Mines Physique 2 PSI 2018

A2018 ­ PHYSIQUE II PSI

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT Atlantique, ENSAE PARISTECH.
Concours Centrale-Supélec (Cycle International),
Concours Mines-Télécom, Concours Commun TPE/EIVP.
CONCOURS 2018
DEUXIÈME ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Durée de l'épreuve : 4 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE II - PSI
L'énoncé de cette épreuve comporte 8 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant 
les
raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Physique II, annee 2018 -- filiere PSI

Etude d'un transducteur electrodynamique
La figure 1 represente un plan de coupe d'un hautparleur passant par son axe de 
symetrie de revolution note x x.
Saladier
Le haut parleur comporte une bobine mobile comprenant N spires parcourues par 
un courant d'intensite i(t) non represente sur la figure 1, suscepMembrane
Aimant
tible de se translater le long de l'axe x x. Elle est
reliee a une membrane, a symetrie de revolution
autour de x x, partant du cache noyau jusqu'a
la suspension externe, qu'elle entraine dans son
Spider
mouvement.
Un chassis rigide, le saladier, maintient l'equipaCache noyau
Noyau
ge mobile (bobine, membrane et cache noyau) par
!0
!
l'intermediaire du spider (en materiau souple) et
Matériau
ferromagnétique
Bobine mobile
de la suspension externe qui assurent un mouve
ment de cet equipage centre sur l'axe x x.
Entrefer
La bobine est inseree dans l'entrefer d'un circuit
magnetique (en materiau ferromagnetique de haute
permeabilite parfois nomme culasse du haut-parleur),
comportant un aimant permanent en forme de
Aimant
tore qui permet de generer un champ magnetique
Membrane
dans l'entrefer.
La presence du champ magnetique et de la bobine permet de realiser un 
actionneur electromagnetique et d'obtenir dans certaines conditions un
Suspension
externe
mouvement d'oscillations de l'equipage mobile autour de sa position 
d'equilibre, ce qui, grace a la
presence de la membrane, genere une onde acous- Figure 1 ­ Schema du haut 
parleur
electrodynamique
tique.
! sauf s'ils sont unitaires et seront alors affubles d'un
Les vecteurs seront notes avec une fleche (B),
chapeau (!!
ux ! = 1). Les nombres complexes seront soulignes (z  C) a l'exception de j tel 
que
2
j = -1. Une quantite surmontee d'un point indique la derive par rapport au 
temps de cette quantite
(x = dx
dt ). Les trois parties de ce sujet sont largement independantes. Les donnees 
utiles a certaines
applications numeriques et un formulaire sont rassembles en fin d'enonce.

I. -- Calcul du champ magnetique dans l'entrefer
! le
1 -- Rappeler, pour un milieu quelconque, la relation verifiee par le champ 
magnetique B,
!
!
vecteur excitation magnetique H et le vecteur aimantation M en un point P de ce 
milieu. Donner
l'unite de chacun de ces vecteurs.
2 -- Le materiau ferromagnetique dans lequel l'aimant permanent a ete insere 
est un materiau
doux de tres haute permeabilite. Qu'appelle-t-on milieu magnetique lineaire ? 
Definir la permeabilite
relative µr d'un milieu lineaire. Quelle est son unite ? Que peut-on dire de 
l'excitation magnetique
dans un modele ou µr est infinie ?
Dans toute la suite, on supposera que la permeabilite relative µr du materiau 
ferromagnetique du
circuit magnetique est infinie et l'air sera assimile a un materiau de 
permeabilite magnetique relative
egale a 1.

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Physique II, annee 2018 -- filiere PSI

!

& = #+'
Ligne de champ (L )

On definit les dimensions suivantes representees
sur la figure 2 :
· a : longueur de l'aimant selon x x ;
· Sa : section droite de l'aimant orthogonale a x x avec Sa = (2 - 2 ) ;
· e : epaisseur de l'entrefer compris entre
les rayons a et b = a + e ;
· e : hauteur de l'entrefer selon x x.
Le rayon de la bobine est note Rb .
On supposera que e  a, e  b et e  Rb .
On notera que la figure 2, volontairement dilatee
dans un souci de clarte, n'est pas a l'echelle et
donc ne respecte pas ces ordres de grandeur.

#
%"

"

%!

$
$0

!0

Figure 2 ­ Circuit magnetique
L'aimant permanent utilise dans le circuit magnetique du hautparleur est un 
materiau ferromagnetique dur. L'intensite Ma de
son aimantation varie en fonction de l'intensite Ha de l'excitation
magnetique a laquelle il est soumis. Cette variation suit le cycle
idealise represente sur la figure 3.
3 -- Comment se nomment H1 et M1 ? Les trois vecteurs
! a, H
! a et M
! a etant paralleles, tracer le cycle Ba (Ha ) corresponB
dant. Quelles sont les valeurs du champ magnetique Ba possibles
lorsque Ha = 0 ? Comment se nomment-elles ? Expliquer comment
est decrit ce cycle selon les variations de Ha . Peut-on definir une
permeabilite magnetique relative pour ce materiau ? Donner la relation 
satisfaite par Ha et Ba lorsque Ma = -M1 , on l'appelera
relation 1.

(!
(1

)!
)1

Figure 3 ­ Cycle Ma (Ha )

On suppose dans un premier temps que la bobine n'est parcourue par aucun 
courant. La resolution
numerique des equations issues de l'etude de l'association du circuit 
magnetique et de l'aimant permanent permet de tracer les lignes de champ (Fig. 
4) dans un plan de coupe passant par l'axe x x.
!

!0

Figure 4 ­ Trace des lignes de champ du champ magnetique obtenues par 
resolution numerique
! = -M1 u
L'aimantation est uniforme et vaut M
!x en fonctionnement nominal. Un point P de l'entrefer
est repere par la base de coordonnees cylindriques (!
ur ,!
u ,!
ux ) autour de l'axe x x.
4 -- Comment se comportent les lignes de champ a l'interface du materiau 
ferromagnetique constituant le circuit magnetique et l'air ? Montrer que ce 
comportement est compatible avec les conditions
! et B
! en tous points de la surface separant l'air et le materiau
de passage que doivent satisfaire H
ferromagnetique.
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Soit 0 , le flux algebrique oriente par u
!x traversant une section droite S = a2 du noyau situee en
dessous de l'entrefer (figure 2). Par ailleurs, le champ magnetique dans l'air 
de l'entrefer au niveau de
! e = Be u
! a = Ba u
la bobine est note B
!r et celui dans l'aimant, uniforme, est note B
!x .
5 -- En analysant les lignes de champ representees en figure 4, justifier que 
l'on peut considerer
que ce flux se conserve dans le circuit magnetique. Etablir une relation entre 
0 et Ba puis entre 0
et Be . En deduire la relation, notee (2), entre Ba , Be et des parametres 
geometriques du probleme.
On considere la ligne de champ magnetique (L) representee en figure 2. Au vue 
de la faible epaisseur
de l'entrefer, on considerera que la composante radiale du champ magnetique 
s'ecarte tres peu de la
! a = Ha u
! e = He u
valeur Be . On note H
!x , l'excitation magnetique uniforme dans l'aimant et H
!r celle
dans l'entrefer.
6 -- En appliquant le theoreme d'Ampere au contour forme par la ligne (L), 
etablir la relation,
nommee (3), entre Ha , He et des parametres geometriques du probleme.
7 -- A l'aide des relations (1), (2) et (3) exprimer Ba en fonction de M1 et 
des parametres
geometriques. Calculer le valeur numerique de Ba . On donne 16  50.
8 -- Etablir de meme l'expression du champ magnetique Be dans l'entrefer puis 
calculer sa valeur
numerique.
9 -- Quelle condition doit satisfaire la valeur de H1 pour que l'aimant puisse 
atteindre son point
de fonctionnement nominal ?
10 -- Sachant que la bobine comporte N = 50 spires et que l'intensite du 
courant i(t) ne depasse
pas 1 A, proposer une argumentation concise permettant de conclure que la 
valeur du champ dans
l'entrefer ne fluctue pas lorsque la bobine est alimentee par un courant 
d'intensite i(t).
FIN DE LA PARTIE I

II. -- Equations mecanique et electrique dans le cadre d'un modele
lineaire
Noyau
L'equipage mobile susceptible de se translater selon

l'axe x x est repere par son abscisse x(t) telle que lorsque
, (-)
i(t) = 0, l'etat d'equilibre mecanique correspond a la
position x = 0. La figure 5 represente une spire circulaire de rayon Rb parmi 
les N enroulees sur la bobine.
*#
b
L'intensite algebrique i(t) du courant circulant dans la
*
b+
spire est orientee selon u
! .
*$
b
Lors de son mouvement, l'equipage mobile de masse m,
comprenant la bobine, la membrane et le cache noyau,
est soumis a une force de rappel de la part du spider,
modelisee par la force F!r = -Kx!
ux , ou K designe la Spire
Entrefer
constante de raideur positive et a une force de frotteFigure
5
­
Orientation
du
courant
i(t)
dans
ment fluide F!f = -hx!
ux , ou h est une constante positive. Le champ magnetique en un point P d'une 
spire une spire de la bobine
! e = Be u
de la bobine s'ecrit B
!r .
11 -- Rappeler l'expression la plus generale de la force electromagnetique de 
Laplace s'exercant sur
un conducteur filiforme de longueur  parcouru par un courant d'intensite i(t). 
En deduire l'expression
de la force de Laplace F!L s'exercant sur la bobine. On posera 2N Rb = .
12 -- Etablir l'equation differentielle reliant x(t) et i(t), nommee (4), 
traduisant la loi de la
resultante dynamique appliquee a l'equipage mobile projetee sur u
!x . Le poids sera suppose orthogonal
a u
!x .
On designe par e la force electromotrice totale induite dans le circuit de la 
bobine. On designe par u,
la tension d'alimentation de la bobine telle que le couple (u,i) soit en 
convention recepteur et par R,
la resistance electrique du bobinage.

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13 -- Justifier brievement l'existence d'une force electromotrice induite dans 
le circuit de la bobine.
On rappelle que la loi d'Ohm generalisee appliquee au circuit de la bobine 
s'ecrit, avec les conventions
precedemment definies, u = Ri - e.
On note Eem l'energie electromagnetique totale stockee dans la bobine et le 
circuit magnetique. On
neglige l'influence du courant i sur le point de fonctionnement de l'aimant 
permanent. On considere que
la longueur de la bobine est superieure a celle de l'entrefer et que le 
mouvement engendre presente une
amplitude suffisamment faible pour que la bobine reste dans la configuration 
representee sur la figure 1.
On peut alors montrer que l'energie electromagnetique se simplifie sous la 
forme Eem  21 Li2 + Eem0 ,
ou L designe l'inductance propre de la bobine independante de x et Eem0 est une 
energie constante.
14 -- Pour une evolution elementaire du systeme constitue par le haut-parleur 
entre t et t + dt,
on note Wem = -eidt, l'oppose du travail de la force electromotrice 
d'induction, WL = FL xdt, le
travail de la force de Laplace et dEem la variation d'energie 
electromagnetique. En supposant que la
temperature du systeme reste constante, proposer un bilan d'energie permettant 
d'etablir la relation
Wem = WL + dEem , nommee relation (5).
15 -- En deduire l'expression de la force electromotrice d'induction. 
Determiner alors l'equation
electrique, nommee (6), traduisant la loi d'Ohm generalisee appliquee au 
circuit et reliant i, u, x,
R, L,  et Be . On se place desormais en regime sinusoidal force de pulsation . 
On note x, la
representation complexe de x(t), u, celle de u(t) et i, celle de i(t). Traduire 
les deux equations (4) et
(6) en representation complexe en utilisant les seules variables u, i, x et les 
parametres , , L, R, h,
K, m et Be . On notera (4 ) et (6 ) les deux nouvelles equations en 
representation complexe.

|/|

,

0

*

1

2%

0%

1%

. [Hz]
Figure 6 ­ Schema electrique equivalent (a droite) et reponse en frequence (a 
gauche)
A partir de (4 ) et (6 ), il est possible de calculer l'impedance apparente de 
la bobine Z = ui qui se
met sous la forme Z = R + jL + Z m , ou Z m se nomme l'impedance motionnelle du 
haut-parleur.
On peut alors montrer que le schema electrique du haut parleur est celui 
represente en figure 6. Le
calcul conduit aux expressions :
Rm =

Be2 2
B 2 2
m
, Lm = e et Cm = 2 2 .
h
K
Be 

La courbe des variations de |Z| en fonction de la frequence est egalement 
representee en figure 6. Pour
le haut-parleur considere R = 10,4  et L = 1,0 mH.
16 -- En justifiant les approximations effectuees,
determiner par le calcul la valeur de la frequence

f0 pour laquelle |Z| est maximale. On donne 2.105  450.
Le haut-parleur est utilise dans la bande de frequences ou son impedance reste 
voisine de l'impedance
minimale.
FIN DE LA PARTIE II
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III. -- Influence du rayonnement du haut-parleur
III.A. -- Champ rayonne par une sphere pulsante
On note 0 , la masse volumique de l'air au repos que l'on assimilera a un gaz 
parfait et s sa compressibilite isentropique au repos.
17 -- Rappeler les hypotheses de l'acoustique lineaire puis montrer a l'aide 
des equations linearisees
dont on justifiera la forme, que la pression acoustique notee p est solution de 
l'equation de d'Alembert
2
p - A t2p = 0, ou A est une constante que l'on determinera. En deduire la 
celerite de l'onde. On
definira soigneusement toutes les notations introduites.
18 -- Calculer numeriquement la celerite des ondes acoustiques dans l'air a la 
pression p0 = 1 bar
et a la temperature T0 = 300 K. Calculer la longueur d'onde  de l'onde 
acoustique lorsque la frequence
-1
-3
vaut f = 200 Hz. On rappelle que la masse molaire de l'air vaut 29 × 10
 kg · mol et on prendra
25
-1
pour la constante des gaz parfait R = 3 J · mol · K . On rappelle que 3  1,73.
On considere une sphere pulsante a la pulsation , de centre O, dont le rayon 
varie avec le temps
selon l'expression Rs (t) = R0 + R1 sin(t), ou R1  R0 , dont la surface se 
deplace a la vitesse radiale
Va = R1  cos t. Le mouvement de la surface de la sphere plongee dans l'air, 
engendre un ecoulement
d'air a symetrie spherique dont le champ des vitesses est radial.
Un point M de l'espace est positionne dans un referentiel spherique (O,!
ur ,!
u ,!
u ). Le champ des
vitesses et le champ de pression de l'onde acoustique dans l'air en ce point 
s'ecrivent sous la forme :
! (M,t) = v(r,t)!
V
ur

et

p(M,t) = p(r,t).

Le debit volumique a la surface de la sphere est note Q, on prendra Q = Va 4R02 
= Q0 cos(t). L'etude
est menee dans le cadre de l'acoustique lineaire.
19 -- En regime sinusoidal etabli a la pulsation , on exprime la representation 
complexe de la
A1
pression sous la forme p(r,t) =
exp {j [t - k(r - R0 )]}, ou A1 est une constante complexe et k
r
une constante reelle. Quelle condition doit satisfaire k pour que p(r,t) soit 
solution de l'equation de
d'Alembert ?
20 -- En utilisant l'equation d'Euler linearisee, etablir la relation (7) entre 
la representation
complexe v(r,t) de v(r,t), p(r,t), k, r,  et 0 . En deduire l'expression de 
l'impedance acoustique
p
definie par Za = v et commenter ses proprietes.
21 -- En ecrivant la continuite de la vitesse en r = R0 , determiner 
l'expression de A1 en fonction
de Q0 , 0 , , k et R0 . En deduire l'expression complete de p(r,t). On modelise 
une source sonore
ponctuelle, nommee monopole, comme une sphere pulsante de rayon R0  . Montrer 
que le champ
de pression rayonne par un monopole situe en O s'ecrit :
p(r,t) = j0

Q0
exp [j(t - kr)].
4r

22 -- Exprimer la representation complexe v(r,t) de la composante radiale du 
champ de vitesse
! [(r,t)], ou
! = -grad
de l'onde rayonnee par un monopole situe en O. Verifier que l'on peut ecrire V
Q0
(r,t) = 4r exp [j(t - kr)] se nomme le potentiel complexe du champ des vitesses.

III.B. -- Champ rayonne par un disque de rayon Rd encastre dans un plan rigide
infini

Le modele developpe dans la partie II ne tient pas compte du rayonnement d'une 
onde sonore par la
membrane. Pour mettre en evidence cette influence, la membrane est modelisee 
par un disque plan
de rayon Rd , encastre dans un plan rigide infini et dont les points vibrent 
selon l'axe x x normal au
disque. C'est cette vibration qui genere une onde sonore.
Afin de calculer le champ de vitesse et le champ de pression emis en un point M 
de l'espace, on
decompose la surface du disque en surfaces elementaires dS situees aux points P 
du disque que l'on
assimile a des monopoles de debit dQ0 = V (P )dS, ou V (P ) designe la 
representation complexe de la
vitesse au point P du disque.
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Le potentiel t (M,t) de l'onde totale en un point M de l'espace
(figure 7), resultant de la presence de tous les monopoles du disque,
s'obtient alors en sommant le potentiel de chaque monopole situe
en P evalue au point M . De plus, on montre que pour rendre
compte de la presence du disque, il suffit de considerer que le
potentiel a associe a chaque monopole est le double de celui d'un
monopole seul dans l'espace.
On obtient alors :
""
1
exp (j (t - kr ))
dQ0 (P ),
t (r,,t) =
2
r
Disque

3
d"

40
4

(
+

!

2

Disque modélisant
la membrane

Figure 7 ­ Decomposition du
disque en monopoles

ou r represente desormais la distance entre le point d'observation
M et le centre C du disque. L'angle  est defini sur la figure 7.
Lorsque les amplitudes des vitesses de tous les points P sont identiquement 
egales a V0 et que les
points P vibrent en phase, a la vitesse de translation de l'equipage mobile 
(hypothese raisonnable
aux frequences d'etude tres inferieures a celles des modes propres de la 
membrane), le calcul de cette
integrale conduit a :
V0 Rd2
exp [j(t - kr)] D().
t (r,,t) =
2r
Les variations de la fonction D, sans dimension et nommee facteur de 
directivite, en fonction de
l'argument u = kRd sin(), sont representees sur la figure 8.
6(*)

* = 50& sin (' )

Figure 8 ­ Variations du facteur de directivite D en fonction de u
23 -- On dit que la source constituee par le disque encastre est directive 
alors que celle constituee
par un monopole ne l'est pas. Expliquer pourquoi chacune de ces deux sources 
revet ou non un caractere
directif.
24 -- Pour Rd = 10 cm, a la frequence f = 200 Hz, montrer que la source 
constituee par le disque
encastre est tres peu directive.
La presence de l'onde acoustique du cote ou elle est emise genere une 
surpression exercant une force
supplementaire sur la membrane qui n'a pas ete prise en compte dans la partie 
II.
Le champ de pression acoustique p n'etant pas uniforme sur la membrane, on 
definit l'impedance de
rayonnement Zra par la relation Fra = -Zra v, ou Fra designe la representation 
complexe de la force
exercee par la surpression sur le disque, et v = jx, la representation complexe 
de la vitesse de chaque
point du disque identique a celle de l'equipage mobile du haut-parleur.
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Physique II, annee 2018 -- filiere PSI

Le calcul de cette impedance dans le cas d'un disque circulaire de rayon Rd , 
de surface Sd = Rd2 ,
non aborde dans ce probleme, conduit a l'expression : Zra = 0 cSd (rra + jxra 
), ou c est la celerite des
ondes acoustique, rra et xra designent respectivement les parties reelle et 
imaginaire de l'impedance
Zra
representees sur la figure 9 en fonction de la variable adimensionnee  = kRd .
reduite zra = 0 cS
d

4ra

!ra
50&

Figure 9 ­ Parties reelle et imaginaire de l'impedance de rayonnement reduite
25 -- On conserve les valeurs Rd = 10 cm et f = 200 Hz. Tant que  < 0,5, on peut assimiler rra et xra a leur developpement limite : rra  12 2 et xra  8 3 . Montrer que la prise en compte de Fra dans la relation (4 ) de la partie II revient d'une part a rajouter a la masse m de l'equipage mobile une masse mra , independante de  et d'autre part, a rajouter a la constante de frottement fluide h un 3 3 terme hra (), dependant de . En prenant pour l'application numerique 0 = 56 kg · m-3 et 173 16 , calculer les valeurs de mra et hra (). Conclure alors quant a l'influence du phenomene de rayonnement de la membrane sur la relation (4 ) dans le regime considere. III.C. -- Puissance rayonnee par un haut-parleur en enceinte close Afin d'eviter une interaction entre l'onde emise a l'avant de la membrane et celle emise a l'arriere, on encastre le haut-parleur dans une enceinte close, rigide, parallelepipedique representee sur la figure 10. Lorsque la membrane est au repos, le volume d'air a l'interieur de l'enceinte vaut V0 et la pression vaut p0 = 1 bar. Lorsque la membrane, assimilee a un disque de section Sd , se deplace de x, le volume est alors note V (x). 26 -- Exprimer V (x) en fonction de V0 , Sd et x. Lorsque x (= 0, il apparait une surpression pi a l'interieur de l'enceinte. c Exprimer pi en fonction de  = cvp , Sd , p0 , V0 et x. En deduire la force Fi exercee par la surpression sur la membrane. 70 ! !0 Membrane Figure 10 ­ Enceinte close 27 -- Montrer que la prise en compte de Fi dans la relation (4 ) de la partie II revient a rajouter a la constante de raideur K un terme supplementaire Ki , independant de , dont on calculera la valeur pour V0 = 0,05 m3 , Rd = 10 cm et en prenant  2  10. Quelle est l'influence de Ki sur la courbe de la partie gauche de la figure 6 ? On calculera la nouvelle frequence f1 pour laquelle |Z| est maximale. La puissance acoustique moyenne rayonnee par la membrane est donnee par la relation Pra = )-Fra v* = 2 1 1 2 Re(Zra ) v v = 2 0 cSd rra |v| . Le but est desormais de tracer l'allure du diagramme asymptotique des variations de 10 log(Pra ) en fonction de log(f ). La figure 9 suggere d'introduire une frequence f2 dans la modelisation du comportement frequentiel de rra faisant apparaitre deux domaines : -- pour f < f2 , rra  1  2 avec 1 = cste ; -- pour f > f2 , rra  2 avec 2 = cste .

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Physique II, annee 2018 -- filiere PSI

28 -- Pour Rd = 10 cm et a l'aide de la figure 9 proposer une valeur de f2 .
29 -- Determiner le domaine de frequences ou l'impedance electrique R + jL de 
la bobine est
assimilable a sa resistance.
30 -- En assimilant l'impedance electrique de la bobine a sa resistance, 
exprimer v en fonction
de u,  et des parametres utiles. On posera K1 = K + Ki .
31 -- L'amplitude de la tension u est constante. Pour chacun des deux 
diagrammes representant
10 log(|v|2 ) et 10 log(rra ) en fonction de log(f ), determiner la pente des 
asymptotes ainsi que la
frequence de coupure correspondant au changement de pente.
32 -- Deduire de la question precedente l'allure du diagramme asymptotique des 
variations de
10 log(Pra ) en fonction de log(f ). On ne cherchera pas a calculer des valeurs 
particulieres de la grandeur
portee en ordonnee, mais on precisera uniquement les pentes des asymptotes et 
les frequences de
coupure correspondant aux changements de pente. En deduire la bande passante 
dans laquelle le
haut-parleur fonctionne correctement.
FIN DE LA PARTIE III

Donnees numeriques et formulaire
µ0 = 4 × 10-7 H · m-1
e = 6 mm
m = 58 g
 = 6 cm

Rb = 2 cm
a = 2 cm
K = 11,6 × 103 N · m-1
16  50

e = 3 mm
M1 = 4 × 105 si
h = 7,0 N · m-1 · s
 = 3 cm

Laplacien d'un champ scalaire radial U = U (r) en coordonnees spheriques :
U =

1  2 (rU )
r r2

Gradient d'un champ scalaire radial V = V (r) en coordonnees spheriques :
V
!
grad(V
)=
u
!r
r
FIN DE L'EPREUVE

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