Mines Physique 2 PSI 2011

ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT­ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIERE MP)
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)
CONCOURS D'ADMISSION 2011
SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE
Filiere PSI
(Duree de l'epreuve: 4 heures)
L'usage de la calculatrice est autorise
Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM 
INT, TPE­EIVP

Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page 
de la copie :
PHYSIQUE II -- PSI.
L'enonce de cette epreuve comporte 8 pages.
­ Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une 
erreur d'enonce, il est invite a le
signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives qu'il aura ete
amene a prendre.
­ Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des 
considerations numeriques) qui vous
sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. 
Le bareme tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie.

LE TRAITEMENT DES DECHETS
Ce probleme etudie un dispositif de traitement de dechets menagers par 
incineration. Il se compose
de deux parties independantes :
­ l'etude de l'acheminement des dechets vers un four a l'aide d'un tapis 
roulant entraine par un
moteur a courant continu ;
­ l'etude thermique et thermodynamique du four de combustion des dechets.
Les vecteurs sont notes avec des chapeaux s'ils sont unitaires (kebx k = 1) ou 
avec des fleches dans le

-
cas contraire ( k = kebx ).

I. -- Acheminement des dechets
Le dispositif d'acheminement est decrit sur la figure 1. Les dechets sont 
contenus dans un reservoir
suspendu au dessus du tapis et deverses par un conduit vertical sur le tapis. 
On considerera que
lorsque les dechets entrent en contact avec le tapis, la composante de leur 
vitesse parallele a ebx dans
le referentiel lie au sol, suppose galileen, est negligeable.
1 -- Le dispositif est concu pour incinerer 25 tonnes de dechets par jour ; il 
fonctionne en continu.
Evaluer le debit massique moyen Dm d'arrivee des dechets sur le tapis exprime 
en unite du systeme
international.
On designe par D (t) le debit massique des dechets a l'instant t. Lorsqu'ils 
arrivent sur le tapis, les
dechets acquierent la meme vitesse que le tapis qui les achemine ainsi jusqu'a 
la section d'admission
du four ou ils quittent le tapis animes de la vitesse ~v = vb
ex . On suppose dans un premier temps que le

-
regime d'ecoulement des dechets est permanent. On note F = F · ebx la 
composante selon l'axe (O, x)
de l'action des dechets sur le tapis.

Le traitement des dechets

Réservoir contenant
les déchets

rv = v

x

Section d'admission
du four
d'incinération

Vitesse du tapis
z

Conduit d'arrivée des
déchets

z

z

x
O'

O

x

Sens de rotation du cylindre
qui entraîne le tapis
F IG . 1 ­ Dispositif d'acheminement des dechets

2 -- Determiner F en fonction de Dm et v. On effectuera un bilan de quantite de 
mouvement en
projection sur ebx sur le systeme compris dans le volume de controle forme par 
le lieu d'occupation
des dechets en contact avec le tapis. Ce volume de controle est fixe dans le 
referentiel lie au sol. Il
recoit de la matiere a l'extremite du tapis situee sous le reservoir et en 
ejecte a l'autre extremite situee
a l'entree de four.
Le cylindre C qui entraine le tapis est solidaire du rotor d'un moteur a 
courant continu. L'ensemble
C -rotor est en rotation autour de l'axe (O, z), le moment d'inertie total de 
la partie tournante par
rapport a cet axe est note J. Un second cylindre C  est en rotation libre, sans 
frottement, autour de
l'axe (O , z). Il assure le maintien de la position horizontale du tapis de 
masse m. Les deux cylindres
C et C  ont le meme rayon a et le moment d'inertie de C  par rapport a (O , z) 
est note J  . Les liaisons
entre le tapis et les cylindres sont telles que les vitesses de glissement du 
tapis par rapport a chaque
cylindre est nulle. On designe par  la vitesse angulaire de rotation des 
cylindres dans le sens indique
sur la figure 1.

3 -- Quelle relation, faisant intervenir les parametres
geometriques utiles, existe-t-il entre v et  ?
Le moteur a courant continu est une machine a excitation separee dont le 
courant inducteur note ie est suppose
constant. L'induit est alimente par la tension fixe U, il est
parcouru par un courant d'intensite I represente sur la figure 2.
F IG . 2 ­ Moteur d'entrainement
Dans un souci de simplification, on ne prendra pas en compte la presence d'un 
reducteur de vitesse
et on considerera comme indique precedemment que le rotor du moteur et le 
cylindre C tournent a la
meme vitesse .
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Physique II, annee 2011 -- filiere PSI

Le bobinage induit du moteur, alimente par une tension constante U, presente 
une resistance R et
un coefficient d'auto induction L. L'intensite de la force electromotrice due 
au flux inducteur est de
la forme   ou  est une constante positive, caracteristique de la machine, 
homogene a un flux
magnetique. L'intensite du couple fourni par le moteur s'ecrit alors  I. 
L'ensemble du dispositif
mecanique produit, sur la partie tournante du moteur, un couple de frottement 
de moment - ebz . La
constante  est positive.
4 -- Representer le schema electrique du circuit induit du moteur en precisant 
soigneusement
la valeur de la force electromotrice suivant l'orientation choisie pour le 
schema. Etablir l'equation
electrique (E1 ) du moteur qui relie U, I,  et les parametres utiles du 
probleme.
5 -- Si l'on neglige l'inertie du tapis devant celle des cylindres, l'equation 
mecanique (E2 ) correspondant au probleme s'ecrit :
 d
=  I -   - D (t) av
dt
Preciser, sans la developper, la demarche a adopter pour obtenir cette equation.
(E2 )

J + J

:

On etudie le cas ou les regimes d'ecoulement des dechets et de fonctionnement 
du moteur sont permanents. On note  p la valeur de la vitesse dans ce regime.
6 -- Etablir l'expression de  p en fonction de U, Dm ,  , R,  et a. Quelle est, 
dans ce modele,
l'influence du debit des dechets sur la vitesse du tapis ?
On envisage maintenant le cas ou
l'ecoulement des dechets est caracterise
par un debit periodique dont les variations
en fonction du temps sont representees
sur la figure 3. Le coefficient  est un reel
positif inferieur a 1. Par ailleurs, on admet que les equations (E1 ) et (E2 ) 
restent valables. On suppose que les fonctions  (t) et I (t) deviennent, en 
regime
etabli, periodiques de meme periode T .
On definit les fluctuations  ,  et i par :

 (t) =  (t) - m ,

D(t)
DMax

t
0

aT

T

2T

F IG . 3 ­ Debit d'ecoulement des dechets

 (t) = D (t) - Dm et i (t) = I (t) - Im .

ou m , Dm et Im representent les valeurs moyennes des fonctions (t), D (t) et I 
(t) sur leur periode
T . On rappelle que la valeur moyenne d'une fonction periodique g (t) de 
periode  est definie par
1
gm =

Z 

g (t) dt

0

7 -- Exprimer DMax en fonction de Dm et  .
8 -- En considerant que  = 1/4, tracer la representation graphique de la 
fonction qui a t associe
 (t) /Dm . Pour la suite des questions,  reste un reel positif, inferieur a 1.
9 -- En utilisant la periodicite des fonctions ainsi que les relations (E1 ) et 
(E2 ), etablir les deux
equations satisfaites par Dm , Im , m ou figurent en outre les parametres du 
probleme et la constante
a2
A=
T

Z T

 (t)  (t) dt

0

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Tournez la page S.V.P.

Le traitement des dechets

10 -- On fait dorenavant l'hypothese que A  a2 Dm m , quelle est alors la 
relation entre  p et
m ?
11 -- En utilisant les resultats precedents, montrer que les equations (E1 ) et 
(E2 ) se simplifient en

 Ri + L di +   = 0
(E1 )
dt
d

 (J + J  )
(E2 )
=  i -   - Dm  a2 - m a2  - a2 
dt
Dans toute la suite du probleme, on negligera le produit des deux fluctuations 
devant les autres termes.
12 -- On pose f = 1/T et f0 = R/ (2 L). Dans quel contexte physique l'equation 
(E1 ) peut-elle
etre remplacee par Ri  -  ?
d 
13 -- Montrer que dans ce contexte  est solution de l'equation differentielle
+ = - ou
dt

 et  sont deux constantes que l'on exprimera en fonction des parametres du 
probleme.
14 -- On suppose que   T . On designe par 0 =  (0) > 0 et 1 =  ( T ) < 0. Tracer sur un meme graphe l'allure des fonctions - (t) et  (t). En deduire l'expression du taux d'ondulation de la vitesse de rotation  = (0 - 1 ) /m . Dans quel(s) regime(s) de fonctionnement a-t-on   1 ? FIN DE LA PARTIE I II. -- Incineration des dechets Le four est compose d'une enceinte munie d'une ouverture par laquelle entrent les dechets a incinerer et d'une seconde ouverture reliee a un conduit de cheminee par laquelle sortent tous les gaz presents apres la combustion. La composition des gaz rejetes dans l'atmosphere est reglementee. C'est la raison pour laquelle la temperature de combustion est situee dans un intervalle bien determine : ­ elle ne doit pas etre trop elevee afin de ne pas generer des produits toxiques tels que par exemple le dioxyde d'azote ; ­ elle ne doit non plus pas etre trop basse pour que la combustion des dechets soit totale. Deux commandes permettent de reguler la temperature du four : F IG . 4 ­ Descriptif du four ­ la premiere agit sur l'injection de carburant dans le bruleur qui permet d'echauffer le four ; ­ la seconde permet d'injecter dans le four de l'eau liquide dont la vaporisation refroidit le four. II.A. -- Comportement du four en regime libre On suppose ici que l'ensemble du systeme constituant l'enceinte du four, c'est-a-dire ses parois en acier ainsi que l'air qu'il contient, presente une temperature uniforme notee Ts (t) qui est mesuree par un capteur de temperature situe a l'interieur du four. Afin d'identifier ses parametres thermodynamiques, on etudie l'evolution de Ts (t) lorsque le four se refroidit sans etre alimente ni en air ni en dechets, ses orifices etant obtures. L'enceinte du four constitue alors un systeme thermodynamique ferme. La temperature exterieure, notee Text , est supposee constante et uniforme. Dans tout le probleme, on prendra Text = 25 C. Page 4/8 Physique II, annee 2011 -- filiere PSI Le four est entoure d'un isolant thermique constitue par des murs de briques. La puissance thermique recue par le four de l'exterieur est de la forme P f = G [Text - Ts (t)]. La capacite thermique de tout l'acier constituant le four est notee C0 . On negligera la capacite thermique de l'air contenu dans le four par rapport a celle de l'acier. 15 -- A l'aide d'un bilan thermique applique au systeme four entre t et t + dt, etablir l'equation differentielle satisfaite par Ts (t) et la resoudre. On fera intervenir un temps caracteristique  . 16 -- A partir de la temperature initiale Ts (0) = 100 C, on coupe toute alimentation et on ferme toutes les ouvertures puis on laisse refroidir le four. La mesure experimentale de Ts (t) /Ts (0) lors du refroidissement est representee sur la figure 5 dans laquelle le temps est exprime en heures. Deduire de la courbe la valeur numerique de  . 17 -- La capacite du four vaut C0 = 25 · 105 J.K-1 . F IG . 5 ­ Representation graphique de Calculer la valeur de G. Cette valeur sera utilisee dans T (t) /T (0) en fonction du temps t exprime s s toute la suite du probleme. en heures. 18 -- Le four en acier est entoure d'un mur de briques d'epaisseur e = 10 cm, de conductivite thermique  = 1W.K-1 .m-1 . Le flux (ou puissance) thermique echange entre le four et l'exterieur traverse une surface totale  = 19 m2 . Etablir, en regime permanent de temperature, l'expression de P f et en deduire l'expression de la conductance thermique G en fonction de  , e et . Calculer alors la valeur numerique de G suivant ce modele. 19 -- Comparer les deux valeurs obtenues aux questions 17 et 18. Qu'en deduisez-vous ? II.B. -- Thermodynamique d'un systeme ouvert L'enceinte du four est un systeme ouvert qui peut admettre de la matiere et en evacuer. Le contenu de l'enceinte reste toujours modelise par un systeme homogene a la temperature Ts (t). La fraction de dioxygene entrant avec les dechets et qui sert a leur combustion est supposee negligeable, ce qui permet de negliger les transferts de matiere entre l'air et les dechets. On suppose que l'eau injectee par la commande de refroidissement est entierement vaporisee et ne subit aucune reaction chimique. On suppose enfin que la combustion des dechets est totale et ne produit que des composes gazeux. On neglige donc tous les residus solides de la combustion, cendres et machefers. Les echanges de matieres possibles sont alors les suivants : ­ entree des dechets solides, de capacite thermique massique a pression constante ce , a la temperature Text , achemines par le tapis roulant avec un debit massique De = D ; ­ entree d'air par l'orifice d'admission des dechets avec un debit massique Deair ; sa capacite thermique massique a pression constante cair sera supposee independante de la temperature. On notera Dsair le debit massique de l'air a la temperature Ts a la sortie de la cheminee ; ­ injection eventuelle d'eau liquide a la temperature Text et avec le debit massique Deau ; la vaporisation de cette eau, de capacite thermique massique a pression constante ceau , permet de refroidir l'enceinte ; ­ evacuation par le conduit de cheminee, a la temperature Ts , de l'air, des gaz produits par la combustion et de la vapeur d'eau. On notera cs et cvap les capacites thermiques massiques a pression constante respectives de ces deux gaz ainsi que Ds et Dvap les debits massiques correspondants. Page 5/8 Tournez la page S.V.P. Le traitement des dechets Tous les gaz seront, le cas echeant, decrits a l'aide du modele du gaz parfait. On souhaite etablir l'equation differentielle qui regit l'evolution de la temperature Ts (t) en fonction du temps. On considere un systeme thermodynamique ouvert S dont l'energie interne est notee US (t). On note ne le nombre d'especes qui entrent dans ce systeme. Pour chaque espece entrante i = 1, · · · , ne on note Dei son debit massique et hei son enthalpie massique. De meme, on note ns le nombre d'especes d'enthalpie massique hsj=1,··· ,ns qui sortent du systeme avec un debit massique Dsj=1,··· ,ns . 20 -- Montrer que si l'on neglige les energies cinetiques et potentielles, le premier principe de la thermodynamique applique au systeme S entre t et t + dt conduit a l'egalite ns ne dUS (t) =  Dei hei -  Dsj hsj + Pth + P dt j=1 i=1 (E) ou Pth et P  representent respectivement la puissance thermique recue par S et une eventuelle puissance autre que celle des forces de pression, fournie a S par l'exterieur. On remarquera que le regime envisage n'est pas permanent. Le systeme S est en fait le four utilise pour la combustion des dechets. Il comprend l'acier qui constitue ses parois et les dechets qu'il contient a l'instant t. La section d'entree de matiere est a l'extremite du tapis d'acheminement des dechets et la section de sortie est celle du conduit de cheminee d'evacuation des gaz. La temperature exterieure au four est toujours consideree comme constante, uniforme, egale a Text . On admet que la mise en route du bruleur declenche l'apport de la puissance Pch au systeme S et l'injection d'eau lui apporte une puissance -Pre f ou Pch > 0 et
Pre f > 0. Cette injection d'eau sera etudiee en fin de probleme.
dUS (t)
si l'on suppose que la contribution a l'energie interne US (t)
21 -- Comment peut s'ecrire
dt
du contenu du four est negligeable devant celle de l'acier constituant ses 
parois.
22 -- Le modele des echanges thermiques entre le four et l'exterieur reste 
celui decrit avant la
question 15. Quelle est alors l'expression de Pth ?
23 -- On suppose que les dechets, l'air et l'eau de refroidissement s'ecoulent 
en regime permanent.
En tenant compte de l'hypothese d'absence d'echange de matiere entre les 
dechets, l'air et l'eau,
determiner les relations entre les differents debits d'entree et de sortie. 
Exprimer alors la difference
Deair heair - Dsair hsair
intervenant dans l'equation (E) en fonction de cair , Text , Ts (t) et Dair = 
Deair .
Les dechets entrent dans le systeme S sous forme de phase condensee a la 
temperature Text , leur
enthalpie massique est alors notee he et leur debit massique De = D. Ils en 
ressortent par la cheminee
sous forme gazeuse a la temperature Ts (t), leur enthalpie massique est alors 
notee hs et leur debit
massique Ds . Afin de simplifier l'etude, on supposera que la combustion qui 
assure la transformation
des dechets a lieu a la temperature fixee T0 telle Text < T0 < Ts (t). A cette temperature, la variation d'enthalpie massique des dechets entre la phase condensee avant combustion (phase 1) et la phase gazeuse apres combustion (phase 2) est notee q = h1 (T0 ) - h2 (T0 ). 24 -- Exprimer, le terme he - hs en fonction de ce , cs , Ts (t), Text , T0 et q. Dans toute la suite du probleme on prendra ce = cs = c, determiner alors l'expression de De he - Ds hs intervenant dans (E). Page 6/8 Physique II, annee 2011 -- filiere PSI 25 -- Montrer finalement que l'ensemble des dispositifs qui interviennent lorsque le four fonctionne conduit a un bilan thermodynamique caracterise par l'equation differentielle : C0 dTs + (G + Dc + Dair cair ) Ts = (G + Dc + Dair cair ) Text + Dq + Pch - Pre f dt . II.C. -- Essai du four en charge Des lors que le four a subi une phase de chauffage a vide non decrite ici, les dechets entrent dans celui-ci avec un debit constant D. On suppose que Ts (t) est suffisamment elevee pour que la reaction de combustion s'amorce et on prendra q = 7, 0 · 106 J.kg-1 , c = 103 J.K-1 .kg-1 et D = Dm defini a la question 1. L'alimentation en puissance de chauffage et l'injection d'eau de refroidissement sont coupees. Un courant d'air permanent de debit Dair = 1, 9 kg. s-1 s'installe, on prendra cair = c. 26 -- Calculer la valeur numerique de la temperature T atteinte par Ts (t) en regime permanent ainsi que celle de la duree caracteristique  correspondante. 27 -- En fait le debit D (t) est periodique et ses variations avec le temps sont celles representees sur la figure 3. On etudie l'influence de ce debit variable sur la temperature Ts (t) qui regne a l'interieur du four ; on pose Ts (t) = T +  (t) et D (t) = Dm +  (t). Montrer que les fonctions  et  verifient l'equation d c c(Text - T ) + q - +  = dt C0 C0 dans laquelle on identifiera la duree  . Pour la suite du probleme, on negligera le terme du second ordre proportionnel au produit 28 -- La periode de la fonction  (t) est de l'ordre de quelques secondes. En vous basant sur la valeur numerique de  et les proprietes des filtres passe bas du premier ordre, expliquer precisement pourquoi l'on peut considerer que Ts (t)  T . En regime permanent a debit Dm constant, on souhaite etudier l'influence d'un changement brusque de la nature des dechets. Afin de modeliser une telle variation on envisage le cas suivant : ­ On fait l'hypothese que la nature des dechets est entierement determinee par leur variation q d'enthalpie massique a T0 decrite dans le texte precedant la question 24 ; ­ Tant que t  0, le four fonctionne en regime permanent a la temperature T et il est alimente a debit constant Dm par des dechets tels que q = 7, 0 · 106 J.kg-1 ; ­ Des que t > 0 la nature des dechets change, q devient q = 1, 09q, le debit 
restant egal a Dm .
29 -- Determiner la nouvelle temperature T qui s'etablit en regime permanent 
pour t > 0.
Pour un bon fonctionnement, la temperature du four ne doit pas exceder Tmax = 
900 C. Lorsque le
capteur de temperature qui mesure Ts detecte le depassement de la valeur Tmax , 
le systeme declenche
l'injection d'eau avec le debit Deau = 0, 5 kg.s-1 et coupe l'arrivee d'eau 
lorsque la temperature Ts
est redescendue a Tmin = 850 C.
L'eau entre dans le four sous forme liquide a la temperature Text et subit 
trois transformations :
­ un echauffement isobare du liquide de Text a 100 C ;
­ une vaporisation isotherme et isobare a 100 C ;
­ un echauffement isobare de la vapeur de 100 C a Ts .
Lorsque l'eau est a la temperature de 100 C, son enthalpie massique de 
vaporisation possede la
valeur  = 2, 26 · 106 J.kg-1 ; par ailleurs, les capacites thermiques massiques 
a pression constante,
supposees independantes de la temperature, ont pour valeurs respectives ceau = 
4200 J.K-1 .kg-1 pour
l'eau liquide et cvap = 2300 J.K-1 .kg-1 pour la vapeur.
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Le traitement des dechets

30 -- Evaluer la variation d'enthalpie massique pour ces trois transformations 
en prenant Ts = Tmax .
En deduire la valeur numerique de Pre f .
31 -- Calculer la duree de la phase de refroidissement par injection d'eau.
FIN DE LA PARTIE II

FIN DE L'EPREUVE

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