e3a Physique et Chimie PSI 2022

SESSION 2022 EUR y PSI9PC

NES
e3a

POLYTECH'

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

PHYSIQUE-CHIMIE

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

-_ Utiliser uniquement un Stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en
évidence des résultats.

- Ne pas utiliser de correcteur.

-_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont autorisées.

Le sujet est composé de trois parties indépendantes.

e Les données utiles à la résolution du sujet figurent en fin de chaque partie.

e Tout résultat donné dans l'énoncé peut être admis et utilisé par la suite, 
même s'il n'a pas
été démontré par le ou la candidat(e).

e Les explications des phénomènes étudiés interviennent dans l'évaluation au 
même titre
que les développements analytiques et les applications numériques.

e Les résultats numériques exprimés sans unité ou avec une unité fausse ne sont 
pas comp-
tabilisés.

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Conception d'un prototype de machine à pancakes

Traditionnellement servis au petit-déjeuner dans les pays d'Amérique du Nord 
(Canada, États-
Unis), accompagnés par exemple de sirop d'érable, les pancakes sont des crêpes 
plus petites
(5 à 10 cm de diamètre) et plus épaisses que les crêpes classiques. Ils sont 
aujourd'hui appré-
ciés et dégustés dans le monde entier. Ce sujet étudie certains aspects de la 
conception d'un
prototype de machine à poêles et distributeur de pâte à pancakes, transportable 
et peu encom-
brant, permettant de cuire à la maison des pancakes authentiques de manière 
ergonomique et
automatisée.

J

Figure 1 -- À gauche : assiette de pancakes nappés de sirop d'érable. À droite 
: perspective de
design de la machine à pancakes, en vue de sa commercialisation

Partie 1 - Chauffage des poêles par induction

Le système est constitué de deux poêles. Lorsque la première poêle a cuit une 
face du pancake,
un système de roue-vis sans fin programmé par un actionneur (non détaillé dans 
ce sujet) met en
rotation cette poêle et projette ainsi le pancake dans la seconde poêle, 
chargée de cuire l'autre
face. Plusieurs options sont envisageables pour chauffer les poêles : gaz, 
résistance chauffante,
induction (voir tableau 1). Le chauffage par induction permet d'obtenir une 
bonne saisie de la
pâte à pancakes, tout en satisfaisant des exigences de sécurité et en 
minimisant l'encombrement.

Système / Contrainte | Sécurité | Encombrement | Saisie de la pâte
Gaz _-- _ +
Résistance chauffante + _-- _
Induction + + +

Tableau 1 --- Comparaison des différents modes de chauffage envisagés

Après avoir choisi l'alimentation et l'onduleur, l'objectif de cette partie est 
de dimensionner le
nombre de spires de la bobine permettant d'obtenir une température de poêle de 
160 "C. Cette
condition est nécessaire à l'obtention d'un pancake bien cuit, doré et 
savoureux.

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1.1 - Onduleur RLC série

Afin de concevoir le module à induction, on choisit une alimentation électrique 
pouvant fournir
3 À en continu (régime permanent stationnaire) pour une tension maximale de 30 
V. De telles
puissances nécessitent de dimensionner en conséquence l'onduleur et les câbles, 
notamment
afin d'éviter la détérioration. voire la "cuisson" de composants électroniques !

On étudie un onduleur de tension autonome de période T, à commande symétrique, 
dont le
montage est représenté sur la figure 2. Les quatre interrupteurs 
bidirectionnels K;, K, K, Ka
sont supposés idéaux et commandés électriquement de telle façon que :
- pour  =aT ,

Figure 7 -- Vidange du réservoir : notations utilisées

Dans une première approche, on néglige toute dissipation d'énergie au sein de 
l'écoulement de
pâte. On propose alors d'utiliser la relation de Bernoulli entre les points 1 
et 2 de la ligne de
courant représentée sur la figure 7.

Q16. Rappeler la relation de Bernoulli, ainsi que ses conditions d'application. 
On supposera ces
conditions remplies dans le cadre de ce premier modèle.

Q17. L'écoulement étant supposé incompressible, trouver une relation liant les 
vitesses v.(r) et
v, (r) de la pâte à l'instant r au niveau des sections de rayons respectifs R, 
et R;.

772
Q18. Déterminer une expression de v:(#) en fonction de g, h,(?), R, et de R; 
uniquement.

Q19. En identifiant v.(r) à -dh,/df, déduire de la question précédente une 
équation différentielle
régissant l'évolution de h,,(#).

Q20. Résoudre cette équation différentielle par séparation des variables, puis 
montrer que la
durée totale de vidange du réservoir s'exprime par :

[2h {fRi\
7 \ #1} h

Q21. Calculer numériquement 7,. On trouve un temps de vidange expérimental 7, = 
1,5 $.
Qu'en pensez-vous ?

1.2 - Modèle visqueux

On propose un deuxième modèle tenant compte des effets visqueux. On note 7 la 
viscosité
dynamique de la pâte. Pour simplifier la modélisation, on assimile le réservoir 
à un cylindre de
rayon R,, ce qui revient à négliger l'effet du rétrécissement de section de R; 
à R;. La dissipation
d'énergie au sein de l'écoulement de pâte s'accompagne d'un terme de perte de 
charge régulière
le long de la hauteur de pâte h,(r) à l'instant s, homogène à une pression et 
donné par la loi de
Darcy-Weisbach :

mn A,(t 64
AP, = AT avec Az. (11)
Dans cette expression, v,, = --dh,/dt représente la vitesse débitante (ou 
vitesse moyenne) de

l'écoulement dans le réservoir, d = 2R, le diamètre du réservoir et Re le 
nombre de Reynolds.
On a A,(t = 0) = ho.

Q22. Évaluer l'ordre de grandeur de », en utilisant le temps Taxp donné à la 
question Q21.
Rappeler la définition du nombre de Reynolds Re en fonction de p, v,, n et de 
d, puis
estimer sa valeur pour l'écoulement étudié. L'expression de À proposée étant 
valable dans
la limite Re < 2 : 10°, vérifier la validité de cette formule. Q23. Appliquer la relation de Bernoulli généralisée tenant compte de cette perte de charge entre les points 1 et 2 (voir figure 7) et obtenir une expression de dh,/df en fonction de p, g, R; et de 7. On rappelle que l'on néglige l'effet du rétrécissement. Q24. Déterminer la loi d'évolution h,(r). En déduire la durée totale de vidange du réservoir 7,. Q25. Calculer numériquement 7, et comparer à la valeur expérimentale de la question Q21. Comment pourrait-on encore affiner la modélisation ? Données pour la partie Il Accélération de la pesanteur : g =9,8 m:s ° Dimensions du réservoir : R, = 1,0 cm, R; = 0,70 cm Hauteur initiale de pâte : ho = 6,0 cm Propriétés physiques de la pâte : - Masse volumique : p = 1,1 : 10° kg -m - Viscosité dynamique : 7 = 3,0 Pa:s 3 8/12 Partie IIl- Autour du sirop d'érable Le sirop d'érable, produit emblématique du Québec (province du Canada), est un concentré de sève d'érable recueillie en faisant des trous dans l'écorce de l'arbre au printemps. 1.1 - Manchon de sirop d'érable Quand on prend du sirop d'érable pour l'étaler sur un pancake, il vaut mieux tourner la cuillère ou le couteau pour en prendre le plus possible et éviter d'en faire tomber. Afin de modéliser la situation, on considère un cylindre de rayon a et de longueur L tournant autour d'un axe horizontal a la vitesse angulaire Q et entouré d'une couche d'épaisseur A(6, r) de sirop d'érable, assimilable a un fluide incompressible de masse volumique » et de viscosité dynamique 7, plongé dans le champ de pesanteur £ (voir figure 8). On définit l'épaisseur moyenne du film liquide par : 1 27 ho = -- [ h(9, 0) de. (12) 27 0 Figure 8 -- Cylindre en rotation enduit de sirop d'érable (vue de côté) : notations utilisées On cherche à étudier le régime stationnaire où l'épaisseur À du film de sirop ne dépend plus que de l'angle 8. On suppose l'épaisseur du film À faible devant le rayon a du cylindre et les déformations du film faibles devant h (dans un souci de lisibilité de la figure, les proportions ne sont pas respectées). Les effets de viscosité de l'air ambiant sont négligés et la pression est supposée uniforme au sein du film. L'étude étant menée en coordonnées cylindriques, on propose d'écrire le champ des vitesses dans le film sous la forme ÿ = v(r, 6, r) ü,. On admet que l'application de la 2° loi de Newton à une particule de fluide au sein du film conduit à l'équation : Ov dv -- = --Pg COS 0 + 7--. P PE Ta,2 ai (13) Q26. En raisonnant sur les ordres de grandeur, déterminer une condition sur Q vis-à-vis d'une quantité dépendant de », » et de ho, permettant de négliger p dv/ôt devant 7 d"v/àr". Cette condition est-elle vérifiée ici ? Sous cette condition, deux intégrations successives de cette relation permettent d'aboutir au champ des vitesses suivant : Pg COS Ü y(r, 0) = aQ + [Gr -- a) -- 2(r -- a)h]. (14) 9/12 Q27. Vérifier que v(r,0) satisfait à la condition aux limites imposée en r = a. Reproduire le schéma de la figure 8 en y traçant le champ des vitesses en 4 = 0, x/2, x et 3x/2. Q28. Justifier que le débit volumique par unité de longueur de cylindre s'écrit : a+h O(6) = [ v(r, 0) dr puis calculer cette intégrale en fonction de h, 6, g, n, p, a et de Q). Q29. En régime stationnaire, on admet que le débit ne dépend plus de 8 : Q(9) = Q. En déduire un lien entre l'épaisseur h et l'angle 4 sous la forme F(h) = 0, avec : F(h) = RE h° cos 0 -- Qah + O. 1] (15) (16) La figure 9 illustre les allures de la fonction F(h) selon le signe de cos 6. Pour cos @ > 0, deux
comportements sont possibles selon que F s'annule ou pas dans le domaine h > 0.

F(h): F(h):
|
O NE" O N

h

F(h):

Q

Ô

Figure 9 -- Représentations graphiques de la fonction F(h)

Q30. En étudiant les variations de la fonction F pour un angle 8 fixé, montrer 
qu'une solution
a l'équation F(h) = 0 existe à condition d'avoir Q < Q,,,(0), avec 0,,(0) une quantité à exprimer en fonction de 6, g, n, p, a et de ©. Pour quelle condition sur Q existe-t-il alors une solution pour tout angle 0 ? Q31. En déduire littéralement la masse maximale de sirop d'érable que l'on peut ainsi maintenir autour du cylindre, par unité de longueur, en fonction de £, 7, p, a et de ©). Données pour la sous-partie II1.1 Propriétés physiques du sirop d'érable : - Masse volumique : p = 1,4: 10° kg -m - Viscosité dynamique : 7 = 0,20 Pa :s 3 Épaisseur moyenne du film liquide : ho = 0,50 mm Vitesse angulaire de rotation : Q = 4x rad : s"! 10/12 11.2 - Mesure de la proportion de saccharose dans le sirop d'érable Document - La composition du sirop d'érable Le principal sucre qui compose le sirop d'érable est le saccharose. Dans l'eau avec ou sans l'intervention d'enzyme, l'inversion du saccharose donne lieu à la formation d'un mélange de glucose et de fructose, le sucre inverii : CoHpOis +04 = CéHi2O6(s + CoHi2O6(s) ------  -- ---- --  ---- ---- saccharose glucose fructose Le sucre inverti étant plus soluble que le saccharose, la teneur en inverti d'un sirop influence ses propriétés de cristallisation. Plus un sirop est inverti, moins il aura tendance à cristalliser. Ainsi pour préparer des produits dérivés tels que la tire d'érable ou le caramel à l'érable qui doivent demeurer exempts de cristallisation, on utilise un sirop inverti. Par contre, pour fabri- quer des produits à cristallisation fine, comme le beurre d'érable ou le sucre mou, on utilise des sirops non invertis. Source : Technique pour le dosage du sucre inverti dans le sirop d'érable, J. Dumont (1998) Q32. Calculer l'enthalpie standard AH" et l'entropie standard A;S° de la réaction d'inversion du saccharose à 298 K. Q33. En déduire la valeur de sa constante d'équilibre K° à 298 K. Qu'en conclure ? On prépare une solution de saccharose de concentration [S], = 0,400 mol : L'' AT, =293K, on suit l'évolution temporelle de la concentration en saccharose [S](r) (voir tableau 2). t(h) 0 100 250 500 750 1 O00 [S] (mol : L_') 0,400 0,346 0,280 0,196 0,140 0,100 Tableau 2 -- Cinétique d'inversion du saccharose : résultats expérimentaux Q34. Montrer que la réaction est d'ordre 1 par rapport au saccharose et déterminer la valeur de Sa constante de vitesse k, dans les conditions de l'expérience. Q35. À T; = 313 K, on mesure une constante de vitesse k = 2,4 : 10 ? h |. Exprimer littérale- ment puis numériquement l'énergie d'activation E, de cette réaction. Pour déterminer la proportion de saccharose dans le sirop d'érable, il est possible d'estimer la masse molaire moyenne des sucres présents, définie comme le rapport de la masse totale de sucre sur la quantité de matière totale de sucre, en mesurant l'abaissement cryoscopique d'une solution diluée de sirop d'érable. On considère une solution aqueuse formée d'une masse mean d'eau liquide de masse molaire M. et d'une masse muere de Sirop d'érable supposée constituée exclusivement d'un mélange de sucres de masse molaire moyenne Me. On suppose que : - la quantité de matière des sucres est négligeable devant celle de l'eau en phase liquide ; - [a phase liquide est idéale ; - la phase solide est constituée d'eau pure. On note respectivement du(T) et ue (T) les potentiels chimiques de l'eau pure en phase li- quide et en phase solide, à une température T donnée. À pression fixée, on donne l'expression du potentiel chimique d'un constituant : en phase condensée en fonction de son activité a; : ai(T, composition) = u;(T) + RT In a;. (17) 11/12 Q36. Écrire, en la justifiant brièvement, une relation entre Li" (Tr) et HET us). En présence de sucre, la température de fusion du liquide est modifiée et devient 7° fus" Q37. Exprimer la fraction molaire x.\ de l'eau dans la phase liquide, en fonction de mean, Msucre; Z : : : Hi , I Mau t Miucre. Ecrire ensuite une relation entre HS UT.), den (Ti), R, Tis EUR Xeau: eau eau US La relation de Gibbs-Duhem donne la variation élémentaire du potentiel chimique de l'eau pure Sous l'effet d'une variation de température d7', à pression fixée : Qui ST et du = -S*S1aT (18) eau eau eau où S "1 et S **°! désignent respectivement les entropies molaires de l'eau pure en phase liquide eau eau et en phase solide, supposées indépendantes de la température. Q38. Déduire de ces relations différentielles et des questions précédentes l'équation : -- T'fus )Afus À -- RTiusT fus (T$ In Xeau (1 9) où As. désigne l'enthalpie molaire de fusion de l'eau pure. Q39. On note xsucre = 1 -- Xeau la fraction molaire des sucres dans la phase liquide. En supposant la température 7;, peu éloignée de 74, ainsi que xsure 1, démontrer que : T'fus EE T' fus -- K Xsucre (20) avec K la constante cryoscopique, à exprimer en fonction de R, T;,, et de A;,,H. On prépare une solution à 15 % en masse de sirop d'érable. La température de solidification de l'eau s'abaisse de 1,5 °C. Q40. En déduire la valeur numérique de x, puis celle de Miucre: Q41. Le sirop d'érable est composé d'un mélange de saccharose, glucose et fructose obtenu à partir de saccharose pur. Calculer la proportion molaire en saccharose du sirop d'érable, puis la proportion massique. Données pour la sous-partie III.2 Constante des gaz parfaits : R = 8,314 J : K°_! : mol ! Changement d'état solide-liquide de l'eau pure à P = 1 bar = P° : - Température : Ti, = 273,15 K - Enthalpie de fusion molaire : AH = 6,01 kJ : mol | Masses molaires : eau | saccharose (C;,:H,:0;;) | glucose (CH,:04) | fructose (C£H,:04) M(g : mol- ) | 18 342 180 180 Données thermodynamiques à 298 K : HO CoHpOiits CéHO6s (glucose) CéHiO6s (fructose) AsH° (KI :mol ") | --286 --2 226 --1 273 -- 1 266 S° (J-K_'-mol )}| 70 360 212 223 FIN 12/12 NATIONALE - 221181 - D'après documents fournis IMPRIMERIE