Centrale Physique et Chimie PSI 2004

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Du silicium à la commande des machines électriques

La révolution technologique qu'a représenté le développement de la 
micro-électronique et
de l'informatique depuis les années 1960 a soudainement montré l'importance du 
sili--
cium, un élément chimique jusque-là connu des seuls spécialistes. L'avènement 
de compo--
sants d'électronique de puissance performants (IGBT,1985), et de processeurs 
dédiés au
traitement du signal (DSP, 1982), ont redéfini le domaine de la variation de 
vitesse des
machines électriques. Le problème aborde divers aspects de cette évolution.

Partie I - Obtention du silicium

Les données thermodynamiques utiles sont fournies à la fin de cette partie
(Tableau 1).

LA - Obtention de silicium de qualité métallurgique

I.A.1) Rappeler en quoi consiste l'approximation d'Ellingham, et ses consé-
quences.

I.A.2) Donner les équations des droites d'Ellingham, relatives à une mole de
02 , pour les couples COz/CO, CO/C et SiOz/Si, pour 1500K < T < 2500K. Tra- cer le diagramme correspondant. On prendra pour échelle 1 cm pour 100 K, 1 cm pour 50 k] mol1 I.A.3) Un mélange de coke C et de silice Si 02 est placé dans un four à arc, sous 1 bar. a) À quelle température minimum TO doit-on porter le milieu réactionnel pour former du silicium ? Sous quelle phase est-il obtenu ? b) Quel est le gaz formé dans cette réaction. '7 Évaluer le volume de gaz dégagé à To pour produire 1 tonne de silicium, ainsi que la quantité minimale néces- saire de silice et de coke. LB - Obtention de silicium de qualité électronique. Le silicium obtenu précédemment comporte environ 2 % d'impuretés (fer et alu- minium sous forme métallique essentiellement). I.B.1) À 580 K , ce silicium impur est placé dans un courant gazeux de H Cl , en présence d'un catalyseur. Discuter la formation de FeCl3 , SiCl4 , SiHCl3 en phase gazeuse, en justifiant. Peut--on conclure quant à la présence de AlC'l 3( g) en phase gazeuse ? I.B.2) La phase gazeuse précédente est condensée à l'état liquide, puis portée à une température d'environ 350 K . Justifier cet ordre de grandeur de tempéra- ture. Une distillation fractionnée permet par la suite d'isoler le trichlorosilane (SiH Cl3) . Celui-ci est ensuite réduit : l300K Sich3 + H2 ---> Si + 3HCl

Le silicium obtenu est pur à 99,98 %.
a) Calculer la constante d'équilibre de la réaction à 1300 K .

b) En déduire le Coefficient de dissociation de SiH Cl3 , à pression atmosphéri-
que, si les réactifs sont introduits dans les conditions stoechiométriques.

c) Quelle est l'influence d'une augmentation de température sur cet équilibre ?
Justifier.

I.B.3) Le silicium ainsi obtenu doit encore être purifié pour la fabrication de
circuits électroniques. Une technique de recristallisation (méthode de Ozo-
chralski) permet d'obtenir un lingot monocristallin (1 défaut pour 1012 atomes).
Le silicium cristallise dans la structure diamant : c'est une structure cubique 
à

face centrée dans laquelle un site tétraédrique sur deux est occupé. Déterminer,
en notant a le paramètre de maille :

a) la coordinence des atomes de Si .

b) le nombre d'atomes de Si par maille.

c) le rayon covalent de l'atome de Si , noté rSi .
d) la compacité de la structure.

e) Application numérique. Données pour Si :

M = 28, 1g.mor', u = 2330 kg.m"3, % = 6, 02- 1023mol"1.

Calculer a et rSi'

Données thermodynamiques :

Tableau 1 :

Composé
(état de réfé-
rence)

. --1
___----
---u---
___"-
---m_-
___----
--------
___---
-------

___"-
-um--
......
___--m-

Ébullition de
SiHCZ3 (gaz) -490 310 SiHCZ3 (liquide):
305K

M=28,11g.m011--1 160gmol ;:C M: 12,._10gmol
R=8,311.K...mo]

AfH 0(298 K ) Température de

changement d'état

kJ.mor'

Partie II - Diode

II.A - Semi-conducteurs

Dans un cristal de silicium, la rupture d'une liaison Si --Si libère un 
électron,
qui laisse derrière lui un « trou » (absence de liaison). La conduction 
électrique
est assurée par les électrons (charge ---e , concentration volumique n ), et 
par les
« trous » o+ (charge +e , concentration volumique p ). L'équilibre de la 
réaction
Si : e'+o+ se traduit par np : Ki.

II.A.1) Silicium intrinsèque. À 330K , K ,- = 1,4 - 1032 m"6 . En tenant compte 
de
la neutralité électrique du métal, déterminer la concentration ni d'électrons de
conduction. Sachant que, dans le cuivre, chaque atome libère un électron

de conduction, justifier que le cuivre soit meilleur conducteur que le silicium.

Données pour Cu : M = 63, 5 g.mol_l , masse volumique M = 8900 kg.m'3.

II.A.2) Silicium dopé N . Dans le cristal de silicium, certains atomes de sili-
cium (Si , Z = 14) sont remplacés par des atomes d'arsenic (As , Z = 33 ), à 
rai-

3
son de ND par m .

a) Ecrire les configurations électroniques de ces deux atomes et en déduire que
l'arsenic joue le rôle de donneur d'électrons.

b) En déduire que n -- N D et p « nÎ/ND à l'équilibre, en supposant N D » ni , 
où
"i représente la concentration d'électrons de conduction du silicium intrinsèque
(II.A.1). '

II.A.3) Silicium dopé P . Certains atomes de silicium sont remplacés par des
atomes de bore (B , Z = 5 ), à raison de N A par m3 .

a) Écrire la configuration électronique du bore et en déduire que le bore joue 
le
rôle d'accepteur d'électrons (ou donneur de trous).

b) En déduire que p =-- N A et n --- nÏ/NA à l'équilibre, en supposant N A » 
n,- .

II.B - Jonction PN non polarisée

Soit (figure 1) une jonction

N +P unidimensionnelle, N + P
constituée de silicium, dopée

N pour x < 0 et dopée P pour | x>0, avec ND>>NA>>ni. @ @! @
Dans la zone 2 (O Si. Les zones 1 et 3 sont
neutres.

II.B.1) Charge volumique p(x).
a) Montrer que dans la zone de déplétion p : --'-- eN A .

b) La jonction étant globalement neutre, on admettra l'existence d'une densité
surfacique de charge a dans le plan x = 0. Donner sa valeur. Expliquer physi-
quement son origine.

II. B. 2) Champ électrique E(x).
a) Montrer que E: E(x) ux.

b) Le silicium est un diélectrique de permittivité e . À partir d'une équation 
de
Maxwell, déduire une relation différentielle entre E(x) et p(x) .

II.B.3) Potentiel électrique V(x).

Rappeler la relation différentielle entre E(x) et V(x) .
II.B.4) E et V sont pris nuls dans la zone 1.

a) Montrer que E est aussi nul dans la zone 3.

b) Tracer sur le même graphe les courbes p(x) , E(x) et V(x) , en indiquant les
valeurs remarquables.

"II.C - Diode polarisée.

La jonction N +P est insérée entre deux conducteurs métalliques pour réaliser
une diode. Les courants qui circulent dans la diode sont des courants 
d'électrons
(concentration n(x) ). Les conducteurs métalliques imposent l'équilibre du 
sili--
cium aux limites : n(x_l)_ et n(xl) ont les valeurs calculées en II.A.2 et 
II.A.3.
E(x) reste nul dans les zones 1 et 3, (V est choisi nul dans la zone 1).

L'étude est menée en régime stationnaire.

II.C.1) Densité de courant électrique de conduction j--Z.
La vitesse des électrons suit la loi v : --nE (n est la mobilité des électrons).

Montrer que

_.) ->
Je = nn(x)eE(x)ux-

II.C.2) Densité de courant électrique de diffusion Z. Le coefficient de diffu-

sion des électrons est noté D . Montrer que

;; ___ eDdr&î£x)-->JÇ

--_> --_> --_>
Dans la suite on note jt : jtux : jc + jd la densité de courant totale.

II.C.3) Zones 1 et 3.
a) Montrer que la concentration n(x) suit une loi affine.
b) On note d : x1--x0 : --x_1. Calculer An : n(O)--n(x_l) : n(xl)--n(xo) en 
fonc-

tionde j,,D,e et d.

c) Application numérique : pour une diode typique, on donne : N D : 1024m'3 ;

NA = 102°m'3 ; D = 35 cm2--s"1 ; d = 10 nm ; J'; = --50 A°cm'2 ;
e =1,6-10--19C. ' '

Calculer la valeur de [Ani . Montrer que n(x) peut être considéré comme uni-
forme dans la zone 1, mais pas dans la zone 3.

d) En déduire n(O) et n(x0) , en fonction de N A, N D , n,-- et An.

II.C.4) Zone 2.
Justifier le fait que n(x) et V(x) soient continus en O et x0.

En admettant que | j dl » | j,] , montrer que n(x) : n(0)exp(KV$-ü) et exprimer 
VT
-- T
en fonction de D et n .

II.C.5) Caractéristique courant--tension: x .
a) On pose V J : 'V(x_l) --V(xl) . Exprimer les rela-- 'l--'--!<}-->
tions entre n(O), n(xo), VJ et VT puis entre n,, ___--__,

u .
N A , N D , An, V J et VT. Exprimer V JO , valeur de Figure 2

VJ pour An : 0.

b) En admettant que u = V Jo -- V J représente la tension aux homes de la diode
(figure 2), montrer que dans la zone 3 :

2
a = 2æî{I--expl

Que vaut j, dans les autres zones ?

c) Application numérique : VT : 25 mV, section de la jonction PN S : lcm2.

Calculer numériquement V Jo et les valeurs de l'intensité i du courant pour

u = --0, IV et u = O, 6V. Commenter. Représenter l'allure de la caractéristique
i(u) .

Partie III - Machine asynchrone

On cherche dans cette partie à développer pour cette machine un modèle équi-
valent à celui de la machine à courant continu.

III.A - Question préliminaire - Théorème de Ferraris

Soit un ensemble de p ( p 2 3 )vecteurs unitaires ïîxk (0 5 k < p ) du plan Oxy , tels que âx0 : âx'et Pour k>0, (âx(k--l),ü)xk) : 2112

p
o à . o \ 0 oo . \
SOI--t ud le vecteur un1ta1re tournant a la v1tesse Q comc1dant avec ïîx a t = 
0 :

îÏd : cos(Qt)üx+ sin(Qt)ïîy

On cherche à vérifier informatiquement la validité du théorème de Ferraris :

p--l

2 cos(Qt--%")ïîxk : %ïîd.
k=0

III.A.1) En précisant le langage de calcul formel utilisé, proposer un type de
données pour représenter un vecteur. Donner la représentation de iîx2, pour

p = 3 .
I_)II.A.2) Écrire une fonction u(k, p) renvoyant la représentation du vecteur
uxk.

III.A.3) Écrire une fonction s( p) renvoyant la représentation du vecteur

P"1 k
2 cos(Qt-- -2--JÏ) zÎxk.
k=0 p

III.A.4) Que doit renvoyer s(12) ?

III.B - Statori

Soit un ensemble de m bobines (m = 3 , sur la figure 3) dont les axes 0, ïîxk 
sont

perpendiculaires à Oz, et tels que (ïîx(k_ 1),iîxk) : 2--" pour 0 < k < m. La bobine m (k) est parcourue par un courant sinusoïdal de pulsation (us > 0 représenté en

notation complexe par :

. ' k
] st--2x--
I. : [Oe (°° ...),

algébrisé suivant le sens conventionnel représenté, avec I 0 réel positif.

III.B.1) Donner en notation complexe l'expression lÊ/_e du champ magnétique
créé en 0 par la bobine (k) en notant BO : k BIO son module.

III.B.2) En déduire que ces bobines créent un champ tournant Ê dont on don-
nera le module B , la vitesse et le sens de rotation et l'orientation à t = 0 .

III.C - Machine asynchrone

Une machine est constituée en pla--
çant une << cage d'écureuil » (figure 4 a), le rotor, entre les bobines fixes de la question III. B dans une zone ou B sera supposé uniforme. Le rotor est en rotation autour de l'axe Oz à la vitesse (Y) : oeîîz (oe est légèrement inférieur à oes ). Cette cage sera consi- dérée comme équivalente à n spires conductrices non jointives (n = 4 sur la figure 4 b). A t = 0, 0x0 et Ox' (lié au rotor) coïncident. La spire (0,0') est dans le plan vertical, orientée par üx' : âlx0 De façon générale, la spire (k, k') est orientée par le vecteur unitaire u' xk normal au plan la contenant et tel que u 'xk u' y z 0. L et R représentent l'inductance et la résistance d'une spire, S sa surface. On prendra l'inductance mutuelle entre les spires du rotor nulle pour simplifier. Enfin on pose m,. : .oes -- w et on se place dans le référentiel du rotor. 111.0. 1) À quelle vitesse la spire (O, O') « voit-elle » le champ B tourner. '7 III.C.2) Montrer qu'elle est parcourue par un cou- rant de pulsation oe, , dont on donnera l'amplitude complexe i() en fonction de: Figure 3 Figure 4 b III.C.3) En déduire sans calcul, pour la spire (k,k') , l'expression de ik en fonc- tion de £... k et" n. Dans toute la sî1ite, on pose AT,; : ikSu' xk, a _ ----kBS et xp: Arg(R+JLoe ) 4L _) III.C.4) Exprimer M ,, en notation réelle, en introduisant M et en posant : _n/2+1p (n),. t'=t III.C.5) En déduire soigneusement que le rotor se comporte comme un moment .) IÎÎ , tournant à la même vitesse que B , en. retard sur E de J%+w , et que _) "M" : aIOS simp . Quelle est la dimension de a ? III.D - Couple III.D.1) Mettre l'expression du couple exercé par le stator sur le rotor sous la forme I' : K(IO cosxp)(I0 simp) , en précisant l'expression de K en fonction de a , n et L. III.D.2) On rappelle que pour une machine à courant continu l" : K'I I . Identifier, en le justifiant, I et I ' inducteur induit inducteur Induit ' III.E - Puissance Les seules pertes considérées sont les pertes par effet Joule au rotor. Exprimer en fonction de K, (1), m,, 10 et w : III.E.1) la puissance PM : Fm disponible sur l'arbre. III.E.2) la puissance P J dissipée dans le rotor. III.E.3) Soit P la puissance totale absorbée par la machine. Montrer que P : I'oes . III.E.4) La tension d'alimentation aux homes de la bobine (k) du stator est sinuso'idale, de pulsation ms , d'amplitude complexe en convention récepteur j(wst -- 2n% + B) 6 , avance de la tension sur le courant, est le même pour toutes les bobines. Exprimer P en fonction de I 0 , U 0, m et 6. III.F - Contrôle du couple Le moteur précédent est alimenté par un onduleur de tension délivrant le sys- tème de tension polyphasé décrit en III.E.4 dans lequel les quantités oes et 6 sont commandables. Les valeurs instantanées I ,,(t) des courants sont mesurées. Un calculateur détermine alors la commande de l'onduleur (figure 5).La tension U 0 est fixée à sa valeur nominale U 0 N . III.F.1) On fixe les valeurs de cos6 et css . a) Montrer qu'alors les quantités IO, [' etl/ sin21p sont pro- portionnelles. Figure 5 b) Au démarrage, dans quel sens évo-- luent IO et P si il) < Jt/ 4 ? c) Dans quel sens doit-on faire évoluer 008 pour que 10 , I' et 1 / sin 21p restent constants ? III.F.2) On souhaite maintenir les quantités I 0 et I' à leurs valeurs nominales I 0 N et FN . Montrer qu'il faut maintenir le rapport 000 : oes/cose constant, et l'exprimer en fonction des valeurs nominales de la machine. III.F.3) Dans la suite m = 3 . La mise en oeuvre du contrôle du couple nécessite la mesure de lo et oes(t). On pose ; IO : Ioej'p(t) avec oes(t) : %(t) à un instant t quelconque. Montrer qu'un calculateur peut déduire I 0 et cp des I,,(t) , en donnant les expres-- sions correspondantes de là , sincp et coscp. III.G - Application à la traction ferroviaire Soit un train de masse M , entraîné par N moteurs du type précédemment décrit. À pleine puissance, chaque moteur développe une puissance nominale PN , le train roulant alors à la vitesse V N et le couple valant I'N. La voie est plane et toutes les pertes sont négligées ainsi que l'inertie des parties tournan- tes. Pendant la phase de démarrage V < V N, I 0 et F sont fixés à leurs valeurs nominales ION et F N NP III.G.1) Montrer que la vitesse du train suit la loi v(t) : Î/IÎ7Æt . N III.G.2) Application numérique :TGV Transmanche (1994) : M = 793 tonnes, N =12, PN : 1020 kW, VN : 300kfi1'h_1, UNeff =1,8kV, (cos6) N - 1 . Calculer I 0 N , l'accélération y du train dans la phase de démarrage, ainsi que le temps T et la distance 6 nécessaires pour atteindre la vitesse nomi- nale. Commenter. ooo FIN ooo