Mines Physique 2 PSI 2006

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ÉCOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

- CONCOURS D'ADMISSION 2006
SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PSI

(Durée de l'épreuve : 4 heures)
L'usage de la calculette est autorisé

Sujet mis à disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE--EIVP
Les candidats sont priés de mentionner defaçon apparente sur la première page 
de la copie :

PHYSIQUE ]] -PSI

L'énonce' de cette épreuve comporte 8 pages.

0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

0 Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des 
considérations numériques) qui
vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas 
explicitement.

. Notations : vecteur ----> V (gras) ; norme du vecteur V --> V (italique) ; 
vecteur unitaire ----> â.

LE CHANT DES BULLES

Ce problème étudie diverses propriétés liées à des bulles d'air dans l'eau. On 
rappelle que,
en l'absence de toute force volumique extérieure (et en particulier en 
négligeant la pesan--
teur, ce qui sera le cas dans tout ce problème), le champ des vitesses v (de 
norme U) dans

un fluide non visqueux de masse volumique p et le champ des pressions p sont 
liés entre
eux par la relation d'Euler d'une part, l'équation de conservation de la masse 
d'autre part :

p {(%) + (v.grad)v] = --grad ( p) , div (pv) + % = o.

2

Dans tout le problème, exprimer signifie donner l'expression littérale et 
calculer signi-
fie donner la valeur numérique.

{Rappel d'une identité vectorielle : (v.grad) v = --1-- grad (02 ) -- v A rot 
(v)}

Partie 1 Évolution de l'air contenu dans une bulle

I-1 Propagation du son dans l'air

Hypothèses et notations
L'air est considéré comme un fluide homogène et parfait dont le rapport des 
capacités ther-

C

miques 7 = ------"-- est constant. La masse volumique et la pression dans l'air 
au repos sont

C

V

notées respectivement Po et po. On étudie des mouvements de faible amplitude et 
de fai-

ble vitesse (approximation acoustique), de sorte que les termes du second ordre 
seront
négligés dans les équations d'évolution de la masse volumique p(r,t), de la 
pression

p(r,t) et de la vitesse V(l',t) du fluide, au point r et à l'instant t. On pose

pl(r,t)=p(r,t)--pO, ,01(r,t)=p(r,t)--p0 avec |p,|<<|pJ et |Pll<oo r----->R(t)

D 10 -- Toujours sous l'hypothèse lc," (t)l << RO, donner l'équation différentielle régissant 5 (t) ; on fera intervenir la pulsation de Minnaert COM : 37 = 27rfM. Cl 11 -- Calculer wM eth pour R, =10"3 m, p, =105 Pa, p, =1,0><103 kg.m" et 7 = 1,40. Justifier l'hypothèse d'uniformité de la pression faite en I--2. CI 12---- Donner, à l'ordre le plus bas par rapport à 5 (t) ou à ses dérivées, l'expression de la vitesse U (r,!) et celle de la pression p(r,t) à la distance r du centre de la bulle. On cons- tate qu'une modification de 5 (I) se répercute en une variation simultanée de la pression ; quelle est l'hypothèse du modèle qui impose cette transmission instantanée des variations de volume ou de pression '? II-2 Propagation d'ondes acoustiques dans l'eau Il faut donc considérer l'eau comme un fluide parfait compressible, de masse volumique uniforme au repos pE ; la célérité des ondes acoustiques dans ce milieu est notée CE . On se place toujours dans les conditions usuelles de l'approximation acoustique : les ondes sont de faible amplitude et les équations de la dynamique des fluides sont linéarisées. Soit p(r,t) la pression en un point de l'eau à la distance r ?. R(t) du centre. On admet que p(r,t) est 162 solution de l'équation Ap (r,t) : ----- p (r,t) et l'on cherche les solutions de cette équa- e,3... "à? "(N) ]" tion sous la forme p (r,t) = po + p1 (r,!) = p0 + , ce qui définit 7r(r,t) . Cl 13 ---- Établir et identifier (nommer) l'équation aux dérivées partielles [?] satisfaite par 1 7z(r,t). En déduire que la pression s'exprime sous la forme p(r,t) = po +--ça(u) , où r r----RO CE u = t-- . La fonction ç!) ne peut pas être déterminée à ce stade. Cl 14 --- Exprimer l'accélération d'une particule d'eau, a(r,t) = a(r,t) êr , en fonction de ç0(u), de sa dérivée ç0'(u) =%, de pE, CE et de r. Montrer que ça est solution de u \ R d d' l'équation différentielle, notée ci-après [1], --â---'--'î + (p(u) = pERâ f [1]. cE du du , . . " d2 5 cF . L'équation [l] admet la solution exacte (p(u) = pEcERO d 2 exp Î(z--u) dz, qu1 () Z 0 s'annule pour t = 0. Nous préfèrerons cependant adopter un traitement perturbatif du pro- blème. On admettra que, passé le transitoire, la solution particulière de [l] s'écrit sous la ! ' r ' r o \ r _ R forme d'une ser1e des der1vees successwes de g" par rapport a u [ u = t -- °) : c E 2 °° k Ro kd(k+2) e(u)=eRogo<--I) [----] du...? (u). E E] 15 -- Sous quelle(s) condition(s) peut-on choisir pour p(r,t) l'expression approchée [54] 2 ] rr _R0 1 m A--R0 p(r,t)=pO+pERO{--g(1_r )_z_ë= (t--' H [31] Cl 16 ---- On accepte la forme [$] et l'on suppose que le terme de dérivée troisième y est négligeable. Exprimer sous cette hypothèse la continuité de la pression à la surface de sépa-- ration de la bulle d'air et de l'eau. En déduire l'équation d'évolution de 5 (t), en faisant intervenir à nouveau la pulsation de Minnaert (% = 3}/ introduite à la question 10. RâPE Cl 17 ---- En quoi la forme des solutions {ça(r,t),p(r,t),v(r,t)} (ce sont toujours des oscillations à la pulsation COM ) est-elle plus satisfaisante que la solution établie à la question 10 (établie sous l'hypothèse d'incompressibilité du fluide) ? D 18 -- On considère maintenant que, dans l'équation [[A], le terme de dérivée troisième est un terme correctif ; dans ces conditions, on admettra fondé d'exprimer ce terme comme la dérivée troisième de la solution trouvée à la question 16. Etablir alors la relation 2 .-- p(rat)=po+,ÛgRâ lê"(t--r RO]+w_MÆ'(Î_r Ro] En déduire, en relation avec la question 6, l'équation d'évolution d25 d<Î dt2 +2FwM--à--t+wjflë(t) :O. D 19 ---- Discuter l'origine physique et la valeur numérique du coefficient 1". La Fig. 1 correspond à p() = 105 Pa et )/ = 1,40. Estimer, avec ces données, le rayon moyen de la bulle. --4-2 02 4 (: 010121410182022242'2 Fig. ] -- Forme du signal acoustique produit par une bulle d 'air dans l 'eau. Les abscisses sont gra-- duées en millisecondes. L'échelle verticale est en unité arbitraire (u. a. ), proportionnelle à l'amplitude du signal acoustique. (extrait de Passive acoustic bubble sizing in sparged systems, R. Menasseh et al., Mai 2000). Partie III Couplage acoustique de bulles Introduction à la partie II] On étudie (Fig. 2) deux bulles sphériques d'air plongées dans l'eau, et dont les centres sont disposés à la distance d l'un de l'autre. Le rayon d'équilibre de chaque bulle est le même et l'on s'intéresse aux oscillations de taille de ces bulles, couplées acoustiquement entre elles. On pose Rk (t) = R0 +Çk (t) avec k = 1 ou 2 et l'on suppose, ce qui est largement réalisé dans la pratique, que RO << d. On admet que la pression dans l'eau au point M et à l'instant t s'écrit lug.J '? Dr 111 hui/«99 d 1.1.r dans l'eau (51(1!15f5s par le? haut pm]vur [IP. tha'rophmw M p(M)[) : po + pl (MJ) + p2 (MJ) , dc5mmfe Je s1tm 91 acoustzqur5 proc/wi par les \,. a»ullafmnæ /brEUR@m des bu]!rêS ' _ _ , ou Pk (t) est la surpressmn acoust1que causee par l'oscillation de la bulle k. Cette relation signifie que le champ de surpression total est la superposition des champs produits par chacune des bulles, supposée isolée. On admet aussi que, pour un point Ak de la surface de la bulle k, la relation suivante, qui généralise la'rela- tion [7%] de la question 6, est applicable : P1 (Ak=t)+pz (Ak9t) +37, ëk (I) 0. Po Ro On admet enfin que, à l'instar de la relation établie à la question 18, la surpression pk (MJ) rayonnée par la bulle k en un point M situé à la distance rk de son centre satisfait la relation : 1 " 2 r ' ---R pk(M>t)=Pb--RË{-- k("k)+--aîM--ëk(uk)],ou uk=t--rk °

rk cE

CE

On appelle mode l'ensemble (51, 52). Le mode symétrique satisfait 51 (t) = 52 
(t) et le

mode antisymétrique EUR] (I) : --.£2 (t) . On suppose enfin vérifiée 
l'inégalité CE << a)Md . III--1 Étude théorique du couplage E] 20 ---- Établir le système suivant, en particulier exprimer le paramètre de couplage & en fonction de d et de R0 ' 51"+ 0552" + 2FwM (ëi + &) + CÙÎ451 : 52" + aël"+ 2FwM (52, + ëi) + wÏ452 : 0 Cl 21 --- Le dispositif expérimental (Fig. 3) est agencé pour produire des oscillations symé-- triques des bulles. Déterminer dans ce cas la pseudo-période des oscillations amorties; on supposera bien entendu satisfaite l'inégalité F << 103 kg.m°3) et en utilisant l'expression de la pulsation de Minnaert donnée à la question 10, calculer le (RQ )mown correspondant à fm..." . Quel est l'écart relatif entre ce rayon moyen et celui des bulles réelles ? E] 25 -- La forme des courbes et la relation, au jugé, entre leurs pentes sont--elles en accord avec les prédictions théoriques ? Cl 26 -- Les fréquences étant exprimées en kHz, le dépouillement des courbes donne, avec des notations standard » :: ' .l/.f. ..... --mndn.&mriätrimgn---. 0.52 43 .. fig . ' _. : . 2 /'" \ ...... ............. ,,,,,, .j_},__. .l_ï_â ...3...% : ,,,,,,,, ï ...")... 72_= @ 1--0,97 â,a _ 0_44 : ..... .. . .. .. _ ....... a , . .'... ............. . Analysez ces résultats. «3.40 0.00 0.04 0.08 0.12" , Cl 27 ---- On constate que les durees Fig. 4 --- Emi/alim: de nmdas ab.rci.5tre : R.;yOEf et" caractéristiques de r .: - ... r --. , 9 ' omimmee : !.{7'3 ; la__ff"tæ*(ÿïitfifætfiéj cast rm kHz. ] amortissement des "...des symétrique et antisymétrique sont quasiment identiques. Quels sont les phénomènes, non pris en compte ici, qui pourraient rendre compte de ce désaccord avec la prévision théorique '? Cl 28 -- Des travaux de NYSTUEN (1999) visent à utiliser des enregistrements acoustiques pour mesurer les débits de pluie dans l'océan, en utilisant des microphones immergés. Comment l'enregistrement acoustique des oscillations de bulles peut-il être relié à la mesure de la pluviométrie ? Fin de l'énoncé Notations, rappels -- Un système d'axes orthonormés direct Oxyz est associé à la base A A A directe (e e e ), voir Fig. page suivante. On lui associe un système de coordonnées x' y'z sphériques de centre O et d'axe Oz, noté (r,6,ça) et associé à la base locale (êr,ê9,ê(p). En coordonnées sphériques, les expressions du gradient et du laplacien d'une fonction f ne dépendant que de la distance r au centre 0 sont grad(f) =â_f;ê' : f'(r)êr Af : --1Î--c--l--(r2 ë--f--) r dr dr =f"(r)+zf'("). r Pour un vecteur ne dépendant que de r : div(W) = li(r2W(r)) r2 dr Enfin, pour tout vecteur a, rot [rot (a)] : grad [div (a)] -- Aa. Fin du problème Le dispositif historique de Minnaert.