e3a Physique PSI 2011

 

e 3 &
CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - ARCHIMEDE

Epreuve de Physique PSI

Durée 3 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, d'une
part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et 
poursuit sa
composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

Le problème, consacré à l'accustique d'un silencieux automobile, se
décompose en trois volets : la première partie développe l'étude générale d'une 
onde
acoustique dans un fluide parfait, la seconde partie, plus particulièrement 
orientée vers
l'adaptation de I'impédance, est relative au phénomène de réflexion et 
transmission de
l'onde en incidence normale, la troisième partie propose un modèle simplifié du
silencieux d'échappement.

Remarques préliminaires importantes : il est rappelé aux candidat(e)s que :

. les explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au 
même titre
que les développements analytiques et les applications numériques ; les 
résultats
exprimés sans unité ne seront pas comptabilisés ;

0 tout au long de l'énoncé, les paragraphes en italiques ont pour objet d'aider 
à la
compréhension du problème mais ne donnent pas lieu à des questions ;

. tout résultat fourni dans l'énoncé peut être admis et utilisé par la suite, 
même s'il n'a pas
été démontré par le(Ia) candidat(e).

Sur un véhicule à moteur, le silencieux est un système conçu pour limiter le
bruit produit par les gaz d'échappement. Le traitement de ces bruits a
considérablement progressé ces dernières années. Dans la hiérarchie des 
nuisances
sonores, il est passé derrière les bruits produits par le rayonnement du 
moteur, la
vibration des accessoires, le fonctionnement du ventilateur de refroidissement 
et le
roulage des pneus.

PREMIÈRE PARTIE
ONDE ACOUSTIQUE DANS UN FLUIDE PARFAIT

Le fluide est supposé parfait, son mouvement est décrit sans prendre en compte 
les
effets de viscosité et les échanges thermiques à l'intérieur du fluide. Les 
détentes et
compressions locales du fluide sont isentropiques ; V(P) étant le volume du 
fluide et P sa
pression, le coefficient de compressibilité isentropique, constant pour le 
fluide, s'écrit :

"il?!)
ZS V ("P S'

La propagation des ondes sonores est associée à un écoulement irrotationnel Les
effets de pesanteur ne sont pas pris en compte.

Un tuyau cylindrique horizontal infini de section 80 constante et d'axe x'x 
(figure 1)

contient un fluide parfait compressible qui, au repos, possède une masse 
volumique po et se
trouve a la pression Po et a la température To. Ces grandeurs sont uniformes 
dans l'espace.

L'équilibre est perturbé par le passage d'une onde acoustique plane qui se 
propage
dans le cylindre suivant la direction Ox. La perturbation unidirectionnelle ne 
dépend ainsi que
de l'abscisse x le long du « tuyau sonore » et du temps t. Dans le milieu 
perturbé, u(x,t)
représente le déplacement à l'instant t du fluide situé au repos à l'abscisse x.

_ u(x1'i ulx+dx. ti ,.

Fig... are 1

Les champs de pression et de masse volumique dans le fluide dépendent du temps 
et
de l'espace ; ils peuvent s'écrire sous la forme :

P(x,t) = Po +p(x,t) lp(x,t)l << Po ,u (x,t) =,Uo + ,u1(X,t) lfli(x,t)l << #0 La vitesse acoustique, ou vitesse vibratoire en un point d'abscisse x, est liée au au x,t -- --( ) ex. ât L'étude est effectuée dans le cadre de « l'approximation acoustique » limitée aux mouvements de faible amplitude : le déplacement u(x,t), la vitesse acoustique v(x, t), la pression acoustique (ou surpression) p(x, t) et la variation de masse volumique du fluide ,u1(x, t) ainsi que leurs dérivées sont des infiniment petits du premier ordre. déplacement du fluide et définie par : Ç(x, t) = A / CÉLÉRITÉ DU SON La linéarisation consiste à ne garder dans les équations que les termes d'ordre un en p, v et ,tu. A_1_. En appliquant le principe fondamental de la dynamique à la tranche de fluide de volume Sodx subissant la perturbation, établir à l'ordre un l'équation différentielle suivante : ?E__ ,, êv_ ax ° ôt ' AA Retrouver cette équation, en précisant les hypothèses, par linéarisation de l'équation d'Euler : a; _ __.-- __ _ u --â--t-+(v-grad)v =--gradP+ug. A_3_. Exprimer l'accroissement relatif 6 du volume de la tranche de fluide Sodx entre l'état de 1 ôu repos et l'état perturbé. En déduire la surpression correspondante : p(x,t)=--------âx-- et Xs sa dérivée par rapport au temps : ôp(x,t) =-----l--ÊV--. Ôt XS ÔX azp_ _1_ ô'p

5x2 02 at2 '
Donner l'expression de la vitesse de propagation C de l'onde acoustique le long 
de
l'axe Ox en fonction de Xs et po.

A4. Etablir l'équation de propagation relative à la surpression p(x,t) :

A5. Le fluide est de l'air assimilé à un gaz parfait à la température T() 
=293K. Après avoir

déterminé Xs en fonction du rapport y des capacités thermiques molaires du gaz 
et de
la pression Po, établir l'expression de C en fonction de To, du rapport y, de 
la masse
molaire M du fluide et de la constante R des gaz parfaits.

020 Dans ces"condifions, la célérité du son dans l'air est Ca,-, : 340 ms" .

A_6_= Comparer la célérité dans l'air Cair à la célérité Ceau du son dans l'eau 
dont le
coefficient de compressibilité isentropique est Xs =5.10"'° Pa"1 et la masse 
volumique
... =103 kg.m"3. Donner un ordre de grandeur de la célérité Csol du son dans un 
solide.

De quels paramètres du solide dépend-elle ? Donnée : x 1,4 .

0,5

B / IMPÉDANCES EN ACOUSTIQUE

L'onde plane progressive acoustique se déplace dans le sens des x croissants au 
sein

d'une conduite de section constante 80. Le déplacement est de la forme : u(x, 
t) : f(t ---â--) .

> L'impédance caractéristique Z du fluide où se propage l'onde, est définie par 
le rapport
. . . . . . __ p(x,t)
pressron acoustrque / vrtesse acoustique survant . Z .-- v(x t) .

_B_j_._ Montrer que l'impédance caractéristique du fluide est une constante 20 
à préciser en
fonction de po et C. Donner son unité dans le Système international.

Calculer Zair dans le cas de l'air à 20°C, sa masse volumique étant pair =1,3 
kg.m"3 .

BZ. Comparer, sans préciser les valeurs numériques, les impédances 
caractéristiques d'un
gaz, d'un liquide et d'un solide.

B3. Exprimer l'impédance caractéristique du fluide pour l'onde inverse, onde 
plane

progressive de la forme: u(x,t) =f(t+--è--), se déplaçant dans le sens des x

décroissants.

> L'impédance acoustique Za de la conduite est définie par le rapport de la 
pression
acoustique sur le débit volumique du fluide. Pour un tuyau de section constante 
80, elle s'écrit :
p(x,t)

z =-----------.
' so v(x,t)

B4 Justifier à l'aide d'une analogie électrocinétique ce terme « impédance » 
adopté pour
caractériser la propagation du son dans la conduite. Donner l'expression de 
l'impédance

acoustique Za d'un tuyau sonore cylindrique, en fonction de sa section 80, de 
la masse
volumique po du fluide qu'il contient et de la vitesse C du son dans le fluide.

c / INTENSITÉ SONORE

La puissance sonore instantanée :OE(x, t) transportée par l'onde plane 
progressive à

travers une surface Ë : S ëx orthogonale à la direction de propagation &... est 
définie par:
OE(x,t)=5(x,t)-- É, où 5Ë(x,t) est le vecteur densité volumique de courant 
d'énergie ou

puissance surfacique transportée : E(x, t) : p(x, t) v(x, t).

L'intensité [(x) de l'onde sonore est, par définition, la valeur de la 
puissance moyenne

temporel/e transférée par l'onde sonore à travers une surface unité d'abscisse 
x perpendiculaire
à sa direction de propagation Ox : ] (x) : {rr} .

> Si a (M, t) et b (M, t) sont deux fonctions sinusoïda/es de même pulsation, @ 
et Q leurs
représentations complexes associées, alors la valeur moyenne temporelle, notée 
< a.b >, du

produit a(M, t).b(M, t), est obtenue parla relation :
< a.b > : lîRe[g_bîl : --1--'Re[g*b] ,et en particulier < a2 > : --1--|_a_|2.
2 2 2

|a| : \/a_ _a_* est le module dela grandeur comp/exe _a_.

Le domaine de fréquences accessibles à l'oreille humaine s'étend de 20 Hz à 
environ 20
kHz. A une fréquence de 1 kHz, l'oreille est capable de percevoir un son dont 
la densité de

courant énergétique vaut 10'12W.m"2 et la perception devient douloureuse à 1 
W.m°2 . Vu
l'énorme différence d'ordre de grandeur entre ces valeurs extrêmes, une échelle 
logarithmique
s'impose. Le seuil de perception [0 =1 0"12W.m"2 est pris comme référence et, à 
une densité
de courant énergétique ] (en W.m'2), est associée une intensité sonore en 
décibel définie par :

IdB =10/0g(--1--).
Io

L'émetteur, en x = O, génère une vibration sinusoïdale de pulsation @ dela 
forme :
u (0, t) = U... cos(wt) .

U... représente l'amplitude du déplacement. L'onde plane progressive qui se 
propage le
long du tuyau supposé infini selon la direction Ox est représentée par :

(x, t) = U... cos(wt--kx),

- en notation réel/e : u
- en notation complexe : g (x, t) = U... exp[j(wt -- kx)] .

_Ç_1, Déterminer le nombre d'onde k en fonction de m et de la célérité C de 
l'onde. Que

représente-HI? Retrouver, en fonction de po et C, l'expression de l'impédance
p(x,t)
y_(x, t)
p(x,t) et v(x, t), en fonction de m, u... C et de l'amplitude U... .

. Déterminer P... et V..., les valeurs maximales de

caractéristique du fluide: 2:

C2 Quelle est l'expression de l'intensité acoustique I=(n) pour l'onde plane 
progressive
harmonique en fonction de P... et de l'impédance caractéristique du fluide Z ?

C3. Exprimer la puissance moyenne {93} transportée à travers une conduite de 
section
constante 80, en fonction de P... et de l'impédance acoustique de la conduite 
Za .

C4. L'onde sonore de fréquence 1 kHz se propage dans l'air d'impédance 
caractéristique
Za". Le tableau suivant donne, au seuil de perception et au seuil de douleur, 
les ordres

de grandeur des intensités I...; en décibel, ainsi que les pression, vitesse et 
amplitude ,
maximales des vibrations notées respectivement P..., Vm et U...

_ 59ui]dg pWrePin
Sea" dedauleur

Justifier «l'approximation acoustique» Commenter succinctement la sensibilité de
l'oreille et son domaine d' audition.

C5. Quelle est, en décibels, l'intensité sonore résultant de la superposition 
de deux ondes
sonores émises par deux sources indépendantes d'intensité 60 dB ?
Donnée : "log 2 x 0,3.

DEUXIEME PARTIE

REFLEXION ET TRANSMISSION EN INCIDENCE NORMALE

D I TUYAU SONORE : INFLUENCES DES FLUIDES ET D'UN RACCORDEMENT

Une conduite est constituée de deux tubes cylindriques de sections respect/ves 
81 et 82,
de même axe x'x et séparés parle plan x = 0. Deux fluides non miscib/es se 
répartissent de

part et d'autre de ce plan (figure 2).

> x < 0 :le fluide 1 est de masse volumique ,u, ; le son s'y propage àla célérité C1 ; > x > 0 : le fluide 2 est de masse volumique ,u2 ; le son s'y propage àla 
célérité C2.

Figure 2
Les impédances acoustiques 281 et 282 des tubes de sections respectives S, et 
82 sont

liées aux impédances caractéristiques 21 et Z 2 des milieux par les relations :

#2 C2 ==Ë--2-- pourx>0 avec a=Za7

S2 82 Za2

------- pourx<0 282: S, 8, Une onde de pression plane progressive harmonique incidente p,- (x, t) se propage dans le milieu 1 selon le sens des x croissants. La discontinuité de I'impédance au niveau du raccordement donne naissance en x = 0 à : C Z lZâ1:fl1 1__1 > une onde de pression transmise dans le milieu 2, p, (0, t) dont la puissance 
est %,
> une onde de pression réfléchie dans le milieu 1, p, (0, t) dont la puissance 
est ?? .

Les pressions acoustiques incidente, transmise et réfléchie s'expriment par :

pi (x, t) : P,m cos{w[t--âfl Pt (X, t) = Ptm COS|ÇCÙ(Î --âH Pr (X, t) = P,... 
Cos{w{t +--â--H

La puissance moyenne ($,) est associée à l'onde incidente. Les coefficients de

réflexion R et de transmission T en puissance sont définis par les valeurs 
absolues des
rapports des puissances moyennes transportées :

J' .?
R=<'> et T=< '>.
 
_D_L Montrer que le déplacement incident, correspondant à pi (x, t), s'écrit 
sous la forme :
ui (x,t)=Uim cos{oe(t--â--]--â--} Exprimer Uim en fonction de P,..., (D, C1 et 
....
1

D2. Donner les puissances moyennes transportées (%>, {%,} et <%} en fonction de R..., P...... Ptm "et des impédances acoustiques des tubes, notées Za1 et 282. D3. Enoncer, en les justifiant, les conditions de passage de l'onde à l'interface des deux fluides. En déduire deux équations reliant P...... P..., P,... et a. D4. Déterminer, en fonction de oc, les coefficients de réflexion et de transmission en : pr (03 t) et tp : pt (0, t) Pt (0, t) pi (0, t) . D5. Exprimer les coefficients de réflexion R et de transmission T en puissance à travers l'interface en fonction du seul coefficient on. Quelle relation existe--Hi entre R et T ? Que traduit-elle ? amplitude de pression : rP Influence des deux milieux pour une conduite de section constante : S, = S; = 80 La discontinuité de l'impédance au niveau du raccordement est liée à la différence de nature entre les deux fluides. _D_OEi Le milieu 2 est l'air, d'impédance caractéristique Zair2 et le milieu 1 l'intérieur du corps humain dont les constituants sont caractérisés par une impédance caractéristique Zcorps1 >> Zai,2. Evaluer rP et tp, puis T et R. Commenter.

Calculer l'atténuation en décibel TdB =10log(T), correspondant au coefficient de

transmission T=1,7.10'3. Pourquoi le médecin utilise--HI un stéthoscope pour 
écouter
les battements cardiaques ou les murmures respiratoires '? Donnée : log 17 x 
1,2.

Influence du raccordement des deux conduites pour un fluide unique : a : 82/81

Un fluide de masse volumique au repos ya dans lequel le son se propage à la 
célérité C
occupe la conduite constituée des deux tubes de sections différentes 81 et 82. 
La discontinuité
de l'impédance au niveau du raccordement est représentée par le changement de 
section.

l_D_7_. Tracer l'allure de la fonction R(oc). Pour quelle valeur de on, y 
a--t--il adaptation de
l'impédance ? Commenter les cas limites : S., << 81 et 82 >> S,.

E ! PAVILLON EXPONENTIEL ET ADAPTATION DE L'IMPÉDANCE

Un pavilion acoustique rigide de longueur L, d'axe de révolution Ox et de 
section

circulaire S(x) (figure 3) contient un fluide au repos de pression P0, de masse 
volumique po et
de coefficient de compressibilité isentropique 13 constant. Les effets de 
pesanteur sont

négligés.

Figure 3

L'équilibre est perturbé par une onde sonore de faible amplitude qui se propage 
dans le
pavillon suivant Ox. Elle est caractérisée par le déplacement longitudinal u(x, 
t) du fluide situé
au repos à l'abscisse x, par la pression acoustique p(x, t) et par la vitesse 
acoustique

v(x, t)= ÔUÈÎ'Ï) ë. dont la composante radiale est négligée. L'équation d'Euler 
les relie par

ôp(x,t) __ ôv(x,t)
ax "" at '

Le champ de pression dans le fluide dépend du temps et de l'espace par la 
relation :
Pl << Po & Exprimer l'accroissement relatif 6 du volume S(x)dx de la tranche de fluide entre l'état de repos et l'état de mouvement. En déduire la surpression correspondante p(x, t) en fonction de Xs, u, È et dlnS(x). ôx dx l'équation différentielle : EZ. Démontrer l'expression de l'équation d'onde à laquelle obéit p(x, t) dans le pavillon : l ôzp(x,t) _ ôzp(x,t) : dlnS(x) ôp(x,t) C2 ôt2 âx2 dx ôx ' La section circulaire du pavillon varie selon la loi : S(x) : S(O) e", avec a > 
0.

E3. Sachant que l'onde sonore se propage à la célérité C, écrire l'équation de 
propagation
précédente en fonction de C, a et de dérivées spatiales et temporelles de p(x, 
t).

L'onde sonore est considérée plane progressive harmonique, de la forme :
p(x, t) : Pm exp[j(æt--Kx)]
Le nombre d'onde l_< est, a priori, complexe : 5 = k' -- j k", k' et k" étant réels. E4. Mettre en évidence dans l'expression de p(x, t) les termes d'amortissement et de propagation. Etablir la relation de dispersion reliant _k_, eu, a et C. E5 @; Montrer que le pavillon se comporte comme un filtre passe-haut ; préciser sa pulsation de coupure oec en fonction de a et C. E7. Exprimer la fréquence de coupure fc en fonction de C, L, S(O) et S(L). *? La fréquence de coupure du pavillon acoustique est fc : 150 Hz . E8. L'onde sonore progressive se propage suivant x > 0. Déterminer le réel k' 
en fonction
de C, wc et (0, ainsi que le réel k" en fonction uniquement de a.

E9. Déterminer la puissance moyenne transférée par l'onde sonore à travers la 
surface S(x)

perpendiculaire à sa direction de propagation, en fonction de P..., po, C, 
S(O), co et wc.
Commenter.

Le pavillon acoustique est intercalé dans le raccordement de deux conduites de
sections S(O) et S(L) comme l'indique la figure 4 ci--dessous :

Figure 4
E10. Déterminer, pour ou > 10 oec, le coefficient de transmission TpaV 
=--<----t--'ËËÎf--éËe--> relatif aux
<*%ncidente>

puissances acoustiques incidente à l'entrée et transférée à la sortie du 
pavillon de
longueur L. Que peut-on dire du rapport des intensités sonores transférée et 
incidente

I transférée ? Commenter
1 incidente

11. Comparer Tpav au coefficient de transmission en puissance T de la conduite 
en

l'absence de pavillon (situation considérée aux questions OE>_._ et Q_7_.) en 
exprimant le
Tpav

rapport en fonction de on. Préciser la valeur numérique de ce rapport pour on 
=9.

Commenter en précisant le gain en décibel obtenu par le pavillon intercalé.
Donnée : log36 % 1,56.

TROISIEME PARTIE

MODELE SIMPLIFIE D'UN SILENCIEUX D'ECHAPPEMENT

Le tuyau d'échappement d'une automobile est assimilé à une conduite cylindrique

supposée infinie de section 81 occupée par un gaz d'échappement de masse 
volumique ya au
repos. L'expulsion de ce gaz de combustion engendre des ondes sonores 
désagréables pour

l'oreille humaine, il faut en diminuer l'intensité.

Un filtre acoustique cylindrique, ou silencieux d'échappement, de section SZ ( 
82 > $, ) et

de longueur L, est intercalé dans la conduite (figure 5). II est traversé par 
le gaz
d'échappement.

filtre aceustique

expulsian du gaz : f "\

naissance de l'onde

échappement

SÛHÜÏQ

FÏQUÏ'B 5 ...O... L

Le son se propage à la célérité C=460 m.s" dans l'ensemble du dispositif à une
température de 250°C.

Le bruit à assourdir est modélisé par une onde sonore incidente plane 
progressive harmonique
de fréquence f caractérisée parla pression acoustique : E ,(x, t) = P,... exp[j 
(cat -- kx)] .

La pression acoustique E ,(x, t) : P,m exp[j(wt --kx)] obtenue à la sortie du 
silencieux

est la superposition d'une infinité d'ondes sonores transmises aprés réflexions 
successives
dans le filtre acoustique en x = L et x = 0 .

I'"
S"

I'"
."

Dans les trois domaines, le champ des pressions associé à l'onde est de la 
forme :
B (x < 0, t) = P,... exp[j(wt--kx)]+e,m exp[j(wt +kx)] p(0 < x < L, t) = P,,% exp[j(æt+kx)]+Pg exp[j(wt--kx)] _,(2 (x > L, t) = P,... exp[j(rot--kx)]

> P,m exp[ j (wt+kx)] est la superposition d'une infinité d'ondes qui 
franchissent

l'interface x = 0 dans le sens des x décroissants, à l'issue d'un nombre impair 
de
réflexions aux interfaces du filtre ;

P,,'î exp[j(wt --kx)] est la superposition d'une infinité d'ondes se déplaçant 
au sein du
filtre dans le sens des x croissants, transmise à l'interface x = 0 ou après 
réflexions sur
l'interface x = O ;

P,}, exp[j(æt +kx)] est la superposition d'une infinité d'ondes se déplaçant au 
sein du
filtre dans le sens des x décroissants, aprés réflexions sur l'interface x = L.

Donner les expressions correspondantes du champ des vitesses v(x, t) associé à
l'onde dans les trois domaines: v(x<0,t), v(0L,t).

Ecrire les quatre relations de continuité permettant de relier R..., P...... 
P,g, P...':, et Ptm
pour les deux changements de section.

En déduire le coefficient complexe de transmission global tp =--Ëfl en 
amplitude de

pression en fonction de S1, 82 et exp (--- 2j kL) .

Montrer que le facteur de transmission en énergie TÏ=tP tè ==|tPl2 du filtre 
peut se
1

1+m sin2EÏt--Î]
fo

Déterminer la fréquence caractéristique fo en fonction de L et de la célérité C 
de l'onde.
Préciser l'expression de m en fonction de 81 et 82.

mettre sous la forme : Ü :

Tracer l'allure de la fonction 'Ü(f) en précisant les valeurs des maxima "âme, 
et des
minima "C...... ainsi que les fréquences correspondantes.

Comment le graphe est-il modifié lorsque 82 >> 81 ? Préciser dans ce cas la 
finesse ou

max

2

Quelle est la plus courte longueur Lm permettant de réduire au maximum le 
facteur "C'à
une fréquence d'éjection des gaz de combustion de 200 Hz ?

facteur de qualité Q du filtre défini pour un facteur de réduction du bruit "Ü :

L'intensité sonore, pour cette fréquence et à la sortie du moteur, est de 80 
dB. Afin de
ramener ce niveau à 60 dB, un silencieux de longueur L... et de diamètre d2 est 
placé au
milieu du tuyau d'échappement de diamètre d1 : 4 cm. Quelle doit être la valeur

numérique de son diamètre dz ? Donnée : @ æ 4,5.

FIN DE L'ENONCE