e3a Physique et Modélisation PSI 2015

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Centrale à charbon (West Thurrock -- Angleterre) %-

OE-I
Centrale nucléaire (Canada) "ÊOE
Centrale géothermique (Lardereflo -- Italie) "__

FIGURE 2 -- Rendements de certaines installations électriques.

B / Origine des résistances thermiques

Le cycle précédent présente un rendement optimal, le rendement de Camot. 
Cependant,
la propriété principale d'un moteur n'est pas son rendement, mais sa puissance 
maæimale :
pour cela, on diminue volontairement la température associée au contact avec la 
source
chaude de T': à Tc' < Tc. Se plaçant dans le cas pratique d'un fluide caloporteur circulant dans une conduite cylindrique en contact avec la source chaude, on étudie les transferts thermiques mis en jeu. Une conduite cylindrique de cuivre de conductivité thermique A a un rayon extérieur T2 en contact avec le milieu environnant à Tc et un rayon intérieur n en contact avec le fluide à T2. La longueur L du cylindre sera considérée comme très grande devant les autres longueurs du problème. On s'intéresse aux transferts thermiques entre l'intérieur et l'extérieur de la conduite pour évaluer la perte d'énergie thermique due au processus de diffusion, on note (r, 0, 2) les coordonnées cylindriques d'un point, (EUR,-, êg, à)) les vecteurs unitaires correspondants et on se place en régime permanent. BL Rappeler la loi de Fourier reliant le vecteur densité de courant thermique 5} et la température T en précisant l'unité de chaque grandeur présente. Donner un ordre de grandeur des conductivités thermiques de l'eau et du béton. _ Schématiser la géométrie du problème. Justifier que jà(r, 9, z) : jq(r)ê;. _ On note J.,(r) le flux thermique total à travers la surface latérale du cylindre d'axe (Oz), de rayon r et de longueur L. Exprimer J.,(r) en fonction de j.,(r), r et L. _ Justifier que le flux Jq(r) est indépendant de r. En déduire que jq(r) = A/r avec A une constante à déterminer en fonction de Jq. |æ |æ lE _ En déduire l'expression de la différence de température T,; -- Tc. _ Rappeler la définition de la résistance thermique. Donner son unité. Quelle ana-- logie peut--on faire avec l'électrocinétique et sous quelle(s) condition(s) est--elle valide ? _ Déterminer l'expression de la résistance thermique R... de la conduite cylin-- drique. I% !g w 4 C / Rendement à puissance maximale Les résistances thermiques étant décrites, on s'intéresse au fonctionnement général de la machine thermique. Ce travail, réalisé dans la seconde moitié du XX" siècle par F. L. CURZON et B. AHLBORN, a rencontré un fort succès eta depuis été adapté à de nombreuses situations. On présente une version simplifiée des travaux initiaux, le résultat clef étant conservé. On considère le cycle thermodynamique suivant : 0 Une transformation adiabatique menant le fluide de T; à T; ; o une transformation isotherme à. T] associée à. un transfert thermique Q f avec la source froide de température T; ; o une transformation adiabaüque menant le fluide de T; à Té; . une transformation isotherme à Tc', associée à un transfert thermique 62° avec la source chaude de température Tc. On note sa durée Atc et la résistance thermique associée Rth- Toutes les transformations du fluide sont supposées réversibles et la durée totale du cycle est notée At... : aAt... où a est une constante. Le schéma de la figure 3 résume la situation. Rth Qc Qf M---- FIGURE 3 -- Prise en compte d'une résistance thermique. 1_ Exprimer le transfert thermique Qc en fonction notamment de la résistance thermique Rth et de la durée Atc. , Écrire les premier et second principes de la. thermodynamique pour le fluide considéré. O |8 _ À l'aide des questions précédentes, exprimer la puissanoe moyenne fournie par la machine thermique P,... dans un premier temps en fonction de W et At...; puis dans un second temps en fonction de Rth, a ainsi que des différentes tem-- pératures mises en jeu. |8 C4_ Quelle doit être la valeur de T,; pour un fonctionnement à puissance maximale? , Exprimer le rendement dans ces conditions en fonction de T': et T;, puis l'évaluer pour les installations industrielles de la figure 2. Commenter. 9 \ , La machine thermique dans son ensemble ne fonctionne pas de manière réver-- sible. Proposer des sources d'irréversibüité à considérer lors d'une utilisation pratique. IS? RENDEMENT THERMODYNAMIQUE DES PILES (m1h20) Les réactions de combustions sont principalement utilisées dans les moteurs à explosion. Cependant, elles peuvent aussi produire de la lumière, comme le montrent les couleurs bleues des flammes {issues de la reoembtnoisons de radicauæ), ou encore de l'électricité via des réactions électrochimiques. C'est à cette dernière forme de transformation d 'éneryz'e que l 'on s'intéresse ici, en étudiant un équivalent pour les piles du rendement d'un moteur thermique. On s'intéresse à un système 8 siège d'une réaction chimique et on définit le rendement thermodynamique par 17 : W,',.../Q, où : . --Q est le transfert thermique fourni au milieu extérieur lorsqu'aucun travail élec-- trique n'est tiré de la réaction. Q est, dans ces conditions, le transfert thermique algébrique reçu par le système 8 ; . --W{nax est le travail électrique maximal fourni au milieu extérieur lorsqu'un travail électrique est tiré de la réaction. W,'mm est le travail électrique algébriquement reçu par 8 . ' On s'intéressera successivement à l'évaluation de ces différents termes en s'appuyant sur la réaction de combustion de l'hydrogène, puis on discutera le sens physique du rendement thermodynamique. D / Expression du transfert thermique On modélise l'évolution chimique du système lors de la combustion de l'hydrogène par la réaction suivante : 1 Hm) + 502... _) H20(g) Cette réaction a lieu à l'air libre de température To = 300 K et de pression Po et on note { son avancement. D1_ Dans quel but cette réaction peut--elle être utilisée en travaux pratiques? D2_ Citer une application industrielle la mettant en jeu. _ Rappeler la définition d'une grandeur de réaction et de l'enthalpie H. _ Estimer numériquement ArH ° à. partir des énergies de liaison fournies. A,H° sera par la suite supposé indépendant de la température. _ Établir que Q : EURA,H ° dans le cas présent. _ Dans quelle(s) condition(s) la température atteignable au cours de cette com-- bustion (la température de flamme) est--elle maximale? le |æ le le le _ Déterminer dans ce cas la valeur de cette température maximale. On se placera dans le cas d'un milieu contenant uniquement du dihydrogène et du dioxygène en proportions stoechiométriques et on détaillera avec soin le raisonnement utilisé. E / Expression du travail électrique 11 est possible de générer un travail électrique via cette réaction chimique en séparant spatialement les deux réactifs : on parle de pile à combustible Une membrane échangeuse de protons mais de résistance électrique élevée sépare alors l'anode de la cathode, où ont lieu des réactions d'oxydo-réduction différentes menant au même bilan global que précédemment. L'évolution est supposée isobare (à pression Po) et isotherme (à température To : 300 K). _ Le dihydrogène joue--t-il le rôle d'oxydant ou de réducteur? Écrire la demi-- équation d'oxydoréduction associée. _ Le dioxygène joue--t--il le rôle d'oxydant ou de réducteur ? Écrire la demi--équation d'oxydoréduction associée. _ Quelle est la. définition d'un potentiel thermodynamique et de l'enthalpie libre G ? _ Sous quelle condition l'enthalpie libre est--elle un potentiel thermodynamique? Quelle contrainte cela impose--t--il sur le signe de A,G dans le cas présent ? IË !% % IË Pour la suite de l'étude, on se placera dans les conditions standard. E5. En partant des premier et second principes de la thermodynamique, montrer que le travail électrique maximal fourni par la pile ----W,Çmx vaut --£A,G° . À quel cas correspond la limite W' : W,'mm ? On donne A...S'° : --163 J .K"1.mol"l. Justifier le signe de cette quantité. Évaluer numériquement le travail maximal fourni par la réaction d'une mole de dihydrogène. lÈ--'3 lî'z lä Les contraintes environnementale: actuelles ont entraîné le développement de la filière hydrogène : on remarque que la combustion étudiée ici ne génère pas de dioxyde de carbone. Eg_ Comment est-il possible de synthétiser du dihydrogène de manière « verte », c'est--à--dire notament sans produire de dioxyde de carbone ? E10. Quelle est la principale limite à. son utilisation massive comme vecteur d'énergie ? F / Rendement thermodynamique Dans cette partie, comme dans la fin de la précédente, nous travaillons dans les condi-- tions standard. F1. Quefle(s) analogie(s) et difiérence(s) existe--t--il entre la définition du rendement thermodynamique pour une pile et pour une machine thermique ditherme ? F2. Exprimer le rendement thermodynamique à partir des grandeurs de réaction standard relatives à l'enthalpie et l'entropie et l'évaluer numériquement dans le cas de la réaction étudiée. F3. Dans les situations proposées suivantes, déterminer si la réaction chimique est thermodynamiquement possible, auquel cas donner une limite inférieure au ren-- dement thermodynamique : 1.A,H>OetA,SO.

Pour certaines piles, notamment les piles de concentration, la réaction 
associée est, en
l'absence de travail autre que celui des forces de pression, athermique.

F4. Y a--t--il transformation d'énergie de liaison en travail électrique lors 
du fonc--
tionnement d'une telle pile ?

Évaluer dans ce cas la variation d'enthalpie AH au cours de la transformation :
d'où provient l'énergie électrique débitée par la pile?
Peut--on parler de rendement thermodynamique dans ce cas ?

En conclusion, le rendement thermodynamique pour une pile est--t--il associé à
des contraintes similaires à celui d'un moteur ditherme? Quel peut--être son
intérêt pratique ?

|?" |? |?

SECONDE PARTIE
Conversion d'énergie électrostatique

par les phénomènes atmosphériques et

nucléaires

L'utilisation des phénomènes électriques comme ressource énergétique peut être 
envisa-
gée dans deux domaines très difiérents de la physique dont nous cherchons à 
évaluer les
ordres de grandeur. D'une part, lors des orages, ou suite aux travaux pionniers 
de Ben--
jamin Franklin le lien entre électricité et foudre a été démontré. D'autre part 
en physique
nucléaire, où le moteur d'une réaction de fission est essentiellement 
électrostatique.

ÉNERGIE DES ÉCLAIRS (...30 min)

Document 1. Panorama de la physique, Édition Belin, 2007 :
On est souvent étonné d'apprendre l'existence d'un champ électrique permanent 
dans l'at--
mosphère. Entre la haute atmosphère, vers 50 km, et la surface terrestre, la 
différence de
potentiel est de 300 kV. [...] Quel est le générateur capable de maintenir 300 
kV entre la
surface et l'électrosphère malgré [l'existenoe d'un] courant de fuite ? Il a. 
fallu attendre 1920
pour que C.T.R Wilson, prix Nobel de physique, l'identifie. Il s'agit des 
nuages, très déve--
loppés pendant un orage, les cumulom'mbus, qui sont chargés positivement dans 
leur partie
haute et froide, et négativement dans leur partie basse et chaude. Ces charges 
électriques
apparaissent en même temps que les chutes de grêle, signe que leur formation 
est liée à. ces
précipitations. [.] Lors du développement du nuage, la charge électrique de sa 
base induit
une forte différence de potentiel avec le sol. Dès que [le champ électrique] 
atteint quelques
300 kV.m"', valeur inférieure au [champ] de claquage de l'air (2 MV.m_l), une 
décharge
apparaît.

Document 2. Atmosphère, océan et climat, Édition Belin, 2007 :
Description d'un cumtflonünbus
-- Hauteur basse : 400 m à 1 km
-- Epaisseur : Plusieurs km
-- Composition : liquide et glace
-- Précipitations : Forte pluie, parfois grêle
-- Aspect : Nuage dense à extension verticale considérable se développent à 
partir de

cumulus congætus. Sa partie supérieure s'étale souvent en forme d'enclume. C'est
le nuage d'orage.

Document 3. Donnée issue de Météo--France :
Nombre moyen d'impacts de foudre au sol par km2 et par an : en France 
intérieure, varie
suivant les régions entre 1 et. 2.

Document 4. La vie du rail - Hors série -- Le TGV Nord Europe, 1993 :
Fiche technique du TGV Réseau

-- Vitesse maximale en service commercial : 300 km.h"1

-- Puissance aux arbres des moteurs de traction sous 25 kV : 8800 kW
-- Puissance aux arbres des moteurs de traction sous l, 5 kV : 3 680 kW
-- Puissance unitaire des moteurs de traction : 1 100 kW
-- Nombre de moteurs de traction : 8

G / Résolution de problème

1_ Combien de temps pourrait--on faire avancer un TGV en récupérant durant un
au toute l'énergie issue des éclairs frappant une grande ville française ?

Cette résolution de problème devra présenter de manière claire une démarche 
scientifique
détaillée et basée, d'une part sur les documents fournis, et d'autre part sur 
les connaissances
du candidat. Toute tentative de réponse pertinente, même incomplète, sera prise 
en compte
lors de la notation.

ÉNERGIE D'UN NOYAU (N4o min)

La filière nucléaire représente actuellement près de 75% de l'énergie 
électrique produite
en France Bien que la physique mise enjeu lors d'une réaction de fission puisse 
s'avérer très
complexe, une modélisation simple du noyau sufi'it pour saisir l'essentiel du 
problème : on
parle du « modèle de la goutte liquide ». Nous nous intéressons uniquement à sa 
composante
électrostatique pour retrouver l'ordre de grandeur de l'énergie libérée par une 
réaction de

fission.

Le noyau atomique est modélisé par une boule de rayon R uniformément chargée en 
volume
et on note p la. densité volumique de charge électrique.

H / Champ électrostatique

Nous utilisons les coordonnées sphériques (r, 9, gb), où le centre du noyau 
constitue l'origine
0 du repère.
Æ: Lister les invariances de la distribution volumique de charge. Qu'en 
déduit--on

pour le champ électrostatique?

H2, Par l'utilisation de symétries, montrer que le champ créé en un point M à 
une
distance r du centre 0 peut s'écrire Ë(M ) : E(r)Î,.

H3_ Déterminer ce champ en un point M à. l'extérieur du noyau (r > R).

H4_ Déterminer ce champ en un point M à l'intérieur du noyau (r 5 R).

I / Énergie électrostatique

Il, Rappeler l'expression de la densité volumique d'énergie liée au champ 
électrique.

12 Montrer que dans le cas présent, l'énergie électrostatique totale 8 peut 
s'écrire
comme la somme de deux intégrales, portant respectivement sur l'intérieur et
l'extérieur du noyau.

13_ En déduire que
_ Q2
8 :
fl47OE'0R
où Q est la charge totale du noyau et B un coeflîcient numérique de l'ordre de
l'unité à. déterminer.

J / Réaction de fission

De nombreuses réactions de fission difl'érentes mettant en jeu l'uranium 235 se 
passent au
sein d'un réacteur nucléaire. Nous nous intéressons à l'une d'entre elles, dont 
le bilan est :

ËÊ5U+ân-->5Ê1Ba+sKr+3ân.

Cette réaction libère une énergie de l'ordre de 200 MeV. Les données situées 
àla fin du sujet
comprennent la constante de Coulomb ainsi que la densité volumique de nucléons 
dans le
noyau.

Quels noyaux peuvent être concernés par une réaction de fission ?

Évaluer le rayon R des difiérents noyaux impliqués.

mum
FF!"

En déduire l'énergie électrostatique libérée lors de la réaction de fission et 
com--
parer sa valeur à celle annoncée.

Cette approche permet--elle d'expliquer le phénomène de fusion nucléaire ?

L|
!.»

DONNÉES

. Énergies de liaison :
-- «DH--H = 436 kJ.mol"1
-- DO=O = 498 k.].moY1
-- DH_0 = 463 kJ.mol"l
. Capacités thermiques molaires à pression constante, supposées indépendantes 
de la
température :
-- Cp,m(H20(g)) = 34 J.K"1.mol_l.
-- ,...(H2oe) = CP,...(02(9,) = 29 J.K--l.mol--l.
. Gradient et divergence en coordonnées cylindriques :

3f4 lôfë. ôfs
gäf='ä--EURf+ 'I'ôÛe a+ô--ez.

lao--A,) 16A,, aA,
d"X= ,» a,-- +?Ê+ ôz'

. Constante de Coulomb : (41rcm)'1 = 9 - 109 N.m'l.C_2.
. Densité volumique de nucléons dans le noyau : u = 0,14fm'3.

Fin de l'épreuve