Mines Physique 1 PSI 2014

ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT--ÉTIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (EILIERE MP)
ECOLE POLYTECHNIQUE (EILIERE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2014
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PSI
(Durée de l'épreuve: 3 heures)
L'usage de la calculatrice est autorisé
Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM 
INT, TPE--EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :

PH YSIQ UE ] -- PSI.

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages.

-- Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il est invité
a le signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu'il aura été amené a prendre.

-- Il ne faudra pas hésiter a formuler les commentaires (incluant des 
considérations numériques) qui
vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas 
explicitement. Le barème
tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la 
copie.

DE LA PHYSIQUE AUTOUR D'UN TORE

Ce sujet comporte quatre parties totalement indépendantes qui explorent les 
propriétés phy--
siques d'objets de forme torique. Un tore est le volume généré par la 
révolution autour d'un
axe d'une figure géométrique donnée (dans le problème, ce sera un rectangle ou 
un cercle, voir
figure 1) appelée section et inscrite dans un plan passant par l'axe. Les 
vecteurs sont surmontés
d'un chapeau s'ils sont unitaires (Üz) ou d'une flèche dans le cas général (5).

Axe Axe

Tore à section
rectangulaire

Tore à section
circulaire (bouée)
l l

FIGURE 1 -- Deux types de tores

De la physique autour d'un tore

I. -- Modélisation d'un hulahoop

Le hulahoop est un cerceau en plastique que l'on fait principalement tourner 
autour de la taille
par un déhanchement rythmé très en vogue dans les années 1960. Pour notre 
modélisation,
nous l'assimilerons a un tore de section rectangulaire en rotation autour d'un 
arbre cylindrique
ficce et vertical, d'axe (O,z) et de rayon 7°, dans le référentiel terrestre 
supposé galiléen RO. Le
tore est de masse volumique ,u homogène, ses dimensions sont les suivantes : le 
rayon du cercle
intérieur est a, celui du cercle extérieur 19 et son épaisseur selon (O,z) vaut 
c. On note G son
centre d'inertie et A son axe de symétrie, dont la direction reste parallèle a 
(0,71) : on peut donc
identifier A : (G,z). On donne l'expression du moment d'inertie d'un cylindre 
de rayon R et
de masse M par rapport a un axe de révolution confondu avec l'axe du cylindre : 
J : %MR2.

Tore , G
9
Vu,

Üy

@, @,

Base cartésienne
FIGURE 2 -- Rotation du hulahoop
Ü 1 -- Justifier que le moment d'inertie autour d'un axe A donné de l'ensemble 
constitué par

la superposition de deux distribution de masses 81 et 82 disjointes est la 
somme des moments
d'inertie de 81 et 82 par rapport a cet axe.

Ü 2 -- Déterminer le moment d'inertie J du tore par rapport a l'axe (G,z) en 
fonction de ,u,
a, b et c.

Le contact entre la paroi intérieure du tore et le cylindre vertical se 
répartit sur un segment
vertical dont on note ] le milieu. Il y a roulement sans glissement entre les 
deux solides. On note
f le coefficient de frottement statique au niveau de ce contact. On note @ = Q 
"ÜZ le vecteur
vitesse angulaire de rotation du tore autour de son axe A. La position de G est 
repérée par

l'angle 9 : (Ü...O(È).

Ü 3 -- Établir la relation entre 9 et Q associée a l'hypothèse de roulement 
sans glissement.

En déduire l'expression de l'énergie cinétique du tore dans le référentiel R0 
en fonction de
2 2
JO : u7rc(b2 -- a2)% et Q.

Ü 4 -- On suppose que Q est constante. Déterminer les composantes des forces 
subies par le
tore au contact avec le cylindre vertical. En déduire a quelle condition sur Q 
l'hypothèse de
roulement sans glissement est justifiée. Décrire qualitativement ce qui se 
passe lorsque cette
condition n'est plus vérifiée.

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Physique [, année 2014 -- filière PSI

On suppose maintenant que l'hypothèse de roulement sans glissement est vérifiée 
mais qu'on
observe une adhérence du tore sur le cylindre qu'on modélise par la création 
d'une force de
liaison attractive  = AÛT entre le cylindre et le tore localisée en un point B 
représenté sur
la partie droite de la figure 2 et voisin de ] tel que [? = 6%. On donne la 
vitesse angulaire
initiale Q0 du tore.

Ü 5 -- En utilisant par exemple le théorème de la puissance cinétique, établir 
la loi d'évolution
Q(t) et conclure quant a la pratique du hulahoop.

FIN DE LA PARTIE I

II. -- Étude d'un conducteur ohmique torique

Un conducteur ohmique est caractérisé
par une conductivité électrique y de l'or--
dre de 108 S - m_1. Il forme un tore
tronqué de section rectangulaire de ra--
yon intérieur &, de rayon extérieur (9,
d'épaisseur 0.

On cherche a déterminer la résistance
orthoradiale R d'une portion de ce con--
ducteur comprise entre les angles 9 = 0
où on applique un potentiel uniforme
V = U et 9 = oz où on applique un
potentiel V = O.

Fo%

FIGURE 3 -- Portion d'un conducteur torique

Ü 6 -- On rappelle la valeur numérique

1

de la constante 50 = Î - 10_9 dans les unités du système international. 
Rappeler le nom et
77

l'unité pratique de cette constante.

Ü 7 -- Établir, dans un conducteur ohmique, l'équation différentielle vérifiée 
par la densité
volumique de charge p. En déduire que p : () tant que la durée T 
caractéristique de variation
des grandeurs électromagnétiques est très supérieure a une durée 7' dont on 
donnera l'expression
en fonction de y et 50 ainsi que la valeur numérique.

Ü 8 -- Montrer qu'un terme peut être négligé dans l'équation de Maxwell--Ampère 
si T >> 7'.

Ü 9 -- Établir l'équation vérifiée en régime permanent et dans le conducteur 
ohmique par le
potentiel électrique V.

Ü 10 -- On suppose que V ne dépend que de l'angle 9 en coordonnées cylindriques 
et on donne,
dans ce système de coordonnées, les expressions du gradient du potentiel gradV 
= lô--VÜ9 et de

r 89
son laplacien AV = 5%. Déterminer les expressions de V(9), du champ E et de la 
densité

de courant ;.

Ü 11 -- Déterminer l'expression de l'intensité totale ] traversant une section 
rectangulaire
droite quelconque de ce tore. En déduire sa résistance orthoradiale R en 
fonction de a, b, 0, y
et or.

Ü 12 -- Rappeler l'expression de la résistance d'un conducteur filiforme de 
section S et de
longueur L. Vérifier qu'elle est cohérente avec l'expression du conducteur 
torique quand () est
très proche de &.

FIN DE LA PARTIE II

Page 3/5 Tournez la page S.V.P.

De la physique autour d'un tore

III. -- Etude d'une pince ampèremétrique

:i _ Une pince ampèremétrique est un appareil dont l'extrémité possède
'1 la forme d'un tore. En disposant ce tore autour d'un conducteur
, M parcouru par un certain courant le dispositif équipant la pince

A\1üg permet d'en mesurer l'intensité.
"9 % Son principal intérêt est l'absence de contact physique avec le

0 u,. . ,. . , . , . . .

conducteur et le fait qu Il ne s01t pas necessaire d ouvrir le c1rcu1t

pour mesurer le courant qui le traverse contrairement a l'implan--
tation d'un ampèremètre classique.

?; A\Fil à tester Le dispositif de mesure de la pince ampèremétrique est formé 
d'un
bobinage torique comportant N spires enroulées sur un tore de
section rectangulaire de rayon intérieur &, de rayon extérieur 19,
d'épaisseur c, d'axe (0,71). Le fil conducteur utilisé pour le bobi--
nage possède une résistance linéique À.

FIGURE 4 -- Partie active
de la pince

Un point M intérieur au tore est repéré par ses coordonnées cylindriques : Oîl 
: 7°"lî,» + zÛZ
avec 7° EUR [61,19] et ?: EUR [O,c].

Un fil rectiligne infini de même axe (O,z) est parcouru par un courant 
d'intensité i(t). On note
i1(t) l'intensité du courant circulant dans la bobine torique. On se place dans 
l'approximation
des états quasi--stationnaires.

Ü 13 -- Rappeler ce qu'on appelle approximation des états quasi--stationnaires. 
Montrer que
cette approximation permet de simplifier l'équation de Maxwell--Ampère. Enoncer 
dans ce cas
le théorème d'Ampère.

Ü 14 -- Montrer qu'au point M intérieur au tore, le champ magnétique peut se 
mettre sous
la forme B : B(r)Ûe où l'on précisera l'expression de B (7°) en fonction de 
u... i(t), i1(t), N et
7°.

Ü 15 -- Calculer le flux (I) de Ë a travers le bobinage et en déduire les 
expressions des
coefficients d'autoinductance L du bobinage et de mutuelle inductance M entre 
le fil et le
bobinage.

Ü 16 -- Déterminer l'expression de la résistance totale Rp du bobinage en 
fonction de a, b, e,
N et À.

On se place en régime sinusoidal forcé avec i(t) : I.../Ï cos(wt) associée a 
l'intensité complexe
@ : Ioflejw' et i1(t) : 11\Æcos(wt + gpl) associée a l'intensité complexe 21 : 
Ilflejwtejfil.
Ü 17 -- Le bobinage formant un circuit fermé, déterminer l'expression de la 
fonction de

@
transfert fi : i en fonction de M , w, Rp et L.
@

Ü 18 -- Dans quel régime de pulsation ce dispositif peut--il former une pince 
ampèremétrique ?

FIN DE LA PARTIE III

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Physique [, année 2014 -- filière PSI

IV. -- Étude d'un transformateur torique

Un transformateur est constitué d'un tore dont la section
est un disque de diamètre 261 et dont le centre A se déplace
sur un cercle de centre 0 sur l'axe du tore et de rayon 7°...
(le rayon moyen). Oe tore est réalisé dans un matériau fer--
romagnétique homogène et isotrope. Le primaire est formé
d'un bobinage comportant Np spires et le secondaire d'un
bobinage comportant NS spires. Ces deux bobinages sont
implantés sur deux zones diamétralement opposées du tore.

FIGURE 5 -- TT&HSÎOYOE&ËGUT On suppose que & << r..., que les lignes de champ magnétique sont des cercles concentriques, que les normes des champs magnétique B, excitation magnétique H et aimantation M sont uniformes dans le tore. On néglige les résistances des bobinages. Primaire enepuooeg Ü 19 -- Que signifie le terme << ferromagnétique >> ?

Ü 20 -- Définir et donner l'allure de la courbe de première aimantation (B en 
fonction de
H). Faire apparaitre sur cette courbe le champ magnétique de saturation.

On utilise le transformateur précédent dans le montage de la figure 6 dans 
lequel l'amplificateur
opérationnel est idéal, de gain infini et fonctionne en régime linéaire. On 
suppose de plus que
Np et NS sont du même ordre de grandeur et que is << ip. FIGURE 6 -- Montage avec transformateur torique Ü 21 -- Établir les expressions de H (75) et de B (75) en fonction des tensions u1(t) et u2(t). Ü 22 -- On visualise sur l'écran d'un oscilloscope bicourbe en mode X Y, la tension W en ordonnée et la tension ... en abscisse. Montrer que l'on trace ainsi le cycle d'hystérésis du transformateur. Ü 23 -- Tracer l'allure d'un tel cycle en faisant apparaître le champ coercitif et le champ rémanent. Ü 24 -- Montrer que l'aire du cycle donne accès a l'énergie dissipée par hystérésis. FIN DE LA PARTIE IV FIN DE L'ÉPREUVE Page 5/5