Centrale Physique et Chimie 1 PSI 2020

Physique-chimie 1

T

PSI
CONCOURS CENTRALE-SUPÉLEC 4 heures Calculatrice autorisée

2020

Stockage d'énergie par pompage
thermique (procédé SEPT)

Certaines questions peu ou pas guidées, demandent de l'initiative de la part du 
candidat. Leur énoncé est repéré
par une barre en marge. Il est alors demandé d'expliciter clairement la 
démarche, les choix et de les illustrer,
le cas échéant, par un schéma. Le barème valorise la prise d'initiative et 
tient compte du temps nécessaire à la
résolution de ces questions.

Dans le contexte actuel, la problématique de la gestion des ressources 
énergétiques est devenue un enjeu écono-
mique majeur. Il est particulièrement important de disposer de moyens de 
stockage d'énergie qui permettent une
meilleure utilisation des sources d'énergie maitrisables comme les centrales 
thermiques, mais aussi des sources
intermittentes comme les éoliennes ou les centrales solaires. Dans ce contexte 
et devant les défis posés par la
protection de l'environnement, les moyens de stockage existants risquent de 
devenir insuffisants pour intégrer
davantage d'énergies intermittentes dans la production électrique. Cette 
limitation explique un intérêt récent
pour les technologies de stockage.

Ce sujet concerne un nouveau procédé de stockage d'énergie à échelle 
industrielle, le procédé SEPT (Stockage
d'Électricité par Pompage Thermique), breveté en 2007. L'énergie est stockée en 
modifiant, à l'aide d'une
machine thermique, la température de deux échangeurs de grande taille appelés 
regénérateurs. La machine peut
fonctionner en pompe à chaleur ou en moteur thermique.

I Analyse thermodynamique du procédé SEPT

La machine est constituée de deux turbomachines, pouvant fonctionner en 
compresseur ou en turbine et assurant
la circulation d'un gaz caloporteur (de l'argon) entre deux enceintes. Les 
enceintes contiennent un solide divisé
(céramique réfractaire, galets de basalte.....) qui échange de l'énergie 
thermique avec le gaz caloporteur. La
machine comprend également un convertisseur électromécanique réversible pouvant 
fonctionner en moteur ou
en générateur. On passe de la phase de stockage à celle de déstockage en 
changeant le sens de circulation du
fluide caloporteur (figures 1 et 2).

En mode stockage d'énergie (figure 1), le cycle fonctionne en pompe à chaleur, 
consommant de l'énergie d'origine
électrique pour transférer de l'énergie thermique depuis une enceinte basse 
pression B vers une enceinte haute
pression H. Ces enceintes sont des régénérateurs (échangeurs thermiques 
gaz-solide), au travers desquels passe
le gaz caloporteur, entrainé par une paire de turbomachines reliées à un moteur 
électrique.

--+

ON
--
Dons P8

T;, Py

T3, Ps

turbine

moteur

Figure 1 Fonctionnement en mode stockage d'énergie

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TA --  Schématisation simplifiée du procédé

On schématise le dispositif de façon très simplifiée en considérant que les 
enceintes basse et haute pression sont
des sources de chaleur, de températures respectives T et T}; uniformes et 
constantes, avec T°}, > T. Le cycle
des transformations subies par le gaz caloporteur est alors un cycle ditherme.

Q 1. En phase de stockage, la machine fonctionne comme une pompe à chaleur. 
Définir le coefficient de
performance d'une telle machine et déterminer sa valeur maximale, en précisant 
à quelles conditions cette valeur
maximale est atteinte (théorème de Carnot).

Q 2. En phase de déstockage (figure 2), la machine fonctionne comme un moteur 
thermique. Définir l'effica-
cité de ce moteur et déterminer sa valeur maximale en précisant dans quelles 
conditions cette valeur maximale
est atteinte.

fe turbine
\ _

Load; PB \T,, Py
B H
nu )) L6a: Pr

T3, PB

? La

générateur

Figure 2 Fonctionnement en mode production d'énergie

Q 3. Montrer que, dans les conditions de validité du théorème de Carnot, 
l'énergie stockée peut être inté-
gralement récupérée.

Q 4. Dans un diagramme (1",s), représenter les cycles de Carnot pour les phases 
de stockage et de désto-
ckage.

I.B - Étude de la phase de stockage

On s'intéresse désormais à une modélisation plus réaliste de la machine dans 
laquelle on tient compte des
inhomogénéités de température dans les enceintes. Celles-ci sont tellement 
grandes que l'on peut considérer que
leur température est indépendante du temps.

Le gaz pénètre dans l'enceinte H à la température 7, -- 1273 K et en sort à la 
température 74, = 293 K.
Après décompression dans la turbine, il pénètre dans l'enceinte B à la 
température T, = 203 K et en sort à la
température 7,,, = 773 K.

Les irréversibilités dues aux turbomachines ont un impact important sur le 
rendement du stockage. Le gaz
neutre utilisé est de l'argon assimilé à un gaz parfait, de cocfficient 
isentropique + = 1,67, de masse molaire
40,0 g:mol * et de capacité thermique massique C,- I décrit un cycle de Brayton 
constitué d'une évolution
isobare dans chaque enceinte (B et H) reliées par deux transformations 
adiabatiques lorsque le gaz traverse le
compresseur et la turbine (figure 3).

Q 5. Reproduire schématiquement le cycle isentropique de la figure 3 en 
identifiant les éléments traversés
par le fluide dans chaque étape du cycle.

On note w, le travail massique réellement échangé par le fluide avec les 
parties mobiles du compresseur et w.... le
travail idéal correspondant en supposant la compression isentropique. De même, 
on note w, le travail massique
réellement échangé par le fluide avec les parties mobiles de la turbine et w,., 
ce travail idéal dans les conditions
isentropiques. On définit le rendement par rapport à l'isentropique du 
compresseur et de la turbine par

W.. : w
__ 7'cis EL t
Îles -- et Ms -- °
We Wtis
Q 6. Comparer T°, la température réelle en sortie de compresseur et 7°, cette 
température dans les condi-

tions isentropiques. Justifier.

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cycle isentropique --_T,
1200 cycle réel [ Ti
1000
800 T,.
9
Fe
600
400
Ton
TL; \
T, : AUVU
200 300 400 900 600 700 800 900 1000 1100
s (J-kg" K--)
Figure 3
Q 7. On note h,4, hu, he et h. les enthalpies massiques réelles du fluide en 
entrée et sortie de la turbine

et du compresseur et h.,.,, et hu les enthalpies massiques du fluide en sortie 
de la turbine et du compresseur

en supposant les conditions isentropiques. Montrer que

_ hicis EE Rec ' _ he EE ha
Tes h _ h EUR Ts h in h

SC ec et st is

L'objectif de la suite de cette partie est de montrer la nécessité de deux 
paires de turbomachines (celles en
stockage ne peuvent pas être utilisées en déstockage) ct de déterminer le 
rendement théorique du procédé

SEPT.

1--1/7
P
On note Y -- (ou)
PB
Q 8. En utilisant les rendements par rapport à l'isentropique des deux 
turbomachines lors du stockage,

exprimer les températures 7} et 7, en fonction de T4, T2, V, nm. et Ms.
On définit l'énergie massique e, mise en jeu lors du stockage par e, = c, (Ti 
-- To) + (T3 -- Ton)):

Q 9. Justifier cette expression.
Q 10.  Exprimer e, en fonction de 75,,, 13, V, mn. et ms.
Q 11. Calculer la valeur numérique de e, avec T,,, = 293 K, T,,, = 773 K, nn. = 
17, = 0,96 et Y = 1,55.

I.C -- Positionnement du procédé SEPT par rapport aux autres modes de stockage

Parmi les autres modes de stockage d'énergie, on peut citer l'hydraulique 
gravitaire, l'air comprimé électrique-
ment (procédé CAES), les batteries, le stockage magnétique d'énergie (procédé 
SMES) ou encore le stockage
d'hydrogène (utilisable par exemple dans les piles à combustibles). La figure 4 
positionne ces divers modes de
stockage en termes de puissance et de capacité énergétique.

Q 12. Comparer le procédé SEPT aux autres méthodes de stockage d'énergies 
présentées dans la figure 4.
Q 13. Déterminer un ordre de grandeur du debit massique d'argon dans une 
installation SEPT typique.

La porosité EUR, dont l'influence sur le stockage sera étudiée ultérieurement, 
correspond au rapport du volume
occupé par le fluide sur le volume total de l'enceinte. Le projet SETHER de 
l'agence nationale de la recherche
prévoit la réalisation d'un prototype d'installation SEPT pour laquelle le 
volume total des enceintes de 10 mètres
de hauteur serait V. = 20 000 m°.

Q 14. En prenant pour masse volumique de l'argon px, = 1,8 kg-m * et une 
porosité EUR = 40%, déterminer
la masse totale d'argon dans cette installation, en négligeant la masse d'argon 
contenue dans les canalisations

qui relient les enceintes entre elles.

Page 3/10 CITES

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107
1010
Hydraulique gravitaire
10°
10$

107 (CSMES ) CAES

10° Batteries

SEPT

Puissance (W

10°

104 Co) Hydrogène

10°
109 101 102 10? 107 10° 105 107 10 10? 1019  10!1

Capacité (W:-h)

Figure 4

Q 15. Déterminer un ordre de grandeur de l'éncrgie massique que peut stocker 
une batterie automobile d'une
masse de 10 kg et d'une capacité de 50 A-h sous 12 V (figure 5) et comparer à 
l'éncrgie massique stockée par
une installation SEPT typique. La masse volumique du solide emplissant 
(incomplètement) les enceintes sera
prise égale à 2,5 x 10° kg-m *.

Figure 5

I.D - Étude de la phase de déstockage

La figure 6 présente les deux cycles de stockage et de déstockage. Les débits 
massiques d'argon sont supposés
identiques lors des deux phases.

En déstockage, le gaz circule dans le sens opposé de celui du stockage, ce qui 
était une compression de T,,, à 7°
lors du stockage devient une détente de 7°, à Toy.

Q 16. Montrer que
y--1 ms -- Y)
Ta =T 1 1 + = ----_----
4 s | Y Ted ) | " ÿ

y--I ati -- Y)
Lo =T 1 1 +
2d m ( + n | | + ÿ

(

où 7,4 Et #4 Sont les rendements par rapport à l'isentropique du compresseur et 
de la turbine pendant la phase
de déstockage.

Q 17. Montrer que 744 2 16, et que Toy 2 To.
Q 18. Dans quels cas aurait-on toujours T4 = 16, et 54 = T5, ? Cela est-il 
réaliste ?
Q 19. À chaque cycle de déstockage. la température du gaz à la sortie des 
enceintes doit augmenter, ce qui

échauffe le matériau des enceintes. Proposer une solution pour évacuer 
l'excédent d'énergie en ramenant la gaz
à sa température nominale.

Industriellement, afin de simplifier l'évacuation de l'excédent d'énergie, on 
impose généralement 7,4 = T3.

Q 20. Montrer qu'il y a nécessité d'avoir un rapport de pression isentropique 
en stockage Y différent de celui
en déstockage Y,, et donc d'utiliser deux paires de turbomachines (compresseur 
et turbine) différentes.

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déstockage TT,
1200 stockage F1
1000 Le
800 L | _ 12a
Es 7 y
600 A
TT 24
400 LT A7
L6a LT A
Ton TT LT 7
\ 7
La 260
200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100
S (J-kg KT)
Figure 6
Q 21.  Exprimer Y, en fonction des rendements 7. et m4 et de Y. Vérifier le 
résultat obtenu sur un cas
limite.
Q 22. Comparer les rapports de pression au déstockage et au stockage.
Q 23. Par la même méthode qu'à la question 10, exprimer e,, énergie massique 
mise en jeu lors du déstockage.

Le rendement théorique du procédé SEPT est défini par L --
e

$

La température 1° étant limitée par la température maximum que peut supporter 
la turbomachine pour laquelle
le fluide évolue entre 7° et T,,, il est intéressant d'étudier le rendement 
théorique en fonction de celle-ci. La figure 7
représente les tracés du rendement théorique du procédé SEPT en fonction de 7 
pour différentes valeurs de 7,
rendement isentropique supposé égal pour les quatre machines et pour 7,,, = 300 
K et Y = 1,55.

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1 n = 1
n = 0,98
n = 0,96
7 = 0,94
0,9 7 = 0,92
n = 0,90
n = 0,88
0,8 n = 0,86
7 = 0,84
_ 0,7 7 = 0,82
mn = 0,80
0,6
0,5
0,4
100 200 300 AOÛ 200 600 7OÙ 800 900 1000 1100 1200 1300
T; (°C)
Figure 7
Page 5/10 (GO) sY-Nc-sA
Q 24. À quelles conditions peut-on obtenir un rendement théorique de 90% en 
supposant que la turboma-
chine chaude ne peut pas dépasser 1000 °C ?

Q 25. Montrer que le choix des turbomachines nécessite un compromis entre 
rendement isentropique et
résistance aux températures élevées.

Q 26. Le rendement théorique étudié précédemment correspond à la limite 
supérieure du rendement réel
puisqu'il ne prend en compte que les pertes liées aux irréversibilités des 
turbomachines. Citer d'autres facteurs
susceptibles d'expliquer la différence entre le rendement réel et le rendement 
théorique.

IT Analyse de quelques caractéristiques des régénérateurs

Le régénérateur est un dispositif de stockage d'énergie thermique et son 
fonctionnement comprend deux périodes.
Pendant la période « chaude », le gaz chaud circule et se refroidit au contact 
des parois solides ce qui correspond
à un stockage de chaleur. Pendant la période « froide », le gaz froid circule 
et se réchauffe ce qui permet la
récupération de la chaleur stockée.

IT. À -- Influence de la porosité du milieu

La porosité EUR est le rapport du volume occupé par le fluide sur le volume 
total de l'enceinte solide. On peut
montrer que l'efficacité du stockage thermique augmente avec la porosité du 
régénérateur jusqu'à une valeur de
porosité de l'ordre de 50% qui correspond à un optimum.

On s'intéresse à un régénérateur solide à milieu granulaire que nous 
modéliserons de manière simplifiée comme un

empilement de sphères identiques. On considère deux modes d'empilement : 
cubique et cubique à faces centrées
(figure 8).

Structure Structure
cubique cubique à
faces centrées

Figure 8

Q 27.  Exprimer puis calculer la porosité théorique de chaque structure. 
Pourquoi dit-on que l'empilement
cubique à faces centrées est un empilement compact ?

Q 28. Quel mode d'empilement serait le mieux adapté au remplissage d'un 
régénérateur ?

En réalité, lorsque les sphères sont empilées dans l'enceinte sans précautions 
particulières, il n'apparait aucune
périodicité, l'empilement est aléatoire et la porosité est comprise entre 0,36 
et 0,40.

II.B --- Influence d'autres paramètres

II.B.1) Fronts thermiques et influence du coefficients d'échange
La partie TI a étudié le régime établi de l'installation, mais celle-ci a besoin
d'un certain nombre de cycles de stockage et de déstockage « transitoires »

avant d'atteindre un régime périodique stabilisé (figure 10). T
En effet, en mode stockage, l'enceinte H, initialement à la température uni-

forme T,,, est alimentée en gaz chaud à T°, par le haut et se réchauffe progres-

sivement du haut vers le bas. Une zone de transition existe, se traduisant Front

par une variation progressive de 77 à 7,. Cette zone est appelée « front
thermique » (figure 9).

thermique

Un modèle développé par T.E.W. Schumann permet d'obtenir les profils de 26
température à l'intérieur de l'enceinte. Les courbes de la figure 11 donnent
les températures du fluide et du solide granulaire en fonction de z, posi- z
tion verticale dans l'enceinte, à différents instants et pour deux valeurs du 10

. | . )
coefticient conducto-convectif À entre ces deux milieux.
Figure 9

Q 29. D'après les courbes de la figure 11, comment varie la différence de 
température entre le fluide et le
solide avec h ? Commenter.

Q 30. Expliquer, à l'aide de la figure 11, qu'un coefficient d'échange À plus 
élevé permet d'arrêter le stockage
plus tard et donc de stocker d'avantage d'énergie dans le régénérateur.

2020-02-11 12:17:07 Page 6/10 CERTES
1000

O
énergie stockée
900 e .000000000000000000000
e es .° e ©
=
Z 800
À .
2
E0
= (00
=
jes O
. énergie déstockée
600 000000 00000000000000000000e
500
0 10 20 30 40
Nombre de cycles
Figure 10
800
700
600
9
EF
900Û
400
300
800
700
600
9
F
500
400
300
Figure 11
Q 31.  Rappeler à quelles conditions un échange thermique entre un fluide (de 
température T'}) et un solide

(de température T°.) peut être considéré réversible. Quelle devrait être la 
valeur de À pour que l'entropie créée
lors du transfert gaz-solide soit nulle ?

2020-02-11 12:17:07 Page 7/10 CEE
II.B.2) Influence de la largeur des enceintes

On considère pour cette question une enceinte ayant la forme d'un 
parallélépipède rectangle de base carrée, de
largeur Z, et de hauteur Æ,. La figure 12 présente l'évolution du rendement de 
l'installation en fonction de la
largeur des enceintes.

0.6

FE 0,5 HT

Y 0,4 +
"1, 20 25 30 35 40 45

EUR

Figure 12 Rendement avec enceinte parallélépipédique

Q 32. Expliquer l'évolution du rendement en fonction de Z,..

II.B.3) Influence du débit massique de gaz

La figure 13 présente l'évolution du rendement d'une installation SEPT en 
fonction du débit massique du gaz.

0.6
0,55 + +
T4
Eu +
0,5 To
0,45
0,5 1 1,5
D,

Figure 13 Rendement en
fonction du débit du fluide

Q 33. Expliquer l'évolution du rendement avec le débit du gaz.

II.C - Évolution thermique des enceintes pendant les pauses

Une installation SEPT devra quotidiennement stocker et déstocker de l'énergie à 
des moments de la journée
bien précis déterminés par l'évolution journalière du coût de l'énergie 
électrique (figure 14).

Prix de l'électricité

70
60
JÙ

déstockage
40

EUR/MW:h

30

20
stockage

10

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

heure

Figure 14 Phases quotidiennes de stockage et déstockage dans une installation 
SEPT

Entre ces périodes, le système est à l'arrêt pendant quelques heures et on 
observe une diffusion thermique
axiale (selon Oz) qu'on se propose d'évaluer afin de déterminer s'il est 
nécessaire de la prendre en compte dans
l'efficacité globale du procédé.

2020-02-11 12:17:07 Page 8/10 (CHE
On considère l'enceinte de la figure 12 de largeur L, = 10 m, pendant une 
période d'arrêt de durée At = 24h.
Les matériaux réfractaires sont de porosité EUR = 44%, de conductivité 
thermique À = 0.03 W:m !-K {et affichent

dT
un gradient thermique uniforme ---- = 200 K-:m !.

dz
Q 34. Évaluer un ordre de grandeur de l'énergie thermique diffusée axialement 
et la comparer à l'énergie
interne de cette enceinte U = 1.7 x 1012 J. Conclure.

IT.D -- Notions sur les modèles de conductivité effective d'un milieu poreux

L'étude précédente nécessite une connaissance de la conductivité thermique À du 
milieu poreux. La conductivité
thermique d'un tel système, dite conductivité thermique effective, intègre 
logiquement dans sa définition, les
paramètres primaires que sont les conductivités thermiques intrinsèques des 
particules solides À, et du gaz À,
(A, > À,) ainsi que le rapport volumique entre ces deux phases, représenté par 
la porosité EUR.

Quel que soit le modèle utilisé pour calculer la conductivité thermique 
effective d'un milieu granulaire, celle-ci
est toujours comprise entre deux valeurs extrêmes, À,,,, et À... Une situation 
limite correspond à un milieu où
le vecteur densité de flux de chaleur est perpendiculaire aux strates (modèle 
série, figure 15). L'autre situation
limite correspond à une disposition des strates parallèle à la direction de la 
densité du flux de chaleur (modèle

parallèle, figure 15).
Flux thermique

l--E EUR
*------à>
À 1--E
On |
À9 É
Mode parallèle Mode série

Figure 15

Q 35.  Exprimer les conductivités dans les deux situations limites en fonction 
de EUR, À, et À,. Valider les
expressions obtenues en considérant des cas limites.

Q 36. Montrer que l'une de ces deux expressions limites est toujours supérieure 
à l'autre. Déterminer À,;,
et À nax:

On donne, pour l'argon À, = 0,018 W:m !.K°t et pour le sable utilisé & = 0,47 
et À, = 0,40 W:m !-K°1.

Q 37. Calculer les valeurs numériques de À,,, et À.

IT.E --- Mesure de la conductivité thermique effective du milieu granulaire 
utilisé pour les en-
ceintes du procédé S.E.P.T,

On place un fil métallique, de rayon r, au centre d'un bloc du matériau à 
étudier (sable et argon) de façon
à ce qu'il le traverse verticalement. Le fil est relié à une alimentation 
électrique qui lui fournit un échelon de
courant. On relève au cours du temps la variation de la résistance électrique 
du fil, ce qui permet de déterminer
sa température.

On modélise ce dispositif par un fil de longueur infini plongé dans un espace 
totalement rempli du matériau
à étudier. L'ensemble est initialement à la température uniforme 71. À partir 
du temps t = 0, on applique
l'échelon de courant et le fil produit un flux thermique constant par unité de 
longueur &,. On suppose que les
transferts thermiques s'effectuent seulement par conduction. Le matériau est 
incompressible, de masse volumique

constante p, de conductivité thermique À et de capacité thermique massique c,,.

On admet que la répartition de température dans le matériau présente une 
symétrie cylindrique autour du fil
électrique. On se place donc en coordonnées cylindriques (r,0,z) en prenant le 
fil comme axe, autrement dit,
r = 0 correspond au centre du fil.
Q 38. Établir l'équation différentielle vérifié par T'(r,t), la température du 
matériau en fonction du temps.
On pourra introduire la diffusivité thermique du matériau définie par à = --.

PC»
Q 39. À un instant t donné, quelle est, en ordre de grandeur, la longueur 
caractéristique de variation de la
température avec r ?
La résolution de l'équation précédente nécessite d'exprimer la condition limite 
sur la surface du fil chaud
en FT = To.

OT
Q 40.  Exprimer --
Or

(ro.t) en fonction de À, ro, et @7.

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Compte tenu de cette condition limite et si on néglige le rayon du fil devant 
la longueur caractéristique de
variation de la température avec r, la solution de l'équation de la question 38 
s'écrit

+00
2 --U
Pr T e
T{r,t)=1,+---