Mines Physique 2 PSI 2002

J. 2161

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2002
SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PSI
(Durée de l'épreuve : 4 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé)
Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, 
TPE-EIVP

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :

Physique Il -- Filière PSI

L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PSI, 
comporte 9 pages.

0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il le signale
sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est amené à pren--
dre. '

0 Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions 
ultérieures, même S'il n'a pas
été démontré.
. Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera 
pertinent, même lorsque

l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces 
initiatives ainsi que des
qualités de rédaction de la copie.

MOTEUR SYNCHRONE AUTOPILOTÉ

Ce problème concerne la traction électrique sur les locomotives. Parmi les 
procédés utilisés,
figurent les chaînes de traction à moteur à courant continu, à moteur 
asynchrone et à moteur
synchrone autopiloté. Pour les locomotives de puissance, le choix de la SNCF 
pour le TGV
Atlantique est la chaîne de traction à moteurs synchrones autopilotés étudiés 
dans ce pro-
blème.

Préliminaires : ordres de grandeur

La masse d'une rame du TGV Atlantique (deux motrices et dix voitures remorques) 
est
m = 700 t . La figure 1 représente un exemple de courbes donnant les variations 
suivant la

vitesse, notée v, d'une part de la résultante B, des actions extérieures 
s'exerçant sur la rame

(en pointillés), d'autre part de la résultante F des actions exercées par 
l'ensemble des mo--
teurs (en trait plein). On rappelle que 1 daN : 10 N.

1. La résultante extérieure se modélise classiquement par Fe = A + Bv+Cv2 O ù

(A, B et C) sont trois constantes ; proposer une interprétation physique pour 
chacun des ter-

mes de cette loi.

Page 1/9 Tournez la page S.V.P.

Physique Il -- Filière PSI -- 2002

2. Déterminer graphiquement la vitesse de la rame ainsi que la résultante de 
traction en ré--
gime permanent. Discuter la stabilité de ce régime.

F(daN) 3. Déterminer numériquement, pour
" "" Î '" " J ce régime, la puissance développée par
_] ------ -------+------------------ l'ensemble des moteurs.

, -------- [ --t--------ä 4. En envisageant le cas où cette
_ F, résultante ... _l , ----l traction est assurée par huit moteurs à
detra°"°Ï courant continu, alimentés par une
. i ' tension de 1500 V, estimer l'ordre de
15000 _ Fe, résultante _ --Î7WT"_' grandeur du courant circulant dans le

10000 des actions extérieures L_\_%<_--Î__fii rotor d'un moteur. 5. Quels problèmes peut alors poser ' ce type de dispositif? 00 50 100 150 200 250 300 k hAl) Figure 1 v( "" On analyse dans ce qui suit le cas où la traction électrique est assurée par des moteurs synchrones. La première partie est consacrée à l'étude du moteur, la seconde à l'étude de sa commande. Première partie : Le moteur synchrone Le principe du moteur synchrone repose sur l'interaction entre un champ magnétique << tournant » produit par des courants circulant dans les circuits statoriques, et un champ as- socié aux courants circulant dans les bobinages du rotor. Étude du stator Le stator porte trois bobinages identiques, alimentés en courant triphasé. Chacun d'eux est assimilé à une spire plate, parcourue par le courant ik (l) avec k EUR {1,2,3}. L'alimentation triphasée est caractérisée par l'ensemble des courants (Fig. 2) : il(t)= Icos(oet), i,(t)=lcos aut--2?" , i_,(t)= [cos wt--j4--3£ . Les parties des spires parallèles à l'axe (0,2), positionnées dans des encoches situées à l'intérieur du stator, se referment en formant des cadres rectangulaires. On note ñk la normale au cadre et ik(t) le courant algébrique (orientation sur la fl- gure) associés à la spire k. Le stator et le rotor, tous deux réalisés dans un matériau magnétique linéaire, sont séparés par une zone d'air, d'épaisseur EUR, nommée entre-- fer. La faible valeur de EUR permet de confondre le rayon intérieur du stator et le rayon extérieur du rotor, notés R l'un et l'autre. Figure 2 La splitéabilité relative du matériau magnétique, ,ur, sera considérée comme infinie ; celle de l'air sera prise égale à 1 . Page 2/9 Physique Il -- Filière PSI ---- 2002 6. Les effets de bord suivant la direction (0,2) sont négligés. Justifie le fait que le champ B est radial dans l'entrefer. L'espace est rapporté au repère cylindrique (ür,ü9 , ü,) défini sur la figure 3 ; les angles sont repérés à partir du _. vecteur ñ,. On désigne par B, : B(9,l) u,, le champ dans l'entrefer ; on néglige sa variation en fonction de r sur l'épaisseur e de l'entrefer. Le théorème d'Ampère dans _) Figure 3 un milieu magnétique s'écrit É£BI -dl =i, où (C) dési-- gne un contour fermé orienté et i la somme des courants algébriques libres traversant ce contour. Dans le cas où le contour traverse plusieurs mi- lieux, on admet que la circulation de H sur les portions situées dans les milieux de haute splitéabilité relative est négligeable devant celle qui est calculée sur les portions situées dans l'air. 7. À l'aide du contour (C) défini sur la figure 4, établir que le champ B(9,t) créé par le courant il(t), satisfait la relation B01 ----B1(9,t) = fl(9) il(t), où la fonction f,(9) est repré-- sentée sur la figure 5 et où B... est une constante dont on précisera la signification. Détermi- ner la constante [3 (Fig. 5). 3_7t 271: 2 2 Figure 5 8. De même, représenter les graphes des fonctions f,_(9) et f,(9) associées respective- mentaux champs B,(9,t) et l%(9,t) produits par les courants i2(t) et i3(t), tels que BOk ---- Bk(9,t) = fk(9) ik(t). Montrer qu'il existe une relation simple entre f2 (EUR) et ]Ï(6+ %], puis entre f_,(6) et f1{9--%) ,/ 9. Les fonctions fk sont périodiques et admettent un développement en série de Fourier, dont on ne retiendra que développement limité au premier harmonique. Exprimer fl(9). On donne: ] 27r f, (a) z -2; 0 f, (a) d9+ F-- {; fi(9)cos(9) de) cos(9) + F-- {: f, (9)sin(e) d9] sin(9) 7ï 7ï Page 3/9 Tournez la page S.V.P. Physique Il -- Filière PSI -- 2002 10. Exprimer le flux du champ magnétique Ë(9,t) créé par le courant i] (t) à travers la sur-- face fermée d'un cylindre d'axe (0,2), de base circulaire de rayon r et de hauteur h , la partie latérale étant située dans l'entrefer (R < r < R + 6 z R). 11. Rappeler l'équation de Maxwell associée au flux de Ë. Que peut--on dire pour le flux calculé précédemment ? En déduire l'expression du champ 3(9,t) dans l'entrefer, en fonc-- tion de 5, Mr) et 9. Donner enfin l'expression des champs Ë,(9,t) et Ë3(9,t). 12. À partir des résultats précédents, montrer que le champ magnétique total dans l'entrefer est de la forme B(9,t) = Bocos(wt --9) (champ glissant) et donner l'expression de la constante BD en fonction de B, I et ,u0, splitéabilité magnétique du vide. Formules utiles pour cette question : cos(x) + cos(x ---- %] + cos{x ---- 4%) : 2cos(x), cos(x)cos(y) -- cos(x --Æ) cos(y + E] --- cos{x -- Ë)cos{y _zr_) : â cos(x -- y). 3 3 3 3 2 Étude du rotor Le bobinage porté par le rotor est modélisé par une spire rectangulaire de largeur 2R et de hauteur H , solidaire du rotor, parcourue par le courant continu le (Figure 6). Sa posi-- tion est repérée par l'angle 9 entre ñ , vecteur normal à la spire, et fil (défini Fig. 2). 13. On note 11 le moment par rapport à l'axe (0,2) des forces de Laplace s'exerçant sur le cadre et F sa mesure algébrique (« couple >>). Montrer que

F = 1<1>, sin(oet --9), o ù
OEO est fonction de yo, ]
Figure6 R, Hete.

31

e 9

14. Le rotor tourne à la vitesse angulaire a), et la position de ñ se repère 
par l'angle

9= a),t -- (p. Pour quelle valeur de a),_ la moyenne temporelle de F est-elle 
non nulle '? Ex-
primer alors F ; dans quelle plage de valeurs de (p ce couple est-il moteur '?

15. Le moteur synchrone entraine une charge dont le couple résistant est noté 
Fr . Quelle est

la valeur maximale FM que peut prendre Fr en régime permanent ?

16. En supposant Fr < FM et 0 _<_ (p S 271", montrer qu'il existe deux points de fonctionne-- ment en régime permanent. Étudier la stabilité de ces régimes par rapport à d'éventuelles perturbations. Page 4/9 Physique Il -- Filière PSI ---- 2002 Forces électromotrices induites par le rotor dans les bobinages du stator On s'intéresse aux flux  H
°° i"°"'J

Figure 12

32. Représenter les schémas des asservissements représentés sur les figures 10 
et 11 lorsque
l'on fait intervenir le couple de freinage.

33. En modélisant ce couple supplémentaire par un échelon, calculer pour les 
deux asservis--
sements précédents la nouvelle vitesse en régime permanent lorsque la consigne 
délivre le
même échelon que précédemment. Comparer les résultats et conclure sur l'intérêt 
du correc--

teur.

FIN DE L'ÉPREUVE

1 cette notion, définie en SI, correspond à g : lim [ac(1) -- ar([)] : lim 
[p(05 (p) -- a (p))].

l--)°°

Page 9/9