e3a Physique et Chimie PSI 2024

SESSION 2024 EUR ) PSI9PC

NE
e3a

POLYTECH'

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

PHYSIQUE-CHIMIE

Durée : 4 heures

NB. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le Signalera sur Sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

« Utiliser uniquement un Stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, 
mais exclusivement pour les schémas
et la mise en évidence des résultats.

. Ne pas utiliser de correcteur.

« Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont autorisées.

Le sujet est composé de six parties indépendantes.

e Les données utiles à la résolution du sujet figurent en fin de chaque partie, 
sauf en partie V.

e Tout résultat donné dans l'énoncé peut être admis et utilisé par la suite, 
même s'il n'a pas
été démontré par le ou la candidat(e).

e Les explications des phénomènes étudiés interviennent dans l'évaluation au 
même titre
que les développements analytiques et les applications numériques.

e Les résultats numériques exprimés sans unité ou avec une unité fausse ne sont 
pas comp-
tabilisés.

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Escale à Fort Boyard

Situé au large de la Charente-Maritime, le Fort Boyard est édifié sous 
l'impulsion de Napoléon
afin de protéger la rade, l'embouchure de la Charente, le port et surtout le 
grand arsenal de
Rochefort des assauts de la marine anglaise. Construit entre 1804 et 1857, il 
est transformé en
prison quelques années à peine après son achèvement. Cet imposant vaisseau de 
pierre est do-
rénavant connu dans le monde entier grâce au jeu télévisé du même nom, tourné 
depuis 1990,
dans lequel une équipe généralement constituée de six candidats réalise 
diverses épreuves phy-
siques et intellectuelles afin de gagner un trésor en boyards. Ce sujet 
s'intéresse à certains
aspects du jeu.

Figure 1 -- Fort Boyard

Partie I -- Observation du Fort

Avant de se lancer à l'assaut du Fort, les candidats l'observent depuis l'Île 
d'Aix à l'aide de
jumelles, sommairement modélisées par une paire de lunettes de Galilée. Chaque 
lunette com-
prend deux lentilles, l'une plan convexe, l'autre plan concave.

Q1. Rappeler les lois de Snell-Descartes relatives à la réfraction, au moyen 
d'un schéma fai-
sant apparaître les grandeurs utiles.

Q2. La figure 2 représente les lentilles plan convexe et plan concave, taillées 
dans un verre
d'indice optique n > 1 et plongées dans l'air d'indice optique n,;,; = 1. 
Recopier la figure
et tracer qualitativement le suivi des rayons au travers du dioptre air/verre, 
puis du dioptre
verre/air. Bien qu'aucun calcul ne soit attendu, détailler la démarche adoptée 
en utilisant
la réponse à la question Q1.

YN NY
YN NN

Figure 2 -- Lentilles plan convexe (1) et plan concave (2)

Q3. En déduire la nature, convergente ou divergente, de chaque lentille.

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Dans la suite, les lentilles sont supposées minces et utilisées dans les 
conditions de Gauss.
Chaque lunette de Galilée est composée d'une lentille (L;) de distance focale 
f,/ > 0 constituant
l'objectif de la lunette, et d'une lentille (L;) de distance focale f, < 0, telle que |f,| < f;, constituant loculaire (voir figure 3). On note respectivement O;, F; et F' le centre optique, le foyer principal objet et le foyer principal image de l'objectif. De même, on note respectivement O;, F; et F; le centre optique, le foyer principal objet et le foyer principal image de l'oculaire. ------ TE 0; Os Axe optique (L1) (Li) Figure 3 -- Schéma optique de la lunette de Galilée La lunette est réglée de façon à donner une image à l'infini d'un objet à l'infini, ce qui permet à l'observateur d'éviter toute fatigue. Dans ces conditions, la lunette est dite afocale. Q4. Préciser et justifier la position relative des foyers des lentilles. En déduire l'encombrement { = 0,0, en fonction de f; et de |f;|. Q5. Recopier le schéma de la figure 3 et poursuivre le tracé des rayons incidents parallèles faisant un angle « avec l'axe optique et émergeant sous un angle a" avec l'axe optique. Q6. L'image du Fort à travers les jumelles apparaït-elle droite ou renversée par rapport au Fort observé à l'oeil nu ? Justifier. Q7. En se plaçant dans les conditions de Gauss, les angles « et a' sont petits ; déterminer l'expression du grossissement de la lunette G = a' /a en fonction de f; et de |f;|. Q8. Compte tenu des valeurs de grossissement et d'encombrement précisées en fin de partie, calculer la valeur des distances focales f, et j;. On observe le Fort, de hauteur h, depuis l'Île d'Aix située à une distance d. Q9. Sous quel angle le Fort est-il observé à l'oeil nu ? Sous quel angle est-il observé à travers les jumelles ? Vérifier la validité des conditions de Gauss. Données pour la partie | Hauteur du Fort Boyard : h = 20 m Distance Île d'Aix-Fort Boyard : d = 3,0 km Caractéristiques de la lunette de Galilée : - grossissement : G = 20 - encombrement : £ = 25 cm 3/12 Partie Il -- Mesure du temps : la clepsydre Figure 4 -- Clepsydre Les candidats réalisent des épreuves en durée limitée, mesurée à l'aide d'une clepsydre. Utilisée depuis l'Antiquité, la clepsydre est une horloge reposant sur la vidange d'un récipient contenant de l'eau colorée qui s'écoule à travers un petit orifice sous l'effet de la gravité. On considère tout d'abord un écoulement d'eau dans un récipient cylindrique, percé d'un orifice en z = 0 et placé dans l'air atmosphérique à pression P, (voir figure 5, à gauche). On note S la section du cylindre, s « S la section de l'orifice, A(r) la hauteur d'eau dans le récipient à l'instant 7, p la masse volumique de l'eau, g l'accélération de la pesanteur, V(r) la vitesse de l'interface eau/air dans le cylindre et v(r) la vitesse de l'eau s'écoulant à travers l'orifice. Figure 5 -- À gauche : vidange d'un récipient cylindrique. À droite : schéma de la clepsydre Q10. Rappeler la relation de Bernoulli ainsi que ses conditions d'application. On suppose ces conditions remplies dans la suite. Q11. En exploitant l'hypothèse s EUR S', établir l'expression de v(r) en fonction de £ et de A(?). Q12. L'écoulement étant supposé incompressible, en déduire l'expression de V(r) en fonction de S, s, g et de (tr). Préciser qualitativement le sens d'évolution de V(r) lors de la vidange. On attend d'une horloge à eau que le niveau d'eau baisse à vitesse constante dans le récipient, malgré la diminution du débit dans le temps. On souhaite adapter la forme du récipient afin de Satisfaire cette condition (voir figure 5, à droite). Le profil de la clepsydre, à symétrie de révolution, s'écrit : Vz>0,  r(2=Kz" avec  K>0 et neN'. (1)

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Q13. En supposant que l'expression de v(r) obtenue à la question Q11 reste 
valable, montrer
que l'évolution de (fr) est régie par l'équation différentielle :

dh _ sÿ2g Vh

dt _xK2 h2"°

(2)

Q14. Sans chercher à résoudre cette équation différentielle, déterminer la 
valeur de l'entier n
en imposant que dh/df ne dépende pas du temps. En déduire l'unité de K.

Q15. Trouver la valeur de K permettant d'assurer une vitesse constante |dh/dr| 
= 1,0 mm:s"".

Données pour la partie Il

Accélération de la pesanteur : g =9,8m:s 7°
Section de l'orifice : s = 1,0 cm'

Partie III --- L'épreuve de la cloche

Parmi les épreuves soumises aux candidats, on s'intéresse à l'épreuve de la 
cloche. Le candidat
est attaché debout sur un trapèze, ce dernier faisant initialement un angle de 
20° par rapport à la
verticale. Celui-ci est lâché sans vitesse initiale et décrit un mouvement 
oscillant. Ses équipiers
vont alors tirer sur une corde pour donner de plus en plus d'amplitude au 
trapèze, tout comme s'ils
sonnaient une cloche. Le candidat malmené pourra attraper l'indice qui se 
trouve suspendu en
hauteur à condition que l'amplitude des oscillations soit suffisante. Pour une 
efficacité maximale,
la technique consiste à tirer sur la corde lorsque le trapèze est à son point 
le plus haut afin d'en
augmenter l'amplitude à chaque oscillation.

Figure 6 -- Épreuve de la cloche

On étudie tout d'abord le mouvement du système {candidat+trapèze}, sans 
l'intervention des
coéquipiers, effectuant des oscillations libres. On modélise la situation par 
un pendule simple
ponctuel M de masse m, attaché à l'extrémité d'un fil souple de masse 
négligeable, inextensible
de longueur £{, et dont l'autre extrémité O est fixe, plongé dans le champ de 
pesanteur £ = gù,
(voir figure 7). Dans le référentiel terrestre À supposé galiléen, le mouvement 
du point M est
plan, sa position étant repérée par l'angle 4. On nédglige tout frottement. À 
l'instant initial = 0, le
pendule est écarté d'un angle &, et lâché sans vitesse : (1 = 0) = 0.

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 0. On rappelle la loi de Fick, 
reliant le vecteur
densité de courant volumique de molécules de fluorescéine j'à leur 
concentration volumique C :

. ----
J= -D gradC. (6)

eau pure (C'=0
Q Leu pure (C0)

eau colorée (C= Ci)

T\

Figure 11 -- Schéma de la situation à l'instant 1 = 0

Q27. Établir l'équation de diffusion aux dérivées partielles satisfaite par 
C(x, r), pour x e R.

On admet que la solution de cette équation est de la forme :

s x
C(x;,)=A+B [ e* ds avec U = (7)
0 V4Dft

Q28. En exploitant les conditions initiales et l'intégrale de Gauss donnée en 
fin de partie, déter-
miner les constantes À et B en fonction de C,. Que vaut C(0, r) pour rt > 0°?

Q29. Comment relie-t-on simplement y et s? En utilisant la durée typique fr du 
phénomène
de diffusion, dont on rappellera l'expression, prévoir l'influence du débit sur 
la longueur
observable de mélange des deux fluides sur la figure 10.

Données pour la partie IV

Intégrale de Gauss :

0 +00
[ e* ds = [ eds = Y (8)
--09 0 2

Propriétés physiques de l'eau :
- Masse volumique : p = 1,0: 10° kg :m°
- Viscosité dynamique : 7 = 1,0:107*Pa:s

3

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Partie V --- Explosion de la cartouche

Figure 12 -- Cartouches

En fin de partie, les candidats doivent remporter des cartouches en gagnant des 
épreuves. Une
cartouche est constituée d'un tube percé en cuivre contenant une feuille de 
papier sur laquelle
est écrit un indice. Si les candidats ne parviennent pas à récupérer la 
cartouche dans le temps
imparti, elle « explose », détruisant définitivement le papier et le fameux 
indice. Pour la mise en
scène de l'explosion, la cartouche est reliée à un contacteur qui permet 
d'envoyer une minuscule
décharge électrique à distance, provoquant une étincelle qui enflamme 
instantanément le papier.

On propose de comprendre le principe de fonctionnement du contacteur sur le 
modèle simplifié
du contacteur électromagnétique en translation représenté sur la figure 13. Ün 
circuit magnétique
de section constante S est constitué d'un milieu ferromagnétique linéaire doux 
de splitéabilité
magnétique relative u.. On note x, la splitéabilité magnétique du vide. La 
longueur moyenne
du noyau est notée £ et celle de l'entrefer x. On enroule autour de la partie 
statique du noyau N
spires parcourues par un courant d'intensité 7 constante. La partie mobile du 
noyau est reliée à
un ressort.

ES
N = d
spires FMMW EL
T |. | r
TT ns L

O Ur

Figure 13 -- Schéma du contacteur électromagnétique en translation

Q30. Rappeler la définition d'un milieu ferromagnétique linéaire doux. Donner 
la relation entre
les vecteurs À et À au sein d'un tel milieu.

Q31. En détaillant les étapes et hypothèses de votre raisonnement, montrer que 
le champ ma-
gnétique dans l'entrefer s'écrit :

_ Hor NI

L+ux

B(x) (9)

Q32. Définir l'énergie magnétique &m(x) du système {noyau+entrefer} comme la 
somme de
deux intégrales volumiques exprimées en fonction de B(x), puis la calculer en 
fonction des
paramètres du problème.

Q33. On rappelle que la partie mobile du noyau est soumise à la force :

+ _ [Em |
F -- Fe ü,. (10)
I

... = À . \ \ .
Expliciter F en fonction des paramètres du problème, puis commenter son sens.

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Partie VI- Composition chimique du gong

Figure 14 -- Gong

Le gong de Fort Boyard permet de matérialiser le temps de l'aventure. Le gong 
désigne une
variété d'instruments de musique de percussion en métal, originaires de l'Asie 
du Sud-Est. Sa
sonorité est, entre autres, liée au matériau utilisé pour sa fabrication : le 
bronze, alliage de cuivre
Cu et d'étain Sn. Cette sonorité dépend du pourcentage d'étain constituant le 
bronze. Le cuivre
pur cristallise dans le système cubique à faces centrées.

Q34. Représenter la maille conventionnelle, puis déterminer le nombre d'atomes 
de cuivre par
maille. En adoptant le modèle des sphères dures indéformables, expliciter la 
relation entre
le paramètre de maille a et le rayon métallique Rcu.

Q35. Exprimer la masse volumique du cuivre p en fonction des données, puis 
calculer sa valeur.

Q36. Repérer, puis dénombrer les sites octaédriques dans cette structure. 
Évaluer numérique-
ment le rayon maximal R, d'un atome étranger pouvant occuper un tel site.

Q37. Le bronze est-il un alliage d'insertion ou de substitution ? Justifier.

On propose un protocole expérimental permettant de mesurer le pourcentage 
massique d''étain
du bronze constituant le gong. On plonge un échantillon du gong de masse m = 
3,00 g dans
une solution aqueuse d'acide chlorhydrique (Hop: Clg), de volume V = 0,5 L et 
de concentra-
tion molaire C = 0,1 mol : L'_'. Un gaz se dégage; son volume est mesuré grâce 
à un tube à

dégagement introduit dans une éprouvette graduée remplie d'eau.

La figure 15 représente le diagramme E-pH de l'étain, tracé à 25 °C pour une 
concentration totale
en espèces dissoutes cr = 10° mol-L""". Il fait intervenir les espèces SnO;,,,, 
Sn, Sn, Sn,
SO et HSNO; 0

Q38. Calculer le nombre d'oxydation de l'élément Sn dans les différentes 
espèces, puis attri-
buer à chacune d'elles son domaine d'existence ou de prédominance indiqué en 
chiffres
romains dans le diagramme E-pH.

Q39. En utilisant le diagramme et la valeur de cr, estimer la valeur du 
potentiel standard du
couple Sn/Sn(s: Comparer à la valeur donnée en fin de partie.

On superpose au diagramme E-pH de l'étain celui de l'eau, en traits pointillés 
(voir figure 15),
tracé à 25 °C pour une pression totale en espèces gazeuses Pr = I bar.

Q40. Que peut-on dire des domaines de stabilité de Sn,,, et H:0,,, ? En déduire 
l'équation de
la réaction qui va se produire si on introduit un morceau d'étain Sn,, dans une 
solution
aqueuse très acide et identifier le gaz qui s'en échappe.

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FE (V) &

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Figure 15 -- Diagramme E-pH de l'étain

Par un raisonnement équivalent, on admet que l'introduction d'un morceau de 
cuivre Cu,, dans
une solution aqueuse très acide ne provoque aucune transformation chimique : le 
cuivre solide
est stable dans l'eau en milieu acide.

Q41. Exprimer le volume molaire V, d'un gaz supposé parfait en fonction de sa 
température T
et de sa pression P. Calculer numériquement V,, à T = 293 K et P = 1,013 bar.

Q42. En appliquant le protocole proposé, on mesure en fin d'expérience un 
volume de gaz
dégagé V; = 153 mL. En détaillant votre raisonnement, déterminer la masse 
d'étain msn
dans l'échantillon de bronze étudié, puis son pourcentage massique d'étain wsn.

Données pour la partie VI

Nombre d'Avogadro : NA = 6,02 : 107 mol !
Constante des gaz parfaits : R = 8,314 J.K°':mol !
Propriétés atomiques :

Élément Cu | Sn
Rayon métallique (pm) 128 151
Masse molaire (g - mol-") | 63,5 | 118,7

Potentiels standard :

Snéo/Sns O9/F0 (0 H£o/H2()
E°(V) | 0,137 1, 23 0

FIN

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NATIONALE - 241110 - D'après documents fournis

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