y crée entre les deux solides. Pour déplacer les uns contre les autres les atomes de 21 et 22 << en contact >> dans une jonction d'aire A1, il faut exercer une force 
tangentielle minimale R... : TCA1. La force

surfacique Tc, aussi appelée contrainte de cisaillement, est liée a la nature 
des matériaux.

Deux types de déformation des jonctions sont envisagés tour a tour dans la 
suite : les déformations plastiques
d'une part et les déformations élastiques d'autre part.

I V.A -- Cas des déformations plastiques

Dans ce premier cas, on admet que R21 : aCA1 dès lors qu'il y a contact entre 
deux jonctions, quelle que soit
l'amplitude de la déformation. La grandeur ac caractérise la dureté des 
matériaux.

IV.A.1) Quelle relation existe--t--il entre A (aire de contact réelle), RZ et 
ac ?

IV.A.2) Calculer numériquement la valeur de A pour un bloc d'acier 
parallélépidédique de 300 g reposant sur

une table d'acier horizontale. Pour S = 24 cm2, quelle fraction de l'aire 
apparente S représente l'aire de contact
réelle A ?

IV.A.3) En supposant qu'il y a glissement d'un solide sur l'autre et que toutes 
les jonctions glissent en même
temps, établir le lien entre lRoel, RZ, ac et Tc.

IV.A.4) Cette modélisation permet--elle d'expliquer les deux propriétés 
introduites dans le préambule de la
partie IV ? Pourquoi ?

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I V.B -- Cas des déformations élastiques

Dans ce second cas nous supposons pour simplifier que la surface de 21 est 
parfaitement lisse et indéformable
alors que celle de 22 présente N aspérités identiques modélisées par des 
sphères de rayon R (partie gauche de la
figure 6). Par rapport a un plan de référence, les sommets de ces sphères se 
trouvent initialement à la hauteur
zo. Elles se déforment lorsque la surface plane de 21 se trouve a la hauteur d 
< zo (partie droite de la figure 6). Chacune forme alors une jonction circulaire de rayon ro et voit sa hauteur réduite de h. Un calcul dû à H. Hertz montre que pour des déformations élastiques 7°0 =R1/3(HR21)1/3 h=R_1/3(HR21)2/3 où H: est une constante caractéristique du matériau constituant 22. E1 E1 27"() <--) d \_/ \_/ \_/ \_/ Z0 d 22 E2 Figure 6 Contact sur une surface modélisée par une série de bosses sphériques IV.B.1) Relier l'aire de contact A a RZ, R, H: et N. IV.B.2) Cette modélisation permet--elle d'expliquer les deux propriétés introduites dans le préambule de la partie IV ? Pourquoi ? IV.B.3) En réalité, les sommets des aspérités de surface, ici représentées par les protubérances sphériques, ne se trouvent pas tous a la même hauteur avant le contact avec 21. La diminution de d associée à l'augmentation de RZ ne provoque pas seulement l'élargissement de chacun des contacts circulaires mais permet aussi la formation de nouvelles jonctions. Dans le modèle de Creenwood, on note dN : OE(z) dz le nombre de bosses sphériques dont le sommet se trouve initialement à une cote comprise entre z et z + dz. 00 a) Avec un nombre d'aspérités N identique a celui du modèle précédent, que vaut / OE(z) dz ? 0 b) Lorsque 21 se trouve a la cote d , donner une expression intégrale du nombre de jonctions fermées N J. c) Donner dans les mêmes conditions une expression intégrale de l'aire de contact A. d) Faire de même pour RZ. e) Fréquemment, la fonction OE(z) peut être approximée par OE(z) : \IJOe_O'Z. Calculer explicitement A et RZ en fonction de \IJO, oz, d, R et /<:. f) Le modèle de Creenwood permet--il d'expliquer les deux propriétés introduites dans le préambule de la partie IV ? Pourquoi ? Données numériques Matériau p (kg - m_3) e (J - K_1 -kg_1) À (W- K_1 --m_1) Tc (Pa) acier 7,9 >< 103 4,5 >< 102 75 2 >< 108 granit 2,7 >< 103 8,0 >< 102 2,2 2 >< 108 Téflon 2,2 >< 103 1,1 >< 103 2,3 2 >< 106 cuivre 9,0 >< 103 3,9 >< 102 3,9 >< 102 chêne 8 >< 102 2 >< 103 0,2 glace 9,2 >< 102 2,1 >< 103 2,3 Échelles de température : 0°C : 273,15 K Pression atmosphérique : P : 101,3 kPa Coordonnées du point triple de l'eau : Tt : 273,16 K, P,; = 0,611 kPa Viscosité dynamique de l'eau à 0°C : 77 = 1,8 >< 10_3 Pa - s Masse volumique de l'eau liquide : p = 1,0 >< 103 kg - m--3 Enthalpie massique de fusion de la glace 0°C : Lf : 3,3 >< 105 J -- kg--1 Dureté de l'acier : oc : 1 >< 109 Pa Accélération de la pesanteur g = 9,8 m -- s_2. Gc_ 2013-03-25 11:52:46 Page 6/7 Formulaire / EUR--u2 du: äfi / ue--au du: _2 / u3/26_0... du= Æ 0 06 0 0 4a5/2 _, _, _, _) divaA : adivA + A - grada En coordonnées cylindriques, . q lôrAr 16Ae ÔAZ d"A<"9'Z)=; (ar) ËÊ az oooFINooo ce 2013--03-25 11:52:46 Page 7/7 ( ) BY NC SA