Mines Physique 2 PSI 2021

A2021 - PHYSIQUE II PSI

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2021
DEUXIÈME ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Durée de l'épreuve : 4 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE IT - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 8 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMEP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Physique IT, année 2021 -- filière PSI

Vélocimétrie laser Doppler

Alors même que la simulation numérique en mécanique des fluides est de plus en 
plus perfor-
mante, le recours à l'expérimentation reste nécessaire, ne serait-ce que pour 
valider ces simula-
tions.

À cette fin, la détermination de cartes de vitesses au sein d'un écoulement est 
un outil précieux.
Ce sujet s'intéresse à une méthode peu invasive : la vélocimétrie laser 
Doppler. Le fluide dont
on souhaite étudier l'écoulement est ensemencé à l'aide de particules le plus 
souvent solides,
qui se déplacent au sein du fluide, idéalement à la même vitesse et sans le 
perturber. Lors du
passage de ces particules à travers un ou plusieurs faisceaux laser, la lumière 
est diffusée et son
analyse permet la détermination de la vitesse de la particule, et donc 
localement du fluide qui
la porte.

On propose en figure 1 une vue d'ensemble du dispositif de mesure à deux 
faisceaux, sur
laquelle on ne représente pas le dispositif destiné à analyser la lumière 
diffusée par les particules
ensemencées dans le fluide.

= (IT

élargisseur diviseur | | | écoulement du

. focalisation /
de faisceau de faisceau fluide ensemencé

FIGURE 1 -- Vue d'ensemble du dispositif.

Ce sujet aborde dans une première partie le principe de la vélocimétrie laser 
Doppler, puis
étudie deux domaines d'application : l'écoulement d'un liquide dans une 
canalisation puis l'étude
d'ondes sonores guidées. Ces parties sont assez largement indépendantes.

Les applications numériques seront données avec 1 seul chiffre significatif. 
Les vecteurs sont
surmontés d'un chapeau s'ils sont unitaires & ou d'une flèche dans le cas 
général v. Les vecteurs
unitaires de la base cartésienne sont notés (G,, ü,, u.) et ceux de la base 
cylindrique d'axe Ox
(ü,, Up, Ur). En fin de sujet sont regroupées des constantes de la physique 
utiles, ainsi qu'un
formulaire d'analyse vectorielle.

ÏI Principe de la vélocimétrie laser

Dans toute cette partie, le fluide en écoulement est supposé transparent. On 
note EUR la vi-
tesse de la lumière dans le vide et dans le fluide, assimilé au vide du point 
de vue des ondes
électromagnétiques.

IA Montage à 1 faisceau

L'effet Doppler décrit le décalage en fréquence d'une onde, observé entre les 
mesures à l'émission
et à la réception, lorsque la distance entre l'émetteur et le récepteur varie 
au cours du temps.

Dans le référentiel Z du laboratoire, supposé galiléen, on fixe un laser et un 
récepteur lumineux.
Le laser à argon utilisé émet une onde plane progressive monochromatique (OPPM) 
électroma-
gnétique de fréquence f. et longueur d'onde À. = 5,2 x 10 nm, dirigée selon &, 
et se propageant
à Co.

Une particule solide P, supposée ponctuelle et possédant une vitesse V dans Z , 
constitue un
observateur mobile par rapport à l'émetteur laser fixe. Par effet Doppler, elle 
perçoit donc une
fréquence f, différente de la fréquence f. émise.

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Physique IT, année 2021 -- filière PSI

La figure 2 décrit une période spatiale À, de l'OPPM délimitée par deux fronts 
d'onde Il, et
Il à l'instant t, et par deux fronts d'ondes Il et IT à l'instant &' -- t + At 
avec At --1/f,. P
appartient à Il, à l'instant & puis à IT, à l'instant #.

Direction du mouvement

de la particule ss,

Ci / /
IL Il; IL Il;
ee ,
re ' +
F -- w 7
\/ V st PNR
<-- À, ----> Ue
Faisceau laser us ----+
Ru à,
P \, '
-- ...s*
Instant t -- V Instant t" ------

FIGURE 2 -- Effet Doppler.

Dj -- 1. En faisant apparaître V . üu., exprimer la distance parcourue par 
l'onde pendant At en
fonction de la distance parcourue par la particule et de À. En déduire la 
relation

nf pit)
Co

La particule mobile diffuse à son tour de la lumière vers un photorécepteur 
fixe, selon la direction
de ü4. Par effet Doppler, ce dernier perçoit une fréquence /; différente de la 
fréquence f, émise.

1 -- 2. Dans le référentiel Z" lié à la particule et en translation par rapport 
à Z, la particule
émettrice de lumière est fixe et le récepteur mobile. En le justifiant, adapter 
le résultat
de la question précédente afin de relier f4 et fs.

D -- 3. Pour une vitesse [V||& co de l'ordre de 10cm.s_!, en déduire que :

fan f, + MT (1)

Pour un laser à argon, que penser de l'écart relatif en fréquence, entre OPPM 
émise et
reçue au niveau du photorécepteur ? On s'appuiera sur une analyse numérique.

IB Montage à 2 faisceaux

Afin d'améliorer la précision des vitesses mesurées, ainsi que la localisation 
de celles-ci dans le
fluide, on a recours à un dispositif à deux faisceaux laser.

I.B.1 Élargisseur et diviseur de faisceau

L'élargisseur de faisceau, présenté en figure 3-a, transforme un faisceau 
cylindrique laser de
largeur do, en un autre de largeur dj > do. Le diviseur de faisceau, présenté 
en figure 3-b, le
sépare ensuite en deux faisceaux parallèles de largeur identiques d, qui ne se 
recouvrent pas et
dont les axes sont distants de D.

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Physique IT, année 2021 -- filière PSI

FIGURE 3 -- Élargisseur (a) et diviseur de faisceau (b)

L -- 4. Reproduire le schéma de l'élargisseur de faisceau de la figure 3-a et 
positionner les foyers

des deux lentilles permettant d'obtenir un faisceau de largeur d, supérieur à 
do. Exprimer
alors d, en fonction de d, et des distances focales f. et f, de LA et Lo.

Exprimer l'encombrement de ce dispositif, défini comme sa longueur sur l'axe 
optique,
en fonction de f;, do et dy.

Proposer un dispositif permettant de réduire cet encombrement sans changer d,. 
On
exprimera le nouvel encombrement et on justifiera qu'il est inférieur à celui 
du premier
dispositif.

Le faisceau de largeur d, arrive sur un prisme diviseur de faisceau en verre 
d'indice n, dont
les caractéristiques géométriques sont précisées sur le schéma de la figure 
3-b. On note 26 la
largeur du prisme et on prendra @ = 7/4.

D -- 5.

Reproduire le schéma et le compléter afin d'expliquer son fonctionnement : on y 
indiquera
5, do et D. En justifiant rapidement sa réponse, donner la valeur de dj. 
Pourquoi parle-

t-on de diviseur de faisceau à différence de marche nulle ? Proposer un autre 
dispositif

permettant d'obtenir la division d'un faisceau. Est-il à différence de marche 
nulle ?

. À la limite de non recouvrement des faisceaux, déterminer la relation entre 
b, d, et n,

sous la forme

2 np) -- 1

où g est une fonction de n,, que l'on explicitera, sans fonction 
trigonométrique. En déduire
une condition sur b pour que les faisceaux soient effectivement séparés.

I.B.2 Étude de l'onde diffusée

Une lentille convergente focalise les deux faisceaux laser précédents vers une 
zone de recou-
vrement où circule le fluide en écoulement. Ces deux faisceaux, notés F1 et F5, 
sont assimilés
à des OPPM d'extension spatiale finie de largeur d, de même intensité et de 
même fréquence f..

Sur la figure 4, on note ke = k,u1 et ko -- k.u.2 les vecteurs d'onde 
respectivement associés à
F et F3 ainsi que 0 l'angle entre ces deux vecteurs. La lumière diffusée de la 
particule P vers
le récepteur © est portée par le vecteur d'onde commun k, -- kqua.

On s'intéresse alors au passage d'une particule solide d'ensemencement P, de 
vitesse W --
Vrüx + V,uüy + V.u, dans la zone de recouvrement des faisceaux.

Au niveau du récepteur, les champs électriques issus de F\ et F3 et diffusés 
par P s'écrivent :

Eu -- Eur -- EpeTiaig. et Eyo -- Ejpür -- EpeTiatg.

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Physique IT, année 2021 -- filière PSI

Q
Po;
SCa
a 7 .
1 A
DK
À. 18
LL e]
x
_ jh TS
ki = ka Ga 0/2
< | : P 4 O | | 7 Récepteur 0/2 D. . 11177 » ke? V° Ecoulement du fa ke? fluide ensemencé \ ss a FIGURE 4 -- Zone de recouvrement des lasers. Diffusion de lumière par une particule. D -- 7. En utilisant le résultat (1), exprimer fu -- fa en fonction de À;, 0 et de l'une des composantes de la vitesse V. Le photorécepteur est sensible à 7(t) = K | Ea + Ego " où À est une constante positive carac- téristique du récepteur. Li -- 8. L.B.3 LU -- 10. UD -- 11. D -- 12. Montrer que le signal reçu s'écrit sous la forme (EUR) = 2A [1 + cos(6t)]. On précisera A et 5 en fonction des données. Exprimer la fréquence jf. de clignotement de cette lumière diffusée en fonction de À., 0 et l'une des composantes de V. . La valeur de la composante de la vitesse particulaire intervenant dans le résultat de la question précédente est de 10cm.s !; calculer numériquement la valeur de f. obtenue avec deux faisceaux issus d'un laser à argon faisant un angle de 3,6° entre eux. Justifier l'utilisation de deux faisceaux lasers en termes de précision de la mesure et de localisation de la particule. Cellule de Bragg Le photorécepteur utilisé possède un temps de réponse de 7 = 4,4 x 10 °s et l'angle 0 entre les faisceaux vaut 3,6". Pour le laser à argon, déterminer littéralement puis numériquement la plage |--Viax, + Vnax] de vitesses détectables par le système. Pourquoi ne peut-on mesurer qu'une seule composante de V avec ce dispositif ? Propo- ser une solution permettant d'accéder simultanément aux trois composantes du vecteur vitesse de la particule. Pourquoi ne peut-on pas faire la différence entre une valeur positive et une valeur négative de la composante mesurée ? Avant d'atteindre la zone de recouvrement, on place une cellule de Bragg sur le trajet du faisceau F, uniquement. Il s'agit d'un milieu transparent parcouru par une OPPM acoustique de fréquence f8. Page 4/8 Tournez la page S.V.P. Physique IT, année 2021 -- filière PSI En traversant cette cellule qui se comporte comme un réseau, F, donne naissance à différents faisceaux, déviés par rapport au faisceau incident. Parmi eux, seul celui d'ordre 1, de fréquence fe + fp, croise F3, inchangé à la fréquence f., dans la zone de recouvrement. -- 13. Déterminer la nouvelle expression f! de la fréquence de clignotement, en fonction de fz, À-, 0 et d'une des composantes de V. Dans les mêmes conditions que la question 10, exprimer et calculer la fréquence fZ optimale, c'est-à-dire celle permettant la mesure d'une des composantes de V (et de son signe) dans l'intervalle [---Viax/2, + Vinax/2]. Analyser votre résultat sachant que la centaine de MHz est réalisable dans certains matériaux. IT Application à la mesure d'un profil de Poiseuille On étudie l'écoulement stationnaire, de débit volumique Q, d'un liquide incompressible de masse volumique y et de viscosité dynamique ", dans une conduite horizontale cylindrique de rayon À et de longueur L selon l'axe Ox. -- 14. Exprimer le nombre de Reynolds de l'écoulement en fonction de grandeurs définies ci- dessus. À quelle condition l'écoulement peut-il être considéré comme laminaire ? On supposera cette hypothèse vérifiée dans la suite. La conduite est soumise à des pressions F. en entrée et P, = P, -- AP en sortie avec AP > 0. A
l'intérieur, le champ de pression et celui des vitesses s'écrivent sous la 
forme P(Mt) = P(x) et
U(Mt) = v(r,x)u, en coordonnées cylindriques. Pour une longueur L de conduite, 
la force de

OÙ

viscosité qu'exerce le liquide en r > ro sur le liquide en r < ro, s'écrit F = 2n7roL -- d d d 7] Or PS Ur. T=TO -- 15. Justifier que v(r,x) est indépendant de x. Établir une équation différentielle en v (r). En déduire que le profil des vitesses dans la conduite est de la forme v(r) = A|1- (=) | où q est un entier que l'on déterminera et dans laquelle on précisera l'expression de À en fonction de AP, R, Let n. Déterminer enfin une relation entre Q et À et À. On réalise une série de mesures de la vitesse v(mm.s"!) . . . . . pores. messe. messes more ere ee RO LL... roreeeseeeeese EE mere. ee axiale du liquide dans une conduite cylin- D k à -- . Lui . Lu LR IE Ki... L. L drique de rayon À -- 13mm, dans laquelle  ,*+ LR DR TT SR A une solution aqueuse circule. oc 60 feet : : : : + : : : : : : : : : ce Lecce --.... Lee. Lee Lecce 77:50 +... Lee Loue + Lecce ééeeeeueeeeee : Lee . Pour réaliser ces mesures, la zone de croise- 1: gt + --. ment des faisceaux est déplacée le long d'un 2 + _ . & . -- Lecce : Lee : Lecce : Lecce ee eee : 30 Hi eee eee eee : Lecce ce diamètre de la conduite. | Lénine eee +... | 20 +... | eee. . Pour chaque position, une dizaine de mesures 2% 104 2 | LL LE LL  Lr(mm est prise et leur moyenne calculée. LL SES r | ) 14 --12 10 -8 -6 --4 --2 2 4 6 8 10 12 14 On obtient les résultats de la figure 5, pour FIGURE 5 -- Solution 1 (+); solution 2 (+) deux types de solutions : -- La solution 1 est constituée d'eau de viscosité dynamique m1 = 1,0 x 10° Pa.s: -- La solution 2 est un mélange à parts égales d'eau et de sucre de canne de masse volumique lo = 1.2 X 10° kg.m * et de viscosité dynamique 7m = 5.5 x 107 Pa.s Sur l'axe des abscisses de la figure 5, la distance r est relative à l'axe de la conduite. Page 5/8 Tournez la page S.V.P. Physique IT, année 2021 -- filière PSI LU -- 16. III Lequel de ces deux écoulements correspond le plus à un écoulement laminaire ? Estimer le débit volumique puis en déduire le nombre de Reynolds pour chacune de ces deux expériences. Interpréter les résultats. Application à l'étude d'ondes acoustiques IITIA Onde acoustique guidée Un émetteur produit dans l'air une onde acoustique de fréquence f -- 40 kHz et de longueur d'onde À. L'air, de viscosité négligeable, possède une masse molaire M = 29 g.mol !, un coeffi- cient de compressibilité isentropique y$s et un coefficient de Laplace 7 = 1,4. Au repos, à 20°C la pression de l'air vaut F, = 1 bar et sa masse volumique 0 = 1,2kg.m ". D -- 17. Li -- 18. D -- 19. 3 Qu'est-ce que l'approximation acoustique ? Donner sans démonstration un système de trois équations locales linéarisées utiles pour un problème unidimensionnel orienté par l'axe Ox. En déduire l'équation d'onde vérifiée par la surpression p1(#,t). En assimilant l'air à un gaz parfait, montrer que la célérité c du son dépend de la masse molaire du milieu. Calculer numériquement c dans l'air à 20°C. Pour une OPPM, établir l'expression de l'impédance acoustique Z,. Exprimer l'in- tensité en décibel 7,8 en fonction de v, l'amplitude de la vitesse acoustique, 14 -- 1,0 x 107 W.m * l'intensité seuil d'audibilité d'un son, et Z4. Calculer numériquement Um Si lap = 120 dB dans l'air à 20°C. Le vélocimètre à deux lasers étudié précédemment permettrait-il d'accéder à de telles valeurs de v,, ? On généralise l'équation d'onde vérifiée par la surpression p1(M,t) à une géométrie quelconque : dpi ot? (M) = 2Ap (Mt) Deux plaques rigides de grandes dimensions sont fixées en z = 0 et z = a et représentées en figure 6. Elles imposent comme conditions à la surpression : Li -- 20. Li -- 21. Op: OP1 _ Op: OZ 2). z=0 Z=a@ Air FIGURE 6 --- Modèle plan de guide d'onde acoustique. Justifier que l'on cherche une solution du problème sous la forme p1(M,t) = p(z) cos(wt -- kx + @) puis caractériser physiquement une telle onde. On prendra k > 0 et w > 
0.

Déterminer et résoudre l'équation différentielle vérifiée par p(z). On montrera 
que les
solutions s'écrivent :

Pn(z) = An cos (--) nEeN

Justifier précisément que le mode propre fondamental corresponde à n = 0.

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Physique IT, année 2021 -- filière PSI

D -- 22. Trouver la relation de dispersion pour chaque mode propre et montrer 
l'existence d'une
pulsation de coupure w., à partir de laquelle le mode propre n > 0 peut se 
propager.
En déduire la vitesse de phase et la vitesse de groupe, associées à chaque mode 
propre,
en fonction de EUR, w et w.,. CUommenter ces expressions.

Ci -- 23. À quelle condition sur a et la longueur d'onde À de l'onde libre, le 
mode fondamental
n = 0 se propage-t-il seul entre les plaques ? Faire l'application numérique 
correspondant
à cette condition.

Étudions désormais la propagation d'une onde acoustique dans une conduite 
circulaire de rayon
a. On peut utiliser les résultats de la question 22, à condition de considérer 
une pulsation de

HnmC
COUPUrE We nm --
a

fonction de Bessel d'ordre n, J,(x), admet son m

. Le paramètre Lym désigne la valeur de la variable x pour laquelle la

eme maximum.

ordre n Mn1i  Hn2 Hn3 na

0 O 38 7,0 10,2
1 18 53 8,5

2 31 67 10,0

3 42 8.0

4 53 9,3

5 6,4

6 7.5

1 -- 24. Quels modes propres, caractérisés par un couple d'entiers (n,m), 
peuvent se propager
dans un tuyau de diamètre 2a = 11 mm ?

 -- 25. Ce tuyau est alimenté par des salves d'une durée de 4 périodes. Les 
différents modes
propres se propageant sous forme de paquets d'ondes, quelle longueur de tuyau 
faut-il
choisir pour pouvoir les résoudre en sortie ?

IIILB Production de l'onde acoustique

Pour émettre des ondes acoustiques par salves. l'émet- :

teur doit être alimenté par un générateur de trains de

Ï 40 kHz. EE
sinusoïdes à 40 kHz e -- R | S

Considérons tout d'abord le montage de la figure 7 où 2 IT si
l'ALI, supposé idéal, est alimenté par des tensions +15 V

et dont les tensions de saturation sont alors également TITI7IT

LV = +15 V. FIGURE 7 --- Montage à ALI idéal.

 -- 26. Exprimer la tension s, en fonction des données du montage. Représenter 
un montage
permettant d'obtenir une tension s = --s:.

On adapte ce montage de la façon suivante :
-- R= kR; = ko = 47Kk0;
-- ei(t) : tension sinusoïdale de fréquence f, -- 40 kHz et d'amplitude crête à 
crête 8 V ;
-- e2(t) : tension en créneau de fréquence f> = 5,0 kHz et d'amplitude crête à 
crête 12 V ;

Q - 27. Tracer l'allure de la courbe s(t) en fonction du temps, sur une durée 
de 4 x 107*s. On
précisera les coordonnées des points remarquables.

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Physique IT, année 2021 -- filière PSI

On modifie l'alimentation de l'ALIT, initialement de +15 V, par deux tensions 
de 0 V et 15 V.

1 -- 28. Reprendre la question précédente : en quoi l'allure de s(t) est-elle 
modifiée. L'objectif
d'un générateur de salves semble-t-il atteint ?

Lj -- 29. La fiche technique de l'amplificateur opérationnel LM741 utilisé 
indique une vitesse
limite de balayage de 0,5 V.ns_!. Pourquoi le signal s(t) sera-t-il déformé ? 
Comment
minimiser les effets de ce défaut sans changer de composant ?

IIILC Ensemencement

Pour mesurer la vitesse de l'air, due à la présence d'une onde acoustique, on y 
insémine des
particules solides en suspension qui diffusent la lumière. La vitesse mesurée 
par effet Doppler
n'est donc pas directement la vitesse v; du fluide étudié, mais la vitesse v, 
des particules
d'ensemencement utilisées comme traceurs.

Au cours de son mouvement, une particule sphérique de masse volumique 4, = 1,0 
x 10° kg.m_
n'est soumise qu'à la force de frottement visqueux --3rd,n(v, -- vs) où d, = 
1,0 am désigne le
diamètre de la particule et 7; = 1,8 x 10° Pa.s la viscosité dynamique de l'air 
à 20°C.

3

LD -- 30. Justifier l'expression de cette force par le calcul d'un nombre 
adimensionné.

D -- 31. En régime harmonique de fréquence f, exprimer le rapport des vitesses 
complexes v,/v;
en fonction de f et d'une fréquence fo à définir en fonction des données. 
Calculer fo
numériquement.

Ci -- 32. Dans quel intervalle fréquentiel faut-il travailler ? À la fréquence 
f de l'émetteur, quelle
erreur relative est commise sur la mesure de l'amplitude de v; ? Quelle 
fréquence maxi-
male faut-il choisir pour commettre une erreur relative inférieure à 1% ? 
Conclure sur
l'intérêt de ces particules pour étudier des infrasons, des sons audibles ou 
des ultrasons.

Données numériques

---- vitesse de la lumière dans le vide : co = 3,0 x 10° m.s
---- constante des gaz parfaits : R = 8,3J.K°!.mol

Opérateurs vectoriels

Expressions des opérateurs vectoriels en cordonnées cylindriques (r,0,x) pour 
un champ scalaire
Ur,6,x) et un champ vectoriel À = AÀ,(r,60,x)u, + Aog(r,0,x)u9 + Ax(r,0,x) :

au = Ua,+ 104,404 au 10 fou), 1oU ou
8 Or" r00 "6x " _ rôr | Ôr r2 002 Ox?

_ lô(rA,) 104 04,
MAT 5 tr 0 dr

EC ( DA; 7) & + (os _ 7.) 1 (240 _ 7) h

r 00 x Ôx Ôr r \ Or 00
. 1 2A9\1l. 1 OA,\1. L

FIN DE L'ÉPREUVE

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