Centrale Physique et Chimie 1 PSI 2015

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Le projet Hyperloop

Le projet de transport commun terrestre Hyperloop1 a été présenté en 2013. Son 
principe est de transporter
des passagers à haute vitesse dans des capsules placées à l'intérieur d'un tube 
partiellement vidé pour réduire
les frottements. L'objet de ce sujet est l'étude de quelques caractéristiques 
du projet Hyperloop.

Ce projet étudie la possibilité de relier Los Angeles à San Francisco, villes 
californiennes distantes d'environ
600 km, en 35 minutes. Les passagers sont transportés dans des capsules, 
propulsées par un moteur à induction,
qui se déplacent sur coussin d'air dans un tube à pression réduite. L'ensemble 
est alimenté par des cellules
solaires disposées le long du tube. Les capsules sont équipées d'un compresseur 
utilisé pour produire le coussin
d'air et une force de poussée additionnelle. L'alimentation électrique des 
éléments de la capsule est assurée par
des batteries au lithium, rechargées a l'aide des cellules solaires.

Certaines données et formules sont données en fin de sujet.

I L'air dans le tube

Le tube, de volume V, a une longueur L = 600 km et son diamètre intérieur est d 
= 2,23 m. Initialement, le
tube est rempli d'air à la pression atmosphérique PO. Pour abaisser la pression 
à l'intérieur du tube, on prévoit
d'utiliser des pompes à palette.

I.A -- Modélisation du fonctionnement d'une pompe à palette

Une pompe a palette simple étage est constituée

-- d'un stator cylindrique creux muni d'un orifice d'aspiration et d'un orifice 
de refoulement équipé d'une
soupape qui ne peut se soulever pour libérer l'air que si la pression sous 
celle--ci atteint la pression atmosphé-
rique ;

-- d'un rotor excentré par rapport au stator afin de modifier le volume offert 
au fluide lors de la phase de
compression ;

-- de deux palettes coulissantes installées dans le rotor, plaquées au stator 
par des ressorts (non représentés)
et par la force centrifuge.

Réservoir à vider Extérieur
volume VO, pression P pression atmosphérique

Aspiration Transfert Compression Refoulement

Figure 1 Cycle de fonctionnement d'une pompe a palette2

L'air est aspiré dans la pompe, transféré, comprimé, puis refoulé. On note Vb 
le volume de fluide aspiré, a la
pression P. L'air sera considéré comme un gaz parfait, à la température T. Ses 
évolutions lors de l'aspiration
et du transfert seront supposées isothermes. On admet, pour l'instant, qu'il 
n'y a aucun espace libre entre la
soupape de refoulement et l'orifice d'aspiration, et donc pas de fluide 
résiduel subsistant dans la pompe entre
la phase de refoulement et la phase d'aspiration suivante.

I.A.1) Cette pompe est raccordée à un réservoir à vider, de volume V0- 
Initialement, la pression dans le
réservoir est égale à la pression atmosphérique Po-

(1 ) Déterminer la pression P1 dans le réservoir à l'issue du premier cycle 
d'aspiration.

http : //www . teslamotors . 
com/sites/default/files/blog_attachments/hyperloop_alpba3 . pdf
d'après http: //nte--serveur . univ--lyonl . 
fr/pfcp/1cp/commun/pompe_palettes/pompe_a_palettes . htm

2015-04-24 09:23:13 Page 1/8 [_

b ) De la même façon, déterminer la pression P2 à l'issue du second cycle puis 
la pression Pk à l'issue du k-ième
cycle.

c ) Déterminer la pression minimale Pmin théoriquement atteignable dans le 
réservoir.

0! ) Le débit volumique D d'une pompe est défini comme étant le volume aspiré à 
la pression du réservoir par
unité de temps. On note 1/ le nombre de cycles d'aspiration de la pompe par 
unité de temps. Exprimer D en
fonction de u et Vb.

I.A.2) La figure 2 présente la caractéristique (c'est-à-dire le débit volumique 
D en fonction de la pression P
dans le réservoir) d'une pompe a palette a gros débit.

1000

100

._\
©

Débit volumique (m3--h'1)

0,1 1 10 100 1000
Pression (mbar)

Figure 2 Caractéristique de la pompe Becker U 4.3003

a ) Pour quelles valeurs de la pression P la modélisation du fonctionnement 
d'une pompe effectuée à la question
précédente permet-elle de rendre compte de cette caractéristique ? Proposer une 
interprétation qualitative des
écarts les plus importants entre les résultats de cette modélisation et la 
caractéristique D = f (P) mesurée par
le constructeur.

1) ) On fait l'hypothèse qu'un volume d'air Vf, a la pression P0 et à la 
température T, est réintroduit dans
le réservoir à chaque cycle de pompage. Montrer que cette hypothèse permet de 
mieux rendre compte de la
caractéristique de la pompe donnée figure 2.

c ) Quelle est alors la pression minimale Pfgm que l'on peut obtenir dans le 
réservoir à vider ?

d) Quels processus peuvent conduire à rajouter une certaine quantité d'air dans 
le réservoir à chaque cycle de
pompage ?

8) Est-ce que la modélisation du fonctionnement de la pompe a palette faite a 
la question b) permet de rendre
compte correctement de la caractéristique présentée à la figure 2 ?

I.B -- Faire le vide

On installe N pompes identiques placées tous les 2 km du trajet. La 
caractéristique D = f (P) de ces pompes
est celle présentée en figure 2.

On souhaite évaluer le temps nécessaire pour atteindre une pression de 2 mbar 
dans le tube du projet Hyperloop,
a partir de la pression atmosphérique.

I.B.1) Compte tenu de la pression à atteindre, justifier qu'on peut 
raisonnablement faire confiance a la
modélisation effectuée à la question I.A.1. En déduire l'expression du débit 
volumique total D, des N pompes,
en fonction de 1/, N et Vb.

d'après http: //www . becker-intemational . com

2015-04-24 09:23:13 Page 2 / 8 [_

I.B.2) En utilisant le résultat de la question I.A.1 et en considérant que V >> 
N Vb, déterminer littéralement
le temps nécessaire pour atteindre une pression P dans le tube.

I.B.3) Déterminer les valeurs numériques du volume V du tube et du nombre N de 
pompes. Puis en utilisant
la figure 2, calculer numériquement le temps nécessaire pour atteindre la 
pression P = 2 mbar dans le tube à
partir de la pression atmosphérique.

I.C' -- Déplacer l'air restant

Compte tenu de l'espace occupé par les capsules dans le tube et malgré la 
faible pression, à la vitesse de
déplacement souhaitée, il se forme en avant de la capsule un coussin d'air 
produisant une force de pression
importante. Il est donc prévu de disposer un compresseur à l'avant de la 
capsule afin de transporter l'air vers
l'arrière. Ce dispositif réduit le frottement, apporte une force de poussée 
supplémentaire et permet de générer
un coussin d'air pour assurer la sustentation de la capsule.

I.C.1)

a ) Exprimer le premier principe de la thermodynamique pour un écoulement 
stationnaire. On prendra soin de
définir les notations utilisées.

b ) Compte tenu des conditions, on peut considérer que la compression est 
adiabatique, réversible, sans variation
d'énergie cinétique ni d'énergie potentielle. Appliquer le premier principe au 
compresseur en tenant compte de
ces conditions.

I.C.2) Dans le tube, l'air est a la température T = 292 K et sous la pression P 
= 100 Pa. Déterminer la
masse volumique de l'air.

I.C.3) Rappeler l'expression d'une variation d'enthalpie massique de l'air dans 
le tube en fonction d'une
variation de la température.

1.0.4)

(1 ) Définir le débit massique Dm d'air entrant dans le compresseur.

() ) En considérant que la surface d'entrée du compresseur est de forme 
circulaire, de rayon R = 63 cm, que la
vitesse de la capsule est 1} = 1,20 >< 103 km-h"1 et que l'écoulement est uniforme, calculer le débit massique Dm entrant dans le compresseur. I.C.5) À l'aide de l'équation obtenue au 1.0.1 et en faisant intervenir le débit massique D..., établir le bilan de puissance pour le compresseur. I.C.6) Le document de présentation d'Hyperloop indique que le compresseur fournira une puissance méca- nique de 328 kW à l'air. Déterminer littéralement puis numériquement la température TCS de l'air en sortie du compresseur. I.C.7 ) Déterminer la pression en sortie du compresseur cs. I.C.8) La valeur de la température obtenue à la question 1.0.6 est élevée. Pour cette raison, le projet prévoit de refroidir l'air à l'aide d'un échangeur à deux fluides. D'une part, l'air issu du compresseur, d'autre part de l'eau issue d'un réservoir embarqué. L'air se refroidit en circulant dans un tube autour duquel circule l'eau qui se réchauffe puis se vaporise. Après passage dans l'échangeur, l'eau est stockée dans un réservoir dans la capsule. On considère que l'échangeur est globalement calorifugé, c'est-à--dire que les seuls échanges thermiques qui se produisent se font entre les deux fluides. Il n'y a pas de partie mobile et les évolutions dans l'échangeur sont isobares. En entrée d'échangeur la température de l'eau est Tee : 293 K, sous la pression atmosphérique. En sortie, une fraction a: = 88% de l'eau s'est vaporisée et sa température est Tes : 373 K. Le débit massique de l'eau dans l'échangeur est De = 140 g-s"1. Les températures de l'air seront notées Tae en entrée et T,... en sortie. a) Appliquer le premier principe de la thermodynamique pour un fluide en écoulement stationnaire a chacun des deux fluides entre son entrée et sa sortie de l'échangeur. b ) Donner les variations d'enthalpie massique de chacun des deux fluides en fonction de leurs capacités ther- miques massiques, des températures d'entrée et sortie, de l'enthalpie de vaporisation de l'eau et de $. c) En déduire les transferts thermiques massiques reçus par l'eau et par l'air dans l'échangeur en fonction des capacités thermiques massiques, des températures, de l'enthalpie de vaporisation de l'eau et de x. I.C.9) Exprimer les puissances thermiques reçues par chaque fluide à sa traversée de l'échangeur. I.C.10) L'échangeur étant calorifugé, quelle relation lie ces puissances ? En déduire la température de l'air en sortie de l'échangeur littéralement puis numériquement. En réalité, pour des raisons pratiques, le projet prévoit une compression en deux étages, avec deux échangeurs. II L'alimentation électrique du compresseur Pour alimenter le compresseur embarqué dans la capsule, le projet prévoit de recourir à des batteries rechar- geables de type lithium--ion. 2015-04-24 09:23:13 Page 3/8 [_ II.A -- Le choiæ du lithium L'isotope le plus abondant du lithium est le âLi. II.A.1) Quelle est la composition d'un tel atome ? II.A.2) Donner sa configuration électronique dans l'état fondamental. II.A.3) Où le lithium se situe-t-il dans la classification périodique des éléments ? À quelle famille appartient-il ? II.A.4) Comment l'électronégativité des éléments évolue-t-elle si l'on se déplace dans la classification pério- dique de la gauche vers la droite ? Que peut-on en déduire concernant l'électronégativité du lithium ? II.A.5) Justifier le caractère réducteur du lithium. Quel ion le lithium peut-il former ? II.A.6) À température ambiante, le lithium possède une structure cubique cen- trée. Sa maille élémentaire est cubique, les atomes occupant les sommets du cube et le centre du cube. On caractérise cet arrangement par le côté du cube élémen- taire, nommé paramètre de maille, noté (1. Déterminer le nombre d'atomes par maille, la coordinence et la compacité de cette structure. II.A.7 ) Le paramètre de maille vaut a = 0,35 nm. Déterminer la masse volu-- mique du lithium. II.A.8) Justifier l'intérêt de l'utilisation du lithium pour la constitution d'accu- mulateurs de forte énergie massique. II.B -- Accumulateur Li-ion Un accumulateur lithium--ion fonctionne par l'échange réversible d'ions lithium entre une électrode négative et une électrode positive. Figure 4 Schéma de fonctionnement du générateur lithium--ion représenté lors de sa charge4 II.B.1) L'électrode négative L'utilisation d'une électrode en lithium pour constituer l'électrode négative d'un accumulateur pose de nombreux problèmes, c'est la raison pour laquelle on a choisi d'utiliser le lithium en insertion dans une structure hôte. Les atomes de lithium sont insérés dans une structure carbonée, par exemple du graphite, on parle d'électrode au graphite lithié. Lors de la charge, la réaction électrochimique qui se produit est la réduction des ions lithium qui s'accompagne de l'insertion des atomes de lithium dans le graphite. Lors de la décharge, les atomes de lithium sont oxydés et les ions lithium se désinsèrent. a) La formule chimique du composé d'insertion est LiOECG, oe variant de zéro dans l'état déchargé a un dans l'état chargé. i. Rappeler la demi--équation de réduction des ions Li+. ii. Ecrire la réaction d'insertion des atomes de lithium dans le graphite. iii. Les deux réactions se produisent simultanément, écrire la demi-équation bilan traduisant ces phénomènes pendant la charge. d'après Audrey Martinent, 2001 (http: //e lectro ch imie . minatec . grenoble-- inp . fr/THESEAMaxt inent . pdf) 2015--04--24 09:23:13 Page 4/8 [_ b ) On souhaite déterminer la quantité maximale d'électricité que peut stocker cette électrode. i. Déterminer le nombre maximum Nmax d'atomes de lithium qui peuvent être insérés dans 1 g de graphite. ii. Lors de la décharge, chaque atome de lithium peut libérer un électron. Déterminer la charge électrique maxi- male qmax que peut délivrer l'électrode de graphite lithié par gramme de graphite, en C--g'1 puis en mA--h--g'1. II.B.2) L'électrode positive L'électrode positive est constituée d'un cristal d'oxyde de cobalt (0002) dans lequel des ions lithium s'insèrent pour former un cristal d'oxyde de cobalt lithié (Li0002). Lors de la charge, le cobalt s'oxyde pendant que les ions lithium se désinsèrent. Pendant la décharge, le cobalt est réduit pendant que les ions lithium s'insèrent. a ) En considérant que le nombre d'oxydation de l'oxygène dans 0002 et dans Li0002 vaut --II et que celui du lithium dans Li0002 est +I, déterminer le nombre d'oxydation du cobalt dans 0002 et dans Li0002. Identifier l'oxydant et le réducteur dans le couple 0002 / Li0002. () ) Écrire la demi-équation qui se produit a cette électrode lors de la charge en tenant compte de l'insertion des ions lithium. II.B.3) Écrire l'équation bilan du fonctionnement de l'accumulateur lors de la charge et lors de la décharge. II.B.4) Le document de présentation de l'Hyperloop indique que la batterie lithium--ion utilisée devra fournir une puissance de 328 kW au compresseur pendant une durée de 45 minutes. La masse totale de cette batterie est de 1500 kg. (1 ) Déterminer l'énergie nécessaire au fonctionnement du compresseur pendant le trajet (en joule) puis convertir cette énergie en watt heure. b ) Déterminer la puissance massique que doit pouvoir fournir la batterie prévue, c'est-à-dire la puissance fournie par kg de batterie. c ) Déterminer l'énergie massique que doit pouvoir emmagasiner la batterie. d ) La figure 5 présente les puissances et énergies massiques accessibles en fonction des différentes technologies d'accumulateurs. 10000! %a==--*%æ= ___--__-- ......--..._---- m Li-ion , ___--= ... HIghPUMI' ÀQO-fi'l _ ___ 1-- _-- Speci ic Power, Wlkg % _ ? "â ..\ CD Lllll II"..." ll---iulÊ'" ' Ill""" 'Illlllllllllllllrtl lllllllllllllluw _L C: N O 40 60 80 100 120 140 Specific Energy, Whlkg â 180 Figure 5 Puissance massique en fonction de l'énergie massique pour différentes technologies d'accumulateurs5 5 d'après NASA/TM 2003 212730 (http: //ntrs .nasa. gov/archive/nasa/casi .ntrs .nasa. gov/20040010319 . pdf) 2015-04-24 09:23:13 Page 5/8 [_ Existe-t-il une technologie d'accumulateur compatible avec les indications données par le document de présen- tation. Si oui, laquelle ? II.C -- Le choiæ de l'électrolyte II.C.1) a ) Écrire la réaction entre le lithium et l'eau. () ) Justifier que cette réaction est très exothermique. c) Justifier pourquoi on doit choisir un électrolyte non aqueux dans un accumulateur utilisant le lithium. II.C.2) Dans les accumulateurs au lithium, on utilise des électrolytes organiques non aqueux. Un électrolyte couramment utilisé est constitué de sel de lithium LiPF6 dissous dans un mélange de solvants organiques. La mesure de la conductivité de cet électrolyte donne les résultats consignés dans le tableau 1. T ... ... a(ms--cm-l) 5 6,3 7,6 9,1 10,4 Tableau 1 Conductivité du LiPF6 On souhaite comparer sa conductivité à celle d'un électrolyte aqueux couramment utilisé, le chlorure de potas- sium KCl à 3 mol-L'1, complètement dissocié. La conductivité d'une solution peut être déterminée à l'aide de la loi de Kohlrausch : a = 2 À,--[c],-- où a est la conductivité de la solution, À,-- la conductivité molaire ionique 'L des ions et [c], leur concentration. Déterminer la conductivité du chlorure de potassium. La comparer à celle de l'électrolyte étudié à 25 °C. L'élec- trolyte utilisé est--il bon conducteur ? III La propulsion de la capsule Il est prévu d'assurer les accélérations et freinages de la capsule par un moteur linéaire à induction. Ce moteur est constitué d'un stator, fixe par rapport au tube et produisant un champ magnétique variable et d'une partie mobile, appelée «rotor», solidaire de la capsule (cf figure 7). Dans ce moteur, le «rotor» ne suit pas un mouvement de rotation, mais un mouvement de translation dans la direction du tube. III.A -- Production du champ magnétique Le champ magnétique est produit par des paires de bobines disposées de part et d'autre du rotor. En première approximation, on peut considérer que ces bobines sont assimilables à des solénoïdes infinis. III.A.1) On considère un solénoïde infini, d'axe Oz, de rayon @, comportant n spires par unité de longueur, parcouru par un courant lentement variable d'intensité i(t). On admet que l'on peut travailler dans le cadre de l'approximation des régimes quasi permanents. On considère que le champ magnétique créé à l'extérieur du solénoïde est nul. a ) Énoncer le théorème d'Ampère. b) Établir l'expression du champ magnétique créé à l'intérieur du solénoïde. On notera BD le module de ce champ. III.A.2) Pour produire le champ statorique, on dispose régulièrement le long du tube des paires de solénoïdes en inversant le sens du courant à chaque changement de paires de solénoïdes. Ce dispositif permet de créer un champ magnétique dirigé selon üz dont la représentation graphique est donnée figure 6. Z A axe des solénoïdes Bo ç,4 axe du tube Oy À/2 oe _ Bo Solénoïdes 1 Solénoïdes 2 Solénoïdes 3 Figure 6 2015-04-24 09:23:13 Page 6/8 [_ Le champ produit possédant une périodicité spatiale, il est possible de le décomposer en somme de fonctions _» 4B 27T _, s1nus01dales. En ne conservant que le prem1er terme de cette somme, on peut ecrire B(oe) = --0 sm (--oe uz. 7r À Le courant circulant dans les solénoïdes varie lentement de façon périodique i(t) = 10 cos(wt). 4u0n10 a) Exprimer Ë(oe,t). On pourra poser 36 = . 7r () ) Montrer que B(oe, t) peut s'écrire comme la superposition de deux ondes progressives circulant en sens inverse. Donner l'expression de ces deux ondes, préciser leur sens de propagation, leur vecteur d'onde et leur vitesse de phase. III.A.3) Pour le moteur étudié, on doit éliminer l'onde progressant selon --ûæ. Pour cela, on va remplacer chaque paire de bobine par trois paires, décalées spatialement de À/ 3 et alimentées par des courants déphasés de 27r/3. Rotor (lié à la capsule) Stator (lié au tube) Figure 7 Moteur linéaire à induction6 Le champ produit est alors la superposition des champs produits par les 3 paires et s'écrit --» , _ 27r 27r . 27r À 47r _ 27r 2À _, B(oe,t) = B0 (cos(wt) s1n (Îoe) + cos (cut -- ?) sm (Î (a: -- EUR)) + cos (cut -- ?) s1n (ï(x -- ?)))uz Montrer que le champ résultant peut s'écrire comme une onde progressive unique se propageant selon ûæ. Préciser l'amplitude de cette onde. III.B -- Force s'eæerçant sur le rotor Le rotor, solidaire de la capsule, peut être modélisé par une spire filiforme carrée de côté 1 << À et de résistance R. Cette spire est située dans le plan Oxy de la figure 6 et se déplace à la vitesse 5 = vü,c selon l'axe du tube. Initialement, le centre C de la spire est en a: = O. III.B.1) En considérant pour cette question que le champ magnétique créé par le stator est uniforme à l'échelle de la spire, de valeur sa valeur en C , évaluer le flux de ce champ à travers la spire que l'on orientera préalablement sur un schéma. III.B.2) Déterminer la force électromotrice induite @ dans le rotor en tenant compte du choix d'orientation. III.B.3) Déterminer l'équation électrique décrivant l'évolution du courant induit circulant dans le rotor. En déduire l'expression du courant induit i(t) en régime sinusoïdal établi. III.B.4) En conservant l'expression de i(t) obtenue à la question précédente mais en ne considérant plus que le champ magnétique est uniforme à l'échelle de la spire, déterminer la résultante des forces de Laplace s'exerçant sur le rotor ainsi que sa valeur moyenne. d'après http: //www . teslamotors . com/sites/default/files/blog_attachmentS/hyperloop_alpha3 . pdf 2015-04-24 09:23:13 Page 7/8 [_ III.B.5) La capsule peut-elle démarrer par l'action de cette seule force ? III.B.6) Que faut-il faire si l'on souhaite freiner la capsule à l'aide de ce système ? Données et formulaire Conversion 1 bar = 1 >< 105 Pa Constante des gaz parfaits R = 8,31 J -K_1-mol_1 Constante d'Avogadro Na = 6,02 >< 1023 mol"1 Charge électrique d'un électron qe : --1,60 >< 10"19 C Pression atmosphérique Po : 1,00 >< 105 Pa Masse molaire de l'air Mair = 28,8 g--mol"1 Capacité thermique massique à pression constante de l'air cpm = 1,00 >< 103 J --K_1--kg_1 Coefficient 7 pour l'air 7 : cp/cv = 1,40 Capacité thermique massique de l'eau liquide ce... : 4,18 >< 103 J --K_1--kg_1 Enthalpie massique de vaporisation de l'eau le = 2,25 >< 106 J -kg"1 Capacité thermique massique de la vapeur d'eau ce,, : 1,85 >< 103 J -K"1-kg_1 Capacité thermique massique à pression constante du dihydrogène cp(H2) : 14,2 kJ--K"1--kg_1 Masse molaire du dihydrogène M H2) : 2,02 g--mol'1 ( Masse molaire du lithium (Li : 6,94 g--mol"1 (C) = 12,0 g--mol_1 (O) = 16,0 g--mol"1 Conductivités molaires à 25°C ÀK+ = 7,35 mS-m2--mol_1 M Masse molaire du carbone M Masse molaire de l'oxygène M Données thermodynamiques a 298 K Enthalpie standard de formation AfH° (kJ--mol--1) Trigonométrie sin(a + b) + sin(a -- b) = 2sin(a) cos(b) sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) sin(a -- b) = sin(a) cos(b) -- cos(a) sin(b) oooFlNooo 2015-04-24 09:23:13 Page 8/8 [_