Mines Physique 1 PSI 2010

ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT­ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIERE MP)
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2010
PREMIERE EPREUVE DE PHYSIQUE
Filiere PSI
(Duree de l'epreuve: 3 heures)
L'usage de la calculatrice est autorise
Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM 
INT, TPE­EIVP

Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page 
de la copie :
PHYSIQUE I -- PSI.
L'enonce de cette epreuve comporte 6 pages.
­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une 
erreur d'enonce, il est invite a le
signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives qu'il aura ete
amene a prendre.
­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des 
considerations numeriques) qui vous
sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. 
La bareme tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie.

ELEMENTS D'ASTROPHYSIQUE
Ce probleme se propose d'etudier dans un premier temps la formation et 
l'evolution d'une etoile et
de s'interesser ensuite a differents objets celestes tels que les cometes, les 
pulsars et les exoplanetes.
Toutes les sous-parties sont independantes entre elles. Les donnees necessaires 
aux applications
numeriques sont rassemblees a la fin du sujet. Les vecteurs sont notes avec un 
chapeau s'ils sont
-
unitaires ub, avec une fleche 
v dans le cas general. Hormis i2 = -1, les nombres complexes sont
soulignes : z  C.

I. -- Etude physique des etoiles
Dans toute cette partie on considere qu'une etoile est une boule de masse M, de 
rayon R, de masse
volumique  supposee constante et entouree de vide.

I.A. -- Energie potentielle d'une etoile spherique, theoreme du viriel
1 -- On considere deux particules ponctuelles notees Q1 et Q2 de masses m1 et 
m2 separees par

-
une distance r. Donner l'expression la force d'interaction gravitationnelle f 
12 exercee par Q1 sur
---
Q2 . On utilisera le vecteur unitaire ub = Q1 Q2 /r. En deduire l'expression de 
l'energie potentielle de
gravitation E p associee a cette force en fonction de m1 , m2 , r et de la 
constante de gravitation G. On
fixera l'origine du potentiel de telle maniere que E p = 0 lorsque r  +.
On souhaite exprimer l'energie potentielle de gravitation d'une boule homogene 
de masse M, de
centre O, de rayon R et de masse volumique  supposee constante. Cette energie 
correspond a
l'energie de constitution de la boule en amenant successivement depuis l'infini 
des couches spheriques
concentriques d'epaisseur dr.

Elements d'astrophysique

2 -- On considere un etat intermediaire Br de la boule dans lequel elle possede 
un rayon r tel
que 0 < r < R et une masse mr telle que 0 < mr < M. Justifier le fait que l'interaction entre Br et un corps ponctuel massif K situe hors de Br est equivalente a celle entre une particule ponctuelle situee en O de masse mr et K . On ajoute a Br une couche spherique Cr de masse dm et d'epaisseur dr. Determiner l'energie potentielle de gravitation dE p entre Br et Cr . On exprimera dE p en fonction de r, dr et de  . En deduire que l'energie potentielle de gravitation de la boule de rayon R s'ecrit E p =  GM 2 /R ou  est une constante numerique que l'on determinera. On considere a present que l'etoile est constituee d'un gaz parfait , chaque particule de ce gaz etant un atome d'hydrogene d'energie cinetique ec = 32 kB T ou kB = R/N est la constante de Boltzmann, R est la constante des gaz parfaits et N le nombre d'Avogadro. La pression donnee par la loi des gaz parfaits est ici uniquement d'origine cinetique et on ne tient donc pas compte de la pression de radiation. Dans ce modele, la pression P et la temperature T sont des fonctions de la seule coordonnee radiale r, enfin le nombre de particules par unite de volume n est constant a l'interieur de l'etoile. On suppose de plus que l'etoile est entouree de vide, ainsi P (R) = 0. 3 -- Exprimer l'energie cinetique totale Ec des particules constituant l'etoile sous la forme d'une integrale faisant intervenir la pression P (r). En ecrivant l'equation d'equilibre hydrostatique, et en effectuant une integration par parties, montrer que l'on obtient la relation 2Ec =  E p ou  est un facteur numerique que l'on determinera. Cette relation constitue le theoreme du viriel, il est tres utilise en astrophysique pour decrire les proprietes d'objets tels que les etoiles ou les galaxies. I.B. -- Pression et temperature dans une etoile, reactions de fusion 4 -- En integrant l'equation d'equilibre hydrostatique, determiner la pression P (r) au sein de l'etoile en fonction de M, G, R et r. Pour quelle valeur de r cette pression est-elle maximale ? Exprimer cette valeur maximale Pmax en fonction de G, M et R ainsi que la temperature maximale Tmax correspondante en fonction de G, M, R, R et de la masse molaire de l'hydrogene MH . Calculer numeriquement Pmax et Tmax dans le cas du Soleil. 5 -- On considere qu'au sein de l'etoile, chaque atome d'hydrogene occupe une petit cube d'arete . Exprimer  en fonction de MH , N et  , en deduire une expression de R en fonction de MH , N , M et  . Montrer alors que l'on peut mettre la masse de l'etoile sous la forme : M = K( Tmax )3/2 (1) ou la constante K ne depend que de constantes fondamentales. Calculer la valeur numerique de K. Pendant une grande partie de leur existence, les etoiles tirent leur energie de reactions de fusion thermonucleaire entre des atomes d'hydrogene qui produisent des atomes d'helium. Pour que ces reactions puissent s'amorcer au centre de l'etoile, il faut que l'energie d'agitation thermique des atomes surpasse l'energie potentielle de repulsion coulombienne. La temperature qui regne au centre des etoiles permet de supposer que les atomes d'hydrogene qui fusionnent sont completement ionises. On considerera ici que l'energie d'agitation thermique d'un de ces atomes est egale a son energie cinetique ec = 23 kB T . 6 -- Determiner l'energie potentielle electrostatique d'interaction u pp entre deux protons separes d'une distance  , on fixera l'origine du potentiel de telle maniere que u pp = 0 lorsque   . En utilisant le resultat (1) de la question 5, determiner la valeur limite M de la masse de l'etoile pour que les reactions de fusion puissent avoir lieu. On exprimera M en fonction de K, kB ,  0 et de la charge elementaire e. Verifier que la masse du Soleil est bien suffisante pour permettre la fusion de l'hydrogene. L'homme a-t-il deja realise des reactions de fusion nucleaire ? Page 2/6 Physique I, annee 2010 -- filiere PSI FIN DE LA PARTIE I II. -- Quelques problemes d'astrophysique II.A. -- Orientation de la queue d'une comete Une particule spherique de rayon µ de masse volumique c situee dans l'espace interstellaire a la distance r du Soleil recoit de la part de cette etoile une energie  W pendant l'intervalle de temps - dt. Si l'on considere que toute cette energie est absorbee par la particule, celle-ci subit une force F radiale repulsive, due a la pression de radiation, dont le module s'ecrit F = 1c dtW ou c est la celerite de la lumiere dans le vide. 7 -- Determiner l'expression de F en fonction de µ , r, c et de la puissance PS emise par le Soleil. A quelle condition sur µ cette force est-elle superieure a la force de gravitation exercee par le Soleil sur la particule ? La valeur limite µ sera exprimee en fonction de PS , G, MS , c et c. Calculer la valeur numerique de µ pour une valeur de la masse volumique c = 3, 0 × 103 kg.m-3 . 8 -- Une comete est constituee d'un noyau, d'une chevelure et de plusieurs queues dont l'une, constituee de fines poussieres, est toujours situee a l'oppose du Soleil par rapport au noyau. Comment interpretez-vous ces observations ? II.B. -- Mesure de la distance d'un pulsar par la methode de dispersion Axe de rotation ma Axe gn éti que jet électromagnétique Étoile à neutron F IG . 1 ­ Schema d'un pulsar. Apres avoir consomme tout leur carburant nucleaire, la plupart des etoiles massives s'effondrent et forment une structure tres compacte composee de neutrons. On parle d'etoile a neutrons. La conservation du moment cinetique impose une rotation tres rapide a ce type d'etoile, de l'ordre d'un tour par seconde. La structure dipolaire du champ magnetique intense regnant autour des etoiles a neutrons, permet l'emission d'ondes electromagnetiques par les regions polaires du champ magnetique. Si l'axe de rotation de l'etoile a neutrons n'est pas aligne avec l'axe de symetrie du champ magnetique, on peut alors observer un pulsar (voir figure 1) depuis la Terre. Cette onde est associee a un champ electrique ~E dont la representation complexe ~ s'ecrit ~E = ~E0 ei( t-k.~r) ou ~E0 est un vecteur constant. Cette onde se propage dans le milieu interstellaire que nous assimilerons a un plasma homogene globalement neutre et constitue de N electrons par m3 et N ions par m3 libres de se deplacer. Les ions sont supposes immobiles et les electrons ne sont soumis qu'a la force imposee par le champ electromagnetique de l'onde emise par le pulsar. 9 -- Pourquoi cette onde est-elle recue sur Terre sous la forme d'un signal impulsionnel periodique ? Quelle est la frequence de ces impulsions ? 10 -- En appliquant le principe fondamental de la dynamique, ecrire l'equation verifiee par la - vitesse ve d'un electron du plasma interstellaire. Dans quelle condition la force magnetique est-elle negligeable ? Etablir la relation de dispersion de l'onde dans le plasma liant k = ~k et  . On fera intervenir la pulsation plasma  p telle que  p2 = Ne2 /(me 0 ). Page 3/6 Tournez la page S.V.P. Elements d'astrophysique - vg , a pour module 11 -- Si  >  p , la vitesse de propagation de l'energie, ou vitesse de groupe 
d
vg = dk . Exprimer vg en fonction de c,  et  p . Donner une forme approchee a 
l'ordre 2 de cette
expression dans le regime    p .
12 -- Une partie du signal emis par le pulsar se decompose en la superposition 
de 2 ondes
electromagnetiques de frequences differentes f1 et f2 . On considere que ces 
ondes sont emises au
meme instant dans notre direction pendant un intervalle de temps tres bref. 
Apres avoir parcouru la
distance d dans le plasma interstellaire, elles arrivent sur Terre avec un 
decalage dans le temps  t. En
conservant l'hypothese    p , exprimer d en fonction de  t, f1 , f2 ,  p et c.
13 -- La densite moyenne d'electrons dans le plasma interstellaire est N = 1, 
0×104 electrons.m-3 .
Dans le cas du pulsar PSR0950+08, on observe un decalage  t = 0, 05 s entre des 
signaux de frequences
f1 = 234 MHz et f2 = 405 MHz. Apres avoir verifie l'hypothese de la question 
12, calculer sa distance
d en annees-lumiere.

II.C. -- La planete Osiris
En 1999, des astrophysiciens ont observe une baisse periodique de la luminosite 
de l'etoile HD 209458
situee dans la constellation de Pegase a 150 annees-lumiere de la Terre. Cette 
chute de luminosite dure
quelques heures puis la luminosite reprend sa valeur habituelle, le phenomene 
se reproduit avec une
periode T = 3, 5 jours. On interprete cette variation par l'existence d'une 
planete, baptisee Osiris,
tournant autour de l'etoile et dont on admettra que le plan de l'orbite passe 
par la Terre. La luminosite
de la planete est supposee negligeable par rapport a celle de l'etoile. On 
supposera egalement dans la
suite que la masse m2 de la planete Osiris est tres inferieure a la masse m1 de 
l'etoile HD 209458 et
qu'Osiris est l'unique planete de cette etoile.
14 -- Pourquoi la baisse periodique de luminosite peut-elle s'interpreter comme 
l'existence d'une
planete ? Sachant que la baisse periodique de luminosite observee est de 1, 7% 
, exprimer le rayon
R2 d'Osiris en fonction du rayon R1 de HD 209458. Par des mesures 
spectrometriques, on peut
determiner le type de l'etoile HD 209458 ce qui permet d'obtenir (en utilisant 
un modele d'etoile)
son rayon, on trouve R1 = 1, 1 RS . En deduire la valeur numerique de R2 que 
l'on exprimera en
fonction du rayon moyen de Jupiter RJ .
15 -- Les effets de maree conduisent rapidement a l'annulation de 
l'excentricite de l'orbite de
la planete dans ce type de configuration. Preciser, dans ces conditions, le 
type de mouvement suivi
par Osiris autour de son etoile. Pendant l'intervalle de temps necessaire aux 
diverses mesures, on
-
peut considerer que le systeme HD 209458-Osiris est en translation a la vitesse 
vt dans le referentiel
geocentrique. La composante radiale de cette vitesse est mesurable depuis la 
Terre en utilisant l'effet Doppler-Fizeau. On remarque que cette vitesse 
radiale varie periodiquement entre les valeurs
extremes vr- = 14, 68 km.s-1 et vr+ = 14, 85 km.s-1 . Determiner le module v1 
de la vitesse orbitale de
l'etoile HD 209458 dans le referentiel RB barycentrique du systeme HD 
209458-Osiris.
16 -- On note v2 le module de la vitesse orbitale de la planete Osiris dans RB 
suppose galileen.
Quelle relation existe-t-il entre m1 , m2 , v1 et v2 ? Exprimer m2 en fonction 
de v1 , m1 , T et de la
constante de gravitation G. On pourra negliger m2 devant m1 .
17 -- Sachant que m1 = 1, 1 MS , calculer la valeur numerique de m2 en fonction 
de la masse MJ
de Jupiter.

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Physique I, annee 2010 -- filiere PSI

II.D. -- Le reseau echelette
La detection d'exoplanetes de petites dimensions necessite
de pouvoir mesurer la variation de la vitesse radiale d'une
3
etoile avec une grande precision.
Le telescope HARPS (High Accuracy Radial Velocity for
Planet Research) situe a l'observatoire de La Silla au Chili
mesure la vitesse radiale d'une etoile avec une precision de
l'ordre de 1 m.s-1 ce qui lui a permis en avril 2007 de
2
decouvrir la premiere petite exoplanete nommee G LIESE
581c. Ce telescope utilise un reseau echelette qui permet
d'obtenir une tres bonne luminosite dans un ordre d'interference eleve.
Ce type de reseau est constitue d'un grand nombre n de
petites facettes parfaitement reflechissantes inclinees d'un
1
angle  par rapport au plan du reseau et separees d'une distance a. Chaque 
facette, de largeur  = a cos  , est eclairee
en incidence normale par une onde plane monochromatique
F IG . 2 ­ Le reseau echelette.
de longueur d'onde  .
On observe l'onde reflechie « a l'infini » dans la direction  grace a une 
lunette. Les centres des
facettes notes Ok pour k = 1, · · · , n sont donc distants de a, on notera M un 
point quelconque d'une
facette. Le dispositif est represente sur la figure 2.

O

°

a

O
M

µ

O

18 -- Rappeler le principe d'Huygens-Fresnel.
19 -- On note x la distance entre un point M situe sur la deuxieme facette et 
O2 . Exprimer, en
fonction de x et  , la difference de marche « a l'infini »  (M/O2 ) entre les 
rayons issus des sources
secondaires situees en O2 et en M. De meme, exprimer, en fonction de a,  et  , 
la difference de
marche « a l'infini »  (O2 /O1 ) entre les rayons issus de O1 et O2 . Le 
dephasage entre ces deux
rayons sera par la suite note  .
20 -- Exprimer l'amplitude totale de l'onde emise due aux n facettes. En 
deduire l'intensite totale
I observee « a l'infini ». Montrer que celle-ci peut etre mise sous la forme
"
#

n  
sin

a
cos

sin

2
Fn ( ) avec Fn ( ) =
I = I0 sin2c

sin 2

ou la fonction sinc (u) = (sin u) /u designe le sinus cardinal de l'angle u, et 
 est une constante que l'on
determinera. Comment s'interprete physiquement chacun des facteurs intervenant 
dans l'expression
de I.
21 -- Quelle est la periode de la fonction Fn ( ) ? Tracer l'allure de la 
fonction Fn ( ) pour n  1.
22 -- Pour quelle valeur m de  la fonction sin2c [ a cos ( ) sin ( ) / ] 
admet-elle un maximum
global ? On remarque que m correspond aux rayons qui se sont reflechis selon 
les lois de SnellDescartes de la reflexion. On souhaite que, pour  = m qui 
correspond a un maximum d'intensite, la
fonction Fn ( ) ait un maximum correspondant a l'ordre d'interference p = 140. 
Ce reseau echelette
permettra donc d'avoir un ordre d'interference 140 tres lumineux pour une 
longueur d'onde donnee.
Determiner l'angle  correspondant, calculer sa valeur si  = 431 nm et si le 
reseau contient 32
facettes par millimetre.

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Tournez la page S.V.P.

Elements d'astrophysique

23 -- La source d'une onde electromagnetique plane de longueur d'onde o possede 
une vitesse
radiale v dans un referentiel galileen d'origine O. Du fait de l'effet de 
l'effet Doppler-Fizeau, un
observateur fixe en O mesure, pour la longueur de cette meme onde, une valeur  
= o (1 - v/c).
En deduire l'expression de la variation  en fonction de o , c et de la 
variation v. Pour l'etoile
HD 209458, on veut pouvoir distinguer la variation de vitesse radiale v lorsque 
la vitesse passe de
14, 68 km.s-1 a 14, 85 km.s-1 . On observe dans l'ordre deux la longueur d'onde 
 = 431 nm avec le
reseau echelette precedent. Determiner l'expression de la variation  de l'angle 
a la sortie du reseau
associee a la variation v observee pour HD 209458. Calculer numeriquement la 
valeur de  .
24 -- Lorsqu'on se place a un ordre eleve, on a un risque de chevauchement 
d'ordres. Quelles
sont les longueurs d'onde   et   qui correspondraient a la meme deviation que 
la longueur d'onde
 = 431 nm dans l'ordre 140 mais avec des ordres 139 et 141 ?
FIN DE LA PARTIE II
Pour les applications numeriques, on utilisera les donnees suivantes
Masse molaire de l'hydrogene : MH = 1, 0 × 10-3 kg.mol-1
Constante de gravitation : G = 6, 67 × 10-11 N.m2 .kg-2
Constante des gaz parfaits : R = 8, 31 J.K-1 .mol-1
Vitesse de la lumiere dans le vide : c = 3, 0 × 108 m.s-1
Permittivite du vide : 0 = (36 )-1 × 10-9 F.m-1
Permeabilite du vide : µ0 = 4 × 10-7 H.m-1
Constante d'Avogadro : N = 6, 02 × 1023 mol-1
Charge elementaire : e = 1, 6 × 10-19 C
Masse de l'electron : me = 9, 1 × 10-31 kg
Puissance d'emission du Soleil : PS = 3, 8 × 1026 W
FIN DE L'EPREUVE

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Masse du Soleil : MS = 2, 0 × 1030 kg
Rayon solaire moyen : RS = 7, 0 × 108 m
Masse de Jupiter : M j = 1, 9 × 1027 kg
Rayon de Jupiter : R j = 7, 0 × 107 m
Masse de la Terre : M = 6, 0 × 1024 kg
Rayon terrestre moyen : R = 6, 4 × 106 m