Mines Physique 2 PSI 2010

ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT­ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIERE MP)
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2010
SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE
Filiere PSI
(Duree de l'epreuve: 4 heures)
L'usage de la calculatrice est autorise
Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM 
INT, TPE­EIVP

Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page 
de la copie :
PHYSIQUE II -- PSI.
L'enonce de cette epreuve comporte 7 pages.
­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une 
erreur d'enonce, il est invite a le
signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives qu'il aura ete
amene a prendre.
­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des 
considerations numeriques) qui vous
sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. 
La bareme tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie.

PHYSIQUE D'UN BALLON DE FOOTBALL
On l'a observe lors de recentes competitions internationales : le mouvement 
d'un ballon de football
est parfois si surprenant qu'il semble tenir d'un tour de magie. On a cherche a 
mieux comprendre
les mecanismes qui regissent la dynamique du ballon de football, et, en 
particulier, a l'occasion de
l'introduction d'un nouveau modele, repute plus « rapide » mais aussi plus 
imprevisible, on a procede
a des etudes experimentales et a des simulations numeriques. Dans ce probleme, 
on exploite quelques
mesures qui ont pour but d'evaluer le coefficient de trainee et on developpe un 
modele theorique qui
permet d'interpreter certains resultats. On se limite au cas dans lequel le 
ballon est simplement en
mouvement de translation dans l'air. Les donnees numeriques utiles et les 
notations correspondantes
sont rassemblees dans le tableau ci dessous. A l'exception de la question 4 
pour lequel on conservera
les 4 chiffres significatifs de mesure pour remplir le tableau, on utilisera 2 
chiffres significatifs dans
le reste des applications numeriques. Les vecteurs sont notes avec un chapeau 
s'ils sont unitaires ebx ,
-
avec une fleche 
v dans le cas general.
Masse volumique de l'air
 = 1, 2 kg.m-3
Viscosite cinematique de l'air
n = 1, 4 · 10-5 m2 .s-1
Module de l'acceleration de la pesanteur
g = 9, 8 m.s-2
Masse du ballon
m = 0, 50 kg
Diametre du ballon
D = 22 cm
A toutes fins utiles on rappelle certaines relations. Pour un fluide 
incompressible dans lequel le champ
---
--
-r ,t) et la masse volumique  (
-r ,t), l'equation de
de vitesse est V (
r ,t), le champ de pression P(
Navier-Stokes s'ecrit

-
----
1 --
 V 

-
- -- 
-
+ V · grad V = - gradP + n V
t

Physique d'un ballon de football

Pour toute fonction f de R dans R quatre fois derivable, le developpement de 
Taylor au quatrieme
ordre de f au voisinage de 0 s'ecrit

2
3
4
f ( ) = f (0) + f  (0) + f  (0) + f (3) (0) + f (4) (0) + o  4
2
3!
4!
Enfin pour une fonction h de deux variables reelles x et y, on demontre que
­ Si h(x, y) = g( ,  ) alors
­ Si h(x, y) = f ( ) alors

h g  g 
=
+
;
x  x  x

h

= f  ( )
.
x
x

I. -- Nombre de Reynolds et coefficient de trainee

-
Lorqu'un fluide, ici l'air, de vitesse U , de module U, s'ecoule autour d'une 
sphere de diametre D,
UD
. Lorsque Re prend des valeurs inferieures a l'unite on
on definit le nombre de Reynolds Re =
n

-
parle d'un ecoulement a petit nombre de Reynolds. La force de frottement 
visqueux F qui agit sur
la sphere est proportionnelle a la vitesse de l'ecoulement. Elle est donnee par 
la formule de Stokes :

-

-
F = -3 n D U .

-
Dans le cas des ecoulements a grand nombre de Reynolds, la force de trainee T 
qui agit sur la
sphere est proportionnelle au coefficient de trainee C, sans dimension, et au 
carre de la vitesse selon
la relation
 2
1
D

-

-
UU
T = - C
2
4
1 -- Evaluer la valeur numerique du nombre de Reynolds dans le cas d'un ballon 
de football se
deplacant dans l'air avec une vitesse de 100 km.h-1 . Que peut-on en deduire ?
L'axe Oz qui oriente les grandeurs vectorielles est dirige selon la verticale 
descendante, son vecteur
unitaire est note ebz . On cherche a valider experimentalement la loi donnant 
la force de trainee en mesurant la vitesse d'un ballon soumis au seul champ de 
pesanteur. Ce dernier est lache d'une hauteur
-
de 27 m dans une enceinte contenant de l'air au repos, avec une vitesse 
initiale 
vo = vo ebz telle que
vo > 0. On procede a des series de mesures du module de la vitesse instantanee 
au cours du mouvement par velocimetrie laser. L'intervalle  = 30 ms separant 
deux mesures successives est constant.
On donne dans le tableau ci-dessousun extrait des valeurs vi du module de la 
vitesse, mesurees aux
dates ti = i ×  .

vi

 i

m.s-1

1
5,220

2
5,480

3
5,736

4
5,988

5
6,237

6
6,482

7
6,726

8
6,986

9
7,253

10
7,522

11
7,789

2 -- Evaluer le module de l'acceleration instantanee ai a la date ti en 
fonction de vi+1 , vi et  .
3 -- En utilisant le theoreme de la resultante cinetique, etablir la relation 
scalaire entre les grandeurs m, ai , g et la norme Ti de la force de trainee a 
la date ti .
4 -- Reproduire et completer le tai
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
bleau ci-contre. A partir de ces donnees et v2 m2 .s-2 
i
en utilisant le document joint avec le suTi [N]
jet,
representer
les
points
de
coordonnee
 2

C
vi ; Ti et [log10 (Re) ; C]. Commenter les
log10 (Re)
diagrammes obtenus.
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Physique II, annee 2010 -- filiere PSI

Les etudes experimentales etablissent l'existence d'un nombre de Reynolds 
critique Rec , voisin de
105 , au-dela duquel le coefficient de trainee chute brutalement. Les 
mecanismes responsables de cette
chute sont lies a la nature de l'ecoulement de l'air autour du ballon. On se 
propose de modeliser ce
regime d'ecoulement dans les questions suivantes.
FIN DE LA PARTIE I

II. -- Ecoulement d'un fluide visqueux le long d'une paroi solide
Dans un premier temps, afin de simplifier le
probleme, on assimile la surface du ballon
a une plaque plane semi-infinie d'equation
(y = 0, x > 0) representee sur la figure 1.
L'ecoulement du fluide, au-dessus de la
plaque, est suppose stationnaire, incompressible et bidimensionnel. Le champ de 
vi
-
tesse est pris sous la forme V = u(x, y)ebx +
v(x, y)eby . Les fonctions u et v sont respectivement appelees composante 
longitudinale F IG . 1 ­ Ecoulement d'un fluide au dessus d'une
et verticale du champ de vitesse. Loin de la plaque semi-infinie.
plaque, la vitesse se stabilise a la valeur U,
ainsi :

-

-
lim V = U ebx = V 
y+

On neglige l'action de la pesanteur. Le nombre de Reynolds est maintenant 
defini comme une fonction de la variable x par la relation : Re(x) = Ux/n. Dans 
la suite du probleme, on considerera
systematiquement que Re(x)  1, ce qui suppose que le domaine d'etude exclut la 
singularite x  0.
On appelle couche limite la region dans laquelle la vitesse du fluide differe 
sensiblement de sa valeur
loin de la plaque.
Pour evaluer l'epaisseur  (x) de cette couche limite, on adopte le point de vue 
Lagrangien. Une particule de fluide emise au voisinage de l'origine O se 
deplace d'une distance approximative x(t)  Ut le
long de l'axe Ox entre l'instant initial et la date t. Par ailleurs,
au cours de la meme duree, l'influence

de la viscosite est perceptible sur une epaisseur  (t) = nt.
5 -- Deduire de cette evaluation la loi  (x) donnant l'epaisseur de la couche 
limite a une distance
x de l'arete de la plaque. A quelle condition la geometrie plane permet-elle de 
decrire correctement la
surface du ballon ?
6 -- Former le rapport  (x)/x et l'exprimer en fonction de Re(x).
On deduit de la question precedente que  (x)  x. Il apparait que l'ecoulement 
est caracterise par
deux echelles de longueur, l'une (epaisseur de la couche limite) etant tres 
faible devant l'autre (distance longitudinale le long de la plaque). On cherche 
a prendre en compte cette caracteristique de
facon a simplifier les equations de la dynamique du fluide en ecoulement. On 
procede de la facon
suivante : pour toute grandeur g(x, y) relative a l'ecoulement on evalue les 
ordres de grandeur des
derivees partielles en ecrivant que :

g g
g g

et

x x
y 
7 -- En ecrivant l'hypothese d'ecoulement incompressible, montrer que l'un des 
elements du
couple (u, v) est negligeable devant l'autre.

Page 3/7

Tournez la page S.V.P.

Physique d'un ballon de football

8 -- Montrer que

---
-
  2u
 2v
-
 V  2 ebx + 2 eby
y
y
et en deduire que la composante selon ebx de l'equation de Navier-Stokes se 
simplifie en
u

u
u
 2u
1 P
+v
=-
+n 2
x
y
 x
y

(1)

FIN DE LA PARTIE II

III. -- Couche limite laminaire sans gradient de pression
On suppose dans un premier temps que l'ecoulement a lieu en l'absence de 
gradient longitudinal de
P
pression, soit
 0. On cherche, dans ce regime, a obtenir la solution de l'equation (1) 
verifiant les
x
conditions aux limites suivantes :
­ le champ de vitesse s'annule au contact de la plaque ;

-
­ l'ecoulement est uniforme loin de la couche limite, soit lim V (x, y) = U ebx 
avec U = cste.
y
r
U
introduite par Prandtl dans sa
On se propose d'utiliser pour cela la variable reduite  (x, y) = y
nx
theorie des ecoulements visqueux bidimensionnels.
9 -- Exprimer  (x, y) en fonction de x, y et Re(x), puis en fonction de y et  
(x). En deduire la
dimension de la variable  .
On recherche une solution du probleme dans laquelle la composante longitudinale 
reduite f = u/U de
la vitesse ne depend que de  . Cette hypothese sera discutee a la question 14. 
On introduit donc deux
nouvelles fonctions f et g verifiant u(x, y) = U f ( ) et v(x, y) = Ug(x,  )
10 -- Traduire les conditions aux limites y  0 et y   par des equations portant 
sur les fonctions
f et g.
 u  v  u  2u
,
,
et
en fonction de U, x,  , Re(x) et des derivees de f et g.
11 -- Exprimer
 x  y  y  y2
12 -- En ecrivant la condition d'ecoulement incompressible montrer que

Z 

f ( )d 
g(x,  ) = p
 f ( ) -
0
Re(x)
ou  est une constante que l'on determinera.
13 -- En utilisant les resultats precedents, verifier que la dynamique de 
l'ecoulement dans la
couche limite est regie par l'equation de Blasius

f ( ) +  f ( )

Z 

f ( )d  = 0

0

que l'on ne cherchera pas a resoudre directement.
14 -- Expliquer pourquoi l'equation de Blasius confirme l'hypothese 
preliminaire concernant la
dependance de la vitesse longitudinale par rapport aux variables spatiales.
15 -- On considere les points M et M  de coordonnees respectives (x, y) et (x , 
y ). Quelle relation
existe-t-il entre u(M) et u (M  ) si
y
y
 =
x
x
Cette propriete est appelee invariance d'echelle, commenter cette denomination.
Page 4/7

Physique II, annee 2010 -- filiere PSI

La resolution numerique de l'equation de
Blasius permet d'obtenir la representation
graphique de la fonction f ( ), celle-ci fait
l'objet de la figure 2. On constate qu'au voisinage de l'origine, la courbe 
representative
de f ( ) possede un domaine lineaire qui
s'interrompt brusquement. Apres le domaine lineaire, la courbe se rapproche tres
rapidement de son asymptote. Une lecture graphique permet d'obtenir la valeur
numerique :
a = f  (0) =

3
10

F IG . 2 ­ Representation graphique de la solution de
l'equation de Blasius.

.

16 -- A partir de la solution numerique, determiner une expression 
approximative de u(x, y) en
fonction de x, y,U et Re(x) dans la couche limite. Montrer que la transition 
entre la couche limite et
le domaine de l'ecoulement uniforme est situee approximativement a une distance 
Y (x) de la plaque
que l'on exprimera en fonction de  (x).
On suppose que la fonction f ( ) possede un developpement de Taylor a tout 
ordre au voisinage de
zero.
d3 f
d2 f
17 -- Demontrer que
=
= 0 et que par consequent, il existe une constante
d  2  =0  d  3  =0
b telle que f ( ) = a + b 4 + o  4 . Exprimer b en fonction de a.
FIN DE LA PARTIE III

IV. -- Decollement de la couche limite laminaire
L'equation de Blasius a ete etablie sous l'hypothese U = cste, ce qui revient a 
supposer que, le long
de la frontiere entre le solide et le fluide, le gradient de pression est nul. 
On etudie maintenant une
situation plus realiste qui prend en compte ce gradient de pression dans une 
zone ou les lignes de
courant divergent et qui conduit au fait que U = U (x). Pour cela nous allons, 
dans un premier temps,
chercher la structure du champ de vitesse hors de la couche limite, domaine ou 
l'ecoulement est
suppose potentiel et incompressible. Nous en deduirons alors la loi U (x) ainsi 
que l'expression du
gradient de pression. Nous etudierons finalement l'effet produit par ce dernier.
Afin de rendre compte de la courbure des lignes de courant au voisinage de la 
surface du ballon, on
assimile localement cette surface a un diedre d'angle  =  / (m + 1). La 
constante m est un parametre
negatif qui est pris dans l'intervalle ] - 1/3, 0] si bien que   [ , 3 /2[. On 
repere un point M du
fluide par ses coordonnees polaires (r,  ) avec   [0,  ] et on recherche le 
potentiel des vitesses sous
la forme  (r,  ) = F(r) cos [(m + 1)  ]. La geometrie du systeme est 
representee sur la figure 3.

On donne, dans le systeme de coordonnees choisi :
--

1 
ec
ebr +
grad =

r
r 

1  2
1 

r
+ 2
 =
r r
r
r  2
F IG . 3 ­ Ecoulement a la surface du ballon
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Physique d'un ballon de football

18 -- En examinant le cas  =  /2, expliquer pourquoi la dependance du potentiel 
des vitesses
par rapport a la variable  est acceptable.
19 -- Montrer que  (r,  ) est solution de l'equation de Laplace. En deduire que 
la fonction F(r)
peut se mettre sous la forme F(r) = k1 r p ou k1 est une constante positive que 
l'on ne cherchera pas a
calculer, et p une constante pouvant prendre deux valeurs. Le choix de p sera 
determine a la question
suivante.

- ---
20 -- Exprimer le champ des vitesses V = grad  . On souhaite retrouver une 
structure du champ
de vitesse identique a celle adoptee dans la partie precedente lorsque m tend 
vers la valeur limite 0.
Quelle est alors la valeur qu'il faut alors attribuer a la constante p ?

-
21 -- Etablir que, le long de la paroi d'equation  = 0, la vitesse suit la loi 
V ( = 0) = k2 xm ebx
ou k2 est une constante que l'on exprimera en fonction de k1 et m.
22 -- En utilisant le resultat de la question precedente et en etudiant la 
derivee par rapport a x de
la relation de Bernoulli le long d'une ligne de courant voisine de la surface 
d'equation  = 0, etablir
que le profil de vitesse entraine l'existence d'un gradient longitudinal de 
pression dirige vers les x
croissants.
On suppose que l'expression du gradient de pression obtenue a la question 22 se 
generalise en tout
point du domaine d'etude et que la condition de bord en dehors de la couche 
limite s'ecrit

-
lim V (x, y) = U (x) ebx avec U (x) = k3 xm ou k3 est une constante positive.
y

23 -- Montrer que la composante selon ebx de l'equation de Navier-Stokes s'ecrit
u

u
u
 2u
+v
= n 2 +  (x)U 2 (x)
x
y
y

ou  (x) est une fonction que l'on determinera en fonction de k1 , k3 , m et
qx.

En reprenant la methode de la partie III, on introduit la variable  = y U(x)
nx et la fonction f ( ) =
u(x, y)/U(x). On admettra que l'equation de la question 23 devient l'equation 
de Blasius generalisee
Z

m 1 - f ( ) + f ( ) +  (m + 1) f ( )
2

f ( )d  = 0

0

La resolution numerique de cette equation pour differentes valeurs des 
parametres m et f  (0) permet
d'obtenir la representation graphique de la fonction f ( ), celle-ci fait 
l'objet de la figure 4.
1,2

24 -- Examiner le cas limite dans
lequel m = 0. On supposera dorenavant
que m < 0. 25 -- En procedant comme avec 1,0 0,8 0,6 02 1 0,4 l'equation de Blasius, c'est-a-dire en supposant que f (0) = 0 et que f ( ) 0,2 2 admet un developpement de Taylor 0,0 a tout ordre au voisinage de  = 0, - 0,2 determiner f  (0) en fonction de m. On verifiera que f (0) > 0. On ne cher- 0,4
chera pas a determiner f  (0), on ad0
1
2
3
4
5
6
mettra simplement que son signe est
F IG . 4 ­ Graphe de la solution de l'equation de Blasius
determine par le parametre m.
generalisee pour differentes valeurs de m et de f  (0).

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Physique II, annee 2010 -- filiere PSI

26 -- La situation f  (0) < 0 correspond au decollement de la couche limite laminaire. Que se passe-t-il alors concretement ? On admet qu'une telle situation se produit lorsque m est inferieur a une valeur critique mc voisine de -0, 09. L'angle  est alors egal a c . Quelle est alors la valeur de la « cassure » c -  ? Exprimer cet angle en degres. Representer schematiquement les lignes de courant dans le cas  > c en supposant que l'ecoulement reste laminaire.
FIN DE LA PARTIE IV

V. -- La transition laminaire/turbulent et le nombre de Reynolds
critique
Dans la pratique, le decollement de la couche limite laminaire dans le sillage 
d'un ballon de football contribue a accroitre sensiblement le coefficient de 
trainee. Par ailleurs, il provoque aussi des
phenomenes de turbulence qui sont instationnaires et induisent des pertes 
d'energie. On cherche donc
a limiter les effets de ce phenomene en modifiant l'etat de surface du ballon, 
en modifiant par exemple,
le nombre, la profondeur et la repartition des coutures. Certains resultats 
experimentaux sont etudies
dans cette partie.
Grace a des essais en soufflerie, on a mesure le coefficient de trainee d'un 
ballon de football et celui
d'une sphere lisse de meme rayon. Les valeurs de ces coefficients en fonction 
du nombre de Reynolds,
sont representees sur le diagramme de la figure 5.

0,8
Ballon de football
Sphère lisse
0,6
0,4
0,2
(Re)

10

0
4,8

5,0

5,2

5,4

5,6

5,8

F IG . 5 ­ Essai comparatif en soufflerie
27 -- En rassemblant les resultats dans un tableau, evaluer pour chacun des 
deux essais les valeurs
minimale et maximale Cmin et Cmax du coefficient de trainee, le nombre de 
Reynolds critique Rec qui
correspond a la transition entre les ecoulements laminaire et turbulent, ainsi 
que la vitesse Uc du
ballon (ou de la sphere) lorsque Re = Rec .
28 -- Interpreter les valeurs extremes du coefficient de trainee.
29 -- Comparer les valeurs de Rec et interpreter le resultat.
30 -- Expliquer en quelques phrases l'influence de l'etat de surface du ballon 
(profondeur et
disposition des coutures) sur ses performances (vitesse, stabilite de la 
trajectoire...). Connaissez-vous
d'autres facteurs pouvant influencer la trajectoire du ballon ?
FIN DE LA PARTIE V
FIN DE L'EPREUVE

Page 7/7

0,9
0,8 - --------------- ---------------- ----------------- ---------------- 
----------------- ---------------- --------------- -
--------------- ---------------- ----------------- ---------------- 
----------------- ---------------- --------------- -
T _ """""""" """""""""" """"""""" """"""""" """"""""" """""""""" """""""" _

o,6 -- --------------- ---------------- ----------------- ---------------- 
----------------- ---------------- --------------- --

+++++++++++++++ ++++++++++++++++ +++++++++++++++++ ++++++++++++++++ 
+++++++++++++++++ ++++++++++++++++ +++++++++++++++ -

0,4 ; ; ; ; ; ;
25 30 35 40 2 45 50 55 60

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1
               --------------------------                               
_____________        -

                                                                    --

                                                                    --

                                      -- ____________         _____________ 
___________ +

                                                     -------------------------- 
       -

----------- ------------- ------------- ------------- ------------ ------------ 
------------- ------------- ----------- -

033 | | | | | | | |
4,9 4,92 4,94 4,96 4,98 5 5,02 5,04 5,06 5,08

10810(R6)