Centrale Physique et Chimie PSI 2011

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EDNE[IHHS EENTHHLE'SHFËLEE 4 heures Calculatrices autorisées

2011

Horloge atomique

De nos jours, les horloges les plus précises sont des étalons atomiques de 
fréquence. Depuis 1967, la seconde
est ainsi définie à partir de la résonance hyperfine du niveau fondamental de 
l'atome de césium 133, fixée a
9 192 631 770 Hz. Les meilleurs étalons primaires de fréquence, des horloges de 
type fontaine atomique, atteignent
des exactitudes en fréquence relative de l'ordre de quelques 10--16. Leur 
architecture, imaginée dès les années
1950, n'a pu voir le jour que grâce aux techniques de refroidissement des 
atomes par laser développées à la fin
des années 1980.

Ce problème comprend quatre parties largement indépendantes.

I Ralentissement des atomes par laser

Dans cette partie, on étudie le ralentissement d'un jet d'atomes (de césium 133 
ou de rubidium 87) par un
faisceau laser se propageant dans la même direction que les atomes mais en sens 
opposé. On note ii le vecteur
unitaire donnant la direction et le sens de propagation du laser. La longueur 
d'onde A du laser est choisie de
sorte que les atomes puissent absorber des photons du laser.

I.A -- Force emercée par le laser sur les atomes

On suppose que l'intensité du laser est assez importante pour que le modèle 
proposé dans la suite décrive
correctement l'interaction entre le laser et les atomes. Un atome dans l'état 
fondamental qui se situe dans le
faisceau laser absorbe un photon quasi--instantanément. L'atome reste alors 
excité pendant une durée moyenne
notée 7', puis il se désexcite en émettant un photon dans une direction 
aléatoire. En moyenne, les photons réémis
ne modifient donc pas la quantité de mouvement de l'atome : seuls les photons 
absorbés contribuent à ralentir
les atomes.

I.A.1) Les photons constituant le faisceau laser sont tous identiques, ils 
possèdent une quantité de mouvement
dont la norme est égale à la constante de Planck h divisée par la longueur 
d'onde À. Déterminer l'unité de la
constante de Planck h en fonction des unités de base du Système International.

I.A.2) Lors de l'absorption d'un photon par un atome, l'ensemble {atome + 
photon} peut être considéré
comme un système isolé. Quelle relation existe--t-il entre la quantité de 
mouvement de l'atome après l'absorption
et sa quantité de mouvement avant l'absorption?

I.A.3) Déterminer la variation moyenne 55 de la quantité de mouvement d'un 
atome qui se situe dans le
faisceau laser pendant une durée ôt très supérieure à 7'.

I.A.4) En déduire l'expression de la force moyenne F exercée par le laser sur 
un atome en fonction de h, À,
T et il.

I.A.5) Pour le rubidium 87 on a A ": 0,8 nm et T ": 0,5 ,as. Déterminer l'ordre 
de grandeur de la norme a de
l'accélération subie par un atome dans le faisceau laser. Calculer 
numériquement le rapport de l'accélération a
et de l'accélération de la pesanteur, g : 10 m - s"2, commenter.

I.B -- Distance nécessaire pour arrêter les atomes

Dans le référentiel R du laboratoire, les atomes (de rubidium ou de césium) 
sortent du four a la vitesse iîg = "00635.
À partir de la position 17 = 0, ils sont soumis a une accélération constante a 
= --aê'OE. Le poids étant négligeable,
le mouvement des atomes est rectiligne. On considère un atome qui passe en x = 
0 a l'instant t = 0, on note
oe(t) sa position et v(t) sa vitesse suivant ë'oe. L'objectif de cette question 
est de déterminer la distance nécessaire
pour arrêter l'atome.

I.B.1) Déterminer v(t), en déduire la coordonnée æ(t).

I.B.2) Déterminer les expressions de la durée T du trajet ainsi que la longueur 
L nécessaire pour que l'atome
soit arrêté.

I.B.3) On suppose que les atomes présents dans le four et ceux qui viennent 
juste d'en sortir sont à l'équilibre
thermodynamique. Sachant que le four est porté à 120°O, déterminer 
numériquement la vitesse quadratique
moyenne a la sortie du four pour le césium et pour le rubidium.

I.B.4) En prenant vo égale à la vitesse quadratique moyenne a la sortie du 
four, déterminer l'ordre de
grandeur de T et de L (on prendra a : 105 m -- 5--2).

I.C -- Changement de fréquence du laser

Dans cette question, nous allons montrer que la fréquence du laser « vue » par 
l'atome varie lorsque la vitesse de
ce dernier est modifiée. On appelle R le référentiel du laboratoire, on note m 
la coordonnée cartésienne suivant
ê'gg dans R. On appelle R' un référentiel en translation par rapport a R a la 
vitesse "D' = vé}... on note sc' la
coordonnée cartésienne suivant 54 = EUR} dans R' . À l'instant t = 0, on a a" = 
oe (les origines des repères associés
à R et R' coïncident).

I.C.1) Déterminer l'expression de x' en fonction de $, 11 et du temps t dans le 
cadre de la relativité galiléenne.

I.C.2) On considère une onde électromagnétique plane progressive 
monochromatique se propageant dans le

sens des m décroissants. On note f sa fréquence et À sa longueur d'onde dans le 
référentiel R. Écrire l'expression
de la phase (1) de cette onde en fonction de a:, t, f et À.

I.C.3) On considère cette même onde dans le référentiel R', on note ]" sa 
fréquence et X sa longueur d'onde
dans R' . En supposant que la phase @ est invariante par changement de 
référentiel, déterminer l'expression de
la fréquence f en fonction de f' , X et @.

I.C.4) Avec U > D, dans quel référentiel la fréquence de l'onde est--elle la 
plus élevée? Donner une interpré--
tation simple de ce résultat.

1.0.5) En utilisant la relation de dispersion dans le vide, exprimer f en 
fonction de f' , de v et de c, célérité
de la lumière dans le vide. On constate que la fréquence de l'onde dépend de la 
vitesse 11, comment nomme-t-on
cet effet ?

I.C.6) Une approche totalement cohérente de ce problème nécessite l'utilisation 
de la relativité restreinte.
Vérifier que, au premier ordre en 'U/C, la formule relativiste

1 -- v/c
f=fdÎ----
+ v/c
redonne bien la formule obtenue dans la question précédente.

I.D -- Chirp cooling

Pour résoudre le problème posé par l'effet mis en évidence dans la question 
précédente sur le ralentissement
des atomes, nous allons étudier une solution appelée « chirp cooling >>. On 
note fg la fréquence de résonance
correspondant à l'absorption d'un photon par un atome sur la transition 
utilisée pour le ralentissement. Pour
qu'un photon soit absorbé, sa fréquence f' dans le référentiel de l'atome doit 
donc être égale à fg.

I.D.1) Montrer que, pour pouvoir arrêter le plus rapidement possible un atome 
qui passe en 1" = 0 a l'instant
t = 0, la fréquence f (dans le référentiel R du laboratoire) du laser 
ralentisseur doit dépendre du temps de la
manière suivante :

f©=h+h%<%--Ù où Ug est la vitesse initiale de l'atome et T est le temps mis pour arrêter complètement l'atome. I.D.2) Que se passe-t-il si la fréquence varie plus rapidement que dans la question précédente? Que se passe--t--il si la fréquence varie moins rapidement ? I.D.3) On note A f l'excursion en fréquence nécessaire pour arrêter un atome qui sort du four a la vitesse vg : 3 >< 102 m - s_1. Déterminer numériquement l'excursion relative en fréquence A f / fg du laser ralentisseur, en déduire son excursion relative en longueur d'onde AÀ/Àg. I.D.4) Pour le rubidium, la longueur d'onde de résonance est Àg = 780 nm. Dans quel domaine du spectre électromagnétique se situe cette résonance ? Calculer numériquement la fréquence de résonance fg et l'excursion en fréquence A f . Calculer, en joule puis en électron-volt7 la différence d'énergie entre les niveaux utilisés pour ralentir les atomes de rubidium. I.D.5) L'atome soumis a l'onde électromagnétique du laser peut être modélisé comme un oscillateur harmo- nique soumis a une excitation sinusoïdale. Le pic de la résonance en fréquence a une largeur totale a nui--hauteur 6 f = 5,9 MHZ. Déterminer l'ordre de grandeur du facteur de qualité de cet oscillateur. Déterminer la largeur totale à mi--hauteur du pic de résonance en longueur d'onde 6À, cette valeur vous semble-t-elle surprenante ? II Les alcalins II.A -- Propriétés des alcalins Les alcalins, formant la première colonne de la classification périodique, doivent leur nom a leur réaction quan-- titative et violente sur l'eau qui conduit à la formation d'une solution basique et de dihydrogène. Le césium (Cs) et le rubidium (Bb) sont deux éléments de cette famille. II.A.1) Citer deux autres alcalins. II.A.2) L'hydrogène, situé dans la première colonne de la classification, n'est pas considéré comme un alcalin. Donner une propriété distinguant l'hydrogène des alcalins. II.A.3) Donner un argument justifiant la différence entre l'enthalpie de première ionisation et l'enthalpie de deuxième ionisation des alcalins. On s'appuiera sur les valeurs données pour Cs et Rb. II.A.4) Quel est l'ion le plus stable d'un alcalin M? Pourquoi? Quel est le type de liaison que vont former les alcalins ? II.A.5) Cet ion est stable dans l'eau. Ecrire la réaction entre une mole du métal alcalin M et l'eau. Quelle est la nature de cette réaction ? II .B -- Cfistallogmphie II.B.1) Le césium et le rubidium métalliques solides possèdent une structure cristalline cubique centrée. Quel est la coordinence de la structure '? Exprimer sa compacité C' et la calculer. C est-elle maximale? II.B.2) Exprimer le paramètre de maille (103 puis le rayon atomique TCS du césium en fonction de la masse volumique 1105, de la masse molaire MOS et du nombre d'Avogadro NA. Application numérique. II.B.3) Calculer le rayon atomique du rubidium 71%. Est-ce conforme à la position relative des éléments Rb et Cs dans la classification périodique, déduite des numéros atomiques ? II.C -- Eætraction liquide-liquide Un soluté S est soluble dans deux solvants, l'un organique, l'autre aqueux. On notera avec les indices org et aq les grandeurs relatives respectivement au solvant organique et au solvant aqueux. Les deux solvants ne sont pas miscibles et forment deux phases, la phase organique surnageant sur la phase aqueuse. V...g est le volume de la phase organique, Vaq celui de la phase aqueuse (figure 1). VOrg Phase organique Phase aqueuse Figure 1 Le soluté S peut migrer entre les phases. Il s'établit alors l'équilibre Saq = Sorg, de constante Keæ, appelée constante d'extraction. II.C.1) Soient as l'activité, 115 le potentiel chimique et N°5 le potentiel chimique standard du soluté S en solution, a une température T donnée. Donner la relation entre as, /...L5, ,u%, R et T. Si le soluté S est en équilibre entre les deux phases, quelle relation existe-t-il entre les potentiels chimiques ,uS aq et 113 org ? En déduire l'expression de la constante d'extraction Keoe en fonction de Nos aq, u% org, R et T. Dans toute la suite du problème, on fait l'hypothèse que les solutions sont sufiisamment diluées pour que les activités soient identifiées aux concentrations. II.C.2) Initialement, S est uniquement présent dans la phase aqueuse, en quantité No (exprimée en mole). Quelle est la quantité maximale N du soluté S que l'on peut obtenir dans la phase organique? On écrira N sous la forme N : No/(1 + a) et on exprimera & en fonction de Kw, Vorg et V.... A.N. Pour Kw = 1,0 >< 10--5, calculer numériquement le rapport des volumes Vmg/Vaq permettant d'extraire 99% du soluté de la phase aqueuse ? Commenter. La constante d'extraction est en général très faible pour des composés comme les thiocyanates alcalins M(SCN). Pour augmenter l'efficacité de l'extraction, on utilise les propriétés complexantes de ligands organiques, tels les calixarènes. Le solvant organique (dichloroéthane) contient en solution le ligand, neutre, noté L, susceptible de former un complexe avec le thiocyanate alcalin M(SCN)OOE, selon la réaction, de constante K ; : M(SCN) + nL...g = L,,M(SCN) Kf (11.1) org org Le ligand L est insoluble dans la phase aqueuse. II.C.3) Exprimer, à l'équilibre entre les deux phases, la quantité totale N ' de thiocyanate alcalin extraite de la phase aqueuse, en fonction de No, K f, [Long], 71 et &. Montrer que la présence du ligand revient à remplacer la constante d'extraction Kem par une nouvelle constante Kéæ. A.N. Pour K f = 1085, n = 1 et des volumes va..., et V...fg égaux, calculer numériquement la concentration du ligand [Lorg] pour extraire 99% du thiocyanate alcalin ? Commenter. II.D -- Stoechz'ométrz'e de la compleoeation On se propose de déterminer expérimentalement la valeur de l'indice de complexation n pour le complexe du rubidium. Le mode opératoire est le suivant : 0 On dissout une quantité fixée de thiocyanate de rubidium dans un volume V d'eau distillée. La concentration du soluté Rb(SCN)aq est co = 0,1 mol - L']. o La solution précédente est mise en contact avec un volume V d'une solution organique contenant une concentration initiale CL0 de ligand Lorg. Les deux volumes sont identiques. . Après agitation, on laisse décanter le mélange puis on mesure la concentration du complexe L,,Rb(SCN) dans la solution organique. . Le protocole est répété plusieurs fois, en conservant la concentration co mais en changeant à chaque fois la concentration CLD. II.D.1) Montrer qu'à l'équilibre la concentration de Rb(SCN) de CL0 si cLO << co. II.D.2) On note 05 : [Lan(SCN)]OOE. En déduire que log...(oe) est une fonction affine de log...(c,;0 -- nm), de pente n (où log... désigne le logarithme de base 10). org org dans le solvant organique est indépendante II.D.3) Les résultats sont donnés dans le tableau suivant : cLO (mol - L--1) 9,60 >< 10-5 2,60 >< 10-4 6,80 >< 10-4 1,00 >< 10-3 sa (mol - L--1) 3,98 >< 10--5 1,00 >< 10--4 2,82 >< 10--4 3,98 >< 10--4 Vérifier graphiquement que la valeur n = 1 est compatible avec les valeurs expérimentales. On placera les points sur un graphe où les axes seront les suivants : o en abscisse, log10(cLo -- nsc) de --5 à --3 (3 cm par unité de log...) ; o en ordonnée, log...(m), de --5 à --3 (3 cm par unité de log10). Dans toute la suite du problème, on prendra n = 1. ILE -- Eætmction par membrane liquide Dans ce processus, trois phases liquides sont présentes, une phase organique (chloroforme) séparant deux phases aqueuses I et Il (figure 2). Les interfaces entre phases sont de même aire E. agitateurs Phase réceptrice 11 Phase d'alimentation 1 lMI I l (75) CD = 0,1 mol - L"1 _ Vaq = 100 mL [M ] (t) interfaces V _ 1001 L Membrane (phase organique) "' _ m 0,30 = 7 >< 10_4 mol - L'1 [Mag] (t) l/org Figure 2 phase d'alimentation phase organique phase réceptrice [LM(SCN)]org interface 1 interface 2 Figure 3 La phase aqueuse I est la phase d'alimentation, de volume Van = 100 mL. Elle contient le thiocyanate alcalin M(SCN)aq à la concentration initiale co = 0,1 mol - L"1. La phase aqueuse II est la phase réceptrice. Elle est constituée au départ d'eau distillée. Son volume est V.... La phase organique forme la « membrane » liquide, de volume VOrg = 160 mL. Elle contient le ligand Lorg à la concentration initiale CL0 = 7 >< 10"4 mol - L"1. Le ligand Lorg et le complexe LM(SCN)org sont considérés ici insolubles dans les phases aqueuses. On négligera le thiocyanate alcalin dans la phase organique : [M(SCN) : 0. II.E.1) Soit c la concentration d'un soluté, j' le vecteur densité de courant de particules de ce soluté et D le coefficient de diffusion du soluté. Rappeler la loi phénoménologique de Fick de la diffusion. Quelles sont des unités S.I. possibles pour || j' || et D '? La valeur de D dépend-elle de la nature du solvant pour un soluté donné ? org] II.E.2) On suppose qu'il n'y a pas d'accumulation de matière aux interfaces. Par conservation d'une entité que l'on précisera, établir la relation entre les vecteurs ÏM(SCN) et ÏLM(SCN) à chacune des interfaces (figure 4). Déduire de l'équation 11.1 la relation entre j'L et ÏM(SCN) a chaque interface. --» _) _» .7L1 ëOE ( JL2 ÎM(SCN)1 ÎM(SCN)2 ÎLM(SCN)1 ÎLM(SCN)2 ) interface 1 interface 2 Figure 4 On note les concentrations des espèces contenant le métal alcalin [M1](t) dans la phase I, [MH](t) dans la phase II (le thiocyanate M(SCN)3q) et [Morg](t) (le complexe LM(SCN)OOE), loin des interfaces. On admet que [LM(SCN)OÏg](int1) : 01 et [LM(SCN) int2) = 0, où 01 est une constante pour une durée limitée 0 < t < T. II.E.3) L'agitation mécanique permet d'homogénéiser les concentrations dans chacune des trois phases. En conséquence, les gradients de concentration sont localisés sur une épaisseur 5 faible devant les échelles du système, de part et d'autre des interfaces (figure 5). Montrer que ÏLM(SCN)1 peut s'y exprimer sous org] ( la forme approchée ÏLM(SCN)1 = --D'(c(ô) --c(0))ë} et donner l'expression de D' . t f en fonction de D et 6 . Quel rôle physique peut--on donner au signe moins devant 1n er ace D' ? Figure 5 II.E.4) Par souci de simplicité, D' sera pris par la suite identique dans tous les solvants. Montrer qu'alors l'évolution des concentrations forme le système suivant, pour 0 < t < T : dlM1l dt = --k (01 -- [Morg]) (11.2) d[AËÎÊ] = k' (c1 -- 2[Mmg]) (11.3) dlM ] _ dt" _ k[Morg] (11.4) et exprimer le et H en fonction de D' , coefficient de diffusion du complexe, E, Vorg et Vaq. Donner les dimensions de k et k' . Quelle est l'équation différentielle vérifiée par [Lorg](t) seule? II.E.5) Donner la solution de l'équation 11.3 et de l'équation 11.4 pour 0 < t < T. II.E.6) Associer, en le justifiant, les courbes (a), (b) et (c) de la figure 6 à l'espèce chimique concernée, parmi M], MH, Morg ou Lorg. concentrations Figure 6 II.E.7) La vitesse de transfert 11 est définie par la pente de l'asymptote a 25 grand de la courbe (b). Déterminer numériquement les vitesses de transfert (dont on donnera l'unité) pour le rubidium et le césium : Rb CS 15 (u 81.) 5,56 >< 10--4 5,09 >< 10-4 01 (mol - L_1) 1,03 >< 10_5 2,72 >< 10--5 On considère une phase d'alimentation aqueuse contenant les ions rubidium et césium en concentrations égales co = 0,1 mol - L". II.E.8) Au bout d'un temps assez long (t >> T) pour que l'équilibre soit 
atteint entre les trois phases
(saturation des solutions), quelles sont les concentrations [R,b11] et [0811] 
dans la phase réceptrice? On pourra
se contenter de donner une valeur approchée, en justifiant l'approximation.

II.E.9) Les vitesses de transfert restent celles de la question II.E.7. Si l'on 
veut enrichir la solution en
rubidium, quel est l'ordre de grandeur de la durée durant laquelle la phase 
réceptrice reste en contact avec la
membrane '? Comment pourrait-on procéder pour éviter la saturation ?

III Principe de l'horloge atomique à césium

III.A -- Principe de l'interrogation de Ramsey

L'interrogation de Ramsey consiste à appliquer aux atomes deux excita--
tions de faible durée 7' dans des cavités électromagnétiques, espacées d'une
durée longue T durant laquelle les atomes volent librement. Dans le modèle
mécanique présenté ici, on considère un oscillateur de pulsation propre ôw,
constitué d'une masse m liée à un ressort horizontal de raideur k, de masse
négligeable, et de longueur à vide 60. On néglige toute force de frottement
sur la masse. On note sc l'abscisse de la masse m, l'origine étant prise a la
position d'équilibre (figure 7).

Figure 7

III.A.1) À partir de l'instant initial t = 0 où la masse est au repos et

jusqu'à l'instant T, la masse m est soumise à une force horizontale Ë' = mwîA0 
cos(w1t) ê}c. On prendra 11117" = 7r
et 6w7' << 1. Etablir l'équation du mouvement en 220EUR) pour 0 < t < T et donner sa solution. Pour 75 > T,
l'oscillateur est libre; montrer que x1(t) = 2A0 cos(ôwt) est une solution 
approchée de l'équation du mouvement
pour t > T.

III.A.2) À partir d'un instant t = T + 7' ultérieur, on exerce une force Ë' = 
mwîA0 cos (w1(t -- T -- T)) ê},
pendant la même durée 7'. Pourquoi a:2(t) = m1 (t) +oe1 (t--T--7') est-elle une 
solution approchée pour t > T+27' ?
Déterminer une expression approchée de l'amplitude positive oemax des 
oscillations libres pour t > T + 27 en
fonction de 5w, A0 et T.

III.A.3) Représenter le signal x(t) de t = 0 a t > 27" + T, pour les cas ôwT = 
27m et ôwT = 27m + 71" où n
est un entier. Quelle analogie vous inspire le rôle du terme 6wT?

III.A.4) Exprimer l'énergie mécanique 8 de l'oseillateur pour t > T+ 27' en 
fonction de A0, ôw, k et T. Si la
largeur de la courbe donnant l'énergie 8 en fonction de 5 f : 5w/27r est 
estimée par l'écart entre deux minima
de l'énergie 8 , quelle est la plus faible variation de fréquence 5 f 
détectable ?

III.B -- L'horloge atomique

L'horloge est composée d'un oscillateur macroscopique (à quartz par exemple) de 
fréquence f asservie sur la
fréquence fo = 9 192 631 770 Hz de la transition entre deux niveaux d'énergie 
de l'atome de césium. On procède
de la façon suivante (figure 8).

0 On prépare un nuage d'atomes dans l'état fondamental d'énergie minimale.

. Les atomes sont sondés lors de leurs passages successifs, de durées T, dans 
deux cavités où règne un champ
électromagnétique de fréquence f. Selon l'écart de fréquence 5 f = f -- fo, les 
atomes sont excités dans une
plus ou moins grande proportion. L'énergie 5 (6 f) du nuage d'atomes a la 
sortie de la seconde cavité est
maximale si 6 f = O. Le temps de vol T entre les deux cavités est très 
supérieur à T.

0 On corrige la fréquence f de l'oscillateur de manière à rester au voisinage 
de l'énergie maximale.

Première cavité excitatrice Seconde cavité excitatrice

Détection et
mesure de 8

Jet d'atomes dans
l'état fondamental

génération des champs excitateurs
de fréquence f

Oscillateur
fréquence f

Correction
de fréquence

Figure 8

On admet que l'énergie 8 du nuage d'atomes est égale à la composante SZ d'un 
vecteur S' (appelé spin fictif) :
EUR = S' - EUR}. Le spin fictif S possède les propriétés suivantes (on ne 
cherchera pas à justifier ces équations) :

0 a l'entrée de la première cavité, S'(t = 0) = --80ê'z avec 50 > 0;
0 durant la traversée de l'horloge, Ë(t) obéit à l'équation % : (Ü /\ S', avec 
(D' = w1ê'y dans chacune des deux

cavités et 03 = ôwë} durant le vol libre entre les cavités.
On a 5w = ôf/27r = (f -- fo)/27T et 011 est choisie de sorte que w17' = 7r/2; 
de plus 501 << .... III.B.1) Montrer que si (D' est constant, alors ||Ë(t)|| = 80 et Ë'(t) - &? : cte. Préciser la transformation géométrique subie par le vecteur S'(t). III.B.2) Tracer les vecteurs S' aux différents instants indiqués sur la figure 9 pour 5wT : 27m où n est _, un entier. Quelle est l'énergie 5 du nuage a la sortie de la seconde cavité? Tracer les vecteurs S aux mêmes instants pour ôwT : 27m + 7r. Quelle est l'énergie S' à la sortie de la seconde cavité '? l l l + _ _ t=71+T t=2fi+T Figure 9 III.B.3) Déterminer l'énergie 5(ôwT) du nuage en sortie pour ôwT quelconque. III.B.4) La fontaine atomique permet de mesurer l'énergie EUR du nuage pour différentes valeurs du désaccord 6 f = f -- fo. L'incertitude A f sur la fréquence f de l'horloge est estimée par l'écart entre deux minima d'énergie. Déterminer l'expression de A f en fonction de T. III.B.5) Les atomes provenant d'une source thermique se déplacent à la vitesse moyenne vo : 200 m - s"1. La distance qu'ils parcourent entre les deux cavités est d = 1,0 m. Quelle incertitude relative AT/T sur la période T = 1 /f peut-on attendre d'une telle horloge (on donnera la réponse en secondes par année) ? Comment pourrait--on améliorer cette horloge ? III.C -- La fontaine atomique L'horloge est placée verticalement et les atomes sont lancés vers le haut, dans le vide. Les atomes traversent une première fois une cavité d'interrogation (où ils inter- agissent avec le champ excitateur), puis ils ralentissent sous l'effet de la pesanteur, rebroussent chemin et traversent une deuxième fois la même cavité (où ils inter-- agissent a nouveau avec le champ). Ils sont ensuite détectés. Il s'agit donc d'une E' ca __ interrogation de Ramsey spatialement repliée. La zone d'interrogation est conçue de g g: % \ ) . . ) @ façon a preserver les atomes des fluctuations de l'env1ronnement (figure 10). 2° % Ë. .\ . . . . . . >--*-- ("D

III.C.1) Les premieres fontaines utilisaient des jets thermiques d'atomes, de % 
m @

vitesse moyenne vo : 200 m - s"1 en sortie de cavité. Quelle est la hauteur Hg 
du jet

et la durée To séparant les deux passages des atomes dans la cavité? Commenter.
Si le jet doit avoir une hauteur H1 : 1,0 m, quelle doit être la vitesse 
verticale 121
des atomes a la sortie de la première cavité? Calculer numériquement "ul ainsi 
que
le temps de vol T1 correspondant (on prendra g = 9,8 m - 5--2).

cavité
excitatrice

III.C.2) Le refroidissement laser permet d'obtenir un jet homocinétique d'une
centaine d'atomes, de vitesse 01. Quelle incertitude relative AT/7' (en ms/ an) 
sur
la période 7' peut-on attendre d'une horloge à atomes froids? La stabilisation 
en

' ?
fréquence améliore ce rapport a AT / T = 10--16. Jet d atomes

ascendant
Figure 10

III.D -- Décalage de fréquence

Le tube a vide, protégeant le jet d'atomes, est cylindrique, de rayon R, de 
hauteur H grande devant R. Ses
parois métalliques sont supposées parfaitement conductrices et sont portées à 
la température 90. Il règne alors
dans ce tube un champ électromagnétique a symétrie cylindrique que l'on décrit 
par les vecteurs suivants :
E = Ez(r,t)ê'z; Ê = Bg(r,t)ëg.

III.D.1) Montrer que les champs proposés sont compatibles avec deux équations 
de Maxwell. Écrire deux
équations différentielles couplées en EZ et B9. Quelles sont les conditions aux 
limites imposées par le cylindre ?

III.D.2) En déduire une équation aux dérivées partielles du second ordre pour 
EZ. On cherche les solutions
sinusoïdales complexes dans le temps en posant Æ(r, t) : E(r)ejw'. Montrer que 
E(r) vérifie l'équation
d2E dE

2 _
Tfi+Ë+CLTE--O

où l'on donnera l'expression de a.

III.D.3) Les solutions de l'équation précédente s'écrivent E (T) : Jg(ar) où Jo 
est appelée fonction de Bessel
d'ordre 0. Le graphe de la fonction Jo(oe) est représenté sur la figure 11. On 
note x,, le nième zéro positif de
cette fonction. Donner les pulsations ca,, possibles du champ électrique en 
fonction de R, c et svn. La solution
appelée « mode n >> s'écrit Ezÿn(r, t) : E...]g (?"/rn) cos(wnt) où E,, et T,, 
sont des constantes. Donner l'expression
de T,, en fonction de R et a:... Calculer numériquement la pulsation ... et la 
fréquence f1 correspondante pour
R = 5,00 cm (on donne 351 = 2,40).

0.8

0.6

0.4

0.2

Figure 11

III.D.4) On note J1(æ) = --dJâÿ(cx'. Exprimer le champ magnétique Bg_n(7', t) 
du mode n en fonction de J1,
E... 7"... wn et 0. Donner l'expression de la densité d'énergie 
électromagnétique u E M(7", t) du mode n ainsi que
sa moyenne temporelle  en fonction de J0, J1, E... R, as,, et EQ.

III.D.5) On note  l'énergie électromagnétique moyenne du mode 77. = 1 dans 
toute la cavité. Exprimer
 en fonction de E... R, H, as,, et 50. On donne [0361 :E [Jâ(æ) + JÎ(OE)] 
dm : 1,56. Quelle est la valeur
maximale de l'amplitude du champ électrique du mode n = 1 si  = 16300 ?

AN. 90 = 300 K, E: 1 m.

III.D.6) L'agitation thermique des atomes de la paroi excite un nombre de modes 
N tel que %wN : k390
où h est la constante de Planck et 193 la constante de Boltzmann. En supposant 
que mn = mr pour n grand,
évaluer le nombre N de modes excités. Les modes de champs non étudiés ici 
permettent d'écrire l'énergie
électromagnétique U dans le cylindre sous la forme

7T3H

=--N3k &
U R BO

En déduire une évaluation du champ électrique moyen E dans le cylindre.

A.N. Calculer E.

III.D.7) Ce champ électrique moyen est responsable d'un décalage 5 f E de la 
fréquence propre fo des atomes
de césium, donné par ôfE : la; E2 où [@ = --2,27 >< 10_10 Hz - m2 - V"2. Comment 6fE dépend-il de la température ? Calculer numériquement 5fE et [5 f E / fg]. Commenter, sachant que l'on peut atteindre actuellement une stabilité 5 f / fo : 10--16. Quelle serait l'incertitude sur la mesure du rayon RT de la Terre si on avait la même précision qu'une horloge atomique? On donne RT = 6400 km. IV Détection et asservissement I V.A -- Détection du nombre d'atomes et mesure de l'énergie Dans cette question, on montre comment l'énergie du nuage d'atomes est mesurée dans la fontaine atomique. Contrairement au modèle classique, on considère ici que les atomes ne peuvent se trouver que dans deux états : l'état 1 d'énergie --E0 < 0 ou bien l'état 2 d'énergie +E0 > 0. En tombant sous 
l'effet de la gravité, après avoir
traversé la cavité micro--onde, le nuage d'atomes traverse le faisceau laser 1 
dont la longueur d'onde est choisie
pour détecter les atomes dans l'état 1; il passe ensuite dans le laser 2 qui 
permet de détecter les atomes dans
l'état 2. Pour simplifier, on suppose que le faisceau laser 72 (i = 1 ou i = 2) 
forme une « nappe de lumière »
d'intensité uniforme, considérée comme infinie dans le plan horizontal, 
comprise entre les altitudes z,» et 2,-- + EUR
(voir la figure 12). L'épaisseur e suivant la verticale est très faible devant 
la taille du nuage atomique (cette
condition n'est pas respectée sur la figure 12). Les atomes dans l'état 1 
(respectivement dans l'état 2) sont
excités par le laser de détection 1 (resp. laser 2), puis ils émettent de la 
lumière en se désexcitant; cette lumière
dite de fluorescence est recueillie par un système optique pour être envoyée 
sur le détecteur D1 (resp. D2).

z
Z (75)
\ / Z] | EUR
\ , 251
22 + e
22

Figure 12

Lors de la détection la taille du nuage reste pratiquement constante, la 
densité d'atomes dans l'état 1 en un
point de l'espace de coordonnées (ac, y, z) a l'instant t est bien modélisée 
par :

Nl ( æ2+y2+(z--Z(t))2>

n a:, ,z,t =
1( y ) (a 271" 202

où N1 représente le nombre d'atomes dans l'état 1 et Z (15) désigne la position 
du centre du nuage d'atomes
suivant la verticale à l'instant t.

IV.A.1) Déterminer l'unité SI de a et donner sa signification physique. Par 
analogie avec la mécanique des
fluides, qualifieriez-vous la grandeur ... de Lagrangienne ou d'Eulérienne 
(justifier votre réponse) ?

IV.A.2) On note 7% la puissance lumineuse reçue par le détecteur D1 due a un 
atome dans l'état 1 situé dans
le faisceau laser 1 (on suppose que P0 est indépendante de la position de 
l'atome dans le faisceau). Déterminer la
puissance totale 791(t) reçue à l'instant t par le détecteur D1 en fonction de 
'Pg, N1, 0, Z(t), 21 et de l'épaisseur
@ des faisceaux laser; on rappelle que e est très petit devant 0 et on donne

+00 u2
/ exp (----) du = oV27r

2
_OO 20

IV.A.3) Tracer l'allure de la fonction 731(t) enregistrée par le détecteur. 
Est--elle rigoureusement symétrique
par rapport a son maximum? Pourquoi?

IV.A.4) La puissance lumineuse Pg(i) reçue à l'instant t par le détecteur D2 a 
la même expression que 731(t)

a condition de remplacer 21 par 22 et N1 par le nombre N2 d'atomes dans l'état 
2. À l'aide d'un ordinateur, on
détermine l'aire sous la courbe 'Pi (t) notée A,. Montrer que l'énergie totale 
du nuage d'atomes est proportionnelle
a % (on suppose que la vitesse du nuage reste pratiquement constante sur toute 
la zone de détection).
Sachant que cette mesure va être répétée a chaque cycle de fonctionnement de la 
fontaine pour différentes

valeurs de la fréquence micro--onde, quel est l'intérêt de diviser A1 + A2 '?

I V.B -- Asservissement de l'oseillateur macroscopique sur la fréquence atomique

Le signal de l'Horloge est donné par un OSCILLATEUR macroscopique de fréquence 
fH. Bien que très stable, la
fréquence f H (t) de cet oscillateur est susceptible d'évoluer dans le temps 
sous l'effet de différentes perturbations,
c'est pourquoi il est nécessaire de l'asservir sur une fréquence atomique de 
référence fo.

Le schéma fonctionnel de l'asservissement est représenté sur la figure 13. Le 
signal d'erreur @, est construit
dans le bloc DÉTECTION a partir de la mesure de la fluorescence de l'énergie 5 
du nuage atomique. L'énergie
5 (5 f ) dépend du désaccord 5 f = f -- fg entre la fréquence micro--onde f et 
fréquence atomique fg (interrogation
Ramsey). Comme nous le verrons dans la suite, pour asservir l'horloge sur la 
fréquence atomique fg, il n'est pas
possible d'utiliser une fréquence micro-ondes f simplement égale à la fréquence 
fH de l'horloge (comme cela
était le cas dans la partie III).

Signal

OSCILLATEUR

DÉTECTION

Figure 13

L'horloge atomique fonctionne par cycles de durées Tg, on note fk = f H (1% 
=kTg) la fréquence de l'oscillateur
macroscopique au début du k'ème cycle (pour t=kTg). Au cours de chaque cycle, 
une première expérience est
réalisée avec une fréquence micro--onde f = fk + A, puis une seconde avec une 
fréquence micro--onde f = f,, -- A,
où A est une constante positive choisie pour optimiser l'asservissement. On 
construit ainsi un signal d'erreur
6], (homogène à une fréquence) pour le k'ème cycle :

e.=G>< (5(fk+À--fO)--g(fk--A--fo)) où G est un facteur de gain constant. Enfin, on admet que près de la résonance (pour des valeurs pas trop élevées du désaccord 6 f = f -- fg), l'énergie totale du nuage est donnée par EUR (5 f ) = 8g cos (27r T5 f ) où T est le temps de vol des atomes dans la fontaine et Sg une constante positive. IV.B.1) Montrer que pour |fk -- fg| << 1/T, le signal d'erreur 6}, est proportionnel à 5f;ç = fk -- fg. On exprimera la constante de proportionnalité en fonction de G et de la pente P = d(+gf)(A) calculée en 5 f = +A (on rappelle que l'énergie 5 est une fonction paire de 6 f) Pourquoi n'est--il pas possible de générer un signal d'erreur sur le sommet de la frange centrale 5 f = 07 IV.B.2) Pour optimiser l'asservissement, on choisit de prendre A : âT. Justifier ce choix. Donner alors l'expression du signal d'erreur @ en fonction de G, Eg, T et 6fk. IV.B.3) Déterminer la fréquence fk+1 de l'oscillateur macroscopique pour le cycle k + 1 en fonction de G, Sg, T, fg et fk. Quel doit être le signe du gain G pour que l'asservissement fonctionne correctement (justifier votre réponse)? On observe l'évolution de la fréquence fH(t) de l'horloge sur des durées très grandes devant Tg; on rappelle que fH(kTo) = fk. Dans l'hypothèse où GEgT << 1, déterminer l'équation différentielle vérifiée par fH, on introduira une constante de temps 7' à exprimer en fonction de G, Eg, T et Tg. IV.B.4) L'hypothèse G8gT << 1 n'est pas vérifiée dans les vraies horloges atomiques car le gain est choisi pour avoir une constante de temps de l'ordre de 3 cycles; on suppose néanmoins que l'équation différentielle obtenue à la question précédente peut s'appliquer. La fréquence de l'oscillateur macroscopique subit une perturbation extérieure qui cesse à l'instant to, on note A f H = fH(tg) -- fg. Déterminer l'expression de la fréquence fH de l'horloge pour t > tg en fonction de fg, AfH, 7', tg et t.

Formulaire

cos(a) + cos(b) = 2 cos (" '2* ") COS  ___Ôf _13f _Ôf
gradf-erä+egïä+ezä

IÊ'ËÂ-- EUR 1 ôAZ 8A0 . ë* ÔA,... ÔAz | EUR 1 Û(T'A9) 13A,...
_ r I 9 62 37' | z ')" ôr r 69

Constantes physiques :

Célérité de la lumière dans le vide (: = 3,00 >< 108 m - 5--1 Charge élémentaire @ = 1,60 >< 10_19 C Permittivité du vide 50 = 8,85 >< 10"12 F - tn"1 Constante de Planck h = 6,63 >< 10"34 U.S.I. Constante de Boltzmann 165 = 1,38 >< 10"23 J -- K_1 Nombre d'Avogadro NA = 6,02 >< 1023 mol--1 Données relatives au rubidium et au césium : Rb Cs Numéro atomique Z 37 55 Masse molaire M (g - mol--1) 87 133 Masse volumique ,u (kg - m_3) 1532 1879 Enthalpies de première ionisation (kJ - mol--1) 403,0 375,7 Enthalpies de deuxième ionisation (kJ -- mol--1) 2633 2234 oooFINooo