Mines Physique 2 PSI 2005

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DESTELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2005
SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PSI
(Durée de l'épreuve : 4 heures)

Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, EN STIM, INT, 
TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :

PHYSIQUE ][ --PSI

L'én0ncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PSI, 
comporte 8 pages.

- Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il
est amené à prendre.

0 Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des 
considérations numériques)
qui vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas 
explicitement.

A

. Notations : vecteur ---> V (on pourra écrire V) ; vecteur unitaire de la 
coordonnée c : c.

ÉCOULEMENTS DE FLUIDE DANS UNE ROCHE

L'objet de ce problème est de dégager des paramètres importants en 
pétrophysique. Un
gisement est constitué d'un ou de plusieurs réservoirs superposés, ou proches 
latéralement ;
le réservoir est une formation rocheuse du sous-sol, poreuse et splitéable, 
renfermant une
accumulation naturelle d'hydrocarbure et limitée par une barrière de roche 
imperméable. La
caractéristique essentielle de ces réservoirs est que ce sont des milieux 
poreux : les fluides
sont stockés se déplacent dans des pores de dimensions de l'ordre du um, ce qui 
met en jeu
de forces de viscosités et de capillarité. La pétrophysique est l'étude des 
caractéristiques
physiques des roches. Pour qu'une roche puisse constituer un réservoir, il faut 
:

- qu'elle ait une certaine capacité de stockage, propriété caractérisée par la 
porosité,

- que les fluides puissent y circuler, propriété caractérisée par la 
splitéabilité et

- qu'elle contienne une quantité suffisante d'hydrocarbure, avec une 
concentration suffi-
sante, propriétés caractérisées par le volume imprégné ainsi que la saturation 
des pores.

I -- Étude d'un écoulement

La pesanteur est négligée dans cette partie. On s'intéresse à l'écoulement 
incompressible
d'un fluide de viscosité dynamique 11 et de masse volumique p dans un tuyau 
cylindrique

d'axe Oz et de rayon a. Cet écoulement, considéré comme unidirectionnel, est 
caractérisé,
dans un repère de coordonnées cylindriques (r,9,z) d'axe Oz par un champ de 
vitesse

v : v(r,z,t) î satisfaisant l'équation de Navier--Stokes,

pâv

pât -----+p(v .vgrad) =---gradP+nAv. [l].
_D__p .D_p_ ê__p
L" ncom b l' t traduit ar---- -- --0, =------ v rad
1 press111ése p Dt ou-- Dr Bt +( g )p.

On trouvera en fin d'énoncé un formulaire relatif aux coordonnées cylindriques 
et une for-
mule d'analyse vectorielle qui pourra se révéler utile.

D 1 -- Rappeler la signification de chacun des quatre termes de l'équation [1]. 
Écrire
l'équation (qui sera notée [2]) traduisant, dans le cas général, la 
conservation de la matière et
simplifier cette équation pour tenir compte de l'incompressibilité de 
l'écoulement.

D 2 -- Montrer qu'en régime stationnaire le champ des vitesses ne dépend que de 
r et que sa
dérivée convective est nulle. On se placera désormais en régime stationnaire.

Cl 3 -- Montrer alors que la pression ne dépend que de la variable z, puis 
établir l'équation

. . . . dP dP
d1fferent1elle liant U(r) à r et ---- .En déduire que -- est nécessairement 
constant.

dz dz

Cl 4 -- Considérant que v,(O) a une valeur finie, déduire de ce qui précède la 
loi de Poi-

seuille, vz(r)=--l-- £ (r2--a2). Tracer l'allure du graphe de v Z(r )pour 
-d--lî 0 ). Les parois 
latérales sont

étanches et il n'y a pas de réaction du fluide sur la roche (cas général) ; 
dans ces conditions,

k dP , . , . . , .. . . . ,
Q = A -----, ou k, coeffic1ent de permeab1hte est, en prem1ere approx1mat10n, 
mdependant

n dz
du fluide considéré (C'est la loi de Darcy).

Cl 11 --- Quelle est la dimension de k ?

D 12 -- En modélisant l'échantillon de roche comme un faisceau de N (N >> 1) 
cylindres

creux, de rayon & (a << «/Z), juxtaposés et d'axes parallèles à Oz, les interstices étant pleins, montrer que la loi de Darcy peut être déduite de l'écoulement de Poiseuille étudié dans la première partie ; quelle serait, dans cette modéli-- sation, et en négligeant l'aire des interstices, la valeur de la constante k ? Quelle est sa limite pour N infini ? Cl 13 ---- Toujours dans le modèle de la roche à tubes cylindriques parallèles 1dent1ques, quelle est la relatmn hant q) = --P ak '? Pour l'etabhr, on cons1-- VT dèrera le triangle tracé ci--dessus et l'on négligera l'effet de bord, c'est-à--dire l'influence de l'enveloppe circulaire des tubes élémentaires. CI 14 -- En raison de l'effet de bord, le problème de la limite de k et de 
 E. Montrer que la vitesse d'écoulement en un point à la distance r de 
l'axe est propor--

tionnelle à 1/r ; que peut--on en déduire sur le débit Q(r) ? Admettant que la 
loi de Darcy

s'écrive ici Q = A --k---C-l--IÎ- : 27rrh --k--Ë, appliquer cette loi entre 
deux cylindres de rayons r et

n d r T] dr
r +dr et par intégration calculer P, -- P,-- en fonction de h, k, 71, R,, Re et 
Q.

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[C] [D]

Fig. 3 : diverses géométries d'écoulements : simple en [A], parallèle en [B], 
série en [C] et
cylindrique en [D]. Les flèches indiquent le sens des divers écoulements.

rayon a creusé dans la roche poreuse et situé loin des limites de la couche
géologique est notée R ; on constate qu'à partir d'un certain rayon R,

(rayon de drainage) la pression ne varie plus et vaut PG (pression de gise-
mentl) ; exprimer le débit du puits en fonction de P6, P], R, a, h, 17 et k.

Puits de forage

1 Cette « saturation » exprime la limite de validité de la loi donnant Pe -- R 
en fonction des rayons.

Modélisation fractale autosimilaire

Pour décrire le milieu poreux de manière plus réaliste
qu'avec le modèle des cylindres parallèles identiques,
l'Institut Français du Pétrole a développé un modèle
où le milieu est toujours représenté par un assemblage
de tubes cylindriques parallèles à la direction
d'écoulement, mais où les rayons des tubes sont
décrits de manière itérative : le périmètre du disque
initial, de rayon ro, est divisé en 2v parties égales (v
est la lettre grecque « nu >>). Chacune de ces parties est
prolongée par un demi disque s'appuyant sur le
contour du grand cercle. L'entier vétant assez grand,

on néglige la courbure du cercle de départ. On divise
ensuite le contour de chaque demi--disque ainsi créé en
v parties égales, sur lesquelles on ajoute des demi-dis-

Une figure auto--similaire. L 'enve--

loppe est un cercle de rayon R... '
ques et ainsi de suite. A la p--ième étape on compte

[)

. . 7ï . , .

NP =2>°° ln(£)

du processus par le nombre réel positif, non nécessaire--
ment entier, Dc(v). Calculer Dc(v) en remarquant que

ln M ln N
lim--( ")=1im------( ")
p--->°° ln(8) p-->°° ln(8)
graphiquement le résultat pour 3 S v S 10. Supposant que, dans un échantillon 
de section A,.

chacun des tubes élémentaires définit un écoulement de Poiseuille, retrouver, 
dans le cadre
de ce modèle, l'expression de la splitéabilité k de la loi de Darcy en fonction 
de $, v (v > 2)

et ro. Sachant que l'on peut déduire de certaines mesures Dc : 1,4, faire 
l'application numé-
rique et comparer le résultat à celui de la question 12.

. La figure ci-contre illustre

IV Essai de puits

On considère la circulation d'un fluide unique dans la couche rocheuse poreuse 
(hydrocar--
bure seul, sans eau et sans gaz dissous). Le gisement est homogène et isotrope, 
de splitéabi--
lité k et de porosité @. La température du gisement est uniforme, la roche est 
incompressible

et l'hydrocarbure possède un coefficient de compressibilité isotherme ){T 
constant. La vitesse
de filtration, V,", est le rapport du débit Q traversant une section à l'aire A 
de cette section.

D 21 ---- Montrer que la loi de Darcy est compatible, pour un écoulement 
stationnaire hori-

k . , . .
zontal, avec la relation Vfi, : ------grad P. Quelle difference y a-t-1l entre 
la Vitesse de filtra-

tion V_fi, et la vitesse v d'un point du fluide, telle qu'elle est introduite 
dans les premières

questions ?

D 22 -- Exprimant le bilan de matière dans une portion de cylindre de section A 
et de lon-
gueur dz , écrire la loi de conservation de la masse du fluide sous la forme

%Ê-= --div(pVfi,).

D 23 -- Justifier qu'en première approximation l'on puisse accepter pour 
équation d'état du

fluide la relation p= p0[1+ XT(P-- Po )] ; 5P étant la variation typique de 
pression envisa-
gée dans la suite, quelle inégalité relative au produit 17--513 cela 
implique--t--il '?

D 24-- Au prix de quelle inégalité supplémentaire l'équation aux dérivées 
partielles

l . . . . .
AP : ----ê--P-- se déduit-elle de ce qui précède ? Il n'est pas demandé de 
JUSt1fiEURI' cette méga--

K Bt
lité ; exprimer K en fonction de k, 0), n et XT- Comment peut-on, par analogie, 
nommer K '?

Cl 25 -- Calculer K pour k : 4,0><10"13 m2, 
<10"9 Pa"' et n = 0,10 Pas. D 26 -- La loi de Darcy, établie pour un régime permanent, est à la base de l'équation de la question 24, qui décrit un régime transitoire de pression. Dans quelle mesure cette dernière équation est--elle admissible ? FIN DU PROBLÈME Formulaire page suivante. Coordonnées cylindriques d'axe Oz ; les vecteurs unitaires sont f, 0 et 2 Une formule utile : f étant une fonction et A un vecteur, div(fA) : fdiv(A)+ Agrad( f). FIN DE L'ÉPREUVE 1905-2005 Relation d'Einstein pour un mouvement lent La viscosité 17 d'une solution peut intuitivement être représentée par un développement en série de la concentration c du soluté : n(c)=no(l+klc+kzcz+....), ce qui entraîne n_Y=--îl---l= klc+k2c2+.... Einstein a établi pour des particules sphériques la relation 770 77.ç = 2,5qî , où d) est la fraction volumique du soluté dans la solution. Si V,,_ est le volume hydraté d'une particule de masse molaire M et NA le nombre N d'Avogadro, alors $ : Vh _]ÎÎ--C'