e3a Physique PSI 2009

 

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CONCOURS ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE

Épreuve de Physique PSI

Durée 3 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, d'une
part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et 
poursuit sa
composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

Etude d'un lambdamètre

Le problème se décompose en trois parties corrélées entre elles : une théorie
générale sur les interférences (première partie), l'interféromètre de Michelson
(deuxième partie) et la conception d'un lambdamètre (troisième partie).

Remarques préliminaires importantes : il est rappelé aux candidat(e)s que

. les explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au 
même titre
que les développements analytiques et les applications numériques ;

. tout au long de l'énoncé, les paragraphes en italique ont pour objet d'aider 
à la
compréhension du problème ;

. tout résultat fourni dans l'énoncé peut être admis et utilisé par la suite, 
même s'il n'a pas
été démontré par les candidat(e)s ;

. le tracé de la fonction sinc(x) est donné dans l'annexe en fin d'épreuve, 
ainsi que des
formules trigonométriques utiles.

Les lambdamètres permettent de mesurer avec une excellente précision la
longueur d'onde d'une source laser. Sans mettre en oeuvre un lourd dispositif de
spectroscopie, ils sont basés sur des principes d'interférométrie. Le principe 
du
lambdamètre décrit dans ce problème est dérivé de l'interféromètre de Michelson.

La propagation de l'onde lumineuse s'effectue dans un milieu transparent, 
diélectrique,
linéaire, homogène et isotrope (DLH/).

La vitesse dela lumière dans le vide est notée c = 3.108 ms".

PREMIERE PARTIE
INTERFERENCES

Les grandeurs harmoniques seront représentées en notation complexe.

Une source lumineuse ponctuelle située en S émet, de manière pulsée, des trains
d'ondes lumineuses supposées de même pulsation a). Dans le modèle scalaire de 
la lumière, la
fonction de l'onde monochromatique est caractérisée en un point M et à 
l'instant tpar le signal

lumineux ou vibration lumineuse : s(M, t) =a cos[wt--ço(M, t)], où a est 
l'amplitude supposée

constante de l'onde et ça (M, t) son retard de phase en M et à l'instant t par 
rapport au point de
référence 8.

Par convention, la grandeur complexe associée à la grandeur réelle s(M, t) est 
le signal
analytique : s(M,t)=a exp{j(æt--ça(M, t))], où j est le nombre complexe pour 
lequel j2 =--1 .

Le complexe conjugué de s(M, t) est noté _8_* (M, t).

Le modèle des trains d'ondes suppose que la phase à la source (03 reste 
constante

pendant des intervalles de temps de durée constante Tc entre lesquels elle 
change

aléatoirement de valeur. L'onde émise durant cet intervalle de temps appelé 
temps de
cohérence est nommée "train d'onde". Le train d'onde est ainsi limité dans le 
temps et se

propage dans le vide à la célérité c. La phase de l'onde ças à la source S 
prend une nouvelle
valeur aléatoire à chaque nouveau train d'onde.

AI Rayon lumineux

La lumière se propage de S à M le long d'un rayon lumineux avec pour vitesse au 
point

P : v(P)=--£---- , où n (P) est l'indice de réfraction du milieu en P ; par 
définition, le chemin
"(P)

optique (SM) entre les points 8 et M du rayon lumineux est : (SM) : Ën(P) dt(P) 
. L'élément

d'arc de la courbe suivie parla lumière est noté dt(P) ; il est défini en P et 
est parcouru par la
lumière àla vitesse de propagation v (P) pendant la durée dt.

1) Chemin optique et phase du signal lumineux

L'onde se propage sans déformation, le signal s(M, t) reproduit le signal de la 
source
avec un retard T (M).

A1*a. Relier le chemin optique (SM) à la durée de propagation du signal T(M). 
Conclure quant
à l'interprétation du chemin optique.

A1*b. Calculer l'ordre de grandeur de la pulsation mm du signal lumineux Dans 
le domaine

visible, pour une longueur d'onde moyenne dans le vide a... de l'ordre de 600 
nm,
calculer l'ordre de grandeur de la pulsation oem du signal lumineux.

A1*c. Etablir l'expression du retard de phase (p Il... =(p(M, t)--cp(P, t) lié 
à la propagation entre

P et M, en fonction du chemin optique (PM) et de la longueur d'onde ?... de 
l'onde
étudiée dans le vide.

2) Surface d'onde

A2*a. Définir une surface d'onde. Justifier le caractère d'onde sphérique 
associé au signal
lorsque celui-ci se propage dans un milieu d'indice n constant. Enoncer le 
théorème de

Malus.

A2*b. Quel instrument d'optique permet d'obtenir une onde plane à partir d'une 
source
ponctuelle ? lllustrer votre réponse à l'aide d'un schéma faisant apparaître 
les surfaces
d'onde.

L'éclairement (ou intensité lumineuse) %(M) est mesuré par un détecteur 
quadratique

placé en M sensible à la valeur moyenne temporelle de SZ(M, t). II est 
conventionnel/ement
défini au point M (à une constante multiplicative près) par :

%(M) = <_s_(M, t). _s_ * (M, t)} =  .

Cette moyenne temporelle est effectuée sur un temps de réponse TR du détecteur
toujours très grand devant les temps de cohérence temporelle des sources 
supposés

identiques à rc. Ce temps de cohérence est la durée moyenne de passage des 
trains d'ondes
en un point donné de l'espace.

B ! Interférences entre deux sources ponctuelles

L'éclairement %(M) résulte de la superposition en M de deux ondes issues de deux

sources ponctuel/es 81 et 82 de longueurs d'ondes dans le vide différentes M et 
M. Elles sont
notées respectivement :

s1(M,t)=a1 cos[w1t--ça1(M,t)] et 82(M,t)=82 cos[wJ--çæ(M,t)]

B1*a. Exprimer l'éclairement %(M) en fonction des intensités & et %'2 de 
chacune des ondes,

de leurs pulsations respectives 001 et 002 et du déphasage >X et D 
» Y.

C1*a. Comment réalise--t-on de telles sources ? Quel est l'éclairement %(M) au 
point M en
fonction de la différence de marche ô,,,(M) : (SZM)--(S1M), de ?... et %5 ?

C1*b. Démontrer l'expression approchée de la différence de marche 
82,1(M)=(SZM)--(S1M).

En déduire l'éclairement %(X) au point M de l'écran en fonction de X, b, D, M 
et %0.
Quelle est la forme des franges d'interférence observées ?

C1*c. Définir l'ordre d'interférence p(M) au point M. Préciser en le justifient 
p(M) lorsque :

. la frange d'interférence en M est brillante,
. la frange d'interférence en M est sombre.

C1*d. Définir et exprimer l'interfrange i en fonction de ?..., b et D.

Figure 1

L'écran (E) est maintenant placé perpendiculairement à la droite 8182 en B 
supposé
centre de l'écran (figure 2). Il est situé à une distance D du point milieu C 
entre les deux

sources. Un point M du plan d'observation est défini par : p : BM, avec D >> b 
et D >> p.

C2*a. Démontrer l'expression approchée de la différence de marche 62,1(M) : 
(SZM)--(S1M) en

fonction de b et de l'angle 9 : (ÜË,.ÔÎA)

C2*b. Exprimer I'éclairement %(9) au point M de l'écran en fonction de 9, b, 
i... et % puis en
fonction de p, D, b, ?... et %.

CZ*c. Justifier la forme des franges d'interférences obtenues. L'ordre 
d'interférence p(M) en M
est-il croissant ou décroissant à partir du centre B ? Justifier la réponse.

Figure 2

DEUXIEME PARTIE

INTERFEROMETRE DE MICHELSON

Les ondes se propagent dans le vide.

La figure 3 correspond au schéma de principe de l'inten'éromètre de Miche/son. 
Les
miroirs sont réglés de telle sorte que sont observés, par projection à l'aide 
d'une lentille
convergente (L), des anneaux d'interférence circulaires sur le plan 
d'observation (E). Ce plan
est situé dans le plan focal de la lentille (L) ; celle--ci est parfaitement 
stigmatique, de distance

focale image f' et son axe 02 coupe l'écran en B. Posons OB : D.

L'interféromètre supposé idéal est constitué :

. d'une lame semi--réfléchissante dite séparatrice (Sp) qui réfléchit la moitié 
de la lumière
qu'elle reçoit ; l'origine O du repère est centrée sur la séparatrice qui fait 
un angle

invariable de 7r/4 avec les axes Ox et 02 ; les déphasages introduits parla 
séparatrice
ne sont pas pris en compte car ils sont compensés par une lame compensatrice 
(non

représentée sur la figure 3) réglée parallèlement à la séparatrice.

. de deux miroirs réglables (M1) et (M2) parfaitement plans, perpendiculaires 
au plan de la

figure et dont les orientations fixes font un angle égal à 7r/4 par rapport à 
l'orientation de
la lame séparatrice (Sp) ; le miroir (M1) est susceptible de subir un mouvement 
de

translation parallèlement à la direction Oz alors que le miroir (M2) reste 
fixe, la distance
qui le sépare de l'origine O est notée La.

Seules seront considérées des ondes ayant été réfléchies une et une seule fois 
sur la
lame séparatrice. A partir de la situation de référence où (M,) est confondu 
avec l'image de
(M2) par la séparatrice (Sp): le miroir (M,) subit une translation de longueur 
e comptée

positivement si le miroir s'éloigne de la séparatrice.

TZ

" (M1)

e Ï _
______________ 4___ Image de M2 par

Figure 3 la séparatrice

plan focal image
(E) B P M de la lentille

D I Anneaux d'égale inclinaison

L'éclairement obtenu sur l'écran en occultant l'une des deux sources est noté 
%0.

La source ponctuelle S monochromatique, de longueur d'onde i..., est placée à la

distance finie Ls : SO de la séparatrice. Le système optique constitué de (Sp), 
(M,) et (M2)
donne deux images 81 et SZ dela source 8. 81 correspond aux rayons qui 
rencontrent (M,) et SZ

aux rayons qui rencontrent ( M2).
La lentille (L) est stigmatique et n'introduit aucune différence de marche.

D1*a. Préciser les coordonnées de S, et 82 dans le repère Oxz. En déduire la 
distance 8182 en
fonction de e.

D1*b. La distance qui sépare les points M et B sur l'écran (E) est notée p=BM. 
Avec la
condition p << f', exprimer la différence de marche 81,2(M) : (S,M)--(SZM) en fonction de e et de l'angle 9=(ËÎË,O'M), puis en fonction de p, e et f'. Illustrer la démonstration par un schéma explicatif faisant apparaître S,, 82, (L) et (E). Déterminer, en fonction de e, la différence de marche A : ô(B) obtenue en B pour p = O. D2*a. Exprimer l'éclairement %(p) obtenu en M en fonction de p, e, f', ?... et %o. En déduire que la figure d'interférence projetée sur (E) est constituée d'anneaux concentriques centrés sur B. D2*b. Le centre B des anneaux correspond a un maximum d'intensité. Quel est l'ordre d'interférence po, supposé entier, au centre des anneaux ? Déterminer le rayon pk du k'eme anneau brillant compté à partir du centre en fonction de e, f', ?... et de son ordre d'interférence pk. DZ*c. Exprimer k en fonction de po et pk ; en déduire l'expression de pk en fonction de e, f ', ?... et k. Déterminer pk en fonction de k et de p1, le rayon du premier anneau compté à partir du centre. D2*d. Quel est le phénomène observé sur l'écran quand l'interféromètre est réglé au contact optique (c'est--à-dire quand e = O) ? Décrire, en la justifiant, l'évolution des anneaux lorsque la valeur de l'épaisseur e de la lame d'air est progressivement augmentée : . les anneaux semblent--ils "entrer" ou "sortir" du centre ? . y a-t-il un nombre croissant ou décroissant d'anneaux visibles sur l'écran ? D2*e. Une lame à faces parallèles d'indice n...& et d'épaisseur e.ame : 8 pm est ajoutée devant et parallèlement au miroir mobile (M,). Pour une source monochromatique de longueur d'onde ?... = 500 nm, un brusque déplacement de 16 anneaux brillants au centre est alors observé. Evaluer numériquement l'indice de la lame n.ame. D3. Est-il indispensable, dans ce montage, de placer l'écran (E) dans le plan focal de la lentille (L) pour observer des interférences ? En serait--il de même si une source étendue incohérente était utilisée ? E I Analyse d'interférogrammes Le miroir (M,) est mobile entre e = 0 et e = L,,... ( L,... > 0).

Un détecteur ponctuel est placé au centre B du système d'anneaux. II délivre un 
signal
électrique u (A) proportionnel à l'éclairement qu'il reçoit ; ce signal dépend 
de la différence de

marche A.

L'accroissement de e par translation du miroir (M,) entraîne une variation du 
chemin

optique en B de A = 0 à A : A..., et, par conséquent, un défilement des 
anneaux. Le
déplacement de (M,) est contrôlé par un dispositif informatique qui enregistre 
dans le même

temps l'éclairement âÏA) en B. On appelle interférogramme %(A) l'enregistrement 
de l'évolution
de l'éclairement % en fonction de A.

L'éclairement obtenu sur l'écran en accu/tant l'une des deux sources est noté 
%0.

1) Source monochromatique idéale

L'inten'érome'tre est éclairé par une source ponctuelle, monochromatique, de 
longueur
d'onde /10 et de pulsation wo.

E1*a. Exprimer l'éclairement %(A) en fonction de A, (00, %b et de la célérité 
de la lumière 0.

E1*b. Représenter I'interfërogramme %(A) en fonction de A et indiquer ses 
paramètres

caractéristiques.
Justifier qu'au cours du déplacement du miroir (M1) à la vitesse constante V, un

scintillement de fréquence \) proportionnelle à V est visible au centre B des 
anneaux.

Ce scintillement est détecté au moyen d'une photodiode.

2) Source délivrant deux ondes de pulsations voisines

La source émet, avec la même intensité, deux ondes monochromatiques de 
pulsations

. . . 1
@ et a)2 vorsmes dela pulsation moyenne (00 : 5(w, + raz), avec 50) = (602 -- 
ca,) << (00 . E2*a. Déterminer l'éclairement %(A) en fonction de A, on... %5, c et de l'écart ôoe : oo2 -- (01. Montrer que son expression diffère de l'éclairement de la question E1*a précédente par le facteur 7 (A) appelé degré de cohérence temporelle qui sera précisé. E2*b. Exprimer le contraste %(A) des franges d'interférence. Représenter %(A) en fonction de A, en indiquant les paramètres caractéristiques de l'interfërogramme. Lors du déplacement du miroir (M1), le contraste varie périodiquement et s'annule en des points dits "points d'anticoihcidence" ; il y a alors brouillage de la figure d'interférence. L'interféromètre est éclairé par une lampe à vapeur de sodium de longueur d'onde moyenne /1,, = 600 nm (valeur adoptée pour faciliter les calculs). Lors de la translation du miroir (M), un éclairement uniforme de l'écran est observé --- il correspond à une anticoïncidence --- pour deux valeurs successives de l'épaisseur e de la lame d'air obtenue entre (M,) et l'image de (M2) parla séparatrice. Entre ces deux annulations de la visibilité des franges, 1000 scintillements sont comptabilisés parla photodiode en B. E2*c. Déterminer numériquement l'écart ôk entre les deux longueurs d'onde du doublet ainsi que ôe, la longueur de déplacement du miroir (M1). 3) Source à profil rectangulaire Pour simplifier les calculs, la source lumineuse est supposée présenter un spectre rectangulaire de largeur spectrale 5w. L'intensité véhiculée dans chaque bras du Miche/son, indépendamment l'un de l'autre, s'écrit: dä, =-ËÊÙ--dw si a) 5 [ca,--%, wo+êË)--] et elle est nulle partout ailleurs. E3*a. Déterminer, par un calcul intégral, l'éclairement %(A) en fonction de A, (bg, % , c et ôoe. Quelle est l'expression du degré de cohérence temporelle y(A) ? E3*b. Exprimer de contraste CEUR(A) des franges d'interférence. Représenter %(A) dans le cas où 60) << (:)0 . Indiquer les paramètres caractéristiques de l'intedérogramme. E3*c. Montrer que les franges d'interiérence restent bien contrastées tant que A vérifie la relation : |A| s A.,. Exprimer Ac en fonction de c et 800, puis en fonction de 7l.0 et ôit. AG est appelé longueur de cohérence. Chaque train d'ondes possède une phase à l'origine ças aléatoire au cours du temps. Il est limité dans le temps par sa durée de cohérence rc et dans l'espace par sa longueur de cohérence Ac=c rc. E3*d. Précisez la signification de AC et commenter la condition d'interférences |A] 3 AC. L'interféromètre de Miche/son est éclairé par une lampe basse pression de longueur d'onde moyenne /to : 600 nm et de largeur de raie & = 10 '2 nm. E3*e. Evaluer sa longueur de cohérence. Répondre à cette même question dans le cas d'un laser de longueur d'onde ?... =600 nm et dont la largeur de raie vaut ôk : 10"6 nm. Que dire de la longueur de cohérence d'une source parfaitement monochromatique ? Commenter. F I Analyse spectrale de l'interférogramme Partant de l'interférogramme, un système informatique calcule numériquement la transformée F (ca) de l'éclairement %(A). Cette transformée est définie par l'intégrale : F(ca) = AT %(A) cos(ÊJ--4) dA C F1*a. Calculer F(oe) dans le cas d'une source idéale monochromatique de pulsation oeo : %(A) = %0 {1 + cos(oeÊA )] Représenter l'allure de la courbe F(oe). Montrer qu'elle présente trois pics dont vous préciserez : . les amplitudes en fonction de %"o et A... ; . la largeur ôoebase de leurs bases (voir annexe) en fonction de A... et de c. Que devient F(oe) lorsque Amex devient très grand ? F1*b. En déduire, sans calcul, l'allure de la courbe F(oe) obtenue pour une source émettant deux ondes de pulsations (... et 002 voisines de la pulsation moyenne wc et de même intensité (oe2 > 031 ).

Un spectromètre a pour fonction de séparer deux radiations de pulsations 
voisines (01 et
(02. Il permet d'accéder à ces pulsations, de mesurer leur écart fréquentiel 
5wR : (ca2 ----- ca,) ainsi

que les intensités relatives des deux radiations. Le paramètre le plus 
important pour
caractériser cet appareil est son pouvoir de résolution : il estime la capacité 
du spectromètre
à séparer deux pulsations très voisines.

Le critère "d'éloignement" adopté pour évaluer l'ordre de grandeur de la limite 
de
résolution du spectromètre est le critère de Ray/eigh : le plus petit écart 
mesurable est obtenu
lorsque deux pics de deux radiations différentes sont distants d'une 
demi--largeur de base (voir
annexe), autrement dit lorsque le maximum principal de l'un correspond à la 
première

annulation de l'autre.

F1*c. Estimer le plus petit écart spectral AoeR : oe2 -- oo1 qui puisse être 
observé par ce dispositif
en fonction de c et Amex.

wo
AwR '
Montrer que le pouvoir de résolution ?? du spectromètre est fixé par le nombre 
Nmax de

maxima d'intensité enregistrés par le détecteur lors de la course finie de 
l'interféromètre.
Commenter.

Le pouvoir de résolution ?? du spectromètre est défini par : 9? :

"n
!°

10

TROISIEME PARTIE
DOUBLE INTERFEROMETRE DE MICHELSON : LAMBDAMETRE

Le lambdamètre (figure 4) a été élaboré pour mesurer rapidement la longueur 
d'onde
d'un laser stabilisé. Il se présente comme un double interférome'tre de 
Miche/son qui compare
la longueur d'onde inconnue d'un laser stabilisé avec la longueur d'onde connue 
d'un laser de
référence : le laser Hélium--Néon stabilisé sur la raie d'absorption "i" de 
l'iode à ÂO : 632,8 nm.

Le lambdamètre ne nécessite qu'une séparatrice (Sp), deux coins de cube 
identiques et
un miroir réglable (M). Tous les angles de réflexion sont égaux à 75/4.

Les "coins de cube" sont des réflecteurs qui ont la propriété de renvoyer la 
lumière dans
la même direction que celle de réception. Ils sont en verre d'indice n = 1,5 et 
les trois angles au
sommet font chacun 90° avec une précision meilleure que la seconde d'arc. Un 
rayon lumineux
tombant sur une des trois faces du coin va se réfléchir trois fois 
successivement et donc se
décaler faiblement en position pour ressortir parallèlement à sa direction 
incidente.

Le coin de cube 2 est mobile, il se déplace verticalement dans une enceinte où 
le vide
est réalisé. Il est suffisamment lourd pour rendre les frottements négligeables 
lors de la
translation. Il est attaché à la poulie d'un moteur pas à pas par 
l'intermédiaire d'un fil et guidé
dans un tube en inox. Les concepteurs ont cherché à se rapprocher le plus 
possible dela chute
libre.

Les longueurs de cohérence du laser étalon et du laser COZ stabilisé sont
respectivement de l'ordre de 300 m et 30 km.

g i vide --
?
F' r 4 : coin de cube 2
' u e ; mobile
Laser étalon (Sp) coin de cube 1
He--Ne fixe
.. 1
LAS A
// (L1)
(D1)@ î
f ! ' (L2) 4__>

Laser C 02
LAS

32 ÎWH' /
(M) 41 (Dz) @"

Données: 3160556 x0,6328=2 ; \/0,2=0,45

G1*a. Le rayon issu du laser 1 arrive en A sur la lame semi-réfléchissante : 
représenter sur un
schéma les chemins optiques des deux rayons qui vont interférer.

L'anneau central de la figure d'interférences est détecté parla photodiode (D1 
).

G1*b. Le rayon issu du laser 2 arrive en B sur la lame semi--réfléchissante : 
représenter sur un
schéma les trajets optiques des deux rayons qui vont interférer.

L'anneau central de la figure d'interférences est détecté par la photodiode 
(DZ),

G1*c. Comparer les différences de marche pour les lasers 1 et 2 respectivement 
aux centres
(D1) et (D2) des deux figures d'interférences.

Le laser 1 est le laser étalon de longueur d'ondeÀ, : 632,8 nm. Le laser 2 est 
un laser

COZ stabilisé dont la longueur d'onde & est à déterminer. Lors de la chute du 
coin de cube 2,
un compteur évalue à p1 : 3160556 le nombre de scintillements détectés par (D1) 
et, dans le
même temps, p; = 188 679 scintillements sont détectés par (DZ).

(_:'v_2= A l'aide de ces mesures, évaluer 7\.2 (en pm).

gg_. Citer deux avantages de l'utilisation des coins de cubes pour le 
fonctionnement du
lambdamètre. Pourquoi le vide a-t-il été établi sur la longueur de déplacement 
du coin
de cube ? Commenter le pouvoir de résolution du double interféromètre ainsi 
constitué.

G4. Calculer la hauteur de chute e du coin de cube mobile. Comparer à la 
longueur de
cohérence des lasers et commenter.

_Q_5_= Déterminer la durée tchute de la chute supposée libre du coin de cube, 
sachant que
l'intensité du champ de pesanteur est 9 = 10 ms"? Commenter.

_Ç_5_= Le comptage des franges s'effectue à la frange près. En considérant que 
la longueur
d'onde étalon M est connue sans incertitude, indiquer l'incertitude relative sur

l'évaluation de >\.2. Commenter.

ANNEXES

Formules trigonométriques :

a+b a--b
cosa+cosb = 2 cos[ 2 ]cos{----2----]

sina --- sinb : 2 cos[îÎ--b] sin{ÎÎ--b]
2 2

2 cosa--cosb : cos(a+b)+cos(a--b)

FIN DE L'EPREUVE