Centrale Physique et Chimie 2 PSI 2015

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Motorisation et mise au point autofocus

L'autofocus, AF, ou mise au point automatique, permet de régler la netteté de 
l'image que donne un instrument
d'optique. La plupart des appareils photographiques peuvent êtres couplés à des 
objectifs comportant une
motorisation AF : un moteur (et un dispositif mécanique) va permettre de 
translater tout ou partie du dispositif
optique le long de son axe. Or quand on regarde les caractéristiques techniques 
de certains objectifs de la marque
Canon®, par exemple, pouvant être fixés sur un même boitier de la même marque, 
on constate que le type de
motorisation peut être différent comme dans l'exemple donné figure 1.

L'objectif EF 50 mm 121.2 L USM (à gauche) possède une motorisation 
ultrasonique (UltraSonic Motor).
Le modèle EF 50 mm 1:18 II (au milieu) quant à lui possède une motorisation 
classique avec un micro-
moteur à courant continu. Enfin, le modèle EF 40 mm 1:2.8 STM (à droite) 
possède une motorisation
pas à pas (Stepper Technology Motor) et est monté sur cette image sur un 
appareil EOS GOOD.

Figure 1 Trois objectifs autofocus

L'objet de ce problème est de déterminer en première partie la latitude de mise 
au point d'un objectif, d'évaluer
la durée de mise au point AF avec une motorisation à courant continu en 
deuxième partie, puis en troisième et
dernière partie, d'évaluer la durée de mise au point AF avec une motorisation 
ultrasonique qui sera modélisée
de façon simple. Nous ne nous intéresserons pas a la technologie STM.

Toute l'étude sera faite dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.

I Latitude de mise au point et profondeur de champ

On désire photographier un individu, debout, de taille 1,80 m à l'aide d'un 
objectif EF 50 mm 1:1.2 L USM,
assimilable à une lentille mince convergente (L), de distance focale image fixe 
f ' = 50,0 mm, associée à un
diaphragme de rayon R réglable, supposé placé dans le plan de la lentille 
mince. Le capteur d'image du boitier
EOS 600D est une matrice contenant 18,7 millions de pixels identiques carrés de 
côté a disposés dans une
matrice rectangulaire de longueur 22,3 mm et de hauteur 14,9 mm. Le sujet, 
photographié de face, est situé a
une distance D du capteur et a une distance d de la lentille (L). Lorsque le 
photographe effectue la mise au
point sur ce sujet, son image occupe toute la hauteur du capteur.

On rappelle :

A'B'
-- la formule du grandissement transversal 'y = AB ;
1 1 1
-- la relation de conjugaison de Descartes pour une lentille mince -- = = --/ ;
OA' OA f
-- la relation de conjugaison de Newton pour une lentille mince FA -- F'A' : -- 
f '2.

I .A -- Déterminer numériquement les distances (1, D et a.

2015-04--28 09:52:09 Page 1/8 E'

I .B -- La latitude de mise au point est la distance, comptée sur l'axe 
optique, qui sépare les deux positions
extrêmes de la lentille (L) entre lesquelles l'image d'un point objet formée 
sur le récepteur garde une netteté
acceptable, c'est-à-dire ici qu'elle soit de taille inférieure à (1, taille 
caractéristique d'un pixel.

/
Le nombre d'ouverture No de l'objectif est défini par la relation NO : 2f_R' 
Pour l'objectif considéré, il est
variable dans l'intervalle [1,2; 16].

I.B.1) Comment faire varier No en pratique ?

I.B.2) Exprimer littéralement la latitude de mise au point en fonction de D, f 
', NO et (1. Calculer sa valeur
numérique pour les valeurs minimale et maximale de No- Commenter.

I .C -- La profondeur de champ, quant a elle, désigne la distance, comptée sur 
l'axe optique, qui sépare les
deux positions extrêmes d'un point objet situé sur cet axe pour lesquelles 
l'image reste nette. On montre que
la profondeur de champ est d'autant plus grande que le nombre d'ouverture est 
grand.

Pour réaliser le portrait de l'individu, la latitude de mise au point doit être 
grande ou faible ?

II Motorisation AF à courant continu

L'objectif EF 50 mm 1:1.8 Il, commercialisé fin 1990, possède un micromoteur à 
courant continu a aimants
permanents.

II.A -- Principe d'une machine à courant continu à charge constante

Le rotor est constitué d'un noyau de fer doux, cylindrique, sur lequel sont 
enroulées N spires. Chaque spire,
représentée sur la figure 2, est rectangulaire, de longueur b suivant l'axe 
(Oz) vertical ascendant et de largeur
(1, et est enroulée sur le noyau parallèlement dans un de ses plans de 
symétrie. Les N spires sont réparties
uniformément sur le périmètre du noyau. L'ensemble {noyau + spires} constitue 
le rotor. Chaque spire, de
résistance Re, est reliée à un générateur de tension continue U par 
l'intermédiaire de deux électrodes A et C et

est parcourue par un courant d'intensité i constante. La position du rotor est 
repérée par l'angle 0 de la base

d9
orthonormée directe cylindrique (EUR,, %, êz). On notera Q = $ la vitesse 
angulaire de rotation du rotor et J son

moment d'inertie par rapport a (Oz). Le rotor est placé dans le champ 
magnétique stationnaire produit par les
aimants permanents constituant le stator. On admettra que, dans le volume situé 
entre le stator et le noyau du
rotor, ce champ est radial et de la forme Ê = BO cos «9ê,. (avec BD > O). Le 
fer doux sera assimilé à un matériau
magnétique linéaire, de splitéabilité magnétique ,u = ,u...u0. On négligera tout 
phénomène d'autoinduction. Le
couplage électromécanique est parfait.

On suppose que le rotor entraine une charge dont le couple résistant est LE = 
--I'Rëz où FR est une constante
positive. À l'instant t = 0, on a 9(t = O) = 0 et Q(t = O) = 0.

Z
a

- noyau métallique

Figure 2

1 b
On rappelle que la valeur moyenne d'une fonction f continue et positive sur un 
intervalle [a, b] est b a / f (a:) dit.
&

II.A.1) Dans un premier temps, on néglige les propriétés magnétiques du fer 
doux qui est alors assimilé à un
milieu non magnétique.

Déterminer, en moyenne sur un tour, le moment par rapport à l'axe (Oz) du 
couple électromagnétique subi par
le rotor, noté Pam.

II.A.2) En fait, un système permet la commutation de A et C a chaque demi-tour 
du rotor, si bien que le
courant i circule toujours dans le même sens. Quel est ce système ?

Pour quelles valeurs de 9 y a-t-il inversion du sens du courant parcourant une 
spire ?

2015-04--28 09:52:09 Page 2/8 [_

Montrer alors qu'on a l"em : Koi où KO est une constante à déterminer en 
fonction de a, b, N et BO. Quelle
est la dimension de K0 ?

II.A.3) Désormais on prend en compte les propriétés magnétiques du fer doux, 
qui sera assimilé à un milieu
magnétique linéaire de splitéabilité magnétique ,u : u,.u0 (avec u,. > 1). À 
l'intérieur du noyau, le champ
magnétique Ês créé par le stator est approximativement uniforme et est orienté 
selon êOE ; on a ainsi Ës : Bsëæ
où BS > 0.

Justifier que les courants rotoriques, parcourant les spires du rotor, 
induisent dans le noyau un moment magné-
tique 1\_/1;. orienté selon l'axe (Oy). En préciser le sens. Justifier que ce 
moment magnétique est proportionnel à
l'intensité i du courant dans une spire du rotor. En déduire le couple 
électromagnétique subi par le rotor, noté
F'em et montrer qu'il est proportionnel à i.

On pose F'em : Ki. Comparer les ordres de grandeur de K et de K0.
II.A.4) Déterminer la force contre-électromotrice moyenne @ induite dans le 
rotor en fonction de K et Q.

II.A.5) Déterminer, en fonction de K, Re et U, l'expression littérale de la 
caractéristique Q = f (l'é...) en
régime permanent de fonctionnement et à tension d'induit U constante.

R J
II.A.6) Déterminer la loi d'évolution Q(t) pour t > 0. Faire de même pour la 
loi 9(t). On posera T = K62 et
U ReI'R
9..." _ Î _ K2

II.A.7 ) À la date t : to, un système d'asservissement vient annuler le courant 
: i(t : to) : 0, de façon a ce
que le moteur puisse s'arrêter. Déterminer les lois d'évolution Q(t) et 9(t) 
pour t > t0.

II.A.8) Pour faire la mise au point, le rotor initialement immobile doit 
tourner d'un angle 0...,,. À la date tmp,
9(t = tmp) : H..., et le rotor est à l'arrêt. Exprimer 9,,... et la durée de 
mise au point tmp en fonction de FR, J ,
to, T et Qu....

II.B -- Application au moteur à courant continu DN12M de la marque Canon@

II.B.1) En vous aidant de la figure 3, déterminer K et Re pour le moteur 
mentionné ci--dessus.

13000 2000

10400 1600
Ë 7800 1200 EUR
. ' «. 8
j: %.... V
v 5200 800 .-
Cl "#.,

5
2600 400
0 0,5 1 1,5 2

P'em (mN-m)

Figure 3 Caractéristiques (Q,F'em) et (i,Fgm) en
régime permanent à tension d'induit U constante

II.B.2) Toujours en vous aidant de la figure 3, déterminer le couple de 
démarrage 1" D du moteur.
II.B.3) On donne J = 0,24 g-cm2. Calculer U et T.

F
II.B.4) Dans les conditions où F_R : 0,5 et U : 3,1V, déterminer Q,... puis la 
puissance du moteur en régime
D
permanent.
II.B.5) Pour une durée de mise au point tmp de l'ordre de 100 ms (ordre de 
grandeur du temps de réponse
d'un micromoteur à courant continu associé à un réducteur de vitesse installé 
dans un objectif Canon®), quel

angle 9mp peut-on espérer ?

III Motorisation AF USM

Apparus au début des années 80, les moteurs rotatifs à actionneurs 
piézoélectriques sont des alternatives aux
moteurs à courant continu, moteurs synchrones ou asynchrones. Depuis 1987, 
Canon® intègre cette technologie.
Leur principe est la génération d'une onde ultrasonore de flexion dans un 
solide suffisamment élastique, le stator,
à l'aide d'actionneurs piézoélectriques. On peut alors montrer que le mouvement 
des points de la surface du
stator est quasi--elliptique, si bien qu'un autre solide en contact à sa 
surface, le rotor, pourra « surfer » sur l'onde

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et être entrainé par friction. Ces moteurs sont silencieux, précis, rapides et 
peu encombrants. En effet le plus
petit de ces moteurs, utilisé en horlogerie, a une taille caractéristique de 
l'ordre de quatre millimètres.

L'objectif EF 50 mm 1:1.2 L USM, commercialisé depuis 2010, possède un moteur 
annulaire a actionneurs
piézoélectriques.

III.A -- Propagation d'une onde progressive de fleoeion dans un solide

III.A.1) On considère le dispositif représenté en figure 4 : une barre solide 
cylindrique d'axe (Or), de longueur
L, de section très petite, négligeable, repose sur deux supports identiques 
fixes, situés en ses extrémités avec
lesquels le contact, quasi-ponctuel, se fait de façon permanente. L'axe 
vertical ascendant est l'axe (Oz). Le
problème étant supposé invariant dans tout plan vertical parallèle à l'axe de 
la barre, toute l'étude se fera dans
le plan (Osez), si bien que le couple de coordonnées (x, 2) d'un point M 
appartenant à la barre est suffisant
pour décrire les phénomènes observés.

Figure 4 Barre étudiée disposée sur ses supports

Lorsque la barre est au repos et n'est le siège d'aucun phénomène vibratoire, z 
= 0 pour tout point M de la
barre. Sous l'effet d'une onde mécanique transversale, dite onde de flexion, 
générée dans la barre, un point M
lui appartenant peut être amené à se déplacer verticalement. Dès que la barre 
se met à vibrer transversalement,
on admet que l'équation différentielle vérifiée par z(oe, t) s'écrit :

-- + "y -- = 0 (1111)

où 7 est une constante réelle positive.

a) Si la barre était une corde infiniment souple, comment s'écrirait l'équation 
(111.1) ? Comment appelle-t-on
ce genre d'équation ? Rappeler l'expression de sa solution générale.

I)) Quelle(s) propriété(s) du matériau fait (font) que l'équation (111.1) est 
différente de celle demandée à la
question précédente ?

c) Déterminer la dimension et l'unité de la constante 7.

d ) À quelle condition une onde plane progressive harmonique, de pulsation au, 
de nombre d'onde k et se propa--
geant vers les a: croissants, écrite sous forme complexe g(oe, t) = z exp(j(wt 
-- Ëoe)) peut-elle exister ?

e ) La barre est--elle un milieu dispersif ?
f) Pourquoi est-il impossible de réaliser une onde plane progressive dans cette 
barre ?

III.A.2) Au lieu d'une barre rectiligne, on étudie maintenant un anneau de 
section très petite. Cet anneau
filiforme est de centre O, de rayon R, donc de longueur L : 27TR. Un point M de 
l'anneau sera repéré par son
abscisse curviligne s = R9. Au repos, cet anneau est plan et contenu dans le 
plan Ooey. Sous l'effet d'une onde
de flexion, il peut vibrer dans la direction Oz. On note z(s, t) la cote du 
point M à l'instant t. Par analogie
avec la barre rectiligne étudiée à la question 111.A.1, l'équation 
différentielle vérifiée par z(s, t) s'écrit

On fait propager une onde progressive g(s, t) = Zeth--k3) dans cet anneau.
a) Quelle condition doit satisfaire sa longueur d'onde À par rapport a la 
longueur L ?
b) En déduire que le nombre d'onde k et la pulsation ou sont quantifiés.

La solution caractérisée par le couple (k...w,,) est appelée mode propre de 
flexion d'indice n. Exprimer les
valeurs possibles, k,, et ou... du nombre d'onde et de la pulsation.

III.B -- Moteur piézoélectrique rotatif

Dans les moteurs rotatifs (figure 5), le stator est formé d'un anneau composé 
de deux parties: une couche
annulaire de céramiques piézoélectriques collée sous un disque métallique 
dentelé (l'anneau statorique). Entre le
rotor et le stator, on insère une couche de polymère pour augmenter la friction 
et donc le couple d'entrainement
du moteur. Le rotor et le stator sont maintenus en contact a l'aide d'un 
ressort de précontrainte.

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F'.essort de précontrainte

Rotor

Couche (polymère) de friction
Fixe

Finn eau statorique

piézoeéramiques

Bâti

Figure 5 Vue éclatée d'un moteur piézoélectrique rotatif

On désigne par 3 l'abscisse curviligne d'un point M situé le long du périmètre 
moyen de l'anneau statorique, de
longueur L. Nous allons montrer qu'il est possible de générer dans l'anneau des 
ondes de flexion, d'abord une
onde stationnaire, puis une onde progressive.

III.B.1) Excitation d'une onde stationnaire dans l'anneau

L'anneau piézoélectrique, collé sous le stator, est sectorisé en sous-entités 
identiques mais de « polarisation
alternée >> : quand on soumet une entité, notée +, à une tension positive, elle 
se déforme dans un sens, alors
que sa voisine, notée --, soumise à la même tension se déforme de manière 
identique mais dans un sens opposé,

comme l'indique la figure 6. Les déformations sont supposées sans retard 
temporel par rapport à la tension
excitatrice et sont alors transmises à l'anneau statorique.

Une unité piézoélectrique

Électrodes < -- - U0

Figure 6 Déformation d'un motif piézoélectrique (constitué de deux entités de 
polarisation opposée) soumis a
une tension générée par deux électrodes

En répétant le motif représenté plus haut et en le soumettant a une tension 
sinusoïdale U (t), il est alors possible
de générer une onde de flexion stationnaire dans l'anneau céramique qui va être 
transmise au stator métallique.

a ) On suppose U (t) sinusoïdale. Où seront situés les noeuds de vibration ?

b) L'anneau piézoélectrique, de rayon moyen R et de périmètre moyen L, est 
constitué et excité comme l'indique
la figure 7 : la tension U (t) excite une succession de 4 motifs identiques à 
ceux représentés en figure 6.

Montrer que, alimenté par une tension de pulsation ou qu'on déterminera, cet 
anneau piézoélectrique permet
d'exciter une onde stationnaire z,,(s, t) telle que : z,,(s, t) = Z,, cos(k,,s 
+ 1/)) cos(w,,t + cp).
III.B.2) Excitation d'une onde progressive dans l'anneau

a) Pour générer une onde harmonique progressive z(s, t) dans l'anneau, il 
suffit de l'exciter par deux ondes
stationnaires zl(s, t) et z2(s,t) de même pulsation ou, de même nombre d'onde k 
et de même amplitude Z.

En posant zl(s, t) : Zcos(ks+1/q) cos(wt+cp1) et zz(s, t) = Zcos(ks+%) 
cos(wt+cp2), déterminer les relations
entre les phases cpl, cp2, 1/21 et % pour que la superposition des ondes z1 et 
22 soit une onde progressive.

b ) On utilise un anneau piézoélectrique constitué et excité comme l'indique la 
figure 8: la tension U1 (t) ex--
cite une première succession de 4 motifs identiques à ceux représentés en 
figure 6, alors que la tension U2(t),
synthétisée à l'aide du montage représenté en figure 9, excite une autre 
succession de 4 motifs identiques.

Quelle doit être la longueur de l'arc moyen, exprimée en fonction de À, de 
l'électrode auxiliaire ? Quelle doit
être la longueur de l'arc moyen de l'électrode GND reliée à la masse, exprimée 
en fonction de À ?

c) Dans le montage représenté en figure 9, l'amplificateur linéaire intégré est 
supposé idéal et fonctionnant en
régime linéaire. Montrer que ce montage va bien permettre de synthétiser la 
tension U2 (t) adéquate, à condition
que ou, R' et C' soient reliés par une relation que l'on déterminera.

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Figure 7 Anneau excitateur constitué d'entités piézoélectriques permettant de 
générer une
onde stationnaire dans l'anneau statorique

électrode auxiliaire

Figure 9 Montage
permettant de synthétiser U2(t)

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Ainsi une onde progressive tournante est générée à la surface du stator. Le 
rotor va ainsi être entrainé par
friction.

d) Comment faire pour inverser le sens de rotation du rotor ?

III.B.3) Pourquoi, à votre avis, la partie haute du stator est-elle dentelée 
(voir figure 5) ?

III.C -- Étude dynamique simplifiée

On suppose que le rotor, de moment d'inertie J par rapport à son axe de 
rotation (Oz), est en contact avec N
points matériels représentant « les crêtes >> de l'onde statorique, qui 
décrivent, sous l'effet de l'onde progressive,
un mouvement circulaire, d'axe (Oz), de rayon R... (cf figure 10) à la vitesse 
angulaire de rotation constante cas.

Z

Rotor

Une crête de l'onde statorique assimilée à
Stator excité par l'onde ultrasonique un point matériel en contact avec le rotor
(la déformation introduite par l'onde de

flexion est volontairement exagérée)
Figure 10

On admet que quand on coupe le moteur (on arrête l'excitation du stator), les N 
points s'immobilisent en un
temps négligeable : c'est la phase de freinage du rotor qui débute. La vitesse 
angulaire de rotation du rotor, à
une date t, est notée wR(t). On admet que Vt, wR(t) < wS. Chaque « crête » exerce sur le point du rotor en contact avec elle une force de friction RT : R,êe et une force de réaction normale RN : R Nëz avec R N > 0,
toutes deux constantes et identiques pour chaque crête. On admettra que : RT > 
0 lorsque le moteur est allumé

(stator excité), RT < 0 lorsque le moteur est arrêté, si wR % cas alors ||RT|| : f||RN|| et si wR = cas alors lerll = 0. Le ressort de précontrainte représenté en figure 5 exerce une force FC : --Fcêz supposée constante et uniformé- ment répartie entre les N points tournant. Le poids du rotor est négligeable devant toutes les autres forces mises en jeu. La charge entrainée par le rotor ainsi que d'éventuels frottements exercent un couple résistant, supposé constant, et noté FC : --Fcëz avec PC > O.

III.C.1) Que vaut N avec le montage représenté en figure 8 ?
III.C.2) Exprimer le couple moteur I'... en fonction de N, R... et RT ?

III.C.3) Pour faire la mise au point, le rotor initialement immobile doit 
tourner d'un angle 9...p. Lorsque cet
angle est atteint, au bout d'une durée t...p égale à la durée de mise au point, 
le rotor doit bien sûr être immobile.

a ) À quelle condition le rotor, initialement immobile, démarre--t-il ?
b ) À la date t = 0, on allume le moteur, alors qu'à la date to, on le coupe. 
Déterminer et représenter graphique-
ment wR(t) pour t EUR [O, t...p]. On posera

_ 605J
_ meF0 --F0

(«Usj

et ' = _
T meFc+rc

T

et on envisagera plusieurs cas suivant la valeur grande ou faible de l'angle 
9...p.

c ) Déterminer, pour chacun des cas relatés à la question précédente, 
l'expression littérale de la durée de mise
. . ,
au p01nt t...? en fonction de cas, T, T et 9...p.

III.C.4) Application aux moteurs ultrasoniques Canon®
Pour ces moteurs, fs : Ë--S : 3,0 kHz (obtenue en réalité quand on excite le 
stator avec une fréquence
7r

ultrasonique de 27 kHz) alors que l'ordre de grandeur de wR est de 80 tr-min'1. 
On donne R... = 35 mm,
FC : 15 N, f = 0,3 et J = 1 >< 10_6 kg-m2. Le couple résistant PC est estimé à 6>< 10_2 Nm. 2015-04--28 09:52:09 Page 7/8 [_ a) Lequel des cas évoqués aux questions III.C.3 convient ici ? b ) Pour effectuer la mise au point, on souhaite avoir 09...) = 127r. Quelle sera la durée de mise au point ? Commenter. c) La masse du moteur est de 45 g. Calculer la puissance massique utile sachant que des phénomènes non pris en compte dans ce modèle induisent une valeur réelle égale à 65% de celle calculée en théorie. Comparer avec celle d'un moteur à courant continu Canon® évaluée à 11 W-kg'1. oooFlNooo [cc-- 2015-04--28 09:52:09 Page 8/8