e3a Physique et Chimie PSI 2023

SESSION 2023 EUR y PSI9PC

NES
e3a

POLYTECH

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

PHYSIQUE-CHIMIE

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre Sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

.< _ Utiliser uniquement un Stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats. . _ Ne pas utiliser de correcteur. « Écrire le mot FIN à la fin de votre composition. Les calculatrices sont autorisées Le sujet est constitué d'une partie préliminaire ainsi que de trois parties indépendantes. . Tout résultat donné dans l'énoncé peut être admis et utilisé par la suite, même s'il n'a pas été démontré par le ou la candidat(e). . Les explications des phénomènes étudiés interviennent dans l'évaluation au même titre que les développements analytiques et les applications numériques. .< Les questions comportant le verbe calculer demandent une application numérique. Les résultats exprimés sans unité ou avec une unité fausse ne sont pas comptés. . Les questions libellées par une astérisque (+) demandent de l'initiative de la part des candidates et candidats. Les données utiles sont fournies en pages 13 et 14. 1/14 Quelques aspects de l'industrie nucléaire Le dénouement de la COP26 à Glasgow a été marqué par l'intervention de l'Inde pour demander non plus une sortie du charbon mais une réduction de l'émission des gaz à effet de serre. Dans son allocution télévisée en date du mardi 9 Novembre 2021, le Président de la République Française, Emmanuel Macron, a annoncé la relance de la construction de réacteurs nucléaires. C'est une annonce majeure pour le domaine de l'énergie, le recours aux énergies fossiles s'en trouvant grandement limité. L'objet de ce problème est d'aborder quelques points de l'industrie nucléaire, de l'extraction du minerai jusqu'au retraitement des déchets radioactifs en évoquant également le principe de fonctionnement d'une centrale. Préliminaires - Etude d'une machine à courant continu en travaux pratiques L'objectif de cette partie préliminaire est d'exploiter les résul- tats obtenus au cours de deux manipulations classiques réali- sées en travaux pratiques afin de déterminer certaines carac- téristiques d'une machine à courant continu (MCC) pédago- gique. Un moteur à excitation séparée est alimenté par deux généra- U teurs dont l'intensité du courant inducteur est notée /.. L'in- duit est soumis à la tension Ù ; 1l est parcouru par un courant d'intensité Î représenté sur la figure 1. Le bobinage induit du moteur présente une résistance À et un FIGURE 1 -- Moteur d'en- coefficient d'auto-induction L. traînement Q1. Schémas à l'appui, décrire en dix lignes maximum les différentes parties d'une machine à courant continu (rotor et stator, induit et inducteur, type de courant circulant dans chacun, rôle du système {collecteur + balais}). Q2. Donner le schéma électrique équivalent de l'induit en régime stationnaire de fonction- nement moteur (on notera Æ" la force contre-électromotrice) et en regime de fonction- nement générateur (on notera Æ la force électromotrice). Tous les dipôles devront être correctement orientés. Q3. En appelant © la constante électromécanique de la machine, rappeler les deux équations liant Æ (ou ÆE"), la vitesse angulaire de rotation (, le couple électromagnétique l' et l'intensité du courant d'induit 1. Le dispositif étudié en travaux pratiques est le suivant. Deux machines à courant continu réversibles sont couplées par le même arbre. L'une peut fonctionner en moteur et l'autre en génératrice (cf. figure 2). Les plaques signalétiques des deux machines présentent les indications suivantes : MCCI MCC2 n (en tr:min !):.................... 1,5-10° 1,5-10° P (en kW): ......................... 3,0 3,0 Inducteur : ........................ 220 V - 0,5 À 220 V - 0,62 À Induit : ............................. 220 V -15 À 220 V - 13,6 À © DO I oO À À © ND DUT N | [IL LE MCCI : MCC2 : Génératrice ou Moteur FIGURE 2 -- Banc moteur Deux expériences sont réalisées. e Expérience 1 : MCC2 non alimentée. Seul l'inducteur de la MCCI est alimenté par une alimentation stabilisée. U, est la tension aux bornes de l'inducteur. On relève : U. = (2,3-10°+0,1-10°) V et Z = (0,5+0,1) A. e Expérience 2 : x MCC2 fonctionne en moteur et impose une vitesse de rotation à l'arbre ( (ou n) dont on fait varier la valeur. x Les circuits inducteurs de MCCI et MCC2 sont alimentés dans les conditions nomi- nales de fonctionnement par deux alimentations stabilisées. x MCCI fonctionne en génératrice. L'induit de cette dernière est connecté aux bornes d'un voltmètre que l'on considérera idéal. x La vitesse de rotation est pilotée par la tension d'induit appliquée au circuit d'induit de la MCC2. x La vitesse de rotation de l'arbre est mesurée à l'aide d'un tachymèêtre affichant la vitesse angulaire n en tr-min ! (tours par minute). U désigne la tension affichée par le voltmètre. Les relevés obtenus sont : n(entr-min )|257 334 550 706 849 1004 1111 1240 1476 1601 U(enV) | 41 63 88 112 135 160 177 197 235 255 Q4. À quelle grandeur caractéristique de la MCCI1 la première expérience permet-elle d'avoir accès ? Préciser sa valeur. On propose une partie des lignes de code permettant le traitement numérique des résultats de l'expérience 2. from math import pi from scipy import stats import numpy as np n = np.array([334., 550., 706., 849., 1004., 1111., 1240., 1476.]) omega = 2 * pi / 60 *x n U = np.array([63., 88., 112., 135., 160., 177., 197., 235.]) pente, ordonnee, r, p, d = stats.linregress(omega, U) 3/14 La fonction linregress(omega, U) retourne un 5-uplet contenant en particulier la valeur du coefficient directeur de la régression linéaire U -- f(Q) ainsi que le coefficient de détermina- tion r". Il a été obtenu : coefficient directeur : p = 1,49 et r° = 0,998. Q5. À quelle grandeur caractéristique de la MCCI1 la deuxième expérience permet-elle d'avoir accès ? Vous exposerez clairement le raisonnement suivi. Donner la valeur de cette gran- deur physique et son unité. Partie I - Le minerai d'uranium I.1 - Extraction La mine d'uranium d'Imouraren est un gi- sement d'uranium à faible teneur que la compagnie Orano (ex-Areva) a eu le pro- jet d'exploiter avec une mine à ciel ouvert se situant entre le Sahel africain et le désert du Sahara, à l'ouest du massif de l'Aïr. En 2009, le site d'Imouraren est considéré par Areva, comme l'un des gisements ura- nifères les plus importants au monde. L'en- treprise estime que le site contient 275 O0Ù tonnes de minerai en terre et vise une pro- duction de 5 000 tonnes d'uranium pendant 39 ans. FIGURE 3 -- Le site d'Imouraren Acheminement du minerai Le dispositif d'acheminement du minerai d'uranium est schématisé sur la figure 4. Des roches sont contenues dans un réservoir suspendu au-dessus du tapis et déversées par un conduit vertical sur le tapis. On considérera que lorsque les roches entrent en contact avec le tapis, la composante de leur vitesse colinéaire à u dans le référentiel lié au sol, supposé galiléen, est négligeable. Q6. Le dispositif est concu pour acheminer ma -- 25 tonnes de roches par jour; il fonctionne en continu. Evaluer le débit massique moyen L),, d'arrivée des roches sur le tapis exprimé en kg-s7!. Lorsqu'elles arrivent sur le tapis, les roches acquièrent la même vitesse que le tapis qui les achemine ainsi, jusqu à l'extrémité droite du tapis où elles quittent le tapis animées de la vitesse Y -- vu. On suppose toujours le régime d'écoulement des roches permanent. On note F -- Fu la composante selon l'axe (O, u}) de l'action des roches sur le tapis. 4/14 Réservoir contenant les roches -- V= VAUX Vitesse du tapis Conduit d'arrivée des roches BE . Lo Sens de rotation du cylindre CY qui entraîne le tapis FIGURE 4 -- Dispositif d'acheminement des roches Q7. Déterminer F en fonction de D), et v. On effectuera un bilan de quantité de mouvement en projection sur u> sur le système compris dans le volume de contrôle formé 
par le lieu
d'occupation des roches en contact avec le tapis. Ce volume de contrôle est 
fixe dans le
référentiel lié au sol. Il reçoit de la matière à l'extrémité du tapis située 
sous le réservoir
et en éjecte à l'autre extrémité située à l'entrée d'un concasseur.

I.2 - Vitesse de rotation du rotor du moteur

Le convoyeur de minerai est constitué d'un tapis (dont on négligera l'inertie) 
entraîné par un
cylindre & d'axe (0, u} ) lié au rotor d'une machine à courant continu. Le 
moment d'inertie de
l'ensemble Z = { + rotor } par rapport à l'axe (O, 2) est noté J.

Un second cylindre EUR" est en rotation libre, sans frottement, autour de l'axe 
(O", u>). Les deux
cylindres EUR et EUR" ont le même rayon a et le moment d'inertie de EUR" par 
rapport à (O", u})
est note J". Les vitesses de glissement du tapis par rapport à chaque cylindre 
sont nulles. On
désigne par {? la vitesse angulaire de rotation des cylindres dans le sens 
indiqué sur la figure 4.

Le rotor du moteur et le cylindre EUR tournent donc à la même vitesse angulaire 
(2. L'ensemble
du dispositif mécanique produit, sur la partie tournante du moteur, un couple 
de frottement
de moment --\Q%2. La constante À est positive.

L'objectif des trois questions suivantes est d'exprimer la vitesse angulaire de 
rotation (,,, valeur
de {(} en régime permanent de fonctionnement, en fonction notamment de la 
tension d'alimen-
tation de l'induit U et du débit D,, des roches.

Q8. À partir du schéma électrique du circuit d'induit, établir l'équation 
électrique (E;) du
moteur qui relie Ü, 7, Q, et les paramètres utiles du problème en régime 
stationnaire.

Q9. En appliquant le théorème scalaire du moment cinétique en régime permanent 
de fonc-
tionnement au système (Y), établir l'équation mécanique (E2) qui relie 7, Q,, 
D,,, a
et v.

Q10. Établir l'expression de (?,, en fonction de Ü, D,, , ®, R, À et a. Quelle 
est, dans ce modèle,
l'influence du débit des roches sur la vitesse du tapis ?

5/14
Mesure de l'intensité du courant de l'induit du moteur à courant continu
On s'intéresse ici à une solution permettant la mesure de l'intensité du 
courant d'induit 7 à
l'aide d'une résistance ! shunt'.

La figure 5 donne le synoptique de la chaîne d'alimentation d'un moteur à 
courant continu
(MCC). On s'intéresse à la mesure de la valeur moyenne de l'intensité i(t) du 
courant élec-
trique.

vers la chaîne

de mesure

Convertisseur . Convertisseur
Filtre

AC/DC DC/DC

FIGURE 5 -- Synoptique de la chaîne d'alimentation d'un moteur à courant continu

Q11. Donner un exemple de convertisseur AC/DC puis DC/DC. Quel est l'intérêt du 
conver-
tisseur AC/DC dans la chaîne d'alimentation ? Comment justifier la présence du 
conver-
tisseur DC/DC dans cette même chaîne d'alimentation ?

La mesure du courant J se fait à l'aide de la mesure de la différence de 
potentiel aux bornes d'une
résistance Rshunt. La figure 6 donne le schéma électrique relatif au filtrage 
et à l'amplification
pour la mesure du courant.

FIGURE 6 -- Schéma de la mesure de courant par résistance shunt

On se place en régime sinusoïdal forcé. La représentation complexe est adoptée. 
Les différents
ALI sont idéaux en régime linéaire.

Q12. Rappeler le modèle d'un ALI idéal en régime linéaire. Quel indice laisse à 
penser que le
régime de fonctionnement des ALI est linéaire ?

6/14
Q13. Donner les expressions des amplitudes complexes V4, et V,. en fonction des 
amplitudes
complexes V, et V, et des éléments passifs R1, Ro, R3, Ra, C1 et C2.

Q14. Donner les expressions des amplitudes complexes VS, et Vs, en fonction de 
V,, et V,..
Q15. Donner l'expression de V'}, en fonction de V&,, 7 et Rs.
Q16. Donner l'expression de V'$ en fonction de V3, Vs, Rs et 6.

Q17.On pose À; -- R3 et Ra -- R1. Poser une condition ou des conditions sur R1, 
R3, C1, Co,
Rs, Ré, R7 et R$g pour que l'expression de V, se mette sous la forme :

di , L ,

Va) = ------ {7 où à(#) = Re |: )|. 1

Vs) Lynn ) (4) i(7w) (1)

Q18. Donner les expressions de g; et 7; en fonction des éléments passifs. 
Expliquer comment
répondre à l'objectif posé.

1.3 - Traitement

L'uranium extrait des mines n'est pas utilisable en l'état dans les réacteurs 
nucléaires de pro-
duction d'électricité. Pour être utilisé comme combustible, il doit être 
transformé.

Les opérations de conversion consistent à transformer les concentrés miniers en 
hexafluorure
d'uranium (UF$) tout en leur donnant la pureté indispensable à la fabrication 
du combustible
nucléaire.

La conversion s'effectue par un procédé de transformation chimique en deux 
étapes :

e Tout d'abord, l'uranium est transformé en tétrafluorure d'uranium (UF) :
Le concentré minier est dissous par de l'acide puis purifié. Après 
précipitation - calcination,
on obtient de la poudre de dioxyde ou de trioxyde d'uranium (UO; ou UO3) qui 
est ensuite
hydrofluorée à l'aide de l'acide fluorhydrique. Il se transforme ainsi en une 
substance de
couleur verte à l'aspect granuleux, appelée tétrafluorure d'uranium (UF).
Ces opérations sont réalisées dans l'usine COMURHEX - Malvési à Narbonne, 
France.

e le tétrafluorure d'uranium est ensuite envoyé à l'usine COMURHEX du Tricastin 
dans la
Drôme pour y être converti en hexafluorure d'uranium.

Thermodynamique d'une réaction clé

L'hydrofluoration par HF, de particules solides d'oxyde d'uranium UO:{,, en 
tétrafluorure
d'uranium HF4(,, est une étape importante des procédés de préparation d'uranium 
enrichi ou
de recyclage de l'uranium des centrales nucléaires.

On s'intéresse à la conversion de UO, en UF,, modélisée par la réaction 
chimique d'équation :

UO(s) + a HF = SUP + 704, (2)
La constante d'équilibre standard associée à l'équation 2 vaut : K°(Ti000) = 9, 
0 : 10° à
T =1,00:10°K.
Q19. Ajuster les nombres stæchiométriques «à, 5 et 7.

Q20. À l'aide des données fournies, calculer l'enthalpie de réaction A,H° ainsi 
que l'entropie
standard de réaction À,$S° associées à l'équation 2. Commenter ces deux valeurs.

7/14
On suppose dans la suite ces deux grandeurs indépendantes de la température.

Q21. Estimer la constante d'équilibre standard K°(T) à la température T' puis 
sa valeur pour
T =6.5:10°K.

Q22. On désire déplacer l'état d'équilibre vers la formation de UF4,,. En 
justifiant rigoureu-

sement, indiquer s'il faut augmenter ou diminuer la température et la pression 
totale ou
encore diluer le gaz par un gaz inerte.

Q23.On se place à P = P° = 1.0bar et T = 6,5:10°K. Calculer les fractions 
molaires des
constituants physico-chimiques en phase gazeuse à l'équilibre.

La radioactivité

La radioactivité est un phénomène physique naturel au cours duquel des noyaux 
atomiques
instables se désintègrent en dégageant de l'énergie, pour se transformer en 
noyaux atomiques
stables. L'évolution de la concentration C,;(t) d'une substance radioactive 
suit une loi cinétique

d'ordre 1 :
orare aC,
dt |,

= --À:C,;(+). (3)

Q24. Exprimer C,;(t) en fonction de C;(0), À et t.

Q25. L'usage est de caractériser l'activité d'un atome par sa période (ou demie 
vie) radioactive
T2, temps au bout duquel la concentration initiale a été divisée par deux. 
Donner la
relation existant entre À et T2.

Q26. (x) U possède la propriété d'être fissile : il peut capter un neutron lent 
n pour fissionner
en plusieurs atomes plus légers et plusieurs neutrons rapides n° selon par 
exemple :

OU+n -- CU -- YK+ "Ba +3n* (4)

En moyenne sur toutes les réactions possibles, chaque atome "YU qui fissionne 
libère
& --= 200 MeV et 2,5 neutrons. Évaluer la masse d'uranium **U qu'un « mini 
réacteur »
de volume V = 2: 107! m° et de puissance P = 2kW est susceptible de contenir.

Donnée numérique :
e Période radioactive moyenne associée aux processus de fission de "U : T, 
/2moy 1: 10Ys.

Partie II - Centrale nucléaire

Le principe de fonctionnement d'une centrale nucléaire est représenté figure 7. 
Le réacteur
chauffe une certaine quantité d'eau qui circule, en boucle fermée, dans le 
circuit primaire. Cette
eau permet de vaporiser l'eau contenue dans le circuit secondaire et dont la 
circulation assure
la rotation de turbines couplées à des alternateurs. Le circuit tertiaire est 
utilisé pour liquéfier
l'eau du circuit secondaire en sortie des turbines, avant qu'elle ne soit à 
nouveau injectée dans
les générateurs de vapeur.

IT.1 - Fonctionnement global

Une centrale nucléaire peut être vue comme une machine ditherme fonctionnant 
entre deux
sources de chaleur :

e une source chaude (eau du circuit primaire) de température To = 573 K ;

e une source froide (eau de la Moselle) de température moyenne annuelle Tr -- 
287 K.

8/14
Q27.Calculer le rendement n de la centrale sachant qu'il est égal à 60,0 % du 
rendement
maximal de Carnot. Vous établirez tout d'abord l'expression du rendement de 
Carnot.

Q28. Exprimer la puissance thermique 43, c reçue de la source chaude vers le 
fluide calopor-
teur en fonction de n et , puissance mécanique algébriquement reçue.

Centrale nucléaire

Réacteur à Eau Pressurisée (REP)

Nuage de vapeur

Circuit primaire

Air humide

09 o
Vapeur

Générateur
Barres de de vapeur
contrôle

Pressuriseur

Turbine

Eau à l'état

Tour de
refroidissement

au à l'état
.... JL À
liquide e) ©

Réact
Pa) FEU

y)
(7 Enceinte de confinement

FIGURE 7 -- Principe d'une centrale nucléaire (source : Wikipedia)

Q29. (x)Estimer la variation de température AT de l'eau de la Moselle due à la 
présence de
la centrale nucléaire de Cattenom. Commenter la valeur obtenue.
Donnée numérique :

e Débit volumique annuel moyen de la Moselle : Dy = 3,3: 10*m° 5" ".

Document 1 - Centrale nucléaire - Site de Cattenom

Mise en service entre 1986 et 1991, la centrale de Cattenom située dans le 
département de la
Moselle, participe activement au développement du tissu économique de la 
région. En 2020,
les contrats passés avec des entreprises locales ont représenté plus de 35 
millions d'euros
d'investissement.

Une énergie sûre, neutre en CO:,,

La centrale nucléaire de Cattenom possède 4 réacteurs à eau pressurisée de 1 
300 MWe
(mégawatt électrique) chacun. En 2020, elle a produit 31,18 TWh d'électricité 
sans émettre
de CO2(), ce qui couvre les besoins de près de 6,8 millions de foyers français 
chaque année.

La surveillance de l'environnement

Certifiée ISO 14001 depuis 2004, la centrale surveille en permanence son impact 
sur l'envi-
ronnement. En 2020, 6 850 prélèvements et 20 774 analyses ont été réalisés pour 
s'assurer
de l'efficacité des démarches environnementales en vigueur.

9/14

FIGURE 8 -- Photographie centrale nucléaire de Cattenom au bord de la Moselle

(Source : Document EDF)

ITI.2 -

Puissance de la pompe du circuit secondaire

On fournit quelques caractéristiques de l'eau utilisée dans le circuit 
secondaire

Q30.

Q31.
Q32.

À l'entrée de la pompe :
x État physique : eau liquide :
x Débit massique : D,, = 640 kg : s7!:
x Pression : PF. = 18 bar;
x Température : T, = 33°C.
En sortie de la pompe :
x État physique : eau liquide :
x Pression : P, = 70 bar;
x Température : T, = 76°C.

Evaluer la puissance mécanique que la pompe doit fournir au fluide. L'évolution 
du fluide
est supposée adiabatique à l'intérieur de celle-ci.

La pompe a un rendement de 60 %. En déduire la puissance électrique consommée 
par
cette dernière.

La pression de l'eau arrivant dans le générateur de vapeur doit être égale à 70 
bar. Les
valeurs calculées précédemment ont été en fait sous-estimées. Quel phénomène 
négligé
ici permet de l'expliquer ?

10/14

Partie III - Stockage des déchets radioactifs

Le projet français Cigéo vise à enfouir, sous 500 m de roches argileuses, les 
déchets nucléaires
dits « de moyenne et haute activité à vie longue » (T2 > 31 a) - soit les plus 
dangereux - sur
un terrain situé à cheval sur les départements de la Meuse et de la Haute-Marne 
(site de Bure).
Afin de préparer ce projet, un laboratoire souterrain a été mis en service sur 
ce site en 2 000
par l'Agence nationale pour la gestion des déchets radioactifs (Andra).

Les combustibles usés, qui constituent l'essentiel des déchets de haute
activité et qui resteront radioactifs des centaines de milliers d'années,
sont actuellement entreposés dans les installations d'Orano (ex-Areva)
à La Hague (Manche) sous forme de « colis » vitrifiés.

À surface

argile
On étudie de manière très simplifiée la possibilité de stocker de tels dé-
chets radioactifs, sous une couche argileuse d'épaisseur L = 5,0 : 10° m. L+e .
Du fait de la radioactivité des produits de fission, les déchets sont exo- vv eu
thermiques. Ils sont vitrifiés dans des colis qui dégagent une puissance

Po = 2,0KkW dans la première décennie du stockage et décroissante
dans le temps. À colis sont entreposés à 500 m sous la surface. Ils sont FIGURE 
9 -- Paramé-
uniformément répartis sur une surface S. trage du problème

La température dans l'argile est notée T'(z, t). L'argile à une masse volumique 
0,, une conduc-
tivité thermique À,, une capacité thermique massique c, et une diffusivité 
thermique D,, toutes
uniformes. L'épaisseur de la couche dans laquelle seront entreposés les déchets 
radioactifs est
négligeable devant Z.

Q33. Citer la loi de Fourier en nommant les différentes grandeurs physiques qui 
interviennent
et en précisant les unités. Quel est son contenu physique ?

Q34. En réalisant un bilan d'énergie interne sur une tranche d'argile de 
surface $ d'épaisseur
dz, montrer que T'(2,t) est solution de l'équation de la diffusion thermique 
(5) où
le coefficient de diffusivité thermique D, sera exprimé en fonction de 0,, EUR, 
et À. La
simplifier dans le cas stationnaire. Préciser l'unité de L),.

OT OT
Des (5)
Ot Oz?
Q35. Interpréter les deux conditions aux limites suivantes :
OT N Po

Ôz TIR.S À T(2=0,t) = Tex. (6)

z=--L

Q36. Donner l'expression de T'(z) en régime permanent. Que vaut T(--L) ?

Donnée numérique :
e Température annuelle moyenne de l'atmosphère sur le site de Bure : Lx = 13°C.

Q37. La température dans l'argile ne doit pas dépasser 7,4 afin que ses 
propriétés de confine-
ment ne soient pas dégradées. Le stock total de déchets français représente N = 
3,6: 10*
colis. Estimer la surface S' nécessaire à leur enfouissement, si Tax = 100°C.

Q38.On envisage d'attendre 30 ans avant d'enfouir les déchets, pendant lesquels 
ils sont
entretenus en surface. Pourquoi ?

11/14
© Do OO À À © ND

DER EE HA
OO © oO I OO À À © ND HA ©

On se propose dans la suite de simuler numériquement l'évolution temporelle du 
champ de
température (z,t)--- T(z,t) de la couche supérieure d'argile au cours du temps.

L'objectif sera donc d'approcher la fonction (2, t)r T{(z,t).

Notations
e hest le pas de la subdivision uniforme (f);c1 ny de l'intervalle de temps 10, 
At = 3 r|

où 7 est la durée caractéristique de diffusion thermique.

t =i-het T'(+) est l'approximation de T(z, t;) pour à EUR 10. N|
e k est le pas de la subdivision uniforme (2,),-1 nv. de l'intervalle JL, o|

z%n =n-k et T,(t) est l'approximation de T(2, , t) pour n EUR 10. N.|

En conclusion : T° est l'approximation numérique de la solution T(2=n-k,t--i.h)
sur un maillage spatial de pas k et une discrétisation temporelle de pas h.

Présentation du schéma numérique explicite centré en espace :

TT, Tu 27 + Ti
Th F | (7)

D, -h
12
On propose les lignes de code suivantes. Initialement, le champ de température 
de l'argile est

uniforme de valeur égale à Text.

Stabilité du schéma numérique : le schéma numérique est stable si r < avec Tr -- #Constantes numériques lambda_a, c_a, rho_a = 1.5, /e2, 1.7/7e3 D_a = ... #coefficient de diffusivité thermique PO, N, L, S = 2e3, 36000, 5e2, 1e8 tau = ... #temps caractéristique de diffusion thermique Text = 13. Nt, Nx = 30000, 50 h = ... #pas discrétisation temporelle k = ... #pas discrétisation spatiale #coefficient r r = D_a *x h / k*x2 assert(r < 0.5) #initialisation champ température T = [[Text for j in range(Nx)] for i in range(Nt)] TIOÏILIO] = TIOJ[I1] + N° *x PO / (2 * lambda_a * S) * k #Schéma numérique explicite for t in range(Nt - 1): for x in range(1, Nx - 1): T[t + 1][x] = T[t][x] + T[t+1][0] = T[t+1][1] + N *x PO / (2 x lambda_a *x S) * k Après traitement des données, on obtient le réseau de courbes page suivante (figure 10). Q39. Donner l'expression du pas de discrétisation temporelle À en fonction de At et N,. 12/14 Profil de température à différents instants 140 -- t--37T/8 | -- t--=37/4 1204 100 80 Température (°C) 60 40 20 -- 500 --400 -- 300 --200 -- 100 0 Longueur (en m) FIGURE 10 -- Évolution temporelle du champ de température dans la couche d'argile Q40. Donner une estimation de la durée caractéristique 7 de diffusion thermique. Faire l'ap- plication numérique. | OT Ti -2Ti + Ti Q41. Justifier que ---- m nn O2? k?2 Zn » Li Q42. Quel est l'intérêt de la ligne 12 ? Que traduisent les lignes 15 et 20 ? Q43. Compléter la ligne 19 sur votre copie. Q44. Commenter le réseau de courbes obtenu. Quelle(s) critique(s) pourrait-on formuler au sujet des lignes de code proposées ? 13/14 Document 2 - Notations et valeurs numériques Conversion ..............,,...,,.,.,..444..44444eeeeeei 1,0eV=1,6-10 °]J Période radioactive associée au processus de fission (4) ..... Ti /2moy © 1°: 1015 Constante des gaz parfaits ................................. R=8,314J-K7!:mol ! Constante d''Avogadro ................................,...1 NA = 6,02 : 10% mol ! Masse molaire de l'uranium ......................,..,,..... Missy = 235,0 g : mol | Masse volumique de l'eau liquide .......................... 0. = 1,00 : 10° kg - m " Capacité thermique massique de l'eau liquide .............. Ce =4,18-10 J-K-!-ke 1 Conductivité thermique de l'argile ......................... X=15W:m '.K Masse volumique de l'argile ...........................,... 0x = 1,7-10°kg :m * Capacité thermique massique de l'argile .................... Ca =T-.10 J.K kg! Document 3 - Données thermodynamiques à 298 K Enthalpies standards de formation A; : LUO2) UF4) HF HO0( AfH° (en kJ:mol ) | --1084 --1921 --268,7 --241,9 FIN 14/14