Centrale Physique et Chimie 2 PSI 2022

Physique-chimie 2
PSI

4 heures Calculatrice autorisée

2022

Sécurité d'une plongée à très grande profondeur :
exemple de l'expédition Deepsea Challenger

Ce sujet porte sur l'exploration des très grandes profondeurs à l'aide de 
sous-marins autonomes et s'attache à
discuter des contraintes de sécurité liées à ces expéditions.

Il reprend en particulier les données disponibles sur l'expédition menée par le 
réalisateur James Cameron dans
la fosse des Mariannes, fosse océanique la plus profonde connue à ce jour, et 
son sous-marin nommé Deepsea
Challenger.

FA PAZ ADecpsea
LD Vs VW hallenger
Antennas

Beacon lights F

Stabilizing fin

Lifting point
Battery array
Foam body
Flood lights
vertical horizontal
Thrusters Thrusters
Stabilizing fin
retracted
2 utility booms ( )
Pilot sphere

Pilot window
and hatch

Steel ballast weights

Figure 1 Le sous-marin Deepsea Challenger (Wikimedia)

Certaines questions, peu ou pas guidées, demandent de l'initiative de la part 
du candidat. Leur énoncé est repéré
par une barre en marge. Il est alors demandé d'expliciter clairement la 
démarche, les choix et de les illustrer,
le cas échéant, par un schéma. Le barème valorise la prise d'initiative et 
tient compte du temps nécessaire à la
résolution de ces questions.

Certaines données numériques et un formulaire sont regroupés en fin d'énoncé ; 
d'autres données relèvent de
l'initiative du candidat.

I Pression et plongée

IA --- Pression hydrostatique

La contrainte principale à laquelle est soumis un sous-marin est celle liée à 
la pression exercée par le fluide
environnant sur la structure de l'habitacle. L'évaluation des pressions 
rencontrées au fond de l'océan est donc
cruciale pour déterminer les efforts que devront reprendre les parois qui 
protègent le pilote.

On se place dans un repère cartésien de centre ©, placé sur l'interface 
eau-air, et d'axe Oz descendant.

Q 1. On suppose que le champ de pression P du fluide vérifie la relation pg -- 
grad P=û (la démonstration
de cette relation n'est pas attendue). Proposer une interprétation physique de 
celle-ci et indiquer la signification
de chacun des termes.

On suppose, dans un premier temps, que l'eau de mer est un fluide 
incompressible de masse volumique

Po = P(z = 0).

P041/2022-03-20 20:05:48 Page 1/9 CIEL
Q 2. En déduire l'expression de la pression P(z2) à une profondeur donnée z, en 
fonction de P, la pression
atmosphérique, g l'intensité de pesanteur uniforme qui règne dans l'océan, p, 
et z.

Lorsqu'on approche des profondeurs atteintes par James Cameron, le modèle du 
fluide incompressible peut
éventuellement être remis en cause. On conserve l'hypothèse isotherme, mais on 
cherche à modéliser les variations
de la masse volumique en introduisant le coefficient de compressibilité 
isotherme de l'eau par

_ _1 oV
y op],

On considère désormais que l'océan est isotherme, mais que la masse volumique p 
est variable.
Q 3. Montrer que

_ 1 0p
Q 4. On suppose que la grandeur x est une constante. En utilisant la relation 
de la statique des fluides,
montrer que la masse volumique varie avec la profondeur selon
Po
pe) = 10.
l-- PoXT 92

Q 5. En déduire que l'on a

1
P() = F6 ---- ml -- Xr po 9 2).
XT
Q 6. La pression dans la fosse des Mariannes (profondeur z,,,, -- 10,9 km) a 
été mesurée à 1,13 x 10° Pa.
Le modèle prenant en compte la compressibilité de l'eau est-il suffisant pour 
prédire la pression à de telles
profondeurs ? Proposer une amélioration de ce modèle.

Pour résister à une telle pression, il faut renforcer toutes les structures 
porteuses et notamment équiper la
zone habitable sphérique de parois d'une épaisseur de plus de 5 cm d'acier. Le 
surpoids lié à cette structure
est contrebalancé par un ensemble de plaques de mousse spécialement développées 
qui assure la flottabilité du
SOUuS-IMarin.

I.B -- Plongée et remontée

L'économie d'énergie est également critique. La plongée au fond de la fosse, 
ainsi que la remontée en surface,
sont essentiellement assurées par les forces gravitaires. C'est donc un 
ensemble de masses attachées à la coque
du sous-marin, appelées ballast qui permettent la plongée. Leur abandon au fond 
de la fosse en fin d'expédition
déclenche la remontée du sous-marin. Aïnsi, l'usage des propulseurs, alimentés 
par un circuit électrique, peut
être réservé à l'exploration locale de la fosse.

Le déplacement d'un solide dans un fluide visqueux s'accompagne généralement 
d'une force dite de trainée
qui dépend notamment de la forme du solide et du régime d'écoulement. La norme 
de cette force, opposée au
mouvement, peut s'écrire sous la forme

F = Crgni?s

où v est la vitesse du solide, S sa surface frontale, p la masse volumique du 
fluide et C', un coefficient empirique
sans dimension. La figure 2 donne la valeur du coefficient C, pour diverses 
formes géométriques.

Les relevés effectués lors de la première expédition montrent que la descente 
du sous-marin, à vitesse quasi
constante, a duré environ 2 h 30 min et a permis d'atteindre une profondeur de 
10,9 km. Le même trajet n'a pris
que 70 min lors du retour à la surface.

Q 7. En explicitant clairement votre démarche ainsi que les hypothèses que vous 
serez amené à formuler,
évaluer la masse de ballast qui a été libéré pour permettre la remontée du 
sous-marin.

P041/2022-03-20 20:05:48 Page 2/9 (cc) BY-NC-SA

Cxp
1,10
1,15
119
1,29
1,40
2,01
1,11
0,91
0,85
0,87
0,99
0,93
0,78
1,04
1,52
1 0,63
2 Re-9.100* | 0,68
5 / Sous- O 74
=<« 10 (critique) O0 82 e 0,98 Ê M! 10 oeæ Re 5.10° | 0,35 Coef. de correction K pour æ de l'obliquité 1,0 Q° CXpa = K: CXpo 0,7 30° [0,2 || 60 f (6° Sans fond 0,34 À NJ Avec fond 0 40 g + ()% Sans fond | 1,33 _Jà =D Avec fond | 1,17 Figure 2 Extrait de L'Aérodynamique et l'origine des trainées parasites, Ewald HUN- SINGER, Michaël OFFERLIN, Inter.action, 1997 IT Risque d'hypoxie La puissance électrique disponible assure, entre autres, le fonctionnement du système de contrôle de l'atmosphère de la capsule pendant plus de 50 heures. Ce système permet de maintenir une composition de l'air intérieur de l'habitacle correspondant à celle de l'atmosphère terrestre au niveau de la mer. On s'intéresse à la durée de survie du pilote au fond de l'océan en cas de panne de ce système. Le dimensionnement des systèmes de survie en cas d'incidents divers s'appuie sur les données physiologiques moyennes d'un adulte : -- pression partielle en dioxygène pour que l'air soit respirable Fo, > Fo, = 
8,0 X 10° Pa :
-- volume moyen d'air inspiré au repos V,, -- 0,50 L ;
-- fréquence respiratoire au repos f = 0,25 Hz.

On considère que, lors d'une inspiration, un être humain inspire toujours le 
même volume V, d'air dont la
composition est celle de l'air ambiant dans lequel il se trouve. L'étude d'un 
cycle respiratoire montre que seul
un quart du dioxygène inspiré est effectivement consommé par les poumons. On 
admettra que la quantité de
matière de dioxyde de carbone exhalée est égale à la quantité de matière de 
dioxygène consommée par les
poumons.

Q 8. Quelle est la composition moyenne de l'air présent dans l'atmosphère 
terrestre au niveau de la mer ?

On suppose que le système de contrôle de l'atmosphère cesse de fonctionner et 
on note n, et Fo, ; respectivement
la quantité de matière de dioxygène présente dans l'habitacle et la pression 
partielle en dioxygène après la 3-ème
respiration après l'arrêt de ce système.

Q 9. En explicitant les hypothèses utilisées, établir la relation

Vo
Mi -- M 1

où V est le volume libre dans l'habitacle. En déduire une relation entre F6, ;; 
Fo, 0: VA: V et à.

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Q 10. En déduire le nombre d'inspirations que peut faire le pilote, puis sa 
durée de vie sans apport extérieur
de dioxygène.

III Système de libération du ballast

Le sous-marin est un système à flottaison négative, sa remontée à la surface se 
fait par la libération des ballasts.

Afin d'empêcher que le sous-marin ne se retrouve bloqué au fond de l'océan, il 
est prévu plusieurs systèmes de

libération :

-- Île système principal est composé d'un contacteur électromagnétique 
nécessitant une alimentation électrique
extérieure. En cas de défaillance du système d'alimentation, il est prévu deux 
systèmes de secours :

-- un système de goupille thermique (frangibolt) commandé par un signal 
acoustique fait fondre un rivet par
l'application d'un courant électrique. Ce dispositif est autonome et ne 
nécessite pas d'alimentation externe ;

-- en ultime recours, un système de libération galvanique programmée (GTR : 
galvanic timed release) libère
automatiquement le ballast par la corrosion spontanée d'une goupille en métal 
fortement réducteur après un
temps inférieur à la durée maximale de plongée.

Un schéma d'un dispositif GTR est présenté figure 3. Le système présenté dans 
cette figure n'est pas celui utilisé

dans le sous-marin, il s'agit d'un système analogue plus compact dont le temps 
de corrosion est équivalent. Les

anneaux d'attache sont en nickel et le barreau cylindrique qui les relie en 
alliage de magnésium A7Z31 composé

très majoritairement de magnésium. Dans la suite, on note ce métal A731 et on 
considère que ses propriétés

redox sont identiques à celles du magnésium.

Lors de l'immersion dans l'eau, on observe la formation de bulles au niveau des 
anneaux d'attache.

cylindre (AZ31)

/

tore (Ni) | | tore (Ni)

| cm 2 CM
cry lis | |

Figure 3

La figure 4 donne les courbes courant-potentiel.

0,03 7

0,02
, TT
0,01 TT

a AZ31 + AZI

_ se,

© 0.00
< H, + H,0 sur Ni TT ------ 7 001 _--_---- ---- TT _0,03 --900 -- 800 --700 --(600 -- 500 E (mV) Figure 4 Q 11. Identifier les transformations se produisant sur chacune des surfaces métalliques. Écrire les demi- équations électroniques correspondantes ainsi que l'équation de réaction (on prendra un nombre stoechiométrique de 1 pour l'espèce qui s'oxyde). Q 12.  Déduire du schéma de la figure 3 et des données de l'énoncé l'expression de l'avancement maximal Éna+x de cette réaction lorsque la tige de AZ31 a été totalement corrodée. Q 13. Quel lien peut-on établir entre le courant de corrosion 7... et le courant surfacique 7173, qui s'échappe de cette tige à l'instant initial ? Page 4/9 CEE P041/2022-03-20 20:05:48 Q 14. En remarquant que les deux électrodes n'ont pas la même surface, en déduire un ordre de grandeur de la durée au bout de laquelle le système GTR libère les ballasts. Commenter. Q 15. Comment évolue cette durée si on prend en compte la variation de la surface du métal au cours du temps ? Justifier. IV Communication Il est capital de maintenir la communication entre le sous-marin et la surface où se trouve un bateau dans lequel une équipe surveille et analyse toutes les données remontées par les dizaines de capteurs permettant de s'assurer du bon fonctionnement des systèmes (batterie, propulsion, ballast, qualité de l'air dans le poste de pilotage, température...). En cas de dysfonctionnement d'un des systèmes, l'équipe de surface doit être capable d'identifier la défaillance et de proposer une solution au pilote. Le déploiement d'un câble entre le bateau et le sous-marin n'étant pas envisageable, on propose dans la suite d'étudier deux stratégies de télécommunication : une par ondes électromagnétiques et l'autre par ondes acous- tiques. IV.A --- Communication par ondes radio dans l'eau de mer On admet qu'il est nécessaire de remplacer la permittivité du vide EUR, par la permittivité EUR = EUR,.e, dans les équations de Maxwell afin de prendre en compte les propriétés de polarisation de l'eau de mer. La permittivité relative de l'eau de mer EUR,, sensiblement égale à celle de l'eau, est rappelée dans les données. La splitéabilité de l'eau de mer est supposée égale à celle du vide 4. On considérera que l'eau de mer se comporte comme un conducteur ohmique de conductivité y dont la valeur est fournie dans les données. Q 16.  Énoncer la loi d'Ohm locale reliant la densité volumique de courant 7, la conductivité + et le champ électrique EË, Q 17.  Rappeler l'équation locale de conservation de la charge et déduire que la densité volumique de charge vérifie Op ,p où on exprimera 7 en fonction de la conductivité 7 et de la permittivité EUR. Q 18. Évaluer numériquement 7 et en déduire que, pour des ondes de fréquence inférieure à f = 1.00 MHz. on peut considérer que p = 0. On envisage la propagation d'une pseudo-onde plane progressive polarisée rectilignement se propageant dans l'eau de mer vers les z croissants, £ = E, exp(i(wt -- kz))é, avec À = --1, E, et w des constantes réelles et k une constante complexe. Q 19. Écrire l'équation de Maxwell-Ampère et identifier un terme de courant de déplacement et un terme de courant de conduction. Déterminer la valeur de la pulsation w, à partir de laquelle le courant de déplacement devient plus grand que le courant de conduction. Q 20. On suppose w & w,.. Établir l'équation aux dérivées partielles vérifiée par le champ électrique E. De quel type d'équation s'agit-il ? . : 2 s . Q 21.  Exprimer le nombre d'onde complexe k en fonction de Ô -- . Evaluer numériquement Ô pour | HV une fréquence f = 1,0 MHz. Q 22. Obtenir l'expression du vecteur de Poynting I(z. t), puis celle de sa moyenne temporelle (II (z, t)). li(z + Lo) [EC I Q 24. Est-il réaliste d'envisager une communication par ondes électromagnétiques (de cette gamme de fré- quences) entre le bateau et le sous-marin ? Q 23. Évaluer le rapport pour L = 10 m. IV.B --- Communication par ondes acoustiques IV.B.1) Équation de propagation de l'onde acoustique Le système de communication retenu pour l'expédition Deepsea Challenger est basé sur la transmission d'ondes acoustiques. Il permet une communication par voix et messages textes sur des distances de plusieurs dizaines de kilomètres. Nous modélisons dans cette partie la propagation unidirectionnelle d'une onde acoustique selon l'axe (Oz) dans l'eau de mer considérée comme un fluide parfait de coefficient de compressibilité isentropique xs. Les effets de la pesanteur sont négligés et on appellera P, la pression du fluide au repos, p4 sa masse volumique au repos. Ces grandeurs sont supposées indépendantes de la profondeur 2. P041/2022-03-20 20:05:48 Page 5/9 (cc) BY-NC-SA Le passage de l'onde acoustique à la position z à l'instant { crée une perturbation dans le milieu et on notera les différents champs : -- P(z,t) = P, +p(z,t) champ de pression du fluide ; -- p(z,t) = po + u(z,t) champ de masse volumique : -- v(z,t) champ de vitesse (composante suivant 2). Q 25.  Rappeler les hypothèses de l'approximation acoustique. Quelle hypothèse fait-on sur la nature de l'évolution thermodynamique de la particule fluide au passage de l'onde acoustique ? Q 26. Donner les trois équations couplées sur p(2,t), u(z,t) et v(z,t). Rappeler le concept physique que chacune d'entre elles traduit. Q 27. Établir l'équation vérifiée par la surpression acoustique p(z,t) dans l'approximation acoustique. Q 28.  Exprimer la vitesse de propagation c d'une onde acoustique plane progressive dans l'eau de mer et donner sa valeur numérique. IV.B.2) Relation de passage à l'interface d'un milieu stratifié Lors de la propagation de l'onde acoustique vers le sous-marin, la vitesse de propagation de l'onde varie (notam- ment Car la masse volumique de l'eau évolue avec la profondeur). Pour prendre en compte cet effet, on envisage, dans un premier temps, le cas simplifié que représente le passage d'une onde acoustique plane progressive d'un milieu 1 avec une vitesse de propagation EUR, à un milieu 2 avec une vitesse de propagation EUR. On envisage l'arrivée sur le dioptre (2 = 0) d'une onde plane progressive incidente (figure 5) dont le champ de surpression acoustique s'écrit dr + ki, 1 2,X z° p (M, t) =D, exp(i(wt -- À, OM) avec k, =k 7% © On note pour les surpressions associées respectivement aux ondes réfléchies et transmises p (M,t)=p  exp(i(wt -- ke. OM)) avec k.=k..d, +k, yuy + kr rl, --7 --r( 2 2 2 p(M,t)=p explitwt--k,-OM)) avec ki = kids +kigdy + ke ù Milieu 1 x 2 5 ' Milieu 2 | Figure 5 Q 29.  Justifer que |k,| = |k,| = k, puis exprimer k, et k, = |k,|| en fonction de w, EUR, et ©. Q 30. Traduire la continuité de la pression en un point P quelconque de l'interface et la mettre sous la forme -- -- . . p. FP, exp(i (k, -- k..) OP) =D, exp(i (k; -- k,) OP). -- -- Q 31. Justifier que cette relation impose (k, --k,)-OP = (k, --k,)-OP = 0 pour tout point P sur l'interface. Q 32. En déduire que k,., et k,,, sont nuls et que 0. = --0. r T sinÜ;, sin, Ci (D Quelles lois retrouve-t-on ? P041/2022-03-20 20:05:48 Page 6/9 (cc) BY-NC-SA IV.B.3) Propagation d'une onde acoustique dans un milieu inhomogène Les lois permettant de déterminer la direction de propagation d'une onde sonore sont analogues à celles de l'optique géométrique. On assimile dans la suite l'onde acoustique à un rayon sonore dont on cherche à déterminer la trajectoire. On considère que la vitesse de propagation c(z) dans le milieu varie continument avec la profondeur. On appelle n(z) = à l'indice du milieu à la profondeur z, avec EUR, la vitesse de propagation en z = 0, et O(z) l'angle algébrique que fait un rayon avec la verticale. Q 33. D'après la question 32, quelle grandeur faisant intervenir 0 et c est conservée au cours du trajet des ondes acoustiques ? Q 34. Dessiner l'allure des trajets des rayons émis quasi verticalement en z = 0 en supposant que c est une fonction croissante de x. La figure 6 représente le profil d'évolution de la vitesse de propagation des ondes acoustiques dans l'océan au niveau de la fosse des Mariannes avec une température de surface de 30 °C, un profil de température typique et une salinité de 34%o (d'après National Physical Laboratory, UK). 0 = 1000 2000 \ N 3000 N 4000 N 9000 NN 6000 N 7000 NN 8000 NN 9000 NN N 1500 1550 1600 1650 Célérité (m-s°) Profondeur (m) 11000 Figure G Q 35. Quelle est la valeur de l'angle maximal avec lequel le rayon doit être émis en surface pour qu'il atteigne le fond de la fosse des Mariannes. On cherche désormais à déterminer la forme exacte des rayons sonores. On décompose le trajet en une infinité de petites déviations au niveau de dioptres horizontaux et on cherche à établir l'équation de la trajectoire des rayons. La figure 7 isole une déviation à la profondeur 2. Q 36.  Exprimer le rapport . en fonction de 6. x Q 37. À l'aide de la grandeur conservée déterminée précédemment, en notant 0, l'angle d'incidence à la surface (z = 0), montrer que sin? 0 n°() (ue) P041/2022-03-20 20:05:48 Page 7/9 (cc) BY-NC-SA tan? 0(z) = profondeur z dz Figure 7 Q 38. En déduire l'équation différentielle de la trajectoire (y _fn@ NT, dx/  \sin® Q 39. Par quelle équation simple peut-on décrire l'évolution de la vitesse de propagation du son c(z) dans l'océan avec la profondeur, pour des profondeurs inférieures à 1000 m ? Donner une évaluation numérique des différents paramètres intervenant dans cette équation. Q 40. Reprendre la même démarche pour des profondeurs supérieures à 1000 m. L'équation différentielle déterminée précédemment étant difficile à résoudre, l'équation de la trajectoire n'est pas accessible directement. En revanche, on peut exprimer le rayon de courbure À de la trajectoire en tout point (rayon du cercle tangent à la trajectoire qui l'approche au mieux). On obtient la relation n"(z) dn(z) sin 0, dz R(2) = Q 41. Montrer que, pour des profondeurs inférieures ou supérieures à 1000 m, les rayons acoustiques ont une forme simple que l'on précisera. Déterminer l'expression des rayons de courbure À, et À, dans ces deux intervalles. On fera intervenir les paramètres évalués aux questions précédentes. On souhaite déterminer dans quelle direction orienter l'émetteur pour communiquer entre le bateau en surface et le sous-marin au fond de la fosse des Mariannes si ces derniers sont séparés d'une distance horizontale de 1 km. Q 42. Proposer, en le justifiant, un majorant raisonnable pour la valeur de l'angle d'incidence de l'émetteur par rapport à la verticale. Q 43. En déduire les valeurs numériques des rayons de courbure À, et À, pour cette incidence. Conclure sur l'orientation de l'émetteur. P041/2022-03-20 20:05:48 Page 8/9 (cc) BY-NC-SA Données et formulaire Constantes diverses Permittivité diélectrique du vide Perméabilité magnétique du vide Constante de Faraday Accélération de la pesanteur Données sur l'alliage AZ31 Masse volumique Masse molaire Couple d'oxydoréduction Données sur l'eau de mer Masse volumique Viscosité dynamique à 20 °C Coefficient de compressibilité isotherme Coefficient de compressibilité isentropique Permittivité diélectrique relative Conductivité électrique Données sur Deepsea Challenger Profondeur de la fosse des Mariannes Diamètre équivalent du sous-marin Diamètre intérieur équivalent de la zone habitable du sous-marin Hauteur du sous-marin Formulaire Ep = 8,85 x 10 {2 Fm ! Lo = 12,6 X 1077 H-m ! F = 96,5 x 10% C-mol ! g =9.81mess *À Pazs1 = 1,74 X 10° kg-m * My, = 24,4 g-mol ! A731°"/A731 Po = 1,02 x 10° kg-m * n = 1,00 x 10 * Pa:s Xr = 4,41 x 10710 Pa Xs = 4,10 x 10 ! Pa ! Ey = 19 7 =5S:m Zmax = 10,9 km Dpe = 2,11m D = 1.09 m H pc -- 7,30 m rot(rot à) = grad(div à) -- Aû Un tore est un volume produit par la rotation d'un disque de rayon r autour d'un axe, situé dans son plan à la distance À de son centre. Sa surface est donnée par e ( LL S = 4r°rR et son volume par V = 271" R ee oeFINeee Page 9/9 CITES P041/2022-03-20 20:05:48