Centrale Physique et Chimie PSI 2009

Concours Centrale - Supélec 2009

Épreuve :

PHYSIQUE-CHIMIE

Filière

PSI

PHYSIQUE-CHIMIE

Filière PSI

PHYSIQUE-CHIMIE
Calculatrices autorisées.

Autour du sang :

pH , teneur et consommation en dioxygène,
hydrodynamique et pouls

À partir d'un liquide d'intérêt biologique, le sang, le problème aborde l'étude 
du
pouvoir tampon (Partie - I), le principe de la mesure d'une teneur en dioxygène
et sa consommation animale (Partie - II), l'hydrodynamique d'un fluide visqueux 
(Partie - III), et enfin propose une modélisation de la propagation d'une
onde de pression sanguine (Partie - IV). Ces quatre parties sont indépendantes.

Partie I - Le sang : un milieu tamponné
Dans cette partie, tous les calculs seront effectués à 37° C , température du 
corps
humain.
Données :
­ 14

Produit ionique de l'eau

K e = 2, 40 u 10

Constante d'acidité

K a ( H 2 CO 3 / HCO 3 ) = 4, 30 u 10

­

­7

L'activité métabolique et l'ingestion d'aliments peuvent introduire des espèces
acido-basiques dans le sang. Or, la survie des cellules nécessite que le pH 
varie
très peu autour d'une valeur optimale. Ainsi le sang humain constitue un milieu
tamponné : son pH varie très peu par addition d'un acide ou d'une base ou par
dilution. Le pH reste compris dans l'intervalle 7, 36 ­ 7, 44 en temps normal.
­

I.A - Le sang est en partie tamponné par le couple H 2 CO 3 / HCO 3 de 
concentra­1
tion totale 0, 0280 mol u L .
­
I.A.1)
Donner les schémas de Lewis de la molécule H 2 CO 3 et de l'ion HCO 3 .
Préciser leur géométrie d'après le modèle VSEPR .
I.A.2)
Sachant que le pH du sang vaut 7, 40 , calculer les concentrations en
­
H 2 CO 3 et HCO 3 avec trois chiffres significatifs.
I.B - Lors d'un effort physique important, il se forme de l'acide lactique
CH 3 ­ CHOH ­ COOH , noté HB , qui est ensuite éliminé dans le sang sous la
­
forme d'ion lactate B
selon la réaction prépondérante quantitative :
­
­
HB + HCO 3 A H 2 CO 3 + B .

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I.B.1)
L'acide lactique produit dans les cellules est de configuration S . Donner sa 
représentation de Cram.
­3
­1
I.B.2)
Pour un apport de 2, 00 u 10 mol u L d'acide lactique, quelle est la nouvelle 
valeur du pH du sang ? Cette valeur est-elle compatible avec la vie ?
I.B.3)
En réalité, la respiration permet de maintenir constante la concentration en H 
2 CO 3 en éliminant l'excès de H 2 CO 3 par l'expiration de dioxyde de carbone. 
Dans ces conditions, quelle est la nouvelle valeur du pH après un apport
­3
­1
de 2, 00 u 10 mol u L d'acide lactique ?

Partie II - Le dioxygène : mesure in vivo et consommation
animale
II.A - Sonde de Clark
Dans cette partie, tous les calculs seront effectués à 25° C .
Données :
RT
--------- ln ( 10 ) = 0, 06 V
F
+

Potentiel standard

E° ( A g / Ag ) = 0, 80 V

Produit de solubilité

K s ( AgCl ) = 2, 1 u 10

Masses molaires

K : 39 g u mol

­1

­ 11

; Cl : 35, 5 g u mol

­1

La sonde de Clark est très utilisée en biologie afin de mesurer la teneur en
dioxygène dans le sang.
électrode circulaire en argent

solution extérieure
cellule

KCl
Pt

Pt

O 2 ( ext )

O 2 ( int )
Ag

A

I

membrane
joint
vue de dessus

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0, 7 V
vue en coupe

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Elle est constituée d'une cellule contenant une solution non saturée de chlorure
­1
de potassium KCl à 175 g u L , séparée d'une solution extérieure (qui peut être
du sang) par une membrane de polytétrafluoroéthylène ( PTFE ) . Cette membrane 
est imperméable au solvant et aux ions, mais elle est splitéable au dioxygène. 
La sonde est également constituée d'une électrode d'argent et d'une
électrode de platine entre lesquelles on applique une différence de potentiel de
0, 7 V . La mesure de l'intensité I du courant d'électrolyse permet de 
déterminer
la teneur en dioxygène dans la solution extérieure.
II.A.1) Le PTFE est obtenu par polyaddition du tétrafluoroéthylène. Donner
la formule chimique du PTFE .
II.A.2) Calculer la concentration en ion chlorure dans la cellule. En déduire la
+
concentration en ion A g permettant d'obtenir le précipité de chlorure d'argent
AgCl .
II.A.3) Au niveau de l'électrode d'argent, on assiste à l'oxydation du couple
AgCl / Ag .
Au niveau de l'électrode de platine, on assiste à la réduction du couple O 2 / 
H 2 O .
a) Écrire les demi-équations électroniques correspondantes. Préciser l'anode et
la cathode.
b) Le graphe ci-contre donne
I ( +A )
les courbes intensité-potentiel
120
des deux électrodes de la
(2)
sonde de Clark. Identifier les
80
électrodes correspondant aux
courbes (1) et (2).
40
E ( Volt )
c) Calculer le potentiel standard du couple AgCl / Ag . En
­ 0, 5 ­ 0, 4 ­ 0, 3 ­ 0, 2 ­ 0, 1 0 0, 1 0, 2 0, 3
déduire le potentiel d'équilibre
­ 40
de l'électrode d'argent. Cette
(1)
valeur est-elle conforme à la
­ 80
courbe intensité-potentiel ?
d) Pour une différence de potentiel de 0, 7 V , calculer l'intensité I de la 
sonde.
e) D'après les courbes intensité-potentiel, expliquer pourquoi la diffusion du
dioxygène à travers la membrane limite la cinétique de l'électrolyse.
II.A.4) On s'intéresse plus particulièrement à la diffusion du dioxygène à 
travers la membrane. On note D le coefficient de diffusion moléculaire du 
dioxygène à travers la membrane, et K la constante de solubilité de O 2 dans la
membrane. Au niveau d'une interface membrane/solution, on a ainsi
[ O 2 ] membrane = K [ O 2 ] solution .

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a) On note b l'épaisseur de la membrane et S sa surface. Rappeler la loi de Fick
dans le cas d'une diffusion unidirectionnelle. En déduire l'expression I n du 
courant particulaire dans le membrane.
b) En supposant que la diffusion de O 2 à travers la membrane limite la 
cinétique de l'électrolyse, exprimer l'intensité électrique d'électrolyse I en 
fonction
notamment des concentrations molaires en O 2 dans la solution extérieure et
dans la cellule, notées respectivement [ O 2 ] ext et [ O 2 ] int .
c) L'intensité d'électrolyse est maximale pour [ O 2 ] int = 0 . En déduire 
comment
la mesure de I max permet de connaître la teneur en O 2 dans la solution 
extérieure.
II.A.5) On note U la différence de potentiel appliquée aux bornes de la sonde.
a) Tracer l'allure du graphe I ( U ) pour U compris entre 0 et 0, 7 V .
b) Pourquoi ne faut-il pas appliquer une différence de potentiel trop faible 
pour
pouvoir déterminer la teneur en O 2 ?
c) Pourquoi ne faut-il pas appliquer une différence de potentiel très supérieure
à 0, 7 V ?

2

QO ( L / h )

II.B - De la souris à l'éléphant...
On dira qu'une fonction y ( x )
1000
éléphant
vérifie une loi d'échelle d'exposant _ si y est proportionnel à
cheval
100
_
x . De nombreux paramètres
vache
physiologiques concernant les
truie
homme
10
espèces animales d'un même
chèvre
groupe zoologique obéissent à
chien
lapin
de telles lois. Ainsi, les mam1 cochon d'inde
marmotte
mifères terrestres ayant une
rat
température corporelle proche
0, 1
de 37° C vérifient assez bien la
souris
3/4
relation : Q O2 = 0, 68M c
où
0, 01
M c désigne la masse corpo0, 01 0, 1
1
10
100 1000 10 000
relle en kilogramme et Q O2 la
masse ( kg )
consommation en dioxygène
en litre par heure au repos, dans des conditions expérimentales précises que
nous ne détaillerons pas. Nous verrons que cette loi, découverte dès 1932 par M.
Kleiber, peut être mise en rapport avec la puissance thermique dégagée par le
métabolisme de l'animal.
II.B.1) Les morphologies des animaux d'un même groupe étant voisines, le
volume de dioxygène transporté par le sang à chaque battement de coeur est à
peu près proportionnel à la masse corporelle M c . Sachant que pour un homme

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de 70 kg , la fréquence cardiaque est d'environ 70 battements par minute, 
déterminer la loi d'échelle exprimant la fréquence cardiaque f c d'un animal en 
battements par minute en fonction de sa masse corporelle M c en kilogramme.
II.B.2) Étudier la validité de la loi précédente pour la souris, le lapin et 
l'éléphant à l'aide du tableau ci-dessous :
souris

lapin

renard

éléphant

M c ( kg )

0, 015

2, 0

3, 0

3000

f c ( batt / min )

620

210

o vie ( années )

3, 5

37
14

80

II.B.3) Le tableau précédent donne également la durée de vie moyenne o vie de
quelques mammifères terrestres.
a) À l'aide de ces valeurs numériques, déterminer l'exposant de la loi d'échelle
o vie ( M c ) .
b) Proposer une interprétation de cette loi.
c) Le cas de l'homme vérifie-t-il cette loi ? Commenter.
II.B.4) Sachant qu'en moyenne, on estime qu'un litre de dioxygène consommé
par un animal correspond à un dégagement de chaleur d'environ 20 kJ , donner
la relation numérique qui exprime la puissance thermique P en watt dégagée
par l'animal en fonction de sa masse M c en kilogramme. Donner la valeur
numérique de P pour un homme de 70 kg . Commenter.
II.B.5) Le plus petit mammifère terrestre vivant en milieu tempéré est la
musaraigne pachyure étrusque et ne pèse que deux grammes. À l'aide de la loi
P ( M c ) , on se propose de retrouver l'ordre de grandeur de cette masse.
Pour cela, on modélise le corps de l'animal par une
corps
sphère homogène de rayon R a et de masse volumique
e
­3
+ 5 1 g u cm , de température T i = 37° C . Autour de
Ra
cette sphère, on considère que l'animal possède une
Te
h
fourrure d'épaisseur e , de masse négligeable,
Ti
de conductivité thermique proche de celle de l'air
­2
­1
­1
h 5 10 W u K u m . On prendra pour la température
extérieure T e = 20° C .
fourrure
a) En régime stationnaire, exprimer la puissance thermique P dégagée par 
l'animal en fonction de h , T e , T i , R a , e (on ne fera pas
l'approximation e « R a ).
b) Montrer que le rapport e / R a est une fonction décroissante de R a .

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c) Pour des raisons de mobilité, on considère que la plus grande valeur du 
rapport e / R a est de l'ordre de 1 . En déduire l'ordre de grandeur de la 
masse du plus
petit animal. Ce résultat est-il convenable ?
II.B.6) On se propose de donner quelques indications sur l'origine physique de
3/4
la loi d'échelle Q O2 _ M c , le symbole _ désignant une relation de 
proportionnalité. De nombreux modèles ont été développés afin d'interpréter 
cette loi, les
plus récents utilisant des géométries fractales. Ici, nous allons plutôt 
examiner
de façon très générale les conséquences des lois physiques de l'écoulement du
sang. Nous décrirons le système vasculaire de l'animal par un ensemble de N
vaisseaux de rayon R et de longueur L . Nous verrons dans la Partie III que le
débit sanguin total Q s (et par suite la consommation en dioxygène Q O2 et la
puissance thermique P ) vérifie la loi d'échelle :
4

R
Q s _ N ------- _ Q O _ P .
2
L

Lorsqu'on passe d'un animal à un autre en multipliant la taille par un 
coefficient h , nous supposerons que les paramètres L , R , N sont 
respectivement
a
b
n
multipliés par h , h , h , les exposants a , b , n étant indéterminés à ce 
stade.
n + 4b ­ a
3
Ainsi, Q s ( h ) = Q s ( 1 )h
et M c ( h ) = M c ( 1 )h .
a) Sachant qu'en pratique la vitesse des écoulements sanguins est à peu près
indépendante de la taille des animaux, exprimer d'une manière différente 
comment varie Q s avec h lors d'un changement d'échelle. En déduire une relation
entre les exposants a et b .
b) En supposant que la masse corporelle est proportionnelle au volume total des
vaisseaux sanguins, trouver une relation entre n et a .
a
c) En déduire en fonction de a l'exposant a de la loi d'échelle Q s _ M c .
d) Si on suppose que L est proportionnel à la taille de l'animal, alors a = 1 . 
En
déduire la valeur de a . Montrer que l'on retrouve cette même valeur de a à 
l'aide
d'un raisonnement complètement différent, en considérant que la puissance
thermique P dégagée par l'animal est proportionnelle à la surface de la peau.
e) En réalité, l'interprétation précédente est fausse car le transfert thermique
dépend de la manière dont est vascularisée la peau. La valeur observée de a
étant de 3 / 4 , calculer les exposants a , b , n . Commenter.

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Partie III - Écoulement stationnaire dans un tube
cylindrique
Dans cette partie on considère un fluide newtonien incompressible de masse
volumique + et de viscosité dynamique d .
III.A - Écoulement de Poiseuille cylindrique
L'écoulement stationnaire du fluide se fait dans un tube cylindrique, d'axe xvx
et de rayon R . Il est induit par un gradient de pression
,P
------- = ­ k ( k > 0 ) constant.
,x

On utilise la base des coordonnées cylindriques ( e r, e e, e x ) et on suppose 
que le
champ des vitesses est de la forme v = v ( r, x )e x .
On donne le formulaire :
grad f =

1 ,f
,f
,f
e +
e
e + --,r r r ,e e , x x

1 ,
1 ,A e ,A x
div A = --- (r A r) + --+
r ,r
r ,e
,x
,A r ,A x
,A r
1 ,
1 ,A x ,
rot A = --­ ( r Ae ) er +
­
e e + --( r Ae ) ­
ex
,x
r ,r
r ,e
,x
,r
,e
Ae ,
,
,
( A u grad )B = A r B + ------- B + A x B
,x
,r
r ,e
III.A.1) Montrer que v ne dépend que de r .
III.A.2) Définir et calculer l'accélération convective.
III.A.3) Donner la signification physique du caractère rotationnel de 
l'écoulement d'un fluide. L'écoulement étudié est-il rotationnel ?
III.A.4) Soit E l'élément
de volume de fluide constir + dr
r
tué de l'anneau d'axe xvx ,
r
x + dx
x
limité par les cylindres de
rayons r et r + dr , et par
les plans d'abscisses x et
x + dx . On néglige les forr + dr
ces de pesanteur.
a) Déterminer la résultante des forces de pression s'exerçant sur E .
b) Déterminer la résultante des forces de viscosité s'exerçant sur les surfaces
latérales de E .

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c) En appliquant la relation fondamentale de la dynamique à E , établir
l'équation décrivant le mouvement du fluide selon xvx et montrer que le 
gradient de pression est nécessairement uniforme.
k
2
2
III.A.5) En déduire l'expression de la vitesse : v = ------ ( R ­ r ) .
4d
Représenter le profil des vitesses et déterminer la vitesse maximale V 0 de
l'écoulement.
III.A.6) Déterminer le débit volumique D v à travers la section du tube ainsi
que la vitesse moyenne V m de l'écoulement en fonction de k , R et d .
III.A.7) Comparer D v au débit à travers N tubes de rayons R / N parcourus
par le même fluide dans les mêmes conditions. Conclure par une application
pratique.
III.A.8) On revient au cas d'un seul tube de rayon R . En notant 6P la chute de
pression sur une distance L , définir une résistance hydraulique R hyd et 
l'exprimer en fonction de d , L et R .
III.A.9) On considère un matériau cylindrique de section circulaire de rayon R ,
de conductivité électrique m , parcouru par un courant d'intensité I , de 
densité
volumique de courant uniforme j , soumis à une tension U sur une longueur L .
Donner les grandeurs hydrauliques analogues respectivement à j , I , U , m .
Définir la résistance électrique R el du tronçon de conducteur de longueur L et
expliquer l'origine de la différence avec l'expression de R hyd .
III.B - Application à la circulation sanguine
On donne les valeurs numériques suivantes relatives au sang :
débit D v = 5 L / min , viscosité dynamique d = 0, 003 Pa u s , masse volumique
3
+ = 1, 05 g / cm .
Vaisseau

Nombre

Longueur ( cm )

Rayon ( cm )

aorte

1

34

1, 3

grosses artères

40

12

0, 4

branches artérielles

7000

12

0, 03

III.B.1) Les résultats du III.A peuvent s'appliquer en première approximation
à la circulation sanguine. Proposer cependant quelques hypothèses qu'il 
faudrait modifier pour obtenir un modèle plus réaliste.
III.B.2) Définir le nombre de Reynolds d'un écoulement et le calculer pour 
chacun des vaisseaux proposés dans le tableau. Comparer à la valeur critique de
l'ordre de 1000 et conclure quant au caractère laminaire de l'écoulement et à
l'affirmation du III.B.1).

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III.B.3) Prendre la tension (artérielle) c'est mesurer les surpressions maximale
p max (appelée pression systolique) et minimale p min (appelée pression 
diastolique) au voisinage du coeur. L'opération consiste à comprimer l'artère 
brachiale
avec un brassard gonflable à la surpression p et à écouter au stéthoscope, au
creux du bras, la modification des bruits en provenance de l'artère lorsqu'on
dégonfle le brassard de la surpression p max à la surpression p min .
a) Quelles sont les raisons qui conduisent à faire la mesure au bras ? 
Pourraiton la faire au mollet ?
b) Pourquoi ne détecte-t-on rien pour p > p max ? Quelle est la nature de 
l'écoulement pour p min < p < p max , quel type de bruit détecte-t-on ? Comment est modifié ce bruit pour p < p min ? c) Pour une personne en bonne santé on prend les valeurs suivantes : p max = 13 cm Hg et p min = 8 cm Hg . 5 On rappelle que 76cm Hg correspond à 10 Pa . Déterminer la chute de pression dans une grosse artère et dans une branche artérielle Y3 et la comparer à la différence p max ­ p min . Dans quel type de vaisseau la résistance Y2 hydraulique est-elle la plus grande ? Y1 III.B.4) On suppose établi l'écoulement dans un vaisseau et on s'intéresse à une bifurcation. L'allure du profil des vitesses dans les sections Y 1 (dans le vaisseau) et Y 3 (en aval de la bifurcation) est supposée donnée par III.A.5. Lorsque l'écoulement bifurque, dans quelles directions et dans quels sens se font la convection et la diffusion de quantité de mouvement au voisinage de Y 2 ? Tracer l'allure du profil des vitesses dans la section Y 2 (juste audelà de la bifurcation). Partie IV - Onde de pression sanguine Dans cette partie on introduit le caractère non stationnaire de l'écoulement du sang et on étudie la propagation du pouls. On utilise les mêmes notations qu'à la Partie III. On assimile une artère à un tube cylindrique d'axe xvx , de rayon intérieur R ( x, t ) , de rayon extérieur R ( x, t ) + H , avec H « R , de longueur L , constitué d'un matériau élastique, homogène et isotrope de module d'Young E défini plus bas et de masse volumique l 0 . Le sang est assimilé à un fluide parfait incompressible de masse volumique + soumis aux seules forces de pression. La pression à l'intérieur de l'artère vaut P ( x, t ) et elle vaut P 0 à l'extérieur. On modélise le champ des vitesses du sang par l'expression v 5 v ( x, t ) e x .On considère la paroi artérielle comme un assemblage d'anneaux indépendants, ce qui Concours Centrale-Supélec 2009 9/11 PHYSIQUE-CHIMIE Filière PSI revient à supposer qu'elle ne se déforme que suivant la direction radiale e r . On note R 0 le rayon de l'artère lorsque la pression sanguine P est égale à P 0 . IV.A - Étude de bilans IV.A.1) Pour une tige cylindrique de section S , de longueur L selon la direction définie par le vecteur unitaire u , sur laquelle s'applique une force T = Tu provoquant l'allongement 6L , le module d'Young E est donné par T L E = ---- -------- . S 6L Que vaut E pour un solide parfait ? Que caractérise ce coefficient ? xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxx IV.A.2) À l'abscisse x un élément de paroi artérielle P d'épaisseur H , de longueur dx , compris er entre les angles e et e + de est soumis aux forces dx d'élasticité associées au module d'Young dont la H de 2 e somme est notée d F y et aux forces de pression entre l'intérieur et l'extérieur de l'artère dont la 2 somme est notée d F p . 2 R a) Exprimer d F p en fonction de R , P , P 0 , de , dx ee et e r . b) Déterminer l'allongement relatif de l'élément Élément de paroi artérielle P de paroi P quand son rayon passe de R 0 à R ; en déduire l'expression de la somme des forces d'élasticité R ­ R0 2 d F y = ­ EH ------------------ dx de e r . R0 IV.A.3) 2 2 a) En notant m = / R ­ / R 0 la variation locale de la section de l'artère montrer que pour de petites déformations on peut écrire : m = 2/ R 0 ( R ­ R 0 ) . b) En appliquant la relation fondamentale de la dynamique à P et en notant p = P ­ P 0 la surpression correspondante, montrer que : 2 2/R E , m --------2- = ----------- p ­ ------------2- m H l 0 l0 R0 ,t (1) c) En faisant un bilan de masse entre les instants t et t + dt sur la tranche de fluide comprise entre les abscisses x et x + dx montrer que : ,m 2 ,v ,m ------ + v ------ + ( m + / R 0 ) ------ = 0 ,x ,x ,t (2) d) Appliquer l'équation d'Euler pour obtenir l'équation différentielle ( 3 ) liant v et p . On utilisera le formulaire donné en III.A. En évaluant les ordres de grandeur du terme d'accélération convective et du terme de viscosité d6v / + que l'on Concours Centrale-Supélec 2009 10/11 PHYSIQUE-CHIMIE Filière PSI a négligé, justifier la modélisation proposée pour la nature de l'écoulement. On 3 fera l'application numérique avec d = 0, 003 Pa u s , + = 1, 05 g / cm , une vitesse de ­1 l'ordre de 1 m u s , une artère de 0, 5 m de longueur et de 5 mm de rayon. IV.B - Approximation linéaire, relation de dispersion IV.B.1) En ne gardant que les termes d'ordre 1 en m , v et p , linéariser les trois équations précédentes. IV.B.2) Comment se transforment les équations (1), (2) et (3) en notation comi ( tt ­ kx ) plexe pour des signaux de la forme s = s 0 e où t et k représentent les pulsations respectivement temporelle et spatiale ? On notera m , v et p les grandeurs complexes associées à m , v et p . IV.B.3) Établir la relation de dispersion. Tracer la courbe représentant les variations de t en fonction de k . Faire apparaître une pulsation spatiale caractéristique k c pour laquelle t ( k c ) = t max / 2 , et déterminer l'expression littérale de la longueur d'onde h c correspondante ainsi que sa valeur numérique. Dans quel domaine de longueur d'onde la propagation est-elle peu dispersive ? 5 3 3 On prendra : E = 4 u 10 Pa , R 0 = 5 mm , l 0 = 1, 06 g / cm , + = 1, 05 g / cm , H = 0, 6 mm . IV.B.4) Déterminer la vitesse de phase des ondes de pression sanguine et montrer que pour les grandes longueurs d'onde elle vaut c0 = EH -------------- . 2+ R 0 ··· FIN ··· Concours Centrale-Supélec 2009 11/11