e3a Physique et Chimie PSI 2017

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CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH
Épreuve de Physique - Modélisation PSI
Durée 3 h
Si, au cours de lépreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
dénoncé, dune
part il le signale au chef de salle, dautre part il le signale sur sa copie et 
poursuit sa
composition en indiquant les raisons des initiatives quil est amené à prendre.

L'usage de
Lusage de calculatrices est autorisé.
AVERTISSEMENT

Le candidat devra porter lensemble de ses réponses sur le cahier réponses, à
lexclusion de toute autre copie. Les résultats doivent être reportés dans les
cadres prévus à cet effet.
Remarques préliminaires importantes :
! Les candidats sont encouragés à lire l'ensemble du sujet et à traiter les 
questions dans
l'ordre.
! Il faudra utiliser exclusivement les notations de l'énoncé.
! Les explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au 
même titre
que les développements analytiques et les applications numériques (données avec 
un
nombre de chiffres significatifs adapté) ; les résultats exprimés sans unité ne 
seront pas
comptabilisés (S.I. n'est pas une unité mais peut dans le texte référer à une 
unité du
système international qu'il vous convient de déterminer).
! !"#$% &#% '"()% *+% ',-("(.-/% '+0% 1&2&)2&13+0% +(% 4$&'45#+0% "($% 1"#2% 
"67+$% *,&4*+2% 8% '&%
compréhension du problème.
! 
!"#$%2-0#'$&$%9"#2(4%*&(0%',-("(.-%1+#$%:$2+%&*;40%+$%#$4'40-%1&2%'&%0#4$+/%;:;+%0,4'%(,&%
pas été démontré par le(la) candidat(e).
! Les scripts seront rédigés en langage Python.
! On suppose que !"#$%, &'()!*+et $%$,&*+ont été préalablement importés sous
Python :
)#$&-*+!"#$%+./+!$+
0-&#+/1)$%2)!*(3-.*(+)#$&-*+&'()!*+
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La présentation/% '&% '40464'4$-/% ',"2$3")2&13+/% '&% 5#&'4$-% *+% '&% 
rédaction, la clarté et la
précision des raisonnements entreront pour une part importante dans 
lappréciation des
copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en 
compte. Les candidats
sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
Tournez la page S.V.P.
Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou dy mettre un signe 
quelconque pouvant indiquer sa provenance.

A

Ce problème traite du fonctionnement de différents fusibles. Aucune 
connaissance particulière
sur les fusibles nest demandée.
En 1753, à Saint-Pétersbourg, le professeur Richman et son assistant étudient 
les premières
machines électrostatiques. Le 6 août, ils sont frappés par la foudre alors 
qu'ils chargent des
condensateurs. L'assistant sen sort pratiquement indemne, tandis que Richman 
meurt
immédiatement : la décharge électrique a traversé son corps. La communauté 
scientifique est
extrêmement choquée. Il apparait alors clairement la nécessité de protéger les 
systèmes électriques
et les personnes les utilisant.
Cest Edward Nairne qui fait part pour la première fois de lutilisation de fils 
métalliques (qui
deviendront lélément de base dun fusible) comme moyen de protection lors de 
décharges de
condensateurs. La protection dun système électrique par un fusible fait appel à 
un principe de
fonctionnement très simple. En situation de fonctionnement normal, le fusible 
assure le passage du
courant. Lors de lapparition dun défaut électrique, créant un courant 
anormalement élevé, le fusible
permet la coupure automatique du circuit électrique : le fil métallique 
constituant le fusible fond en
raison de lapport dénergie anormalement important du fait du défaut électrique.
Lidée de la protection des systèmes électriques par fusibles sest imposée 
formellement avec
le double développement de lélectrification et de lindustrie. Dès les premières 
tentatives, la
structure de base des fusibles actuels a été définie avec les éléments 
essentiels :
- deux pièces de connexion permettant de relier le fusible au reste du circuit 
électrique ;
- un fil métallique dont le métal constitutif est choisi avec un point de 
fusion à basse
température (typiquement du plomb ou de létain) ;
- une cavité qui assure un rôle de protection et qui peut contenir un isolant.

Figure 0 : Schéma de base dun fusible
Il existe aujourdhui de nombreux types de fusibles ayant le même principe de 
fonctionnement
et les mêmes éléments de base. On retrouve les fusibles sur les installations 
domestiques, dans
l'industrie (principalement pour l'utilisation avec des charges à fort courant 
d'appel comme les
moteurs) ou pour la protection des semi-conducteurs dans lensemble des 
appareils électroniques.

2

Données :
!
!
!
!

charge élémentaire ! = 1,60.10"#$ C ;
masse de lélectron %& = 9,11.10"'# kg ;
constante de Boltzmann () = 1,38. 10"*' J. K "# ;
constante dAvogadro +, = 6,02.10*' mol"#.

Données relatives à laluminium :
! Laluminium libère exactement trois électrons de conduction par atome ;
! masse volumique de laluminium -,. = 2,6989 g. cm"' ;
! masse molaire atomique de laluminium /,. = 27,0 g. mol"# ;
! capacité thermique massique de laluminium 0,. = 897 J. K "# . kg "# ;
! enthalpie massique de fusion de laluminium 12345,,. = 398 kJ. kg "# .
Caractéristiques de différents métaux :
! température de fusion : 63
! conductivité thermique : 7
! conductivité électrique : 8
Plomb
Argent
Aluminium
63 (K)
600,7
1235
933,5
35,3
429
237
7 (W. m"# . K "#)
:
9
8 (unité S.I. « de base »)
6,30. 10
3,77. 10:
4,81. 10
On entend par unité S.I. « de base » lunité non préfixée (exemple : le mètre et 
pas le centimètre)
Formule mathématique :
!

<2 ; Laplacien en coordonnées cylindriques : 1; = <=2 + 3 # <; # <2 ; + > <= > ? <@2 <2 ; +  .

4

A6.

Expliquer pourquoi la vitesse ----.
9; ne contribue fondamentalement pas à la vitesse moyenne
des électrons.

A7.

Exprimer la vitesse moyenne selon laxe !" notée ?9@ A en fonction de 5, 60 , : 
et de & et $.

A8.

En déduire que la conductivité du matériau conducteur sécrit % = 7 B :. On 
précisera lunité

0²

C

classiquement utilisée pour cette grandeur.
A9.

Calculer la durée moyenne entre deux collision :(8 lorsque le conducteur est 
laluminium.

Le libre parcours moyen est la distance moyenne parcourue par un électron entre 
deux chocs.
A10.

Calculer un ordre de grandeur de ?9@ A pour un fusible composé dun fil 
daluminium. On
choisira un ordre de grandeur usuel pour la valeur du champ électrique. 
Commenter en
comparant à la vitesse dagitation thermique.

A11.

En déduire un ordre de grandeur du libre parcours moyen dun électron dans le fil
daluminium dun fusible. Quelle critique peut-on faire au modèle de Drude ?

On constate expérimentalement que la mobilité et donc le temps de relaxation : 
dépendent de la
température. Pour la suite, on négligera les variations de conductivité avec la 
température.
On considère le fil métallique comme une résistance électrique. Il est parcouru 
par un courant
dintensité D constante.
A12.

Déterminer lexpression de la résistance électrique de ce dipôle < en fonction de %, # et $. A13. Donner lexpression de la puissance électrique reçue par ce dipôle. Expliquer lorigine de cette puissance. 5 Tournez la page S.V.P. B / Étude des fusibles en céramique Un fusible en céramique est constitué d'un fil métallique cylindrique de section !, de longueur ". On donne la masse volumique #, les conductivités thermique $ et électrique %, la capacité thermique massique & du fil métallique. On considère que toutes ces grandeurs sont uniformes dans le fil métallique et indépendantes de la température. Le fil métallique est soudé à ses deux extrémités sur des plots de cuivre massif que lon considère conducteur électrique et thermique parfait. Le cuivre est maintenu à une température constante '( . Il sagit de la température de lair extérieur au fusible. Le fil métallique est inséré dans une gaine en silice assurant une isolation latérale thermique et électrique parfaite. Le fil métallique est parcouru par un courant dintensité ). Figure 2 : Fusible en céramique On considère que la température ne dépend que de la position et du temps ' = '(*, +). B1. Rappeler la loi de Fourier. Préciser sa signification physique ainsi que celle de chacun de ses termes. Donner les unités de chaque terme. B2. Montrer que léquation aux dérivées partielles vérifiée par la température peut sécrire sous la forme ). /²' -' = +$ . ,& -+ %!² /*² B3. Établir le profil de température dans le fil métallique en régime stationnaire. Tracer lallure de ce profil. La température de fusion du métal est notée '0 . B4. Donner la position *012345 du fil métallique où débute la fusion du métal lorsque le courant atteint lintensité maximale )678 supportée par le fusible. 6 Pour différents instruments électriques (multimètres, GBF, ) on dispose au laboratoire dun ensemble de fusibles dont les valeurs dintensités maximales admissibles varient. On cherche à déterminer au laboratoire le diamètre 9 du fil métallique constituant chaque fusible, de lordre du micromètre. On mesure la longueur des fusibles : " = 3,0 cm. B5. Proposer une méthode optique permettant de déterminer avec du matériel usuel de laboratoire le diamètre des fils métalliques des différents fusibles. Une description rigoureuse du principe de la méthode est attendue. Les différents fusibles sont composés du même type de métal. Les mesures pour chacun de lintensité maximale en fonction de leur diamètre sont effectuées pour '( = 293 K et résumées dans le tableau suivant : )678 (:) 9 (#;) B6. 0,8 57 1,0 64 2,0 100 2,5 114 4,0 145 5,0 160 6,3 188 En explicitant votre méthode, déterminer lélément chimique le plus probable constituant le fil métallique du fusible. Cette question demande de lautonomie et sera évaluée en conséquence. 7 Tournez la page S.V.P. C / Étude des fusibles en verre Au laboratoire on dispose aussi de fusibles où le fil métallique est entouré dair. On doit donc tenir compte de la convection entre le fil métallique et lair environnant. Les échanges thermiques à linterface sont modélisés par la loi de Newton. Le flux thermique surfacique cédé à lair extérieur est !&&&&&&&&&' &' avec ( le coefficient de transfert convectif "#$% = (()(*) + ),-. )/ &' est un vecteur unitaire suivant la normale extérieure à la surface d'échange. et / On considère que ),-. = )0 . Le coefficient d'échange thermique ( décrit les transferts de chaleur entre le fusible et l'air. Le fil métallique est toujours soudé à ses deux extrémités sur des plots de cuivre massif maintenus à la température )0 . Figure 3 : Fusible en verre On peut montrer que la température du fil métallique ne dépend que de la position * si 12 le nombre de Biot (sans dimension) est tel que (3 12 = 51, 4 avec : - 3 le diamètre du fil métallique ; - ( le coefficient de transfert convectif qui est de lordre de grandeur de 10 (unités S.I. « de base ») ; - 4 la conductivité thermique du fil métallique. C1. C2. Justifier que le nombre de Biot est sans dimension. Comme le nombre de Reynolds, ce nombre sans dimension permet de comparer deux grandeurs physiques, lesquelles ? Justifier que lon se trouve ici dans le cas 12 5 1. On supposera cette condition vérifiée dans tout ce qui suit. La température ne dépend que de la position * et du temps 6 : )(*, 6). On se place en régime stationnaire. 9: ;< On pose 7 = 8 C3. =>?@

et )= = A;B @ C@ 
différentielle non linéaire du type = ?(@(!), !) avec comme condition initiale 
@(!4 ) = @4 .
-/

Pour résoudre une équation différentielle dordre 2 on utilise la fonction 
!"#$%& qui réalise une
intégration numérique.
(Le principe dutilisation de cette fonction est détaillé en annexe).
BC
-A
-/

E7.

En se référant à lannexe pour la résolution numérique dune équation du type
?C(D
BC(!), !), préciser lexpression du vecteur D
BC pour le problème étudié ici.

E8.

En utilisant les notations de lannexe réécrire dans le cadre du problème la 
fonction ) qui
renvoie la dérivée seconde de la température* pour la position (. On fera 
attention aux
arguments attendus. La grandeur ) est supposée déjà enregistrée dans une 
variable +,"-+
et accessible aux différentes fonctions en tant que variable globale.

E9.

En se référant au programme utilisé en annexe, créer la liste # 5 attendue par 
le problème en
lenregistrant dans une variable ,$!.&/. On calculera ; = 1000 valeurs de la 
température
entre 0 et # = 1,66 mm et on prendra comme conditions aux limites %(0) = %4 = 
293 K et
-5
(! = 0) = 0.
-/

14

=

On trace alors la température (avec une échelle arbitraire) en fonction de la 
position avec ces
conditions aux limites et pour le courant E = 100 A :

Figure 8 : Profil de température #1
E10.

Pourquoi cette courbe ne répond pas à notre problème ?

Pour résoudre ce problème, on doit trouver la bonne condition aux limites sur 
la dérivée de la
température.
E11.

Écrire une fonction /01/2345 qui prend comme arguments les deux conditions aux 
limites
de la valeur /2 de la température et de sa dérivée 4 en ! = 0, et qui renvoie 
la valeur de la
température en ! = #. Le tableau des valeurs des positions !< enregistré dans la variable nommée ( est supposé accessible en tant que variable globale. Cette fonction pourra être utilisée dans la suite du problème. E12. Écrire une fonction python /#6'7&84&#$7&&1/23* /& méthode de la dichotomie renvoyant lestimation de la dérivée de la température en ! = 0 permettant davoir une température de %4 en ! = #. Cette fonction prend comme paramètre : - la température /2 en ! = 0 ; - lerreur admise /& 0 et ! = #; - les variables numériques 4%$9 et 4%+( entre lesquelles la valeur de la dérivée sera -5 trouvée par dichotomie. On suppose que la valeur de recherchée est dans lintervalle -/ [FGHI ; FGJK]. -5 Il est à noter que lorsque la dérivée initiale (! = 0) augmente, la valeur de la température -/ finale %(! = #) aussi. -5 On dispose maintenant de la valeur de -/ en ! = 0 qui permet dobtenir le profil de température attendu, tracé entre 0 et # sur la figure 9. 15 Tournez la page S.V.P. Figure 9 : Profil de température #2 E13. Commenter la courbe obtenue. On cherche la valeur de la température maximale observée sur le fusible. E14. Écrire une fonction !"#$%&'()*+,- qui renvoie la valeur maximale atteinte sur le fusible. On nutilisera pas la fonction ()* de python. On trace alors la température maximale atteinte par le conducteur en fonction du courant qui le traverse, sans prendre en compte la fusion. Cette température est tracée sur la figure 10. Figure 10 : Température maximale atteinte en fonction du courant E15. Commenter la courbe obtenue. Préciser la nature des asymptotes à faible et forte intensités. Estimer le courant nominal dun tel fusible. Fin de lépreuve 16 ANNEXE 1 Méthode de résolution numérique dune équation différentielle dordre 2 à laide de la bibliothèque scipy Position du problème :! On cherche à résoudre une équation différentielle dordre 2 du type !& On dispose des conditions « initiales » (()+ ) = (+ et ()+ ) = (+ ,. !' !²" !# ² !& , (()), )*. !' = $% Principe : Une équation différentielle dordre 2 peut être ramenée à un système déquations différentielles dordre 1. Procédure : ! On se donne la fonction python . désignant le second membre de légalité !& , (()), )* !' $% !²" !# ² = ainsi que les conditions initiales enregistrées dans les variables /0 et /01"2(&. ! On ramène léquation différentielle dordre 2 à un système déquations dordre 1. On pose : -+ ()) = (()) et -. ()) = Alors ! ! !²& !'² = !& $ % , (()), )* !' !& ()). !' devient /!0 Vectoriellement, cela se traduit par : 2 !' !01 !' = -. ()) = $(-. ()), -+ ()), )) - ()) On pose 3333333334 -()) = 5 + . -. ()) (+ -. ()) 34 !0 3333333334, )) avec 64 %-()) 3333333334, )* = 5 et 3333333333333333334 -() = 0) = 7( , On a donc !' = 64(-()) $(-. ()), -+ ()), )) + On résout ce système avec la fonction #3&245 de la bibliothèque 6721/8245&9")5& grâce au squelette de programme suivant : Programme : !"#$%&'()*+(,-./"0-.%($)#"-%#1.(,-% ($)#"-%,2$)*%0&%,)% % 1.!%:#4752#4':'%&75&$"324567% %%%%%%".-2",%8289:4;3289:428<:456:% % =%,%.&-%>.%,#$?".%1.%)#&(-(#,&%)#2"%>.&@2.>&%#,%'A."'A.%*%
%
5%B%,)+>(,&)0'.35C$(,45C$054,6%
&#>2-(#,%B%#1.(,-3!#,'-(#,C!CD.'-.2"48*<4*<)"($.:456% 17 Tournez la page S.V.P. Solution : La variable renvoyée par !"#$%& enregistrée dans '!()&$!% est une matrice de type ndarray comprenant les valeurs de la fonction et de sa dérivée : ["# "#$ ] % ) '!()&$!% = ! % $ ["&'( "&'( ] Ainsi, on accède à la i-ième valeur de la fonction solution de léquation différentielle "(*+ ) par '!()&$!%*$+,- et à la i-ième dérivée par '!()&$!%*$+.-. 18 ANNEXE 2 Fonctions mathématiques générales définies dans numpy Copie décran du site : https://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/routines.math.html 19 Tournez la page S.V.P. ANNEXE 3 Exemple de script et de tracé associé avec matplotlib Script : !"#$%&'()"#*'+,'(#' !"#$%&'"+&#-$&-!./#*#-$&'+,'#-&' ' 0'1'(#/-!(,#+2345678(#/#!695:' *'1'(#/2$,40:' #-&/#-$&406*:' #-&/0-!"445678(#/#!::' #-&/0-+.3-4;+.,2!,,3,;:' #-&/*-+.3-4;$%<$((33,;:' ' #-&/,=$>4:'

Tracé :

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