Mines Physique 2 PSI 2007

A 2007 PHYS. II PSI

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES,
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2007

SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Filière PSI
(Durée de l'épreuve : 4 heures)
L'usage de la calculatrice est autorisé

Sujet mis à disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, 
TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :

PHYSIQUE Il - PSI

L'én0ncé de cette épreuve comporte 8 pages.

0 Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une 
erreur d'énoncé, il est
invité à le signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant 
les raisons des initia--
tives qu'il est amené à prendre.

0 Il ne faudra pas hésiter à formuler les commentaires (incluant des 
considérations numériques) qui
vous sembleront pertinents, même lorsque l'énoncé ne le demande pas 
explicitement. Le barème
tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la 
copie.

_»

Notations : vecteur _) A ; norme du vecteur A --> A (italique) ou

-->

A

; vecteur unitaire --> â. Le

vecteur unitaire correspondant à la coordonnée c est noté ê ; par exemple 0 est 
le vecteur unitaire
correspondant à la coordonnée 9 en coordonnées cylindriques.

Dans toute l'épreuve, exprùner signifie donner l'expression littérale et 
calculer
signifie donner la valeur numérique.

HYDRATES et CLIMATISATION

1.'l| füfËHfÈ-. H'_'EH.H Pour répondre aux exigences
des protocoles de Kyoto et de

,'l-frJËrËf;-I_IFIJ {.it-' Montréal sur les changements
...,fi"',...w climatiques et sur la protection

' de la couche d'ozone, le marché
de la réfrigération utilise pro-
gressivement des fluides frigo-
porteurs diphasiques. Ces flui-
des exploitent l'énergie de
changement de phase
solide/liquide (300 kJ.kg_1 pour
la glace). Pour la climatisation,
il est nécessaire de disposer de
composés dont la température
de transition soit voisine de 10°C. Des cristaux similaires à la glace, les

£."I'iäiIii

IIÏF _Ü£EILËL( ' '

1/8

Physique 11200 7. Filière PSI.

hydrates, se révèlent être des candidats intéressants pour ce but. Ce sont des
structures tridimensionnelles, en forme de cage susceptibles d'accueillir des
molécules ou des sels. La figure de la page 1 en représente un exemple. Ce
problème concerne différents aspects d'un système de climatisation utilisant des
hydrates.

Il est composé de trois parties indépendantes, de longueurs et de difficultés
inégales et que l'on pourra traiter dans l'ordre de son choix.

I -- Préliminaire : généralités sur les hydrates

[ -- 1 In teractian de Van der Waals

,; 3 _} L'interaction entre les molécules d'eau

ë----:--- :t: --: i et l'espèce piégée est du type de Van
--q. «:; _ . . . ,
--i--l--l {la--_.-- der Waals. La Fig. 1 montre un d1pole

A Ü B M électrostatique pa modélisé par deux

ÆfÏ};æ E -- Üf}i}:fifiâ EÏEEH'ü5OE figue "

.d - - _ _ + .
amdefisa firm: et HÜËHÜÜHS. charges ponctuelles (- q) dlstantes de

a .

L'expression du champ électrique produit par ce dipôle en un point M de son axe

très éloigné de l'origine (x >> a) est Ëx =%Î, où pa = qa. Une structure
7OEOx

moléculaire neutre 2 placée en M acquiert le moment dipolaire p, = 50 O£Ex, où

la constante a est nommée polarisabilité.

E! 1 -- Quelle est la dimension de 05 '?
Ü 2--L'énergie potentielle d'un dipôle électrostatique de moment dipolaire 13

plongé dans un champ électrostatique extérieur É est WP =--p.Ë. Exprimer
WP (x), l'énergie potentielle de la molécule 2 dans Ëx et Ê,dW , force qui 
s'exerce

entre 2 et pa . J ustifier que l'on parle ici de force attractive à courte 
portée.

[ -- 2 Capacité de stockage

Les hydrates cristallisent dans plusieurs types de structures. Deux d'entre 
elles,
nommées l et Il (Fig. 2) appartiennent au système cubique. Chaque structure
présente deux types de cavités, la grande et la petite. Quelques données struc-
turelles sont présentées dans le tableau de la page 8. Par exemple, la 
structure 1

comporte au total 8 cavités dans le volume ("1 )3 et la structure Il comporte 24

cav1tes dans le volume (a") . L'expérience indique que le rayon d'une cav1te

occupée est, en moyenne, inférieur de
140 pm = 140 >< 10_12 m a celui de la même cavité vide. On note y d d le rap- port du rayon de la molécule piégée a celui de la cavité occupée. Lorsque la cavité est occupée par une molécule plus encombrante, son rayon peut être augmenté. On constate aussi que seuls les hydrates vérifiant l'inégalité Fig. r' -- SÈI'HÜËHÏES d Ïlj'ûË'fi ÉES. 2/ 8 ydd > 0,76 sont stables.

Physique 112007. Filière PSI.

Structure Cubique l Cubique Il
Arête du cube, en pm (10_12 m) al = 1200 6111 = 1730
Nombre de HZO par maille 46 136
Rayon de la CâV1té, en pm Petite 395 Petite 391
Grande 433 Grande 473
N mbr d ca i tés ar maille Petite 2 Grande 6 Petite 16 Grande 8
0 e e V p Total 8 Total 24

E] 3 -- Expliquer, qualitativement, ces deux faits expérimentaux.

E! 4 -- Vérifier que, pour une structure de type I et une petite cavité, ydd = 
1,00
pour le dioxyde de carbone ; le rayon de la molécule de COZ est de 255 pm.

E! 5 -- Le rayon de la molécule d'hélium est de 114 pm. L'hélium peut-il être 
piégé
dans l'une ou l'autre des deux structures cubiques '?

D 6-- Un hydrate naturel est constitué dans des proportions variées des struc-
tures l et Il. Montrer que la proportion des structures n'a pas d'influence sur 
la
capacité de stockage.

[|_ 7 -- Calculer le volume de méthane gazeux libérable par 1 m3 d'hydrate à la

température de 20°C, sous la pression de 1 bar (105 Pa). On supposera que le

méthane est un gaz parfait. Avec les notations usuelles, R = 8,31 ].K_1 et
NA= 6,02 >< 1023 mol--1. Le résultat est compris entre 150 et 200 m3 . E! 8 -- Les hydrates de méthane des fonds océaniques sont réputés contenir deux fois plus d'équivalent carbone que la totalité des gisements de combustibles fos- siles connus dans le Monde. On pense qu'une élévation de 2°C de la température des profondeurs déstabiliserait les hydrates de méthane et entraînerait une remontée des gaz vers la surface de la Terre. Quelle pourrait être une consé- quence de ce phénomène '? II -- Climatisation Une façon d'améliorer les systèmes de climatisation consiste en l'utilisation des heures creuses de demande énergétique. Cela implique de pouvoir « stocker du froid ». Le fluide qui permet ce stockage est un fluide diphasique, constitué par un mélange fluide d'eau et d'hydrates d'un sel que l'on nommera TBAB pour les besoins de la cause. Un tel mélange porte le nom de coulis. Le système de clima- tisation comprend ainsi deux fluides caloporteurs. Le fluide primaire est le butane, le fluide secondaire est le TBAB. La Fig. 8 représente un élément du circuit primaire de climatisation et donne plusieurs données importantes et non reprises dans le texte. Le climatiseur fonctionne avec un fluide (ici le butane) dont la température maximale est 52 °C et la minimale 5 °C. L'évaporateur E'U est en contact thermique avec la source froide. Dans un sys- tème classique, cette source serait la pièce à climatiser. Le condenseur est en contact avec la source chaude, ici l'air extérieur à 85°C. Le fluide primaire est du butane (C4Hm, masse molaire M ), la fraction massique de la vapeur dans l'état 1' est notée xY (i =l ou 4 sur la Fig. 3). Le régime de l'écoulement est indépen- 3/8 D...... . u: 7°(7. P,:1.;21...n L.... Sm. L P{= 5.2 Zum; Lan/Ï...lpmw' \c...ÿ-- î1snbnn :sobarei « -- (@ - 2 1 0.93 Dzyhmé. z,' " = 5°('- F]: 1 J b... b... mluzhrrhqm>

ww... {; rrfmulw
(...... [rm/{EUR}

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hq...de autumn/. En 1 n ... 4. A', :lmhtwês.

m.
n...; 11 ... ...

Physique 112007. Efiêre PS].

I] -- 2 Utilisation de coulis dîlzydra tes de TBAB

L'évaporateur est a présent intégré
dans un générateur de coulis, qui est
le fluide secondaire utilisé pour ce
système de climatisation. La fraction
massique d'hydrate dans le coulis est
de 20 %. Ce dernier est stocké a 12 °C
pour être acheminé ensuite vers

"Ê'Ë'Ë" RËËË"" EÜUÜEÊÊË'"""' l'ensemble des échangeurs thermiques
stuckagæ des pièces à climatiser a 20 °C. Pour

chaque pièce, on utilise un réservoir

de stockage de volume Vs =6 m3 et un échangeur thermique permettant
=6kW. Le coulis,

entrant dans l'échangeur thermique à la température de 12 °C, en ressort, fondu,
a la température de 17 °C.

d'obtenir une puissance maximale de climatisation Pc

lim

Pour les applications numériques, on utilisera aussi 1
Capacité thermique massique de l'eau c; = 4,18 kJ.kg_l.K_l.

Capacité thermique massique de l'hydrate de TBAB cZyd = 2,22 k].kg_l.K_1 .
Enthalpie massique de fusion de l'hydrate de TBAB à 12°C É'}äÎ = 200 kJ.kg_l.

Masse volumique moyenne du coulis ,uc = 1020 kg.rrf3 .

D 14 -- Exprimer et calculer Ah , l'enthalpie massique disponible pour la 
climati-
sation de la pièce.

D 15-- En déduire AHS, enthalpie disponible du réservoir de stockage, pour le

refroidissement (cette quantité porte le nom de frigories).

E! 16 -- La quantité AHS permet-elle de faire fonctionner le climatiseur 12 
heures
par jour '?

Ü17-- On souhaite reconstituer complètement le stock de coulis d'hydrates de
TBAB pendant les 6 heures nocturnes les plus creuses en demande d'électricité.
Le système primaire permet de faire en sorte que le coulis utilisé revienne a 
son
état initial (cf. question 11). Exprimer et calculer le débit massique minimal a
réaliser, au niveau du fluide primaire (le butane) pour y parvenir.

III -- Fluide de Bingham

dB Définitions, 1'brmulaÏre et bwat]zêses
' générales

0011 train te de dsai]]em ent

Certaines distributions de forces dans un milieu
déformable engendrent un mouvement
.;flf' laminaire de cisaillement. Au cours d'un tel
d.î mouvement, le matériau présente une structure
en lamelles, en couches adjacentes. La déforma-
tion s'effectue par glissement relatif des
différentes couches, sans transfert de matière
d'une couche a l'autre. Au cours d'un mouvement laminaire de cisaillement, deux

Ï=

} '-fî_f;_ .; -- Flames agissnm: sur
deux c.=mmfm5 FrJJËÙHÏ-ËÊ.

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Physique 11200 7. Filière PSI.

couches adjacentes se déplacent l'une par rapport a l'autre. Des forces
tangentielles de frottement, les forces de cisaillement (Fig. 4) apparaissent à
l'interface de ces deux couches. Si la couche (1) est animée d'une vitesse supé-

rieure a celle de la couche (2), (l) exerce sur (2) une force de cisaillement dË
parallèle au mouvement et tendant à accélérer (2). La couche (2) exerce pour sa

part sur (1), la force de cisaillement --dÊ tendant à la freiner. La contrainte 
de
cisaillement ? est définie dans la Fig. 4.
Form u]aire (coordonnées cy]1h dr1'ques)
Si  = AÏÎ' + AHÔ + Azî , alors
div(Â) =l--Ô(rA') +lÔÆ+Ôi
r Ôr r 89 Ôz

-- Ô A 15 A Ô A
grad{f(r,9,z)]=Ô--Cr+;â9+Ô--Çz.

Ë'rm rdr1'u'æ1fl..ä r:_æ,ræ'æÏmi-æ '.irjrm-H

Hypothèses générales

On étudie l'écoulement permanent d'un fluide incompressible dans un tuyau
cylindrique horizontal d'axe Oz, de rayon R et de longueurL. Le problème est
invariant en 9 . La masse volumique du fluide est notée ,u, le champ de pression

au sein du fluide P(r,z) et le champ de vitesse û=u(r,z)î. La vitesse est
maximale sur l'axe du cylindre et nulle sur la paroiî u(O,z)Z u(r,z)

etu(R,z) = O . La vitesse de cisaillement est, par définition (et par 
convention de

. , . . , . . . I/l . . .
notation) en rheolog1e, la quantite pos1t1ve ;/ = ----. Le fluide est dit de 
Bing-

dr

ham lorsqu'il obéit à la loi de comportement à seuil Ts
Pour T>Ts, T=Ts+îÿp7' et pour TSZ'S ÿ=O.

Une imageî ouvrons un tube de dentifrice et maintenons le vers le bas. Le 
dentifrice ne
s'écoule pas sous l'action de son poids. Si l'on appuie sur le tube jusqu'à 
dépasser la
contrainte seuil, le dentifrice s'écoule comme un fluide.

On admet enfin que le fluide étudié obéit à l'équation suivante, analogue à
l'équation d'Euler pour le fluide parfait 3

"Pa--'? + (û.grad)û} = --grad( p) _ FM}î ,

rôr

Ô--"=o.
Ôt

avec la conservation de la masse div (pû) +

III-1 Profil de vitesse

[|_ 18 -- Quelle est la dimension de y (ce n'est pas celle d'une vitesse !) '? 
Vérifier

que la dimension de la constante 77p est celle d'une viscosité.

[[ 19-- Montrer que ü ne dépend que de la coordonnée radiale r. La loi de
comportement montre alors qu'il en va de même pour T .
dP 1 d(rr)

D 20 -- Montrer que P ne dépend que de z et que -- = ----
(1 z r d r

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Physique 112007. Filière PSI.

E! 21 -- On note P(O) = Pe la pression du fluide à l'entrée du tuyau, P(L) = PS 
la
pression en sortie et AP = Pe --Ps la chute de pression, une grandeur évidem-
AP _ 1 d(rr)

ment positive. Établir la relation--

rdr

Ü_ 22--En déduire l'expression de la contrainte T(F)=âAP ; la relation

2 L
T(ï) = TS L définit le rayon de seuil R0 = TS .
RO AP

Ü23 -- Le rayon R est donné. Montrer que les solutions pour lesquelles RO > R

correspondent a une vitesse nulle de l'écoulement. En déduire la différence de
pression minimale APmin nécessaire à l'existence d'un débit non nul.

E! 24 -- On suppose que RO < R. Établir que la vitesse du fluide est f A--'D(R--RO)2 pour rSR0 4an A--P(R+r--2RO)(R--r) pour rZ R0 \4an u(r)=< E! 25 -- Tracer l'allure de u(r) pour 0 S r S R. On dit que l'écoulement présente une zone bouchon. D'où vient cette dénomination '? []]-2 Caractérisation expérimentale d'un fluide de Bingham E! 26 -- Afin de vérifier la pertinence du modèle, on mesure la chute de pression R R AP = Pe -- Ps et le débit volumique Q = Ju (r) 27zrdr . Montrer que Q = J7zr27ÿ dr . 0 0 RAP Ü27 -- On note Tp la contrainte à la paroi : Tp = {(R) = 2--. Démontrer la for- . . U 1 'p . . . , . mule de Rab1nov1tob Q3 =--d=--3JT2)/dï, ou Ud = Q2 est la V1tesse delu- 7zR TP 0 7zR tante. Dans ce qui suit, cette formule est mise en oeuvre pour permettre une exploitation facile des résultats expérimentaux. E! 28 -- Appliquant cette formule a un fluide de Bingham, montrer que, en négli- . R 8L geant le terme d'ordre 4 en 3, on obtient & = --(AP -- APO) , où APO = TS T R 8L77p 3R P est la pression d1fféren bielle orifiq ue. D 29 -- Quel est l'écart minimal de pression entre l'entrée et la sortie du tuyau pour que l'écoulement se produise '? Comment peut-on avoir accès expérimentale- ment à cette grandeur '? E! 30 -- Au vu de la Fig. 5, le modèle de Bingham est-il fondé '? 7/8 Physique 11200 7. Filière PSI. 3.53 E'. "." 1.5- F1r'ÿ. & -- Résultats rrpëræïwif'-iiaitiifl' de lu.. thèse de M. Da-rüomrt {ËÜÜ&_Ê. pour diverses fractions [.'ÜËH-ïïH-ÜHt'S dr ;m-ri-är-ulsæ. Les limites .E-':JILE des gra-irËrfi 3Jü'Æi?' la 'HLüffiëfiiäffüffli. D 31 -- La caractérisation du fluide de Bingham exige la détermination expéri- mentale du seuil z's et de %. Les grandeurs mesurées sont la chute de pression RAP . AP et le débit volumique Q. La contrainte à la paroi TP = Î = Ts + 77p }/(R ) se déduit de la mesure de AP. En dérivant par rapport a TP le logarithme de la TP formule de Rabinovitch ln(%)=ln ljfiy'df =--31n(rp)+1n[f(fp)], où 3 7117 0 . . , . . . Ud 1 \ dln(RAP/2L) )/p =)/(R), etabhr la relation }/p =Î 3+; ,ou V= dln(U /R) d D 32 -- Comment peut-on déterminer expérimentalement % '? FIN DU PROBLÈME FIN DE L'ÉPREUVE Combustion du méthane dans un ]1ydra te. TBAB (pour Tetra-n-Butyl Ammonium Bromure) ! nom commun du Bromure de Tetra-ButylAmmonium CH3(CH2)3N+BrÏ 8/8