Mines Physique 1 PSI 2004

ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE
ÉCOLE POLYTECI--INIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PSI
(Durée de l'épreuve : 3 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé)

Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, 
TPE-EIVP

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparenté sur la première page 
de la copie :
Physique 1 -- Filière PSI

L'énonce' de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PSI, 
comporte 6 pages.

Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale 
sur sa copie et poursuit
sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à 
prendre.

Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera 
pertinent. Le barème tiendra
compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.

Notations : Les vecteurs sont notés en gras : A ; vecteur unitaire ---> â. 
Norme de A : "A"

QUELQUES ASPECTS DE PHÉNOMÈNES INTERVENANT
DANS LE FONCTIONNEMENT DU CORPS HUMAIN

Le fonctionnement des organismes vivants met en jeu des phénomènes physiques et 
biochi-
miques complexes. L'étude de ces phénomènes a donné naissance à la biophysique. 
On
aborde dans ce problème une modélisation simplifiée de certains phénomè nes 
physiques mis
en jeu dans la dynamique du corps humain et dans certaines techniques 
exploratoires.

Le problème comporte deux parties indépendantes.

Partie I : quelques aspects de la circulation sanguine

Le sang joue un rôle moteur dans le transport de l'oxygène et des nutriments 
vers les organes du corps
et le transport des déchets produits par ces organes vers des organes 
spécialisés dans le traitement des
déchets. Le coeur joue le rôle d'une pompe faisant circuler le sang vers les 
organes. Le sang arrive en
contact avec les organes en passant par des artères, puis des artérioles et 
finalement des capillaires. Il
revient au coeur en partant des capillaires, transitant par les veinules pour 
aboutir aux veines.

Le sang est un fluide visqueux, considéré comme incompressible. Les notations 
étant stan-
dard (la masse volumique est notée p et le coefficient de viscosité dynamique 
est noté n),
l'équation de Navier--Stokes, donnée ci--dessous, est une forme du théorème de 
la résultante
dynamique, appliqué à une particule de fluide :

ÊV-+p v.grad v=--grad p +pg+nAv.
Pa

Toujours avec les notations standard, voici des relations utiles d'analyse 
vectorielle, pour des

phénomènes à symétrie cylindrique (-- = ) :

89
à A,. 1 2
grad(f)=äf'+äî, div(A)=l r aAZ ----È( %) âf_

Ôr âz r âr +--â?' --râr

Cl 1 -- Quelle est votre estimation du volume sanguin d'un adulte '? Définir 
les termes sui-
vants : particule fluide, fluide incompressible, écoulement incompressible, 
écoulement lami--
naire, écoulement turbulent, nombre de Reynolds R, ; préciser la nature de 
l'écoulement

(laminaire ou turbulent) selon la valeur de R,, comparée au
nombre de Reynolds critique Rec = 2000.

D 2 -- On modélise l'écoulement (supposé stationnaire) du sang
dans un tuyau cylindrique d'axe Oz par un champ de vitesses de
la forme V : vz(r, 9,z)î. Montrer que le champ des vitesses ne

dépend que de la variable r.

Cl 3 -- On néglige l'effet de la pesanteur. Montrer, à partir de l'équation de 
Navier--Stokes,
que la pression p ne dépend que de z , puis que les équations différentielles 
vérifiées par les

d}? 1 d (Ïd»u(r)) k

champs de pression et de vitesse sont, respectivement, ---- = k et ---- = -- , 
où
dz r d r d r 7]

k est une constante.

Cl 4 -- Le tuyau cylindrique est rigide, horizontal, de longueur L et de rayon 
R. On note les
pressions moyennes aux sections d'entrée et de sortie du tuyau par p(0)= p,, 
p(L)= p,...

Exprimer k en fonction de ces données. Déterminer v:(r) , compte--tenu de la 
condition à la
nmæv4m=q

Cl 5 -- Exprimer le débit volumique Q en fonction de Ap : p, --- p,, R, L et n 
; en déduire

A . . . .
la loi de Hagen--Poiseuille, Q= ÎP , en exprimant la ré51stance hydraulique R,, 
en fonction
h
de R, L et 1]. Déterminer par analyse dimensionnelle la dimension de R7 en 
fonction des
symboles M,L,T ayant respectivement les dimensions d'une masse, d'une longueur 
et d'un

temps.

D 6-- L'expérience donne la relation Q : A(p,---- p,)" où n est un exposant 
dépendant de

l'organe irrigué et A une constante dépendant de facteurs géométriques. Au vu de
l'expérience, quelles sont les hypothèses du modèle qui vous semblent les plus 
critiquables '?

Cl 7---- En utilisant la loi de Hagen--Poiseuille, déterminer (V:), vitesse 
moyenne de

l'écoulement du sang dans un capillaire où 1]: 4,5.10"3Pl, R=lO"5 m, L= 10_3m et
pe --p_,= 103 Pa. La masse volumique du sang étant p= l,05.103 kg.m"', 
déterminer la

nature, laminaire ou turbulente, de l'écoulement dans ce capillaire.

El8-- La vitesse moyenne du sang dans une artère où R=2mm etL= 10cm est
vm : 2,6 ms"1 . Calculer le débit volumique et le gradient de pression régnant 
dans l'artère.
Déterminer la nature, laminaire ou turbulente, de l'écoulement dans cette 
artère.

Cl 9 ---- La connaissance de la vitesse du sang est une aide au diagnostic. La 
mesure peut se
réaliser par vélocimétrie Doppler ultrasonore. Une sonde émet une onde 
périodique ultraso-

nore de célérité cz 1500 ms'1 dans le corps et de
fréquence f : 4MHZ . Un globule rouge, assimilé à

vf @ une sphère de rayon r= lOum, rétrodiffuse une
66'% """ partie de l'onde qu'il reçoit. Doit-- on tenir compte de
Récepteur la diffraction de l'onde ultrasonore par le globule

rouge '?

Cl 10 -- L'effet Doppler consiste en ce que la fréquence f ' d'une onde, perçue 
par un récep--
teur de vitesse v,, est différente de la fréquence f de cette onde, émise par 
un émetteur de

1--fl.cos< 10"5 m2 .s .Estimer le temps de diffusion d'une molécule d' oxygène par ce mécanisme, en convenant que c'est la somme du temps de diffu-- sion dans l'air (alvéole) et du temps de diffusion en milieu aqueux (capillaire). Montrer que l'échange d'air entre l'alvéole et le sang a maintenant le temps de s'établir. Cl 14 -- L'alimentation d'un organe en un nutriment transporté par le sang s'effectue par échange entre le sang et l'organe, à travers les parois des capillaires. Ces capillaires sont des tubes cylindriques de rayon R et de longueur L, joignant Sens de circulation du sang _ une artériole à une veinule. On note Cc(z) la concentra-- ---->
tion molaire ( mol.m"3) d'un nutriment dans le capillaire
î / l et C org (z) celle du nutriment dans l'organe à proximité de
M % la surface du capillaire. Le capillaire cède à l'organe le
Capillaire __, Oz nutriment avec une densité de courant molaire (flux sur--
? * facique) j=y C.(z)--C (z) où }! est un paramètre
% W , (EUR °? ). . ,
/ ' constant. Determmer la d1mensron de 7. On consrdere le
régime stationnaire ; effectuer le bilan de matière en
nutriment, exprimant l'équilibre dynamique des flux
entrant et sortant entre les tranches de cotes z et z+ dz et
en déduire l'équation vérifiée par Cc(z), en supposant
que le sang a une vitesse d'écoulement constante, vs. Cette équation fait 
intervenir la fonc-
tion C0,g (z)

Artériole ' Veinule

Cl 15 ---- On admet ici que Co,g(z)= K, une constante;
déterminer alors Cc(z) en fonction de K, C C(O) et de la

, . . RV _ '
dn(z) j dn(z+d Z) lonngueur caractenst1que L0-- 27/ . On consrdere que
. , , CC(L)--K
l'organe est correctement alimente Si 2 30%,
CC(O)--K

Sachant que vs =2,8 >< 10"3 ms", R = 10"5 m et L : lmm, déterminer la valeur maximale du coefficient y pour que la relation précédente soit satisfaite. PARTIE II : UNE TECHNIQUE EXPLORATOIRE (imagerie) Imagerie par onde ultrasonore Cl 16 -- On considère la pr0pagation isentropique et unidimensionnelle (axe Ox) d'une onde acoustique dans un milieu aqueux de masse volumique au repos #0. La célérité de l'onde est notée co. On pose aussi : ° P(x,t) : PO + p(x,t) , avec 15 pression à l'équilibre et p<< PO surpression acoustique, ' ,u(x,t)= ,u0 + ô,u(x,t) , avec #0 masse volumique à l'équilibre et 5u << #0 sa variation, ' v(x,t) << co, avec v vitesse vibratoire dans le milieu. La condition d'équilibre du milieu s'exprime par grad(H,) : ,uog . Montrer que, au premier ô'V ordre, l'équation d'Euler s'écrit [JO--î: gô,u--grad(p). Donner l'équation locale de _ _ 1 au . . , . conservation de la masse. Avec la relation 15 :_}:l-- -à-- , qui traduit le caractere isen- 0 p p=0 tropique de l'évolution du fluide, nous disposons maintenant de trois équations. E] 17 ---- Déterminer l'équation de propagation vérifiée par la surpression p. Donner l'expression de la célérité co en fonction de #0 et du coefficient de compressibilité isentro- pique %s du milieu. Dans toute la suite, nous négligerons d'une part gôu devant grad(p) d'autre part div(gôu) devant Ap. Que devient sous ces hypothèses l'équation de propaga-- tion vérifiée par la surpression p '? Cl 18 -- L'onde acoustique est supposée désormais sinusoïdale, de pulsation ca; on note res-- pectivement p... , 5um et v... les amplitudes maximales de la surpression, de la variation de masse volumique et de la vitesse vibratoire ; par exemple, p(x,t)= pm exp[j(kx -- an)] avec, comme déduit de l'équation de propagation, &) =cOk. Définir et déterminer l'expression de . _ Pl X, t ) l'mpédance acoustique complexe Z : v(x,t) . Cl 19 --- On rappelle que l'intensité est [ =(pv)£, la moyenne étant prise dans le temps. Exprimer [ en fonction de p,... #0 et co, et en fonction de pm et de Z . Exprimer "gäum " , "grad( p) " ; et en déduire l'expression de "_gli°äâ£(£%fi en 1 El 20 -- On donne [JO 2103 kg.m"3 ; dans les conditions de l'expérience, co =1470m.s-- ; fonction de g, a) et co. (0 l'intensité de l'onde est 1 : O,l>< 10"3 W.m--2, sa fréquence est f= ---- = 0,3 MHZ. On pren-- 272: dra enfin g x lOm.s "2 et 15 : 105 Pa. Évaluer numériquement llgôum ", "grad( p) " , ô'u'" , #0 v _ . , . . . % , --"l et XS ; vérifier au passage que deux de ces quantrtes sont identiques. Les hypothe- 0 Co ses de l'acoustique linéaire sont--elles satisfaites '? Cl 21 -- On modélise le pied par un os d'épaisseur -8 = 10 cm------> " 5 = 3,1 cm, d'impédance ZOS et dont les tissus mous
ont une impédance Zea" égale à celle de l'eau. On se

propose de mesurer la masse volumique de la matière
osseuse des os du pied à l'aide du dispositif suivant :

l'émetteur E émet une onde ultrasonore de fréquence
f ajustable et d'intensité IE ; le récepteur R récep--

tionne l'onde et en mesure, d'une part le temps de traversée dans le milieu 
intermédiaire,
d'autre part l'intensité IR. On néglige dans l'analyse tout phénomène de 
réflexion multiple.

Dans une première expérience, le milieu séparant E et R est aqueux ; le temps 
de traversée
de la distance EUR est [A. Dans une seconde expérience, on insère le pied entre 
E et R et on

mesure le temps de traversée tp. Exprimer la célérité CO,. de l'onde 
ultrasonore dans {la

matière osseuse en fonction de celle de l'eau ca..., de 5 et de T= tA --tP . 
Calculer numé--
1

riquement ca, pour c... = 1470 ms" et T =1,4us.

Cl 22 -- On admet ici, (ce n'est qu'un modèle) que, à la différence de la 
matière osseuse,
l'eau et les tissus mous n'atténuent pas l'onde. La diminution de l'intensité 
acoustique [(x)

dans la matière osseuse en fonction de x , épaisseur de matière osseuse 
parcourue par l'onde,
est exponentielle : [(x) : l(0)exp(--ax) , où a = Vf est un coefficient 
proportionnel à la fré-

quence f de l'onde ( V est une constante). Donner l'expression de l'intensité 
[R, en fonction
de [E, de Vf5 et du coefficient de transmission en énergie, T , entre le milieu 
aqueux et le

milieu osseux.

E] 23 ---- Une surface plane S fixe et perpendiculaire à un axe Ox sépare deux 
milieux homo-
gènes, d'impédances acoustiques respectives Z] et &. Une onde acoustique plane 
se pro-

page parallèlement à l'axe Ox et travers S sous incidence normale. Rappelons 
alors que le

. Z Z
coefficient de transmission en énergie de cette onde est T : Tl_,2 : T2_91 : 
4Î--J--J--Y .
Z1 + 22

Les résultats de mesure ci--dessous font intervenir une intensité de référence, 
[... qui ne joue
pas de rôle dans l'interprétation des données.

Déduire de ces dernières et des analyses précédentes la valeur numérique de la 
constante V.

lnl 80Ë83 88 80â57

.
: 3 9 9 a 9
10 a .

El 24 -- Calculer la masse volumique de la matière osseuse analysée, #05-- . 
Comparer .Uas- à la
masse volumique ,u1=2,0g.cm'3 pour un sujet sain. Le coefficient T étant connu 
à AT

1--A"_a_«;

près, estimer
,uOE AT

l'imprécision relative du résultat obtenu.

FIN DE L'ÉPREUVE