Centrale Physique et Chimie 2 PSI 2023

Physique-chimie 2
PSI

4 heures Calculatrice autorisée

2023

Applications des propriétés magnétiques
et électriques de matériaux

La synthèse de nouveaux matériaux a permis de réaliser des dispositifs 
possédant des propriétés intéressantes
du point de vue de la miniaturisation ou de la sensibilité aux champs 
électromagnétiques.

Certaines questions, peu ou pas guidées, demandent de l'initiative de la part 
du candidat. Leur énoncé est repéré
par une barre en marge. Il est alors demandé d'expliciter clairement la 
démarche, les choix et de les illustrer,
le cas échéant, par un schéma. Le barème valorise la prise d'initiative et 
tient compte du temps nécessaire à la
résolution de ces questions.

Cet énoncé est accompagné d'un document réponse à remettre avec la copie. 
Certaines données numériques
utiles sont disponibles dans ce document réponse.

Notations
À toute grandeur, fonction sinusoïdale du temps, g(t) = G'cos(wt + 4), on 
associe la grandeur g(t) = Gel", où
= -1et G = Gel est appelée amplitude complexe de g.

I Le transformateur miniaturisé

Le besoin de transformateurs de plus en plus petits dans les systèmes 
électroniques embarqués à conduit à
la conception de transformateurs miniaturisés. Les différents éléments 
(conducteurs, matériaux magnétiques,
isolants) sont directement réalisés sur un circuit imprimé. La miniaturisation 
a été rendue possible grâce à
l'utilisation de fréquences élevées et à l'aptitude des nouveaux matériaux à 
supporter de hautes températures.
Un transformateur est composé de différents matériaux :

-- un matériau conducteur pour réaliser les enroulements (ou bobinages) ;

-- un matériau magnétique ;

-- un matériau isolant pour isoler les enroulements primaire et secondaire.

ï
l
10m
e B 1100 pm
4
25 pm | ,3 rm
A + ' AS n
oo 100pm OO 100pm
(a) vue de dessus (b) vue de profil
Figure 1 Schéma d'un enroulement en cuivre
IA -- Les enroulements
Q 1. Rappeler l'expression de la résistance électrique R d'un conducteur 
cylindrique de conductivité +, de
longueur L, de section $, parcouru uniformément par un courant parallèle à son 
axe.
Q 2. Pour l'enroulement de cuivre de la figure 1, le courant circule de À vers 
B. Évaluer sa résistance

électrique À... Citer deux inconvénients que présente l'existence de cette 
résistance pour un transformateur.

L'inductance propre de l'enroulement peut être mesurée grâce à un 
impédancemètre dont le schéma est celui
de la figure 2. On utilise le modèle de l'amplificateur linéaire intégré idéal 
de gain infini, alimenté en +15 V. La
résistance À,,f -- 1000,0 ( est une résistance de référence, l'impédance à 
mesurer est Z = Z, + 7;, où Z, et Z;
sont des nombres réels. Le générateur impose la tension harmonique u,(t) = U, 
cos(wt).

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Figure 2 Schéma d'un impédancemètre

Q 3. Exprimer l'amplitude complexe U , 2 fonction de l'amplitude complexe U x 
de À. et de Z.

La figure 3a donne les graphes des tensions u,.(t) et u,(t).
Q 4. Calculer Z,. et Z,;. En déduire la valeur ZL de l'inductance propre de 
l'enroulement ainsi que la valeur

de À.

(a) Le gain vertical est 2 mV par car- (b) Le gain vertical est 10 mV par car-
reau pour u, et 2 V par carreau pour u.. reau pour u, et 1 V par carreau pour 
u,.

Figure 3  Oscillogrammes -- La courbe en gras est la tension d'entrée u,(t), la
courbe en trait fin la tension de sortie u,(t), la base de temps est 200 ns par 
carreau

Q 5. L'amplitude de la tension d'entrée est portée à la valeur ÜU, = 30 mV. 
Préciser l'intérêt d'une telle
augmentation d'amplitude. Proposer, en la justifiant, la forme prévisible pour 
le signal de sortie. Expliquer
pourquoi la réduction de la résistance de référence À. est à envisager si on 
veut garder U, = 30 mV.

Q 6. On choisit une résistance de référence plus faible, Re -- 100,00 (. Les 
courbes obtenues sont repré-
sentées figure 3b. Interpréter quantitativement le phénomène observé.

Pour réaliser un transformateur, on dispose un enroulement primaire À. B; et un 
enroulement secondaire À,B;
comme sur la figure 4a. L'enroulement primaire À. B, est identique à 
l'enroulement AB de la figure 1. Les deux
enroulements sont constitués de conducteurs d'épaisseurs identiques. Leur 
proximité, qui permet d'obtenir un
couplage magnétique fort, a l'inconvénient de présenter un couplage 
électrostatique représenté par une capacité
de couplage C,, (figure 4b). Le rapport de transformation pour le 
transformateur complet (enroulements et
matériau ferromagnétique, non représenté) est m = 0,9.

À)
A, -- --

(a) Enroulements primaire et secondaire (b) Modélisation du transformateur 
complet

Figure 4 Enroulements et modélisation

Q 7. Estimer, en précisant la démarche, la capacité C, à partir de l'expression 
de la capacité d'un condensa-
teur plan et de la géométrie des enroulements (figure 1 et figure 4a). Le 
milieu magnétique qui remplit l'espace

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entre les enroulements, non représenté sur la figure 4a, possède une 
permittivité relative EUR, = 5 x 10%. Que
penser de cette valeur de permittivité relative par rapport à celle de milieux 
usuels ?

La modélisation de la figure 4b est celle d'un transformateur idéal où l'on a 
ajouté un condensateur.
Q 8. Établir l'expression de l'intensité à en fonction de C,, m et cu pour une 
intensité de sortie nulle,

iï, = 0. En déduire l'expression de ; en fonction de C,,, m et au. Toujours 
avec le modèle du transformateur

idéal, quelle serait la valeur de 1, en l'absence de la capacité parasite si à, 
= 0 ?

La tension d'entrée est périodique, de la forme donnée figure 5.

ui
| 9 V
| T + 1
: 1,05 ns
| on 1,00 ps :
2,00 ps
Figure 5 Forme du signal d'entrée u,
Q 9. Calculer la valeur de l'intensité maximale ?, dans les conditions de la 
question précédente. Quels sont

les effets de ce courant ? Pourquoi ce défaut est-il particulièrement important 
pour les variations rapides de
tension ?

I.B --- Le matériau magnétique

Le rôle du matériau magnétique est de canaliser les lignes de champ magnétique. 
Cependant, il présente l'incon-
vénient d'être à l'origine de pertes énergétiques.

Q 10. Dans le modèle de Bohr, un électron possède une trajectoire circulaire 
autour d'un noyau atomique
immobile. Le moment cinétique de l'électron est o&, = |ü,| = #, où # est la 
constante de Planck réduite. Établir
l'expression du moment magnétique u, = |ji.| de cet atome, en fonction de À, de 
la charge élémentaire e et de
la masse de l'électron m,. Effectuer l'application numérique.

Q 11. Un matériau ferromagnétique de masse molaire M, de masse volumique p, est 
formé d'atomes de
moment magnétique zu, où z EUR N. Quelle est l'expression de l'aimantation de 
saturation M... valeur de
l'aimantation du matériau quand tous les moments magnétiques sont alignés et de 
même sens ? Calculer la

valeur M...(Fe) pour le fer pour lequel z -- 4.

Q 12. En reprenant la valeur précédente de M... quel serait le moment 
magnétique à saturation m, d'un
cube de fer de côté 150 mm ? Quelle serait l'intensité Z parcourant une boucle 
circulaire de diamétre 150 1m de
moment magnétique m, ? Commenter.

Pour mesurer la splitéabilité magnétique, on utilise un impédancemètre équipé 
d'un dispositif de caractérisation
de matériaux ferromagnétiques, sous la forme d'un bobinage de N, spires 
enlaçant un tore formé de ce matériau.
Le tore possède une longueur moyenne {, et une section $, (figure 6).

Impédancemètre u

Figure 6 Tore de mesure d'impédance

Le milieu ferromagnétique est étudié dans son domaine linéaire et sa 
splitéabilité magnétique relative est
notée y, On suppose que les lignes de champ adoptent la symétrie de révolution 
du tore. L'impédancemètre
génère des signaux harmoniques de pulsation w = 27 f, avec fQ = 50 Hz.

Q 13. On suppose les normes des champs d'excitation magnétique H et magnétique 
B uniformes dans le
tore. À quelle condition sur la géométrie du tore cette hypothèse est-elle 
justifiée ?

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Q 14. En travaillant en coordonnées cylindriques, d'axe l'axe de révolution du 
tore, justifier que H =H EUR)

Q 15.  Exprimer les champs # et B en fonction de u,, u,, N,, £, et à. Préciser 
les orientations choisies.

Q 16. En déduire l'expression de l'impédance Z -- -- Y a-t-il dissipation 
d'énergie dans le matériau ?

Pour décrire plus complètement les propriétés du matériau ferromagnétique, on 
généralise la relation B = Lo a,.H
à une relation entre champs complexes B = Bolt H où y, est la splitéabilité 
relative complexe et l'on pose

U, =, -- ju où y". et y" sont des réels positifs.

Q 17.  Exprimer la puissance moyenne P,. consommée dans le tore en fonction de 
la valeur efficace J,f de

l'intensité ? et des caractéristiques du milieu.

Q 18. Dans le cadre d'un matériau de splitéabilité relative complexe, tracer 
l'allure du cycle B(H) du
matériau ferromagnétique. Évaluer le champ magnétique rémanent B, et 
l'excitation coercitive A. On prendra
les valeurs des paramètres données en fin de problème ainsi que les valeurs pr 
-- 10%, a? -- 4 et l'intensité
maximale dans la bobine 1, = 12 A.

Q 19. Calculer la puissance moyenne Pi dissipée dans le tore ferromagnétique. 
Quelle est la nature de
cette perte ?

II Le transformateur piézoélectrique

Aucune connaîssance préalable de l'effet piézoélectrique n'est nécessaire pour 
répondre aux questions de cette
partie.

À partir des années 1990 ont été développées des classes de transformateurs 
compacts de gains en tension
élevés. Leur principe repose sur la piézoélectricité, une propriété de certains 
matériaux comme le quartz ou les
céramiques de titano-zirconates de plomb (PZT).

IT. A -- L'effet piézoélectrique

Les matériaux piézoélectriques ont la faculté de faire apparaitre un champ 
électrique sous l'effet d'une déforma-
tion mécanique (effet direct). Réciproquement, ces matériaux se déforment 
lorsqu'ils sont soumis à un champ
électrique (effet inverse).

On considère un milieu cristallin ionique, isolant, homogène à l'échelle 
mésoscopique, mais dont les porteurs de
charge, cations et anions, forment deux réseaux se déformant différemment sous 
l'effet de forces de compression
(figure 7). Sans contrainte (figure 7a), la densité de charge est partout 
nulle. La permittivité relative du milieu
est notée EUR,

2 --
F
E © © © © ® 6 © © © © ® © ä. D eveteterterter
200PeF04eæeee e2ePerereltere
606060006066 060066 0 P e4e4etetetes
F
(a) Cristal sans contrainte (b) Cristal soumis à une compression

Figure 7 Cristal piézoélectrique

Q 20. Quel est le signe de la charge de la face inférieure qui apparait en cas 
de compression (figure 7b) ?
On note © la densité surfacique de charge correspondante. Dans le cas d'un 
milieu illimité dans les directions
orthogonales à Oz, en détaillant le raisonnement effectué, établir l'expression 
du champ électrique E entre les
deux faces en fonction de © et des constantes électriques.

L'effet inverse est obtenu en appliquant un champ électrique E, + uniforme à un 
échantillon de matériau pla-
cé entre les armatures d'un condensateur. La déformation engendrée est 
proportionnelle au champ électrique
appliqué.

La figure 8a représente un échantillon de matériau piézoélectrique 
parallélépipédique, d'épaisseur d, placé entre
les armatures d'un condensateur. La figure 8b représente un échantillon à deux 
couches : un couple d'électrodes,
isolées l'une de l'autre, est inséré entre deux couches de matériau, 
d'épaisseur d/2.

Q 21. Exprimer le champ électrique E, dans le cas des deux couches de la figure 
8b, en fonction du champ

É... de la figure 8a. Généraliser au cas de N couches d'épaisseur d/N et 
exprimer Æ,. Exprimer enfin E,, en

fonction de la tension U, de l'épaisseur totale d et de N. Quel est l'avantage 
de ce système multicouche ?

P066/2023-03-20 13:00:29 Page 4/8 (cc) BY-NC-SA

ext d/2

(a) Une seule couche (b) Deux couches
Figure 8 Matériau piézoélectrique placé dans un champ électrique

II.B -- Propagation de la déformation

Le champ électrique E = E,u, appliqué au matériau provoque une variation Ô de 
sa largeur L, telle que

0 -- bE,,

où B est une constante dépendant du matériau. À l'inverse, une variation 6 de 
la largeur provoque l'apparition
d'une composante du champ électrique ÆE, (effet direct) telle que

Ô
E, -- 8°
Electrique vers mécanique Mécanique vers électrique
L, Vibration mécanique

Milieu piézoélectrique

-->
Primaire Ur Secondaire

Figure 9 Principe du transformateur piézoélectrique -- Au primaire,
toutes les connexions aux électrodes multicouches n'ont pas été représentées

Q 22. On considère le schéma du transformateur de la figure 9. Le primaire est 
formé de N couches, le
secondaire d'une seule. Si l'amplitude de la déformation au secondaire est 
identique à celle du primaire, quel est
le rapport m de transformation en tension ? Ce transformateur fonctionnerait-il 
pour des signaux stationnaires ?

Une tension harmonique U,(t) -- U, cos(wt) entraine ainsi une déformation de 
même pulsation du matériau,
déformation qui se propage selon l'axe Ox. Le matériau a la forme d'un barreau 
de section constante $. Parmi les
modes de vibration possibles, on s'intéresse au mode longitudinal. La 
déformation longitudinale est représentée
par le déplacement £(x,t) de la tranche située à l'abscisse x au repos (figure 
10). On s'intéresse à un modèle
aux faibles déformations.

E(x,t) E(x + dr, t)

Figure 10 Propagation d'une onde acoustique longitudinale dans un barreau 
piézoélectrique

On considère le système matériel compris entre les abscisses x et x + dx quand 
le milieu est au repos, de masse
dm = pSdx où p est la masse volumique du matériau (partie hachurée sur la 
figure 10). La force F (x,t) exercée
par le matériau en deçà de x + £(x,t) sur le système s'exprime par

Ô

F (x,t) = SK

(x,t)ü,
où À est une constante caractéristique du matériau.

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Q 23. Quelle est la dimension de la constante K ? Exprimer la force F . (x + 
dx,t) exercée sur le système par

la partie du matériau située au-delà de x + dx. En déduire la force résultante 
dF, sur le système à l'ordre un
en dx.

Q 24. En assimilant la quantité de mouvement du système à dm a (x,t)ü,., 
établir l'équation de propagation
CU
O2 c202

Donner l'expression de la constante c en fonction de K et p. Quel est le nom de 
cette équation ?

Les vibrations engendrées par le déplacement en x = 0 se propagent dans le 
barreau, dans les deux sens, sous
forme d'ondes planes harmoniques. On note k = ku,, le vecteur d'onde.

L'extrémité en x = L du barreau est libre. En x = 0, l'amplitude forcée est 
donnée par £(0,t) = &, cos(wt). La
solution plane harmonique complexe s'exprime selon

& (rt) -- Aexp(j(wt -- kx)) + Bexp(j(wt + kx)).

Q 25. Déterminer les constantes complexes À et B en fonction de &,, k et L. En 
déduire que l'amplitude
complexe est de la forme

£ (æ,t) = 0 exp(jut) 'exp(--jh) + exp(--jk(21 -- 0)

_P

et exprimer le dénominateur D. Donner la signification physique de chaque terme 
de cette expression. De quel
déphasage Av s'accompagne la réflexion de l'onde de déplacement ?

Q 26. En déduire les fréquences f, de résonance du barreau en fonction de c, L 
et d'un entier n non nul.

Calculer la fréquence minimale our une céramique PZT de longueur L = 2 cm. Que 
devient l'amplitude des
q 0

vibrations aux fréquences de résonance ? Quel est l'inconvénient de la 
résonance pour un matériau solide ?

En réalité des phénomènes dissipatifs affectent la propagation de l'onde dans 
le milieu. On les modélise en
prenant en compte une force supplémentaire

sur le système de masse dm considéré auparavant. 7 est une constante.
Q 27. Établir la nouvelle équation des ondes.

Les solutions planes harmoniques complexes de l'équation précédente s'écrivent
é(r,t)=X, exp(j(wt -- kx))
où À, est une constante complexe et k -- k° -- jk" avec k" et k" des constantes 
réelles vérifiant }k°| < |k]. Q 28. Établir la relation de dispersion. Exprimer k" en notant que k' = =. Q 29.  Qualitativement, quelles sont les modifications qu'apportent les phénomènes dissipatifs sur les fré- quences de résonance et sur les amplitudes à ces fréquences ? Q 30. Dans la figure À du document réponse, sont décrites des simulations de fonctionnement d'un transfor- mateur piézoélectrique alimentant une résistance de charge R,. Analyser qualitativement et quantitativement ces graphes de façon à a. donner les valeurs des puissances d'entrée et de sortie et la puissance perdue lorsque la puissance de sortie est maximale. Commenter ; b. déterminer si les valeurs de la tension de sortie et la puissance de sortie sont en accord. III Mesures de champs magnétiques avec un capteur Fluxgate L'élément magnétique sensible d'un capteur Fluxgate est un noyau magnétique doux qui est saturé périodique- ment par un signal fourni par une bobine d'excitation. Cette saturation périodique provoque une discontinuité du signal mesuré aux bornes d'une bobine de mesure, ce qui donne le nom de ces capteurs (Fluxgate signifie littéralement en français « vanne de flux »). Dans toute cette partie, on se place dans l'approximation des régimes quasi stationnaires magnétique. P066/2023-03-20 13:00:29 Page 6/8 (cc) BY-NC-SA | | A PU NAN PNA NA PNA AN A AN A A A NAN Le Z<----- EH EH JE JE EL JET JE JE JET JE TL RER Le N e < © Us Figure 11 Fluxgate La figure 11 représente les éléments essentiels du capteur. Un barreau cylindrique ferromagnétique doux, de per- méabilité relative 4, de longueur £, de diamètre D, est enlacé par deux enroulements. L'enroulement d'excitation (en trait gras), formé de N,; spires (densité linéique de spires n), est parcouru par une intensité d'excitation sinusoïdale Z,(t) = 1, cos(wt). On mesure la tension u,(t) aux bornes de l'enroulement de mesure (en trait fin) qui compte N; spires également. On néglige tout effet dû à un courant minime susceptible de circuler dans cet enroulement de mesure. On suppose que les spires sont circulaires, uniformément réparties sur le cylindre et que les champs sont uniformes dans le barreau. TIIT. À -- Dans cette sous-partie, il n'y a pas de champ extérieur. Q 31. Exprimer le champ d'excitation magnétique H dans le barreau. On détaillera la méthode utilisée. Q 32. Dans le cas où le milieu magnétique se comporte linéairement, exprimer le champ magnétique B en fonction de 1,, n, lo et 1. En déduire l'expression de la tension u,(t) en fonction de 1,,, w, n, N #. D et des constantes du milieu. Le matériau ferromagnétique est caractérisé par la courbe d'aimantation M(H) simplifiée donnée sur la figure 12. On pose at = u, -- 1 et y, = 4000. 0 sat | _M sat Figure 12 Courbe M(H), où M = M : à. et H = H : ü, Q 33. Sachant que 1, est tel que la valeur maximale de l'excitation magnétique 4, = 2H, exprimer u.(t) dans les deux domaines, linéaire et saturé. Q 34.  Représenter sur la figure B du document réponse les graphes des fonctions B(t) = B : ü, et u,(t). -- III.B -- Le fluxgate est désormais placé dans un champ d'excitation extérieur AH. = Hu, uniforme et constant créé par une source extérieure au dispositif. Le courant d'excitation 1,(t) est inchangé. Q 35. Quelle est l'expression de A dans le barreau ? À l'aide des graphes de B(t) et de u, (t) fournies figure C du document réponse, déterminer quelle inégalité est vérifiée par la valeur de À; : a. + > À:

b. O