Centrale Physique et Chimie PSI 2010

Concours Centrale - Supélec 2010

Épreuve :

PHYSIQUE-CHIMIE

Filière

PSI

PHYSIQUE-CHIMIE

Filière PSI

PHYSIQUE-CHIMIE
Les calculatrices sont autorisées.
L'épreuve comporte deux problèmes indépendants. Le premier étudie certaines
propriétés des halogènes ; le second propose un modèle pour le fonctionnement
d'une plaque à induction.

Premier problème : de l'eau de mer aux halogènes
Les différentes parties sont indépendantes les unes des autres. Les données 
numériques nécessaires sont regroupées à la fin.

Partie I - Quelques utilisations industrielles de l'eau de mer
I.A - Production industrielle du dichlore
La production industrielle du dichlore se fait par électrolyse des solutions
aqueuses de chlorure de sodium NaCl . On étudie ici une solution qui correspond
­1
à la composition moyenne des océans, soit une concentration de 35 g  L ou
­1
0, 6 mol  L .
Dans toute cette partie, la température sera prise égale à 25° C et la pression 
de
chacun des différents gaz égale à 1 bar .
I.A.1)
Toutes les électrolyses se font grâce à des anodes inertes (titane recouvert 
d'oxyde de ruthénium) ; le pH du compartiment anodique est maintenu
constant et égal à 4 .
a) Écrire les deux réactions électrochimiques possibles à l'anode et calculer 
les
potentiels d'équilibre.
­
b) Sur le titane, la surtension du couple ( Cl 2 / Cl ) vaut  A = 0, 32 V et 
celle du
­2
couple ( O 2 / H 2 O ) vaut  A = 1, 15 V pour une densité de courant j = 5 kA  
m .
Tracer l'allure des courbes densité de courant - potentiel j ( V ) des deux 
couples
sur une anode en titane et déterminer quelle réaction se produit à l'anode.
I.A.2)
Dans un premier type d'électrolyseur, on utilise une cathode en acier.
Le pH du compartiment cathodique est égal à 14 .
a) Écrire les deux réactions électrochimiques possibles à la cathode et calculer
les potentiels d'équilibre.
b) Sur l'acier, la surtension du couple ( H 2 O / H 2 ) vaut  c = ­ 0, 65 V pour
j = 5 kA  m ­2 , le système du sodium est rapide. Tracer l'allure des courbes j 
( V )
et déterminer quelle réaction se produit à la cathode.

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Filière PSI

Filière PSI
c) Estimer la tension théorique aux bornes de la cellule d'électrolyse dans les
­2
conditions précédentes pour obtenir j = 5 kA  m .
d) Industriellement, la tension nécessaire est supérieure à la valeur trouvée.
Proposer une explication.
I.A.3)
Dans un autre type d'électrolyseur, on utilise une cathode en mercure.
Le sodium est soluble dans le mercure (liquide) et forme un « amalgame ». On
+
doit alors considérer le couple ( N a / Na ( Hg ) ) . Sur le mercure, la 
surtension du
­2
couple ( H 2 O / H 2 ) vaut  c = ­ 1, 70 V pour j = 5 kA  m . Le pH reste égal 
à 14 .
a) Tracer la nouvelle allure des courbes j ( V ) et déterminer quelle réaction 
se
produit à la cathode de mercure.
b) Dans ces installations, la cathode est circulante : à la sortie de 
l'électrolyseur,
l'amalgame est envoyé dans un réacteur appelé « décomposeur » dans lequel il
entre en contact avec de l'acier (et du graphite comme catalyseur) ; le 
décomposeur reçoit aussi un courant d'eau. À l'aide des courbes j ( V ) , 
mettre en évidence
l'existence de deux réactions, l'une à l'interface mercure-eau, l'autre à 
l'interface
acier-eau. Quels sont les produits obtenus à la sortie du décomposeur ?
I.A.4)
Aux bornes d'une cellule à cathode en acier, la tension est 3, 45 V ; elle
est de 4, 40 V aux bornes d'une cellule à cathode en mercure.
a) Calculer l'énergie nécessaire pour produire une tonne de dichlore dans 
chaque cas.
b) Un des procédés est-il plus avantageux que l'autre ? Voyez-vous des 
inconvénients à l'utilisation d'une cathode en mercure ?
I.B - Dessalement de l'eau de mer par osmose inverse
I.B.1)
Un système fermé est composé d'un corps pur A sous deux phases ( 1 )
et ( 2 ) , à température et pression constantes.
a) Exprimer l'enthalpie libre G de ce système en fonction des potentiels 
chimiques de A dans les deux phases, µ A ( 1 ) et µ A ( 2 ) , et des quantités 
de matière respectives n 1 et n 2 .
b) Quelle propriété possède G lorsque le système est à l'équilibre ? En déduire
une relation entre µ A ( 1 ) et µ A ( 2 ) à l'équilibre.
c) Lorsque cette condition n'est pas réalisée, dans quel sens le système 
évoluet-il ?

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PH YSIQUE-CHIMIE Filière PSI

I.B.2) On étudie le système suivant à l'état liquide et a la
température T constante : P

"ü

0 compartiment (1) :solvant A pur,

0 compartiment (2) : mélange idéal de B et de A. A

Les deux compartiments sont séparés par une paroi semi per-- pur
méable, qui laisse passer uniquement les molécules du solvant
A. La même pression P règne au-dessus des deux comparti-
ments.

I.....£.....I
+
ou

a) Donner l'expression du potentiel chimique de A en fonction de son potentiel
chimique standard "Â (T) dont on rappellera la définition et de sa fraction
molaire x A dans le mélange. Cette expression est-elle rigoureuse '?

On montre que, s'il faut tenir compte de la pression P au-dessus du système,
cette expression doit être remplacée par :
uA(T, P, xA) = M; (T) +VmA(P--P°) +RTlnxA

où VmA désigne le volume molaire de A , considéré comme constant. On adop-
tera cette expression dans la suite.

b) Montrer que le système ne peut être en équilibre et indiquer son sens d'évo-
lution.

c) On suppose maintenant qu'on crée des conditions de pression différentes : P1
au-dessus du compartiment (1) et P2 au-dessus de (2) ; on appelle pression
osmotique H la valeur particulière de AP : P2--P1 qui permet au système de
rester à l'équilibre.

Exprimer H en fonction de x B , fraction molaire de B dans le mélange (2) et de
VmA. En considérant que dans le mélange (2) , xB « 1 , montrer que Il z RTC B ,
où C B désigne la concentration molaire de B dans le compartiment (2) , et géné-
raliser au cas où la solution renferme plusieurs espèces dissoutes.

d) Calculer H pour une solution aqueuse de chlorure de sodium à O, 6 mol -- L_1 
à
298 K. On donnera la réponse en pascals puis en bars.

I.B.3) Qu'observe-t-on si on impose une pression P2 telle que P2--P1 soit
supérieure à H '?
En déduire le principe du procédé de dessalement de l'eau de mer par osmose

inverse qui se développe actuellement dans de nombreux pays du Sud parce qu'il
est peu coûteux en énergie. Quelles limitations voyez-vous à ce procédé ?

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PHYSIQUE-CHIMIE

Filière PSI

Partie II - Oxydo-réduction par voie sèche
II.A - Diagrammes d'Ellingham
II.A.1) Rappeler les caractéristiques d'un diagramme d'Ellingham relatif à
l'équilibre entre un métal, son oxyde et le dioxygène : M + O 2 = MO 2 . Comment
peut-on justifier que la courbe obtenue est une droite ? Pourquoi sa pente 
estelle en général positive ? À quoi correspondent les éventuelles ruptures de 
pente
observées ?
II.A.2) Le dichlore gazeux, à haute température, est un oxydant comparable
au dioxygène et on étudie par analogie le diagramme d'Ellingham relatif à
l'équilibre entre le manganèse Mn (solide), le chlorure MnCl 2 (solide) et le
dichlore (gazeux) : Mn ( s ) + Cl 2 ( g ) = MnCl 2 ( s ) .
a) Donner l'expression de  r G° ( T ) pour cette réaction et tracer la courbe
d'Ellingham pour T  [ 400, 1000 K ] (On utilisera comme échelle 100 K par cm et
­1
10 kJ  mol par cm ).
b) Cette courbe sépare le plan en deux domaines. Exprimer l'affinité A du 
système en fonction de P Cl2 et de ( P Cl2 ) éq et montrer qu'on peut attribuer 
des
domaines d'existence à chacun des deux solides.
II.A.3) Dans le cas du cuivre, on connaît deux chlorures solides, le chlorure de
cuivre ( I ) CuCl et le chlorure de cuivre ( II ) CuCl 2 .
a) Donner l'expression de  r G 1° ( T ) et  r G 2° ( T ) pour les deux 
réactions :
(1)
2Cu ( s ) + Cl 2 ( g ) = 2CuCl ( s )
2CuCl ( s ) + Cl 2 ( g ) = 2CuCl 2 ( s )

(2)

et tracer les deux courbes d'Ellingham pour T  [ 400, 1000 K ] .(On utilisera 
cette
­1
fois comme échelle 100 K par cm et 50 kJ  mol par cm ).
b) En raisonnant comme ci-dessus, attribuer chacun des trois domaines à l'une
des espèces solides. Le chlorure de cuivre ( I ) se dismute-t-il ?
c) Application : du dichlore sous pression constante égale à 1, 5 bar circule 
dans
un tube en cuivre à la température de 873 K . Indiquer si le métal est attaqué 
et,
si oui, quel(s) est(sont) le(s) produit(s) formé(s) ?
II.B - Préparation du dichlore à partir d'un oxyde
On souhaite préparer du dichlore (gazeux) par réduction de l'oxyde de manganèse 
MnO 2 (solide) par le chlorure d'hydrogène (gazeux). Deux réactions peuvent se 
produire :
(3)
MnO 2 ( s ) + 2HCl ( g ) = MnCl 2 ( s ) + H 2 O ( g ) + 1 / 2 O 2 ( g )
MnO 2 ( s ) + 4HCl ( g ) = MnCl 2 ( s ) + 2 H 2 O ( g ) + Cl 2 ( g )

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(4)

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PH YSIQUE--CHIMIE Filière PSI

II.B.1) La figure ci-dessous donne le tracé en fonction de la température pour
T E [400, 1000 K] des fonctions ArG3° (T) = --19,5 + O, 0182 T(kJ - mol--1) et
ArG4° (T) = --77, 1 + 0, 0825 T(kJ - mol--1).

Identifier chaque courbe. ...-

. o --1
II.B.2) Définir et calculer ' A,...G (kJ °m01 )
la variance de chacun des - /
systèmes à l'équilibre ; qu'en 0 SE... 590 @ BÜÜ 9ÜÜ/ lÜDÛ

est-il si on constitue le

mélange initial en enfermant _
dans un réacteur unique-- --10--_
ment de l'oxyde de manga-
nèse et du chlorure
d'hydrogène ? Interpréter le
résultat. _
II.B.3) Discuter qualitati- _3Ûj
vement selon la température '
la possibilité d'obtenir du _
dichlore ou du dioxygène. -AD-
Quelles sont les conditions '

favorables à la production de .
dichlore ? "5°"

T(K)

--2Û--

Partie III - Addition des halogènes sur les alcènes

III.A - Stéréochimie de l'addition du dibrome sur les alcènes

On effectue l'addition de Br2 sur chacun des deux stéréoisomères du but -- 2 -- 
ènc .
L'expérience est réalisée dans un réacteur protégé de la lumière et maintenu à
25° C. Il contient au départ de l'alcène dans du chloroforme CH Cl3, puis on
ajoute en une seule fois du dibrome en solution dans du chloroforme.

III.A.1) Écrire la formule développée du (Z) -- but -- 2 -- ème et celle du
(E) -- but -- 2 -- ème en expliquant précisément les règles de nomenclature 
utilisées.

III.A.2) Sachant qu'il s'agit d'une addition anti, représenter clairement (par
exemple en représentation de Newman) le ou les stéréoisomères obtenus dans
chaque cas.

III.A.3) Chacune des solutions obtenues présente--t--elle une activité optique 
'?
Expliquer pourquoi.

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PHYSIQUE-CHIMIE

Filière PSI

III.B - Cinétique de l'addition du dibrome sur les alcènes
On étudie la cinétique de la réaction, supposée totale, en suivant l'évolution 
de
la concentration en dibrome par spectrophotométrie. On note [ Alc ] 0 et [ Br 2 
] 0
les concentrations initiales en alcène et en dibrome.
­2
­1
III.B.1) Dans une première expérience, on a [ Alc ] 0 = 3  10 mol  L
et
­4
­1
[ Br 2 ] 0 = 3  10 mol  L et on obtient les résultats suivants :
t ( en min )
4

­1

[ Br 2 ]  10 ( mol  L )

0

1

5

10

20

40

60

120

3, 00

2, 96

2, 80

2, 62

2, 29

1, 75

1, 33

0, 594

Montrer que la réaction est d'ordre un par rapport au dibrome et déterminer la
valeur numérique de la constante de vitesse lors de cette expérience. Définir et
calculer le temps de demi-réaction t 1 / 2 .
III.B.2) Dans une deuxième expérience, réalisée à la même température avec
comme concentrations initiales
[ Alc ] 0 = 6  10

­2

mol  L

­1

et [ Br 2 ] 0 = 3  10

­4

mol  L

­1

,

les résultats sont cohérents avec ceux de l'expérience précédente mais le temps
de demi-réaction a pour valeur t 1 / 2 = 25, 6 min . En déduire l'ordre partiel 
par
rapport à l'alcène, l'ordre total de la réaction et calculer la constante de 
vitesse.
Données :
­1

Constante des gaz parfaits : R = 8, 314 J  K  mol

­1

RT
F

Constante de Faraday : 1F = 96500C et si T = 298K : --------- ln x = 0, 06 logx 
( V )
Constante d'Avogadro : N A = 6, 02  10

23

mol

­1

Potentiel standard à 25° C

E° ( V )

+

H2O / H2

O2 / H 2 O

N a / Na

0

1, 23

­ 2, 71

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+

N a / Na ( Hg ) Cl 2 ( g ) / Cl
­ 1, 84

­

1, 36

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Filière PSI

Grandeurs molaires standard considérées comme indépendantes de la
température :
0

­1

 f H ( kJ  mol )

0

S (J  K

­1

­1

 mol )

Cl 2 ( g )

0

222, 8

O2 ( g )

0

204, 9

H2O(g)

­ 241, 6

188, 6

HCl ( g )

­ 92

186, 6

Mn ( s )

0

31, 8

Cu ( s )

0

33, 5

MnCl 2 ( s )

­ 481, 5

117, 0

CuCl ( s )

­ 134, 8

87, 0

CuCl 2 ( s )

­ 180, 5

113, 0

MnO 2 ( s )

­ 519, 6

53, 1

Numéro atomique du Cl : Z = 17
­1
Masse atomique molaire du Cl : M = 35, 5 g  mol

Deuxième problème : plaque à induction
Le chauffage par induction repose essentiellement sur le principe suivant : un
inducteur crée un champ magnétique variable qui induit des courants de Foucault 
dans la pièce conductrice à chauffer ; c'est l'effet Joule de ces courants de
Foucault qui chauffe instantanément la pièce. Dans ce problème, on s'intéresse
aux plaques à induction utilisées en cuisine.
Les parties IV, V et VI sont indépendantes. Dans la Partie V, une modélisation
des courants de Foucault dans le fond d'un ustensile de cuisine est proposée,
après avoir étudié quelques ordres de grandeurs dans la Partie IV. Dans la
Partie VI, on étudie le transfert thermique du fond de l'ustensile de cuisine 
aux
aliments. Pour tout le problème, on se placera en coordonnées cylindriques
( r, , z ) d'axe Oz ou z .

Partie IV - Préliminaire : calcul de champ magnétique
On considère une spire de rayon R parcourue par un courant I .

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On note O son centre et Oz son axe et on travaille en coordonnées cylindriques 
( r, , z ) d' axe Oz (voir figure 1).
IV.A - Montrer par des considérations de symétrie et d'invariance clairement 
explicitées que le champ magnétique en un
point
M ( r, , z )
quelconque
de
l'espace
s'écrit :
B ( r, , z ) = B r ( r, z )u r + B z ( r, z )u z

z

O
I
Figure 1

IV.B - On se limite ici aux points de l'axe Oz .
IV.B.1) Après avoir précisé la direction du champ dans ce cas particulier,
l'exprimer en fonction de z , R et I .
IV.B.2) On note B 0 la valeur du champ en O . Déterminer la variation relative
de B sur l'axe quand, à partir de O , on se translate de z = R / 4 .
IV.C - On se propose de montrer que si l'on reste au voisinage de l'axe, la 
composante radiale du champ peut être négligée devant sa composante axiale.
IV.C.1) En calculant le flux du champ magnétique à travers un petit cylindre
d'axe Oz , de longueur dz et de rayon r , montrer que :
r B z
B r ( r, z ) = ­ --- ---------- ( 0, z ) .
2 z

IV.C.2)

Déterminer la condition sur r pour que l'on ait B r ( r, z ) « B z ( 0, z ) en

z = R/4.

IV.D - Citer un instrument de mesure du champ magnétique utilisable en travaux 
pratiques.

Partie V - Étude des courants de Foucault
Dans cette partie est proposée une modélisation simple qui permettra d'exprimer 
la puissance dissipée par les courants de Foucault de la plaque. Le résultat
trouvé sera discuté.
V.A - Modélisation
On ne prendra en compte que le fond
de l'ustensile de cuisine qu'on assimilera à une plaque métallique cylindrique 
de rayon a , d'épaisseur e . Cette
plaque est posée au-dessus de l'inducteur (voir figure 2).
On supposera pour simplifier que
l'inducteur est une bobine plate constituée de N spires de rayons voisins

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z

a

Figure 2

plaque

e

I

Inducteur ( N spires )

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pris tous égaux à R , chacune parcourue par un courant I . Compte tenu des
ordres de grandeur calculés au IV, on supposera que l'on s'est placé dans des
conditions telles que le champ magnétique créé par l'inducteur au niveau de la
base inférieure de la plaque avant qu'on ne mette la plaque, peut être considéré
comme uniforme, égal à celui que créeraient les N spires en leur centre.
Dans toute cette partie, on prendra comme origine de l'axe
Figure 3
des z , le point  centre de la base inférieure de la plaque
(voir figure 3).
La plaque est constituée d'acier magnétique de conductivité électrique  . On 
supposera ici que cet acier est un

milieu magnétique linéaire, homogène et isotrope de splitéabilité relative µ r , 
c'est à dire que les équations de Maxwell dans ce milieu
s'écrivent :
divE = 0

[ M.1 ]

B
rotE = ­ ------t

[ M.2 ]

divB = 0

[ M.3 ]

E
rotB = µ j +  0 µ ------t

[ M.4 ]

avec E champ électrique, B champ magnétique dans le milieu, j vecteur densité 
volumique de courant et µ = µ 0 µ r , splitéabilité magnétique de l'acier. On
supposera en outre que la loi d'Ohm est valable dans l'acier pour tout le 
problème.
V.A.1)
a) Écrire, dans le cas général d'un milieu magnétique quelconque, la relation
entre le vecteur aimantation magnétique M , le vecteur excitation magnétique
H et le vecteur champ magnétique B .
b) Quelle relation supplémentaire a-t-on dans le cas où le milieu est linéaire
homogène et isotrope ?
La plaque (fond de l'ustensile) est maintenant placée au dessus de l'inducteur.
V.A.2) Quelle équation de Maxwell permet d'affirmer qu'il y a continuité de la
composante normale de B à l'interface entre le vide et les bases inférieures et
supérieures de la plaque étudiée ?
Étant constituée d'acier magnétique, la plaque s'aimante et modifie à son tour
le champ magnétique dans le vide. On supposera dans la suite que ce phénomène 
et le respect de la continuité vue en V.A.2) donnent pour valeur de la com+
posante normale de B au niveau de la base inférieure de la plaque (en z = 0 ),
la valeur du champ créé en ce point dans le vide avant introduction de la plaque
multipliée par la splitéabilité relative µ r .

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+

V.A.3) Écrire B z ( r, , z = 0 ) , composante axiale du champ magnétique au
niveau de la base inférieure de la plaque en fonction de N et B 0 (défini au
IV.B.2) et µ r .
Faire l'application numérique.
V.B - Calcul des courants de Foucault dans la plaque
Le courant circulant dans l'inducteur est maintenant sinusoïdal de fréquence
f = 20kHz : i ( t ) = I cos (   t ) avec  = 2f .
Comme on se limitera à l'étude du régime sinusoïdal établi, on pourra utiliser
les représentations complexes des grandeurs. Ainsi, à tout champ vectoriel
A ( r, , z, t ) dans la plaque, on associera
A = Ar e

it

ur + A e

it

u + A z e

it

uz ,

2

où i = ­ 1 et A = Re ( A ) ; A r , A  , A z sont des fonctions complexes des 
seules
variables r ,  , z .
V.B.1)
Montrer que pour la fréquence utilisée, l'équation de Maxwell-Ampère
[ M.4 ] peut être simplifiée. Donner le nom de l'approximation ainsi faite. Dans
toute la suite, on travaillera avec la forme simplifiée.
V.B.2)
Montrer que j vérifie l'équation différentielle :
 j ­ iµ j = 0

(5)

V.B.3)
Donner des arguments qui permettent de justifier que l'on cherche les
it
courants induits dans la plaque sous la forme : j = j ( r, z )e u  .
Pour la suite, on admettra qu'il existe une solution de la forme j ( r, z ) = r 
 g ( z )
où g ( z ) est une fonction complexe de la seule variable z . On se propose de
déterminer g ( z ) .
V.B.4)
En utilisant (5), montrer que g ( z ) vérifie l'équation différentielle :
2

2

d g / dz = iµ g

V.B.5)

(6)

Donner la solution générale de (6) en utilisant la grandeur
 =

2 / ( µ ) .

(7)

On supposera que l'épaisseur e de la plaque est suffisamment grande pour 
pouvoir assimiler la plaque conductrice au demi-espace des z positifs.
V.B.6)
Donner, à une constante d'intégration près, l'expression de j ( r, z ) .
V.B.7)
Calcul de la constante d'intégration restante :
a) en utilisant l'équation [ M.2 ] , déterminer le champ magnétique B à partir 
de
l'expression de j ( r, z ) .

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b) en utilisant la condition aux limites explicitée en V.A.3), déterminer la 
constante d'intégration en fonction de N , B 0 ,  , µ r et  .
V.B.8)
En déduire la grandeur réelle j ( r, , z, t ) .
V.B.9)
Quelle est la dimension de  ? Donner sa signification physique et la
calculer. Comparer la valeur trouvée à celle de e et conclure quant à la 
validité
de l'approximation faite au V.B.6).
V.B.10) Discuter de l'influence de µ sur  .
V.C - Puissance dissipée
On conserve ici toutes les hypothèses précédemment formulées ainsi que les
résultats établis.
V.C.1)
Écrire l'expression de la puissance volumique p v ( r, z, t ) dissipée par
effet Joule en tout point de la plaque par les courants induits et expliciter sa
moyenne temporelle, notée  p v .
V.C.2)
Déterminer l'expression littérale de la puissance moyenne totale P
dissipée par effet Joule dans la plaque en fonction de N , B 0 , µ r ,  ,  ,  , 
a .
V.C.3)
Montrer que le modèle explique pourquoi dans la cuisine par induction, on 
choisit une fréquence de 20 kHz plutôt que le 50 Hz directement accessible.
V.C.4)
Pourquoi dans la cuisine par induction, a-t-on intérêt à utiliser un
matériau conducteur magnétique plutôt que non magnétique ?
V.C.5)
Calculer numériquement P . Commenter, sachant que les puissances
commerciales affichées sont de l'ordre du kW .
V.C.6)
En réalité, le matériau magnétique utilisé n'est pas linéaire, mais 
ferromagnétique caractérisé par un cycle d'hystérésis reliant H à B .
a) Représenter qualitativement l'allure d'un cycle d'hystérésis.
b) En admettant que l'énergie par unité de volume pour faire varier B de dB
quand H varie de dH s'écrit w = H  dB , écrire formellement à l'aide de H et
de B , l'intégrale qui permettrait de calculer la puissance volumique moyenne
hyst
 p v  dissipée à cause des pertes par hystérésis. La relier à l'aire A du cycle
tracé en coordonnées B ( H ) et à la fréquence f .
c) Dans quel sens cet effet modifie-t-il la valeur de P précédemment calculée ?

Partie VI - Thermodynamique
VI.A - Ordre de grandeur
Le chauffage par induction fournit la puissance P -- calculée dans la partie V
-- à l'ustensile de cuisine, une casserole, et à son contenu. On prendra ici la

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valeur P = 1500 W et on supposera que la casserole contient 1 L d'eau. La masse
de la casserole sera prise égale à 0, 5 kg .
Déterminer le temps nécessaire pour porter l'ensemble {casserole ­ eau} de la
température ambiante T 0 = 20° C à la température T 1 = 90° C (on négligera
toute fuite thermique).
VI.B - Conduction thermique
On cherche maintenant à déterminer le champ de température dans le métal
lorsqu'on met le chauffage en fonctionnement. On s'intéressera uniquement au
fond de l'ustensile de cuisine qu'on assimilera pour simplifier au demi espace
des z positifs et l'on considérera que la température n'est fonction que de z et
de t : T ( z, t ) . On notera  la conductivité thermique du métal, c sa capacité
thermique massique à pression constante et  sa masse volumique. On notera
T 0 la température initiale, uniforme de la plaque.
Comme les courants de Foucault se développent dans une fine couche au fond de
l'ustensile (voir V), on simplifiera le problème de la manière suivante : on 
fera
comme si aucun courant ne circulait plus dans le métal, mais on supposera
qu'en z = 0 , un flux d'énergie entre constamment dans le métal. En notant j Q
le vecteur densité de courant thermique, on écrira :
2

j Q ( z = 0, t ) = j 0 u z avec j 0 = P / ( a )

où P est la puissance totale calculée au V dissipée dans la fine couche du fond
de l'ustensile et a , le rayon de ce fond.
VI.B.1) Écrire la loi de Fourier reliant, en tout point du métal, le vecteur 
densité de courant thermique j Q et la température T .
VI.B.2) On suppose j Q ( z, t ) = j Q ( z, t )u z , établir une équation 
différentielle en
T , dite équation de la chaleur. Écrire également une équation différentielle en
jQ .
2
VI.B.3) On pose u = z / t et on admettra que la fonction
2
f ( z, t ) = K 1 ­ ------

u ­2

0 e

d = f ( u )

est solution de l'équation :
2

 f c f
--------2- ­ ------ ------ = 0
 t
z

où K est une constante et  une fonction de  , c et  .
m n p
On suppose qu'on peut écrire  = k c  avec k facteur numérique sans
dimension et m , n , p trois entiers relatifs. Déterminer m , n , p en 
utilisant une
analyse dimensionnelle.

Concours Centrale-Supélec 2010

12/14

PH YSIQUE--CHIMIE Filière PSI

VI.B.4) On s'intéresse à l'équation différentielle concernant jQ. Donner
l'expression de jQ en utilisant la fonction ;" (u) et déterminer la constante K 
.

VI.B.5) Une utilisation d'un logiciel de calcul formel permet de trouver alors
l'expression de T(z, t). Donner la relation qui permet de passer de jQ à T et
exprimer une condition initiale sur T qui permettrait d'expliciter totalement
T(z, t) . Le calcul complet n'est pas demandé.

VI.B.6) (Ji--contre est ,

tracé un réseau de 13]? AT
courbes -
AT(z) = T(z)--TO "ÛÜ;

pour différents ins- _
tants t de 5 s, 10 s et BD--
20 s. En abscisses est
porté 2 exprimé en BD".

mètres et en ordon- ; (3

nées AT en Kelvin. 4Û'.

Identifier la valeur de : (2

t associée à chaque 33". (1)

courbe et déterminer z
l'ordre de grandeur du D 001 ' 0.02' 0.03 ' 0.04' 0.0?

temps nécessaire pour
qu'en 2 = e , la tempé-
rature atteigne 90° C . Comparer à la durée calculée en VIA) et conclure.

Données numériques :

N=lO;R=16,0cm;a=4,00m;e=5,0mm;1=5,0A;
;Mr= 100 ;f=20kHz ;80= 1 9F--m_1;u0=4n10_7Hm_1
36%...

o = 5, 0- 1069--1 -m_1

Capacités thermiques massiques à pression constante pour :

eau : ceau = 4200 J-kg_l--K_l ;métal : c = 400 J-kg_l -K_1 ;
Caractéristiques du métal :
p = 8,0--103kg-m_3 ;x = 50W--m_l--K_l.

Concours Centrale-Supé/ec 2010 13/14

PHYSIQUE-CHIMIE

Filière PSI

Opérateurs vectoriels en coordonnées cylindriques :
Pour V ( r, , z ) :
2
2
1 V
V
1  V
1   V  V
V
gradV = -------- u r + --- -------- u  + -------- u z ; V = --- -----  r 
-------- + ----2-  ---------2- + ---------- .
r 
z
r r  r  r    z 2
r

Pour A ( r, , z ) = A r ( r, , z )u r + A  ( r, , z )u  + A z ( r, , z )u z :
1  ( r Ar ) 1  A  A z
div A = --- ----------------- + --- ---------- + ---------- ;
r 
r r
z
A A
1 A  A
1  ( rA  )  A r
rot A =  --- ---------z- ­ ---------- u r +  ---------r- ­ ---------z- u  + --- 
 ----------------- ­ ---------- u z ;
 r 
 z
r  r
z 
r 

 A
 Ar
1
1
 A =  A r ­ ----2-  A r + 2 ---------- u r +  A  ­ ----2-  A  + 2 ---------- u  
+  A z u z

r
r

On donne la formule vectorielle : rot rot A = grad div A ­  A .
··· FIN ···

Concours Centrale-Supélec 2010

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