Mines Physique 1 PSI 2024

A2024 --- PHYSIQUE I PSI

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2024
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE I- PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé,
il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons 
des
initiatives qu'il est amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMEP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Physique I, année 2024 -- filière PST

Analyse physique d'un spa
La pandémie de COVID-19 à profondément changé la consommation de loisirs des 
français.
N''étant pas sûrs de pouvoir voyager ou que les campings et plages soient 
accessibles, nombreux
sont ceux qui ont cherché à se procurer du bien-être dans leur propre 
habitation en achetant
une piscine ou un spa gonflable. Dans ce problème plusieurs aspects de 
l'utilisation du spa sont
abordés, de la première installation au stockage hivernal.

FIGURE 1 - Photographie du spa étudié

Les applications numériques comporteront deux chiffres significatifs. Les 
données nécessaires à
ces applications numériques et certaines définitions habituelles sont 
rassemblées en fin d'énoncé.
Elles sont complétées par un formulaire. Les vecteurs sont généralement notés 
avec des
flèches (v de norme vw) et sont surmontés d'un chapeau s'ils sont unitaires 
(&,).

I Installation du spa

LA Gonflage

Le manuel d'utilisation fournit quelques données numériques :

Hauteur du spa gonflé sans couverture H = 10m

Hauteur d'eau he = 3/4m = 75cm
Diamètre intérieur dx = V2m= 14m
Diamètre extérieur dext = 2,0 m

Temps de gonflage te = 10min

Seuil d'ouverture de la valve de surpression | Ôp = 0,1 bar

L'enveloppe du spa se gonfle d'air, considéré comme un gaz parfait, grâce à une 
pompe contenue
dans l'unité de contrôle. On considère que l'enveloppe prend sa forme 
définitive sans pli dès
que la pression intérieure à l'enveloppe atteint la pression de l'air extérieur 
supposée égale à 1
bar. On ne prendra pas en compte l'épaisseur du tapis de fond en plastique du 
spa.

L] -- 1. Quel est le débit volumique moyen D, de la pompe en litres par seconde 
?

D -- 2. Une fois gonflé en un temps {,, le volume du spa reste constant. Si 
l'utilisateur oublie
d'arrêter la pompe, au bout de combien de temps la valve de surpression 
s'ouvre-t-elle ?
On supposera ici que la température de l'air dans l'enveloppe reste constante.

 -- 3. Le spa est gonflé en {, un matin à 15°C. En supposant que la pression 
extérieure et
que le volume de l'enveloppe du spa restent constants au cours de la journée 
mais que
la température extérieure peut augmenter, à partir de quelle température la 
valve de
surpression s'ouvre-t-elle ?

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Physique I, année 2024 -- filière PST

[LB Chauffage de l'eau

Le spa est équipé d'une unité de contrôle composée notamment d'une pompe de 
chauffage
permettant de faire circuler l'eau à travers une source chaude. La vitesse de 
ce système de

chauffage indiquée sur le manuel du spa est de à -- 2° C-h7! jusqu'à une 
température maximale
de 40° C.

LJ -- 4. Estimer la durée nécessaire pour atteindre la température maximale de 
40° EUR depuis une
température initiale de 20° C.

La puissance de chauffage de l'unité de contrôle indiquée sur le manuel est Z, 
= 2,5 kW :
est-ce cohérent avec le résultat précédent ?

Il est également possible de laisser naturellement chauffer l'eau du spa en 
plein soleil, sans
utiliser la pompe de chauffage. Mais cela dépend de la météo, de l'heure 
d'exposition, et même
a priori de l'altitude.

Qi -- 5. À quel moment de la journée le chauffage par le Soleil est-il le plus 
efficace ? Justifier la
réponse.

On cherche à savoir si l'eau chauffe plus vite en plein soleil si le spa est 
installé à haute

altitude sans considérer une éventuelle baisse de la température due à cette 
élévation. Lorsqu'elle

est éclairée par une onde électromagnétique £ = Ey cos [w (t -- x/c)] EUR, 
issue du rayonnement

solaire, une molécule d'air (essentiellement N> ou 02) se polarise selon le 
moment dipolaire
2

p = po(w) cos(wt)e,, avec po(w) -- PR

respectivement la charge et la masse de l'électron.

où wp = 2.3 x 10! rad - sl, e et m étant

D -- 6. Justifier qualitativement le fait que l'on puisse écrire l'onde 
électromagnétique issue du
rayonnement solaire sous cette forme.

Comment expliquer la création du moment dipolaire p ? On se contentera d'une 
réponse
qualitative.

2, 4
Pow

127EUR0c° |

On admet que chaque molécule d'air rayonne la puissance moyenne % --

1 -- 7. Montrer que, pour une pulsation donnée, l'éclairement (ici assimilé à 
la puissance surfa-
cique moyenne) décroit selon l'axe de propagation du rayon solaire selon une 
loi du type
Es (x) = E, (0)exp(---x/H,,). On introduira n, le nombre de molécules d'air par 
unité de
volume. Après avoir exprimé À, en fonction de n, e, Lo, m et & -- wp/w on 
vérifiera la
cohérence dimensionnelle de son expression.

j -- 8. Sachant que le maximum d'émission du Soleil est centré sur la longueur 
d'onde d'un
rayonnement vert, estimer la valeur de À,,.

Sachant que l'épaisseur caractéristique de l'atmosphère est de l'ordre de 100 
km, que
peut-on dire de l'effet d'une augmentation d'altitude sur le chauffage de l'eau 
du spa ?

IT Utilisation du spa

ITA Pertes calorifiques

L'eau du spa est chauflée à T:,, -- 38°C et le système de chauffage est arrêté. 
Le spa est installé
sur la pelouse du jardin, que l'on assimile à une épaisseur e, = 5 mm d'herbe 
tassée sous l'effet
du poids. On suppose le sol et l'air extérieur à 7,44 -- 25°C. La température 
de l'eau variant
très lentement, on se place en régime quasi stationnaire. Toutes les parties en 
contact avec l'air
sont sièges d'échange conducto-convectif de coefficient h,. On rappelle que la 
puissance s'écrit

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Physique I, année 2024 -- filière PST

dans ce cas Y -- h, SAT, où $ est la surface d'échange et AT l'écart de 
température sur cette
surface. On néglige l'épaisseur de l'enveloppe en plastique du spa.

Lj -- 9. Définir la notion de résistance thermique.

Exprimer, en fonction des variables du problème, la résistance thermique de 
conduction
des parois verticales du spa notée R, (on se placera en symétrie cylindrique), 
ainsi que
celle, notée À, du « tapis » d'herbe sous l'installation.

Les valeurs numériques avec un seul chiffre significatif de ces deux quantités 
sont respectivement
R,=3K-W-tet R=5 x 10 °K:W-f. On donne aussi celle de la résistance thermique due
aux échanges convectifs entre l'eau et la paroi verticale du spa Re = 2 x 10° K 
+ WT ainsi
que celle due aux échanges convectifs entre la surface de l'eau et l'air À; = 6 
x 107? KW.

t

D -- 10. Montrer que l'écart de température est de la forme Tin (EUR) -- Tux = 
(Tnt (0) -- Tixt) er
et calculer le temps caractéristique 7 dont on commentera la valeur.

Pour minimiser les pertes calorifiques et donc la consommation d'énergie, le 
manuel préconise
de couvrir le spa à l'aide de sa couverture lorsque personne ne l'utilise, 
ainsi que de l'installer
sur une toile de sol constituée d'un tapis de bulles d'air d'épaisseur EUR; = 5 
mm. Pour simplifier,
on considère que la couverture du spa est gonflée d'air et qu'elle vient 
combler exactement
l'espace entre la surface de l'eau et le haut du spa. Elle est donc d'une 
épaisseur constante
es = 25cm et elle recouvre l'intégralité du spa.

D -- 11. Estimer le gain obtenu sur le temps caractéristique en installant la 
toile de sol et la
couverture.

Lj -- 12. La toile de sol et la couverture étant installées, quelle puissance 
faudrait-il fournir pour
maintenir constante la température de l'eau du spa ?

IIB Module de commande : maintien en température

L'unité de contrôle a besoin de mesurer la température pour assurer certaines 
fonctions comme
son maintien automatique à une certaine valeur. Le principe est d'allumer et 
d'éteindre le
module de chauffage avec des interrupteurs commandés.

La température de l'eau est mesurée à l'aide d'une thermistance. On peut 
modéliser ce com-
posant par un cylindre métallique de section $, de longueur L, de conductivité 
électrique a et
dont la résistance électrique À: dépend de sa température.

LD -- 13. Sans prendre en compte les effets de la température, en négligeant 
les effets de bords et
en régime permanent, montrer que la résistance de ce cylindre serait Ra = 
L/(oS).

Afin d'interpréter la dépendance de la résistance avec la température, on 
adopte le modèle de
Drude qui consiste à appliquer la théorie cinétique des gaz aux électrons 
libres dans le métal.
Ces derniers subissent des collisions aléatoires avec les ions beaucoup plus 
lourds et considérés
immobiles.

Dans le modèle de Drude, chaque électron de vitesse v est soumis d'une part à 
la force due au
champ électrique Ë supposé constant qui apparaît en appliquant une différence 
de potentiel aux
extrémités du métal, et d'autre part, à une force de type frottement fluide F, 
-- --mÜ/Ta. Cette
dernière permet de modéliser macroscopiquement l'effet d'un très grand nombre 
de collisions
microscopiques aléatoires de moyenne nulle.

LD -- 14. Montrer que la vitesse d'un électron est constante au bout d'un temps 
grand devant 7.
En déduire une expression de la conductivité électrique en fonction de m, e, Ta 
et de la
densité volumique n. d'électron dans le métal.

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Physique I, année 2024 -- filière PST

D -- 15. En notant w la vitesse d'un électron juste après une collision à 
l'instant to, comment
s'exprime sa vitesse U juste avant la collision suivante Ôôt plus tard ?

En moyennant le résultat sur un très grand nombre de collisions, proposer une 
interpré-
tation physique pour 74.
En déduire que la résistance du métal augmente lorsque sa température augmente.

Dans la suite, on notera in = Ro [1 + a(T -- Ter)] la résistance de la 
thermistance en cuivre à
la température T', avec à = 4 x 10 *K=Let Tes = 20°C.

On s'intéresse au mode « maintien de température » de l'unité de contrôle, 
utilisé lorsque l'eau
du spa a déjà été chauffée à la température souhaitée T,,,. Ce mode maintient 
la température
dans l'intervalle [Tin, Tinaxl, OÙ min -- max -- 2°C. On à donc besoin de deux 
interrupteurs
commandés en température. Un montage possible pour un interupteur est donné sur 
la figure 2,
où les deux générateurs de tension constante W, sont identiques. 
L'Amplificateur Linéaire Intégré
(ALI) idéal fonctionne ici en saturation, il n'a que deux tensions de sorties 
possibles +4 ce
qui permet de commander la fonction ON/OFF d'un interrupteur.

DJ -- 16. Pour quelle valeur 7, de la tempéra- ° + [>
ture, l'interrupteur (caractérisé par VW.) Re --
change-t-il d'état ? On exprimera T° en
fonction de R:, Ro et a. W  R
On suppose À, et à parfaitement dé-
terminés, quelle précision relative est ° + -- 7 o
nécessaire sur A2 pour régler la tem- --
pérature au degré près ?

< FIGURE 2 -- Interrupteur à amplificateur linéaire LD -- 17. Expliquer comment organiser deux interrupteurs commandés qui permettent de maintenir la température dans l'intervalle [Tin, Tnax|. IC Brassage de l'eau Nous cherchons à modéliser dans cette partie la façon dont les bulles d'air produites au fond du spa permettent de brasser l'eau qu'il contient et de générer ainsi une sensation de relaxation à son utilisateur. Lj -- 18. En faisant l'hypothèse que la température des bulles d'air est constante, quelle est la variation de volume relative d'une bulle due à la pression hydrostatique ? En déduire que le volume V, d'une bulle peut être considéré constant au cours de sa remontée vers la surface. On note À le rayon d'une bulle qui, lors de sa remontée à la vitesse de module v,, subit une force de trainée F, de module F;. Sur la figure 3 ci-après, on définit le coefficient de trainée C, et on trace sa représentation graphique en fonction du nombre de Reynolds Re. On précise que pour des faibles valeurs du nombre de Reynolds (régime de Stokes), la courbe peut être approximée par C', = 24/Re. L -- 19. On considère une bulle de taille caractéristique À © 1 mm remontant à une vitesse de l'ordre de quelques dizaines de centimètres à un mèêtre par seconde, estimer le nombre de Reynolds correspondant. Comment s'exprime la force de trainée dans ce régime ? Page 4/7 Physique I, année 2024 -- filière PST 10° F; Cx = 1 2 10 - SU 6 Le L = == Régime È de Stokes 107! 107! 1 10 10° 10' 10" 10° 10 10 FIGURE 3 -- Coefficient de trainée (C,) en fonction du nombre de Reynolds pour une bulle de section $ dans la direction de l'écoulement, subissant une trainée F: et se déplaçant à une vitesse de module v, dans de l'eau de densité pe. D -- 20. En supposant que la bulle est lâchée sans vitesse initiale au fond du spa, exprimer sa vitesse sous la forme w,(t) = vif(t/7,) où f est une fonction trigonométrique hyperbolique et dans laquelle on exprimera la vitesse v: en fonction de p,, p4, g, R et C, et la durée ñ, en fonction de v1, Pa, Pe et g. Comment s'interprêtent v, et 7, ? P Numériquement on trouve v, = 21cm-s let m -- 25us, commenter l'adéquation du modèle avec ces valeurs. On se place dans la situation dans laquelle une bulle d'air ne subit plus aucune accélération. Le référentiel lié à cette bulle est donc galiléen. Dans un modèle simple on ne considère pas les variations dues à la pression hydrostatique et on cherche à montrer que la pression et le volume de la bulle ne sont constants qu'en moyenne, et que c'est leur variation sur une échelle de temps courte qui permet de transférer de l'énergie à l'eau qui l'entoure. FIGURE 4 --- Modèle pour la bulle On ne considère pas non plus les interactions entre les bulles : on étudie une seule bulle fixe, de rayon R(t) variable, entourée d'eau jusqu'à l'infini (la taille du spa est très grande devant celle d'une bulle). On néglige également les effets dus à la viscosité de l'eau ainsi que ceux dus à la diffusion thermique par rapport aux termes de pression interne. On suppose que le rayon de la bulle varie peu : on note R(t) = Ro +e(t) avec [e (t)] Ro, Ro étant le rayon de la bulle si P, = PF où F6 = 1 bar est la pression atmosphérique et P, celle à l'intérieur de la bulle. LD -- 21. En supposant l'écoulement de l'eau autour de la bulle incompressible, déterminer l'ex- pression de la vitesse Ü (r,t) d'un point quelconque M situé dans l'eau, à une distance r aR (t) dé du centre de la bulle et au voisinage de sa surface, en fonction notamment de La conservation de l'impulsion autour de la bulle permet d'établir la relation Ov (rt) n 1 Ov* (rt) Pe ot 2 Or _ OP(rt) Or Page 5/7 Physique I, année 2024 -- filière PST Li -- 22. LU -- 23. Li -- 24. LU -- 25. En déduire qu'à l'ordre le plus bas en EUR on peut écrire Or r2 dt? OP(rit) _  Bde(t) On exprimera 5 en fonction de p. et Ro. À partir de cette relation, obtenir une expression de la pression P,(t) à l'intérieur de la bulle en supposant que la pression dans l'eau loin de la bulle est égale à F6. En considérant que la bulle évolue de façon isentropique, obtenir une autre relation entre P,(t) et et). Montrer alors que le rayon de la bulle oscille et calculer la fréquence correspondante. On prendra Ro = 1 mm. En estimant le temps caractéristique de diffusion thermique dans la bulle, montrer que l'hypothèse d'évolution isentropique est cohérente. Estimer l'énergie cinétique moyenne associée à ces oscillations. Conclure sur le brassage de l'eau provoqué par les bulles du spa. À toutes fins utiles... Données physiques Masse de l'électron : m  -- 9,1 x 10 *%Tkg Charge de l'électron : e -- 1.6 x 107 C Accélération de la pesanteur : g = 9,8 m:s ° Permittivité diélectrique du vide : EURo = 8,9 x 1072 F:m Perméabilité magnétique du vide : 0 = 47 X 1077 kg-:m-A 2.87? Constante d'Avogadro : N4 = 6,0 x 10 mol"* Constante molaire des gaz parfaits : R = 8,3J:mol *-K-! Pour l'eau considérée dans le sujet on prendra Masse volumique : p, -- 10° kg : m * Capacité thermique massique : « = 4,2 x 10J-K-!.ke7! Viscosité dynamique (supposée indépendante de la température) : 7% = 10° Pa:s Pour l'air considéré dans le sujet on prendra Conductivité thermique : À, = 2.5 x 1072 W:m !{-K-1 Coefficient d'échange conducto-convectif : h, = 10 W -m '-K-! Masse volumique : p, = 1,2kg : m * Coefficient adiabatique : y, = 1,4 Capacité thermique massique à volume constant : EUR, = 7,1 x 10? J-K-!-kg"! Pour l'herbe considéré dans le sujet on prendra : Conductivité thermique : An = 3,5 x 107? W:m !.K7! Page 6/7 Physique I, année 2024 -- filière PST Formulaire TT TT -- Pour les fractions de cercles on prendra 3 -- 1,0: nl -- On rappelle que d | ] . ; = argtanh (x) + cste -- ---- La divergence d'un vecteur À dont les coordonnées sont (4,,49,44) dans la base (669.64) des coordonnées sphériques s'écrit : 1 O 1 04, rm 0 06 5004) + 50 divA = ro (r°A,.) + r2 Or FIN DE L'ÉPREUVE Page 7/7