Mines Physique 2 PSI 2001

A 2001 PHYS. PSI - Il

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUÈ ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNÏCATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNIÇATIONS DE BRETAGNE,
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2001
SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PSI
(Durée de l'épreuve : 4 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé)
Sujet mis à disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE--EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
PHYSIQUE II -- Filière PSI
Cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PSI, comporte 7 pages 
de texte.

0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il le signale sur
sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il est amené à prendre.

0 Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé, même S'il n'a pas été 
démontré.

. Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera 
pertinent. Le barème tiendra
compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.

BOUCLE À VERROUILLAGE DE PHASE

Les dispositifs à verrouillage de phase sont utilisés dans les systèmes 
nécessitant la synthèse d'un
signal dont la fréquence soit asservie à un signal de commande donné. Dans ces 
dispositifs, la variable
de boucle est la phase du signal de commande. Ce problème étudie tour à tour 
les éléments d'un tel
dispositif ; l'étude de la boucle proprement dite 'occupe la dernière partie de 
ce problème.

1 Oscillateur

Fig. 1 : Oscillateur Fig. 2 : Caractéristique du générateur

Le fonctionnement d'un oscillateur est décrit par le dispositif représenté sur 
la fig. 1. Le générateur de
courant i : f(v) attaquant le circuit R--L-C parallèle est un générateur 
linéaire par morceaux (et donc

Tournez la page S.V.P.

globalement non linéaire !), commandé par la tension v(t)l. Sa caractéristique, 
impaire, est la suite de

segments de droite précisée sur la figure 2 ; par hypothèse, on a V() > 0 et g2 
< gl. D 1 -- En distinguant les cas |v(t)l < VO et |v(t)l > VO, écrire les deux 
formes de l'équation différentielle

relative à v(t).

Cl 2 -- L'instant initial est défini par i(0') = 0 et v(0') = 0. À quelle 
condition sur Rg1 le système est--il
instable ?

E] 3 -- En supposant cette condition réalisée, montrer que l'apparition 
d'oscillations stables, c'est-à--
dire d'amplitude bomée, est subordonnée à une seconde condition, portant 
maintenant sur Rg2.

Cl 4 -- La figure 3 représente le schéma--bloc de la fig.
1 ; elle précise succeSsivement le signal de

commande g(p)=0, le signal d'erreur 3( p) et le

signal de sortie i(p). Ce schéma-bloc est constitué

d'un organe non linéaire NL et d'un filtre de fonction
Fig-- 3 -' Représentation en SChémâ-ÜIOC de lafig. 1 de transfert 
opérationnelle F ( p) qu'on précisera en

fonction de R, L et C. Pour une fréquence propre
.. 6"o

- 2 =IOOkHZ et un facteur de qualité Q=RCwO =5, tracer le diagramme de Bode, en
72:

fo

. . , . £(jw) .2
amphtude et en phase, de la fonction de transfert redu1te _lg(oe)= R (] =--l). 
On donne
L = 100 ,uH ; calculerR et C.

V E] 5 --- La détermination de la pulsation d'accrochage et de l'amplitude 
d'éventuelles oscillations se
fera en utilisant l'approximation dite du premier harmonique, que nous allons 
établir progressivement.
_ On commence par supposer que le générateur de courant est commandé par la 
tension sinusoïdale

Vsin (th , de pulsation ca, avec V > V . On pose V : Vsin 9 , avec 0 S 6 < £. Exprimer formelle- _ o o o o 2 ment, dans ces conditions, le développement en série de Fourier du courant i en sortie du générateur de courant. Montrer que la moyenne du courant i est nulle et que le premier harmonique de son déve10p-- pement en série de Fourier est en phase avec V sin(cot). Cl 6-- Décrire avec précision, mais sans effectuer les calculs, la méthode permettant de calculer l'amplitude Il de ce premier harmonique en fonction de gl, g, 90 et V. Le gain du premier harmoni-- que, défini par G : %, s'en déduit et l'on admettra la solution, qui définit H (90) : G ;: G(90) = g, + gl ;g2 [sin(290)+290] = g2 + & ?? H(9,). E] 7 --L 'approximation du premier harmonique suppose que tous les signaux dans le schéma--bloc de la question 4 sont sinusoïdaux de même pulsation &) et que la fonction de transfert non linéaire ' Typographie : le symbole v est le « v »\en italique et non pas le << v » (nu) grec. Page 2 sur 7. f(p) £[E(P)l !(P) ÎÎËÎ dire G(90). Dans ce cadre, établir l'équation différentielle linéaire portant sur la tension v(t). En déduire la pulsation d'accrochage des oscillations et montrer que la sélectivité du filtre conditionne la légitimité de la méthode. est remplacée par le gain du premier harmonique du générateur de courant, c'est-à-- E] 8 -- Montrer qu'en régime d'oscillations purement sinusoïdales, 00 est solution de l'équation 290 +sin(2eo) = --ï--(--L--ËÀ]. D 9 -- Déduire de l'étude de H (90) = 290 + sin(2%) les inégalités établies dans la question 3. E] 10 -- En examinant la manière dont le système, en régime d'oscillations d'équilibre, réagit à une 75 petite perturbation d'amplitude AV et en utili$ant le fait que H (60) soit croissante pour 0 .<. 60 < --2--, montrer la stabilité de l'amplitude des oscillations lorsque les conditions de leur existence sont res-- pectées. E] 11 -- Sans effectuer les calculs, et en supposant le générateur de courant autonome, décrire et justi- fier une méthode << énergétique >> permettant de retrouver la condition 
d'oscillations d'équilibre.

II Oscillateur contrôlé en tension (OCT)

i"'"""""""'"""""""""""""'"'""'"""""'"""""l Un oscillateur contrôlé en tension 
est un
1 . . , . .
c1rcu1t, (fig. 4) de11vrant un Signal
' d'amplitude constante et de pulsation

.Q(t) : (00 + ku(t) : 600 + ka cos(oet),

Î où k est une constante, (00 la pulsation à
vide de l'oseillateur sinusoïdal de la
partie I et u(t) = acos(oet) la tension de

Oscillateur sinusoïdal //z Circuit varicap

commande, basse fréquence (co << 000). F ig. 4 Oscillateur contrôlé en tension . _ ' L'OCT se compose de l'osc1Hateur et du circuit de charge dit varicap. Le circuit varicap comporte notamment une diode varicap D polarisée en inverse par la tension positive E : EO +u(t) avec E0 >> a. La tension,appliquée 
à ses homes étant

notée uc, cette diode est équivalente à un condensateur de

capacité Cl: 7 , où 7 est une constante. On suppose que
V"c

i = f(v)

l'inégalité C1<-- ---\
] Multiplieur Filtre passe--has

Fig. 7 : Boucle à verrouillage de phase

La boucle à verrouillage de phase
Vs@ étudiée dans cette partie est un système
bouclé composé d'un multiplieur
analogique, suivi d'un filtre passe--bas

1

l+'Lp
variable de Laplace et enfin d'un
oscillateur commandé en tension OCT,

qui fournit le signal de sortie (fig. 7).
La tension d'entrée est notée ve(t)= Ve cos[OE,(t)]. L'amplitude Ve de ce 
signal est constante et sa

dd>e
dt '
vs(t)=Vscos[däs(t)], son amplitude VS est constante et sa pulsation instantanée 
est

de fonction de transfert F = en

pulsation instantanée est, par définition, Qe(t)= Le signal de sortie est noté

Qs(t)= ddîs =wo+ku(t), oùco0 désigne la pulsation & vide de l'OCT. La tension 
de sortie du
multiplieur est
v(t) : k...ve(t) vs(t) : kae cos[®e(t)] Vs cos[®s(t)]

k V

"'ZeVs {cos[>l et 0< conditions, seule subsiste après filtrage la composante basse fréquence (phase 9) de v(t). km kVeV 2 D 17 -- On note A(t) : .Qe(t) -- wo. Donner la dimension de K-- -- , puis établir la relation Æe d6 dA TÜ+OE+KCOS(Û)= A(Î)+T'ä_t'- [1] Etude de la boucle verrouillée Cl 18-- La boucle est dite ici verrouillée lorsque Qs(t)=Qe(t). En sortie, v_.(t)= V,.cos[OEe(t)--GO], avec un déphasage (--90) constant. Une fois verrouillée, la boucle peut suivre les variations lentes de w__Q_ 27: Que devient chacun des membres de l'équation différentielle ... en situation de verrouillage ? Dans d A quelle mesure peut- on affirmer que 1-- peut être considéré comme nul '? Déterminer la plage de dt verrouillage. Montrer que, à une fréquence fe donnée à l'intérieur de cette plage, correspondent deux la fréquence d'entrée dans un intervalle de fréquence autour de f0= appelé plage de verrouillage. valeurs de 9. 4------- ...--S'I- .r-H-m- ll""fêi't"l- nuagmmu .m--fl-fl- ___-r-- fig. 8 présente un diagramme de phase de "1' 5 "1' 25 "1"Û'75 "°' 5 "°' 25 l'équation [1]. Son observation est--elle compatible avec vos conclusions ? D 19-- La fréquence fe est supposée fixée. On pose A(t) : A : Cte. L'étude générale de la stabilité de la boucle verrouillée reste difficile. On se contentera de linéariser [1] autour d'une position d'équilibre caracté- . A risée par Q, vér1fiant cos(âe)=--k--. Poser 8 | << 75) et discuter la stabilité 0=Q+e ( de l'équilibre selon le signe de sin(98). La 1 dt - (Q,) " î Ü20 -- Déterminer numériquement la plage de verrouillage. Etudier numériquement comment évolue le déphasage (--Be) lorsque la fréquence fe balaie la plage de verrouillage par valeurs croissantes. On donne : fi) : 100 kHz, t' =150><10"ô 5, k : 6,28><104 s".V", ... = 0,1 et Ve : V. : 4V. Fig. 8 : ---- en fonction de 9 pour COS Accrochage de la boucle D 21 -- La boucle n'est pas verrouillée, la fréquence d'entrée est constante ; on admet provisoire- ment2 que le signal de sortie du multiplicateur puisse s'écrire v(t) : V0 + Vn cos(fit), où V0, V9 et [2 sont des constantes. Le gain complexe du filtre F (fig. 9) à la pulsation .Q étant noté 2 Justification dans la question 21. Tournez la page S.V.P. Page 5 sur 7. F (Q)exp[ jÇDF (Q)), (noter l'égalité F (O) = l), établir les expressions respectives de u(t) et de .Qs(t) ; ngr 1+ .(22r2 ' B(t) = at-- flsin[flt+®F(û)] [2]. établir enfin que, si on a 0(0) : alors B(t) peut s'écrire : Exprimer a en fonction dek,V0 et A et B en fonction de k, VQ,F(Q) et a. D 22 --- On suppose désormais que l'action du filtre passe-bas F est suffisamment efficace pour que l'on puisse admettre que cos((D,,)= F (0) = ---1---- et (D, = --£. Dans l'expression de la ten- sion v(t) : --Ë-cos[9() t ()]= --Ë--(A(t)cos(oe)+ B(t)sin(æ)) déduite de --2 --1 0 1h.- 2 Fig-- 9 -' Diagramme de 30619 de F: [2], les fonctions A(t) et B(t) peuvent s'exprimer comme une série en abscme " log...(an) trigonométrique par rapport à la variable (Qt+ O.

g_ç_

Déterminer les conditions initiales 8(O') et (dt

] . Exprimer £(t).
r=0+

E] 28-- Expliquer les avantages et les inconvénients pour la boucle à 
verrouillage de phase d'une faible
constante de temps Tdu filtre F.

Fin du problème

Fin de l'épreuve

Page 7 sur 7.