e3a Physique PSI 2012

 

EUR 3 &
CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - ARCHIMEDE

Epreuve de Physique PSI

Durée 3 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, d'une

part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et 
poursuit sa
composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la 
clarté et la
précision des raisonnements entreront pour une part importante dans

l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non encadrés et non 
justifiés
ne seront pas pris en compte.

Ce problème est consacré aux phénomènes de transport diffusif, il comporte
quatre volets illustrant quelques phénomènes de diffusion à l'état solide et à 
l'état liquide,
ainsi que le transfert de chaleur dans une tige métallique.

Remargues préliminaires importantes : il est rappelé aux candidat(e)s que

les explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au même 
titre que
les développements analytiques et les applications numériques ; les résultats 
exprimés
sans unité ne seront pas comptabilisés ;

tout au long de l'énoncé, les paragraphes en italiques ont pour objet d'aider à 
la
compréhension du problème ;

tout résultat fourni dans l'énoncé peut être admis et utilisé parla suite, même 
s'il n'a pas
été démontré par le(la) candidat(e).

PREMIERE PARTIE
DIFFUSION -- LOI DE FICK

Au sein d'un milieu homogène, considérons un ensemble de particules dont la
concentration n'est pas uniforme. Ces particules peuvent être des molécules, 
des atomes ou des
ions, des défauts ponctuels, des électrons libres, etc Dans l'hypothèse d'une 
diffusion
unidirectionnelle, leur densité (ou concentration) particulaire n(x, t) dépend 
de leur position le long
de la direction Ox.

En 1885, dans le cadre de ses travaux sur les mélanges de gaz et de liquides, 
Adolf Fick
proposa la loi phénoménologique de diffusion. Cette loi introduit le 
coefficient de diffusion (ou

diffusivité) D et relie le vecteur densité volumique de particules jD au 
gradient de concentration
particulaire n.

Æ_. Citer la loi physique sur laquelle Fick s'est appuyé pour élaborer sa 
théorie.

& Rappeler la loi de Fick ; expliquer le caractère « phénoménologique » de 
cette loi. Justifier
l'existence d'un flux de particules et son orientation relative vis à vis du 
gradient de
concentration.

La loi de Fick ne faisant apparaître que les variations spatiales de la 
concentration
particulaire a un instant t, il convient de la compléter par une équation de 
bilan lorsque le flux de
particules varie au cours du temps. Considérons un cylindre infiniment long, de 
section 8
constante, parallèle à la direction Ox de la diffusion.

& Effectuer un bilan de matière sur un volume élémentaire de section 8 et 
d'épaisseur dx
pour établir une relation traduisant la conservation du nombre de particules. 
En déduire

l'équation de la diffusion :
2
Ë=D----â 2 .
ôt ôx
A4 Par une analyse dimensionnelle, établir une relation qualitative exprimant 
la longueur
caractéristique L du phénomène de diffusion en fonction de l'ordre de grandeur 
r de sa

durée et du coefficient de diffusion D.

A5 Réécrire l'équation de la diffusion dans le cas où le coefficient de 
diffusion varie avec la
concentration de l'espèce diffusante. Proposer un mode de résolution de cette 
équation.

En réalité, l'écoulement des particules dans une direction donnée peut avoir 
deux origines :
l'une est la conduction induite par le gradient de concentration, l'autre est 
la convection provoquée
par l'action d'une force extérieure (dite force de transport) qui déplace les 
particules avec une
vitesse moyenne V constante.

A6. En vous inspirent de la loi d'Ohm locale, exprimer simplement le vecteur 
densité volumique

de particules jT pour la seule convection en fonction de v et n(x,t). Compléter 
la loi de Fick

pour obtenir une nouvelle équation de la diffusion dans le cas particulier où D 
et v sont
indépendants de la densité de particules.

Pour illustrer la diffusion, considérons la situation expérimentale du dopage 
d'un semi--
conducteur d'arséniure de gallium (AsGa) avec du silicium. A l'instant t = 0, 
No atomes de silicium
par unité de volume sont brusquement introduits en x = 0, à la surface d'une 
plaquette d'AsGa
considérée comme un milieu semi--infini. L'analyse du régime instationnaire 
montre que le nombre
d'atomes de silicium N(x, t) par unité de volume à l'abscisse x et à l'instant 
t s'écrit :

N(x, t) : & exp£-- 8X2 ] .

% t

A7. Etablir la relation entre a et D, pour que la répartition d'atomes N(x,t) 
soit solution de
l'équation de diffusion établie en _AQ. Traduire la conservation du nombre 
d'atomes

X

2Æ

mathématiques enfin d'épreuve, déterminer la valeur de K en fonction de No et D.

introduits et, par le changement de variable u= se référant aux compléments

Le schéma ci--dessous (Figure 1) traduit le résultat du dopage de la plaquette 
d'AsGa :
l'évolution de la distribution des atomes de silicium est tracée en fonction de 
l'abscisse x, à
différents instants.

N(x,t) en 1021 atomes/m3

0 0,5 1,0 1,5 2,0

A8. Analyser la forme des courbes obtenues. Que vaut l'aire sous chacune de ces 
courbes ?
Déterminer, à un instant t donné (en adoptant par exemple t= 1 h ), la 
profondeur

d'implantation L des atomes de silicium correspondant a une concentration 
moitié de la
concentration injectée en x = 0 (il s'agit de la demi--largeur à mi--hauteur).

A9. Proposer un mode de détermination du coefficient de diffusion D du silicium 
dans AsGa.
Estimer l'ordre de grandeur du coefficient de diffusion D.

DEUXIEME PARTIE
DIFFUSION DES MOLECULES D'UN COLORANT ENTRE DEUX SOLUTIONS

Etudions la diffusion de molécules de colorant entre deux solutions aqueuses 
qui, à
l'instant initial, ne possèdent pas la même concentration volumique. Une cuve 
d'épaisseur d et de
grandes dimensions dans les deux autres orientations, est constituée de deux 
bacs de même
volume remplis d'une solution contenant des molécules d'un même colorant et 
séparés par une
mince cloison située en z = 0. De part et d'autre de ce plan de séparation, les 
concentrations sont

uniformes et valent respectivement C7 pour 2 < 0 et 02 < C7 pour 2 > 0. (Figure 
2)

A l'instant t= 0, la cloison est brusquement retirée et les

molécules diffusent, conduisant à une concentration C(z,t) en un
point de cote z et à l'instant t. Très loin du plan 2 = O, et pour des
temps élevés, les concentrations conservent leurs valeurs initiales :

C(--oe,t) : C, et C(+oe,t) =C2.
L'équation de la diffusion, étudiée dans la partie précédente,
admet ici pour solution la fonction d'erreur {détaillée en fin de
2 z

" 2
ex --s ds, avec u = .
\/7Z ""' p( ) 2th

D est le coefficient de diffusion des molécules de colorant dans la
solution ; il est supposé indépendant de la concentration.

prob/éme ) : erf{u) :

B1. Comparer la variation d'énergie potentielle d'une molécule de colorant, de 
masse molaire
MC, lors de son déplacement dans le champ de la pesanteur de l'ordre de la 
hauteur h de
la cuve, à l'énergie d'agitation thermique kBT de cette molécule.

En tirer la conclusion utile pour la suite du problème, en utilisant les 
données suivantes :

MC =100 g.moF', h=10 cm, g;10m.s"2, mig, =6.1023 moi--', kB =1,33.10'23 J.K*1 et
T=300K.

BZ. Présumer, sans effectuer de calcul, de la concentration attendue à 
l'interface des deux
bacs, lorsque le phénomène de diffusion est achevé.

Par continu/té en 2 = 0, la concentration dans chaque domaine peut être décrite 
par une
expression du type C(z,t) = A erf(u) + B, A et B étant des constantes.

â; Déterminer les constantes A et B à partir des conditions aux limites, puis 
écrire la loi de
répartition de concentration C(z,t).

B4. Tracer l'allure du profil de concentration C(z,t) à trois instants 
successifs : t= 0, t, puis

t2 > t1 . Commenter ces tracés.

Détermination expérimentale du coefficient de diffusion

L'indice de réfraction n d'une solution est, en première approximation, une 
fonction affine
de la concentration du colorant en solution et peut s'écrire : n(z, t) = no + K 
C(z,t), no et K étant des

constantes pos/tives.

& Exprimer la constante K en fonction des indices n,, n2 et des concentrations 
C1, C2 des
deux solutions, sachant qu'à la limite n(C : C,) = n1 et n(C : CZ) = n2 .

BG. Déterminer le gradient d'indice grad n associé aux variations de l'indice n 
dans la cuve,

puis sa composante sur l'axe Oz en fonction de n,, n2, D, 2 et t. En quelle 
position cette
composante est--elle maximale '? Donner sa valeur correspondante.

B7. Représenter l'allure de cette fonction a trois instants successifs : t=0, 
t, puis t2 >t,.
Commenter ces tracés.

Un faisceau laser est élargi grâce à une lentille cylindrique inclinée à 45° 
par rapport à la
verticale pour former une nappe laser allongée {Figure 3al. Ces rayons lumineux 
sont envoyés
perpendiculairement à une face de la cuve de façon que différentes hauteurs 
dans la solution
soient traversées par les rayons le long d'une diagonale de la face d'entrée. 
Cette diagonale est
inclinée à 45° par rapport au plan horizontal.

Un écran, parallèle à la cuve, récupère les impacts des rayons après traversée 
de la cuve.
Selon l'optique des milieux inhomogènes, les rayons lumineux sont déviés dans 
la cuve et suivent
une trajectoire courbe, le rayon de courbure R s'exprimant comme :

1 _ 1 ân(z, t)

Rnâz

Lors de sa traversée dans la solution (Figure 3h), le rayon lumineux est donc 
dévié d'un
angle a tel que :
a x tance % d/R.

faisceau

Figure 3a

laser _
lentille
cylindrique
faisceau
laser
Figure 3b
BB. Préciser pour quelle valeur de 2 se réalise la déviation maximale du rayon 
lumineux sur

l'écran.

Le rayon lumineux subit une déviation a la traversée de la paroi de sortie de 
la cuve dont

l'épaisseur en verre est négligeable. Le rayon émerge de la cuve pour passer 
dans l'air (d'indice
optique na : 7 ) avec un angle de réfraction fl.

&

Réaliser un schéma illustrant la trajectoire du rayon lumineux à la traversée 
de la paroi de
la cuve en verre d'épaisseur supposée nulle ; faire apparaître les angles et et 
B, puis

évaluer l'angle [3 en sortie de cuve.

En déduire la déflexion verticale globale H du rayon en fonction de d, L et ê$.
z

(utiliser pour cela l'approximation aux petits angles)

Exprimer la déflexion verticale maximale Hmax observée sur l'écran en fonction 
de D, L, d,

m, riz et du temps t.
Préconiser, en décrivant l'expérimentation et en représentant l'aspect de 
l'écran, une

méthode de détermination du coefficient de diffusion D.
Quel(s) paramètre(s) influe(nt) majoritairement sur la précision de 
détermination du

coefficient de diffusion ?

TROISIEME PARTIE
DIFFUSION DANS UN FLUIDE VISQUEUX

Une plaque plane horizontale, dont les dimensions sont suffisamment grandes 
suivant les
directions x et y, est située au fond d'un bassin infiniment grand, rempli d'un 
fluide visqueux
newtonien, incompressible, de masse volumique p et de viscosité dynamique 77 
(Figure 4)
Initialement la plaque et le fluide sont immobiles; a partir de l'instant pris 
pour origine ( t _ 0 ), la

plaque est animée d'un mouvement de translation horizontale à la vitesse 
constante U: U ex.

Les tranches de fluide, les unes après les autres, sont progressivement 
entraînées, en partant de
la plaque.

Etudions l'effet des forces de cisaillement (ou de viscosité) sur un élément 
infinitésimal de
fluide d'épaisseur dz et de section dS selon le plan ( Oxy), parallèle à la 
plaque en mouvement.

plaque mobile

La vitesse communiquée au fluide parla plaque est de la forme : & : ux(z,t) & .

C1. Exprimer les forces élémentaires horizontales exercées, l'une sur la face 
supérieure de la
tranche de fluide, l'autre sur sa face inférieure ; en déduire leur résultante 
volumique R...

CZ. Appliquer la relation fondamentale de la dynamique à la tranche de fluide 
en négligeant

. . . , . . , . ô 62u
son pords afin d'obtemr une équation différentielle du type : ;: _ 5 ; . {E}
2
Identifier V et préciser son unité. Reconnaître ce type de relation et analyser 
le mouvement
du fluide.

C3. Rechercher la dimension de la quantité \/v--t, où v est la viscosité 
cinématique du fluide, et
préciser sa signification physique.

C4. Comparer le mouvement du fluide avec un éventuel mouvement de convection ; 
quel
coefficient introduire pour les différentier l'un de l'autre ?

Etudions maintenant le mouvement du fluide dans les tous premiers instants 
suivants le
mouvement de la plaque (régime instationnaire). Précisons tout d'abord les 
conditions aux limites :

. avant la mise en mouvement de la plaque, le fluide est au repos : ux : 0 , W 
5 O ;

. la condition de non glissement du fluide sur la paroi de la plaque impose :
ux(z=O)=U,lzt>0 ,"

. a trés grande distance de la plaque, la vitesse ux devient négligeable.
Afin de résoudre l'équation différentielle {E}, normalisons la coordonnée z en 
introduisant la

variable 5 , telle que 5 : Ë . Avec cette variable, l'équation différentielle 
{E} devient :
v

2
Ô";+ËÔUX=O. {E'}
a; 265

C5 Montrer qu'une solution du type ux(ë) = A eri(£) + B est une solution 
possible de {E'}.

2
(se rapporter à l'annexe, en fin de probléme, pour la fonction erreur)

Identifier, grâce aux conditions aux limites, les constantes A et B et exprimer 
la répartition
de vitesse ux(g).

C6 Donner l'allure de cette répartition de vitesse, pour un instant t donné ; 
compléter le
schéma avec l'évolution à quelques instants ultérieurs.

QUATRIEME PARTIE

DIFFUSION THERMIQUE DANS UN FIL ELECTRIQUE

Considérons un fil métallique cylindrique, homogène, de section droite 8 dont 
le périmètre
vaut p et de longueur L. Le rayon de ce fil est supposé petit par rapport à sa 
longueur.
Le métal constitutif posséde une conductivité thermique À, une résistiv/té 
électrique p, une

masse volumique # et une capacité thermique mass/que C.

Dans la première partie de l'étude, les parois latérales du fil sont 
parfaitement calor/fugées
et les extrémités sont maintenues à des températures T1 et T2 (avec T, >T2 ) 
grâce a des
thermostats. La température T(x) dans le fil ne dépend que de l'abscisse x 
(Figure 561), avec
T(O) : T et T(L) : T2 .

7

Toute l'étude est réalisée en régime permanent.

Thermostat Thermostat
T1 T2

Figure 5a Figure 5b

D1 Rappeler la loi de Fourier pour une densité volumique de courant thermique 
notée }... ;
exprimer le flux (ou puissance) thermique CID... traversant une section droite 
8 du fil.

DZ Etablir, à l'aide d'un bilan énergétique sur une tranche élémentaire du fil 
de section 8 et de
longueur dx, l'équation différentielle vérifiée par la température T(x).
En déduire la loi de répartition de T(x) en fonction de T1, T2, L et x.
Tracer schématiquement cette répartition de température en fonction de x.

D3 Exprimer la puissance thermique (Dz cédée à la source de température T2 en 
fonction de ?...
8, T1, T2 et L.

Le fil est maintenant parcouru par un courant électrique continu d'intensité [, 
répartie
uniformément sur toute la section 8 {Figure 5b). Les sections termina/es (0%) 
et (<%) sont maintenues simultanément à des températures constantes T1 et T2, et à des potentiels constants V1 et V2. Après établissement d'un régime stationnaire, les surfaces isothermes et équipotentielles sont des plans orthogonaux à l'axe Ox. La résistivité électrique p du fil est indépendante de la température et le fil est considéré comme un conducteur ohmique ayant une résistance constante bien que la température T(x) ne soit pas uniforme. Les dimensions du fil ne varient pas avec la température. % Exprimer, par application de la loi d'Ohm, la résistance dR d'une tranche élémentaire du fil, de longueur dx et de section 8 ; en déduire la puissance thermique volumique ?7--{... produite au sein du fil, en fonction de l'intensité I, de S et p. D5. Etablir l'équation différentielle vérifiée parla température T(x). En déduire l'expression de T(x), puis celle de la densité volumique de courant de chaleur j...(x) en fonction de p, ?... 8, T1, T2, L, x et I. DG. Ecrire le courant de chaleur ou flux thermique C1)... le long du fil, en notant % =Ê sa L conductance thermique et R sa résistance électrique. Tracer, toujours avec T1 >T2, l'allure de la répartition de température T(x) en 
distinguant

les cas ou le terme -2--RI2 est inférieur ou supeneur a la quantite &? ("E 
--T2). Commenter.

D7. Déterminer la puissance thermique <1>'2 désormais cédée à la source de 
température T2.
lnterpréter physiquement le résultat obtenu.

Le dispositif précédent est maintenant placé dans une enceinte maintenue à une
température uniforme Ta. Le fil est relié a deux bornes maintenues 
rigoureusement à la même
température Ta. La capacité thermique de ces bornes est suffisamment grande 
pour que leurs
températures restent constantes et égales à Ta. (Figure 6)

Le fil subit, a travers sa surface latérale, des pertes thermiques 
conducto--convectives
latérales ; elles correspondent a la puissance thermique dÇDcc : h [T(x) -- Ta] 
d£ cédée parle fil au

milieu extérieur, h étant le coefficient d'échange et d£ un élément de surface 
latérale du fil.

Ce dispositif est destiné a un banc expérimental de mesure de la conductivité 
thermique du
fil métallique ; afin d'améliorer la précision de la mesure, il convient de 
tenir compte de la variation

de la résistivité électrique en fonction de la température, suivant la loi : 
p(x) : pa [1 + fl(T(x) -- E)],
où pa désigne la résistivité électrique à la température Ta et ,B une constante 
positive.

lâîîH'iîêî%tâtëîëîîîîîëîâîîîîfilîîîââîêtiâ'iâäîââitFäii'iää 
%?Ël%lîêëëëäëâiîîëîîäïäîä
enceinte à Ta ;

%
î
Ë
i

4

i
i
%
%

Figure 6

......g ...» ».........W...WMW...- ... ... ....

Proposer, en raisonnant sur une tranche élémentaire de fil de longueur dx et de 
section 8,
un bilan des flux thermiques en présence ; en déduire l'équation différentielle 
vérifiée parla

grandeur 9(x) : T(x)--Ta , sous la forme:
d29(x)
dx2
Exprimer m2 en fonction du périmètre p de la section droite, de h, 7», p a, B, 
8 et 1, puis
écrire k en fonction de 7», pa, 8 et I.

+m29(x)=--k.

Montrer que, selon la valeur de l'intensité I du courant, trois types de 
solutions
mathématiques de 6(x) sont attendues. (aucune résolution de l'équation 
différentielle n'est
demandée)

Réalisons l'expérience suivante : le fil est alimenté par un courant dont 
l'intensité [0

correspond au cas particulier où m2 = 0 .

D10.

Préciser la valeur 10 de cette intensité en fonction de h. p, pa, [3 et S.
Résoudre l'équation différentielle qui en résulte en établissant la loi de 
variation de la

température 9(x).
lllustrer son évolution à l'aide d'un schéma. Analyser physiquement le résultat 
obtenu.

Exprimer la résistance électrique Ra du fil, à la température uniforme Ta, puis 
celle de sa
résistance R lorsqu'il est à la température T en fonction de Ra, B, k et L.
R -- R

R

a

, puis l'écrire en fonction des

En déduire la variation relative de résistance ô=

grandeurs h, p, À, L et S.

Le coefficient d'échange h étant déterminé par ailleurs à l'aide d'une autre 
expérience,
proposer le mode de détermination de la conductivité thermique & du métal 
constituant le
fil.

FIN DE L'EPREUVE

COMPLEMENTS MATHEMATIQUES

> Définition de la fonction erreur (error function) : erf(x) :

> Propriétés de erf(x) :

erf(x)=--erf(--x) erf(0)=0
erfc(x)=1-- erf(x) = %?exp(_52) ds
d 2

> Intégrale d'Euler : Iexp(--sz) ds =