Mines Physique 2 PSI 2022

A2022 --- PHYSIQUE II PSI

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2022
DEUXIÈME ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Durée de l'épreuve : 4 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE IT - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 10 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMEP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Physique IT, année 2022 -- filière PSI

Étude physique d'un capteur de position

Le contrôle d'un système ou d'un processus physique présent dans un grand 
nombre de dispo-
sitifs technologiques nécessite de connaître à chaque instant, le plus 
précisément possible, un
certain nombre de grandeurs physiques intervenant dans ce contrôle.

Ces grandeurs sont donc mesurées par des capteurs qui convertissent la grandeur 
physique
mesurée en une grandeur électrique utilisée afin de réguler le processus.

La réalisation de capteurs doit prendre en compte divers éléments tels que la 
précision, la
miniaturisation, le poids, le traitement numérique des données, etc.

Ce problème étudie dans un premier temps le principe physique selon lequel le 
capteur induc-
tif linéaire « LVDT »(Linear Variable Differential Transformer) convertit un 
déplacement de
position en une grandeur électrique (parties I et IT). Dans un deuxième temps, 
il étudie le
conditionnement de cette grandeur électrique en une tension proportionnelle au 
déplacement
(partie IIT). Dans un dernier temps, il développe une application utilisant ce 
capteur (partie

IV).

Pour les applications numériques, on ne conservera au plus que 2 chiffres 
significatifs.

Culasse ferromagnétique

Circuit primaire

MamAaAnmnAreAnreeeerRrel -r MAMA
DODDO LL NIIO) LAXLLLL LI Re
DATI ET LILLLIILLTS tatatetetetetettatatatatetetete
ETS TEE PES TI ZE ----_--_--_-------- -------- -- -- -- ---

Noyau ferromagnétique mobile O | 2

x]
00000000!
RLLIIILIX A :
LKKLILXIIISS

Circuit secondaire 2

FIGURE 1 -- Schéma descriptif du LVDT.

Le LVDT est un transformateur différentiel comportant trois circuits, un 
circuit primaire et
deux circuits secondaires. Les bornes homologues de ces circuits, mentionnées 
sur la figure 2 à
l'aide d'un point, sont telles que les courants algébriques entrants par ces 
bornes génèrent un
flux magnétique algébrique orienté selon &..

Les deux circuits secondaires sont identiques, constitués de fils de cuivre 
bobinés autour du
noyau et portent n spires par unité de longueur.

Le circuit magnétique du transformateur est formé d'une culasse cylindrique 
externe ferroma-
gnétique et d'un noyau cylindrique ferromagnétique de section S, de rayon a, 
relié à un support
non magnétique qui permet de le translater selon l'axe Oz. Le déplacement de ce 
noyau cylindre
par rapport à la position de référence représentée en figure 1 est limité à 
+L,x.

L'ensemble présente une symétrie de révolution autour de l'axe Oz et on 
repérera l'espace par
le système de coordonnées cylindriques (O,ü,,üo,u,).

Le but de ce dispositif est de fournir une grandeur électrique permettant de 
caractériser le
déplacement du cylindre.

Dans toute la suite, on supposera que le matériau magnétique constituant le 
noyau cylindrique
et la culasse est parfait, de splitéabilité magnétique 4, infinie et de 
conductivité électrique
nulle. Les matériaux non magnétiques (air, support, cuivre) ont une 
splitéabilité magnétique
relative égale à 1.

Page 1/10
Physique IT, année 2022 -- filière PSI

La figure 2 représente le système pour un déplacement algébrique z du centre C 
du cylindre tel
OC = zü.. Sur l'exemple de la figure 2, z > 0 et, de façon générale, z vérifie 
|z| < Lx. Le circuit primaire est alimenté par la tension u,(t) et parcouru par le courant d'intensité 4,(EUR). Les deux circuits secondaires sont connectés en série et la tension utile vaut u, = u2 -- u1 (voir figure 2). La tension d'excitation u, est sinusoïdale de fréquence f variant de 20 Hz à 20 kHz. La position du noyau magnétique affecte la répartition du champ magnétique et modifie les inductances mutuelles entre les circuits secondaires et le circuit primaire. On notera : e l,,, l'inductance propre du circuit primaire, e |, l'inductance mutuelle entre le circuit secondaire 1 et le circuit primaire, e !V;, l'inductance mutuelle entre le circuit secondaire 2 et le circuit primaire. Le courant dans les deux circuits secondaires est supposé nul. On désignera par état de référence, la configuration du dispositif où le circuit primaire est alimenté par la tension u, = U, sin (wt) et où la position du noyau ferromagnétique est telle que z = (. T'À 2 i Z ; 2 | Lmax  Lmax : <-- 2 in O! C AD U P | Us -- U2--U] | FIGURE 2 -- Définition des paramètres I Étude de l'état de référence Dans tout le problème, on supposera la fréquence f suffisamment faible pour que l'étude s'ins- crive dans le cadre de l'approximation des régimes quasi-permanents (ARQP). Ci -- 1. Énoncer dans le cadre de ce régime l'équation Maxwell-Ampère reliant le vecteur exci- tation magnétique H et 7, on précisera la nature de 7. En déduire la forme générale de l'énoncé du théorème d'Ampère. Q -- 2. Énoncer l'équation de Maxwell-Thomson (également appelée Maxwell-Flux) et en déduire la propriété correspondante du flux du champ magnétique. J -- 3. Quelle est la direction du champ magnétique en tout point du plan passant par © et orthogonal à ü, ? Qi -- 4. En un point M de coordonnées (r,0,2) quelconques, que peut-on dire des coordonnées (B,, Bo, B,) du champ magnétique compte tenu des symétries du problème ? Page 2/10 Physique IT, année 2022 -- filière PSI La résolution numérique des équations locales permet de représenter, en figure 3, quelques lignes du champ magnétique dans un plan de coupe contenant l'axe Oz, pour un courant 4, > 0.

Dj -- 5. Le résultat de la simulation numérique est-il compatible avec ceux des 
questions 8 et 4?
On justifiera précisément la réponse.

La figure 4 fournit, en échelles arbitraires (E.A. sur la figure) et 
indépendantes, les variations
des composantes B, = B : u, et de B, = B : ü, en fonction de z à la distance r 
de l'axe tel que
O

FIGURE 3 -- Lignes de champ pour un noyau centré obtenues par simulation 
numérique.

À E.A

2 2

FIGURE 4 -- Composantes B, (en grisé) et B, (en noir) en r tel que 0 < r < a. On remarque que |B,| devient très faible sur une très courte distance juste après 2 et juste avant z1. LJ -- 8. Justifier cette observation par un calcul littéral. Peut-on, sur la figure 3, observer ce phénomène à d'autres endroits ? Afin de déterminer l'expression des inductances mutuelles, on souhaite modéliser simplement le champ magnétique. Pour cela, grâce à la simulation numérique, sur la figure 5, on a représenté en trait plein la courbe des variations de B,/B, max évaluée en r = 0 en fonction de 2. Page 3/10 Physique IT, année 2022 -- filière PSI J -- 9. Quels éléments observés en figures 3 et 5 permettent de justifier que l'on puisse considérer le champ magnétique comme uniforme au voisinage du centre du noyau. J -- 10. Quels éléments observés en figure 3 permettent d'expliquer la diminution de la composante B + ü, du champ observée en figure 5 lorsqu'on se rapproche des bords du noyau ? -- BP, / BP; max TT m / Br max Z1 0 Z9 FIGURE 5 -- Composante B, sur l'axe Oz. Dans un premier modèle, on assimile le champ magnétique axial au profil représenté en traits pointillés en figure 5. En effet, on supposera que : e : Si 4 < Z < 2 et r < a, alors la composante B - üu, du champ magnétique est uniformément égale à B,,, sa valeur moyenne sur l'axe OZ dans le noyau. On posera Bin = K1p, où À est une constante caractéristique du système : e H|:siz< 2 où 2 > 2 alors pour tout r < a on à B-ü, = 0; o : en tout point compris entre le noyau et la culasse, tels que --£L < z < EL, alors B . ü, = 0. -- 11. Dans le cadre de ces hypothèses simplificatrices, montrer que les deux inductances mu- tuelles 17, et ML, sont identiquement égales à une même valeur notée M,. Exprimer Mo en fonction de $S, K, n et Lx. D -- 12. Application numérique : On donne la résistance du circuit primaire À, -- 100 Q et l'in- ductance du circuit primaire L, -- 6 mH. Pour U, -- 10 V, on mesure aux bornes de chacun des deux circuits secondaires non connectés entre eux une tension d'amplitude 1,5 V pour une fréquence de 5 kHz. Calculer la valeur de M,. On prendra 107 = 30 et V42.10% + 205. II Déplacement du noyau On étudie désormais le LVDT dans l'état représenté en figure 2 où le centre C du cylindre est déplacé de z par rapport à l'état de référence, soit OC -- ZU. Le circuit primaire est toujours alimenté par la tension uw, = U, sin (wt) et parcouru par le courant d'intensité %,. Le courant circulant dans les circuits secondaires connectés en série est nul. La figure 6 représente le tracé des lignes de champ magnétique dans un plan de coupe contenant l'axe OZ, obtenu par résolution numérique des équations locales dans les mêmes conditions que celui de la figure 3, pour un courant 7, > 0. Le seul changement réside dans la 
position du
noyau.

La cartographie des lignes de champ dans le noyau étant très semblable à celle 
de la figure 3,
on conserve les hypothèses | H; ,|H | et | H3 | correspondantes.

1

Page 4/10
Physique IT, année 2022 -- filière PSI

LU -- 13.
D -- 14.
D -- 15.
LU -- 16.
LU -- 17.

-- L Z1 r 2 2 +L

FIGURE 6 - Lignes de champ pour un noyau décentré.

Dans le cadre de ce modèle, montrer que si |2| < LA, alors L, est indépendante de z. Déterminer l'inductance mutuelle M, (2) en fonction de Mo, z et Linax-. De même, déterminer l'inductance mutuelle VW (z) en fonction de Mo, z et Liax Déduire des résultats précédents que la tension différentielle à vide du circuit secondaire z di ©, dans laquelle on précisera la valeur de Linax dt s'écrit sous la forme us = 2 -- u1 = AM la constante À. Pour un courant ?, sinusoïdal fixé, quel est le paramètre de la tension u,, noté À, per- mettant de mesurer z? Tracer l'allure des variations de À en fonction de z? Comment peut-on discerner le cas z2 > 0 et z < 0°? Connaissez-vous un procédé permettant de générer une tension proportionnelle à ce paramètre ? IIT Conditionnement du signal Un capteur LVDT est associé à un conditionneur de signal qui délivre une tension continue proportionnelle à la position du noyau. Cette partie étudie le fonctionnement du conditionneur AD598 dont le schéma fonctionnel fourni par la notice est représenté en figure 7. Excitation FIGURE 7 -- Diagramme bloc fonctionnel du conditionneur AD598 Page 5/10 Physique IT, année 2022 -- filière PSI L'AD598 comporte un oscillateur local, noté OSC en figure 7, générant une tension sinusoïdale dont la fréquence peut varier de 20 Hz à 20 kHz, suivi d'un amplificateur de tension qui délivre la tension w, appliquée aux bornes du circuit primaire du LVDT. L'oscillateur local produit dans un premier temps une tension périodique fonction triangulaire du temps qui est ensuite transformée en une tension sinusoïdale du temps grâce à un montage conformateur à diodes. À partir des deux tensions référencées par rapport au point de masse prises aux bornes des deux circuits secondaires du LVDT, V4 = ù2 et Vs = u1, le circuit intégré AD598 construit une ------, où A + B° À et B sont respectivement les tensions proportionnelles aux amplitudes des tensions V4 et V3. tension périodique en créneaux symétriques, de rapport cyclique « égal au rapport L'intérêt du conditionnement proposé par le composant AD598, par rapport aux procédés de détection envisageables, est de produire une tension de sortie proportionnelle au déplacement du noyau. La constante de cette proportionnalité est indépendante de la tension d'alimentation du circuit primaire de LVDT. L'étude se focalise sur l'alimentation du circuit primaire. Le bloc OSC de Ia figure 7 est constitué d'un générateur de tension en triangle suivi d'un convertisseur triangle-sinus à diodes. Le circuit générateur de tension en triangle est représenté en figure 8. | [C | R: -- [> 00

1 + (A1 | R | --- [>
--| + (A2) |

UV] Uo
Ve

FIGURE 8 -- Générateur de triangle.

Les trois Amplificateurs Linéaires Intégrés (ALI) sont idéaux et nommés (A1), 
(A2) et (A3)
(voir figure 8). On notera +, et --V.4 les tensions de saturation haute et 
basse des ALT.

 -- 18. Après avoir rappelé la définition d'un ALI idéal, indiquer quels sont 
ceux qui fonctionnent
en régime linéaire. On justifiera simplement la réponse.

Les tensions vw. (t), v1 (t), v2 (t) et v, (t) sont des fonctions non 
sinusoïdales du temps.
Q -- 19. Établir la relation entre «. (t) et vi (t) puis celle entre v (t) et 
wo (t).

DJ -- 20. Déterminer la valeur de v, selon les valeurs et le sens de variation 
de w, puis représenter
graphiquement ces variations en reportant v, en ordonnée et w en abscisse. On 
fera
apparaître les valeurs remarquables sur chaque axe du graphique.

DJ -- 21. En tenant compte des trois résultats précédents, déterminer les 
variations de vw et v, en
fonction du temps. Représenter ces variations sur un même graphe.

Laquelle des tensions v, (t), v1 (t), v2 (t) et v, (t) est une fonction 
triangulaire périodique
du temps ? On nomme v, (t) cette tension. Calculer sa période T'en fonction de 
À, ©, R:,

Ro, R3 et Ra.

Page 6/10
Physique IT, année 2022 -- filière PSI

D -- 22. En fixant À -- 1 kQ et en prenant À; -- À puis, uniquement pour cette 
application
numérique 3 = R4, déterminer la valeur de C permettant d'obtenir une tension 
vw, (t) de
fréquence 2 kHz.

Comment faire pour permettre à un utilisateur de l''AD598 de modifier à volonté 
cette
fréquence ?

Exprimer l'amplitude E de la tension vw, (t) en fonction des données du circuit 
de la figure
8. our quels paramètres de ce circuit faut-il agir afin de modifier cette 
amplitude ?
Déterminer la condition sur ces paramètres pour que E/V.4 -- 0,22. Calculer 
dans ce cas
la valeur de Æ en prenant V4 = 15 V.

L'origine des temps étant arbitrairement fixée, la figure 9 contient, d'une 
part, les variations
de la tension triangulaire réduite v,/E en fonction du temps réduit 0 = t/T et, 
d'autre part,
celles de la tension sinusoïdale réduite vo/E en fonction de 0 que l'on 
souhaite obtenir après la
conversion triangle-sinus.

0.5

-- 0.5

-1
FIGURE 9 -- Conversion triangle - sinus.

Afin de réaliser cette conversion, on utilise un montage conformateur à diodes 
représenté en
figure 10. Les diodes sont toutes identiques. En notant 7, leur courant direct 
et u, la tension en
convention récepteur (figure 10), le fonctionnement de chaque diode est tel que 
si 4 > 0 alors
uq = UV, > 0 et si à, = 0 alors uyq < U.. Pour toute la suite, on prendra une tension de seuil égale à ÜU, = 0,7 V. Le montage conformateur, alimenté par la tension v,, est dimensionné pour délivrer une tension v,; Se rapprochant au mieux de la tension v, représentée en figure 9. Le dimensionnement consiste, entre autres, à choisir correctement les résistances r, et r2, lorsque ro -- 1,0 kQ. Ce choix sera effectué pour une valeur du courant de sortie 2, = 0. L 1 LH -- 23. Pour 0 < 0 -- F < 1' donner l'expression de v, en fonction de Y et de Æ,. On considère l'association des deux diodes dans la cellule en traits pointillés (1). DJ -- 24. Montrer que les deux diodes ne peuvent conduire le courant simultanément. Montrer qu'il existe une valeur ÜU;, > 0 telle que si 0 < v, < Ü; alors le courant dans la résistance 7, est nul et, si v, > Ü;, ce courant n'est pas nul. Exprimer Ü; en 
fonction de

U..
On considère l'association des quatre diodes dans la cellule en traits 
pointillés (2).

DJ -- 25. Montrer qu'il existe une valeur Ü, > 0 telle que si 0 < v, < UV, alors le courant dans la résistance 7, est nul et si v, > ÜU, ce courant n'est pas nul. Exprimer VU, en 
fonction de

U.

Page 7/10
Physique IT, année 2022 -- filière PSI

ro

= = À = == = #

Ut

om mm ---- --

el === = = = = = = = = = = = = = = = =

FIGURE 10 --- Montage conformateur.

On considère finalement le bloc de la cellule en traits pointillés (3).
DJ -- 26. Montrer que la valeur positive maximale de v,, notée VV, vaut 3 U..

On note désormais 8 (0) = Vaax sin (270) la tension sinusoïdale idéale que l'on 
souhaite obtenir
en sortie du montage de la figure 10, de même période que 1.

LH -- 27. Déterminer la relation à imposer entre U, et Æ afin que les deux 
pentes en 0 = 0 des
courbes v, (0) et s (0) en fonction de Y soient identiques. On vérifiera que 
cette condition
revient à identifier le rapport E/U, à une fraction de 7 et on supposera cette 
relation
vérifiée par la suite.

LJ -- 28. Pour v., < Ü,, quelle est l'expression de v, en fonction de v, puis celle en fonction de 0? En déduire la valeur 0; de © telle que v, (01) = VU. On simplifiera cette valeur en utilisant la condition déduite à la question précédente. LJ -- 29. On suppose pour cette question ÜU; < v, < Un. Exprimer v, en fonction de w, Ü,, r1 et ro puis en fonction de Ü,, r1, ro, E et 6. Quelle doit être la valeur du rapport p1 = ro/r1 afin que les pentes des courbes v, (4) et s (0) soient identiques lorsque 0 -- 4; par valeurs supérieures ? On exprimera p, unique- ment en fonction du cosinus de 1/3. Cette condition étant vérifiée, exprimer v, en fonction de l/,, p1, E et Ü puis déduire l'expression de 02 défini par v, (02) = U;, que l'on mettra sous la forme 4 -- «0; et dans laquelle on exprimera la constante & uniquement en fonction du cosinus de 1/3. D -- 30. On suppose pour cette question U> < v, < 3U,. Déterminer l'expression de v, en fonction de U,, To, T1, To, E et 6. r La valeur du rapport ps = -- est fixée afin que les pentes des courbes v, (4) et s(4) soient r2 identiques lorsque 0 -- 0, par valeurs supérieures. On peut alors déterminer la valeur 63 telle que v, (03) = 3U:. 1 D -- 31. Montrer que vw, (0) = 3U; si 03 < 0 < 2: En réalisant le dimensionnement précédent, on obtient la tension v, (0) représentée en figure 11 sur laquelle figurent également les tensions vw, (0) et s (4). LH -- 32. Proposer un aménagement du montage de la figure 10 permettant de réduire les écarts entre v, (0) et s (0). Page 8/10 Physique IT, année 2022 -- filière PSI À /N\ / / N / N / N , NW LS SIN S NK Uo 4 DNS (Of Û 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 FIGURE 11 -- Tensions v, (0), v; (8) et s (4). IV Exemple d'utilisation de ce capteur : un accéléromèêtre asser vi Le schéma de la figure 12 décrit le principe de fonctionnement d'un accéléromèêtre. La masse sismique m, de centre d'inertie & peut se translater sans frottement le long de l'axe O0! relié au boîtier de l'accéléromèêtre. Cette masse est par ailleurs fixée d'une part à l'extrémité libre d'un ressort de constante de raideur k et de longueur à vide {, et d'autre part à un amortisseur exerçant une force de frottement fluide proportionnelle à la vitesse de la masse avec le coefficient constant À. Les autres extrémités du ressort et de l'amortisseur sont fixées au boîtier. On étudie le mouvement de la masse sismique et du boîtier dans le référentiel terrestre supposé galiléen d'origine fixe ©. On se limite à l'étude d'un déplacement rectiligne selon la direction donnée par le vecteur unitaire üZ orthogonale à celle de l'accélération de la pesanteur g. On note À, le point du boîtier tel que O0, -- Zsüz. En posant OC -- Z'üz, le point G est repéré par le vecteur OG -- O0, + OC = (7 + 7;) üz. IV.A Première étude : le boîtier est immobile Dans cette première étude O, est fixe, Z, est donc constant. Oi - Mesure de La masse sismique est reliée à ZÀ 7 déplacement la partie mobile du LVDT condi- Masse LL OEVDT) tionné selon le protocole décrit onque 7 16 0 dans les parties précédentes. On FE suppose que la translation du _! noyau mobile du LVDT s'effectue SAIS frottement. Ressort de rappel > < Amortisseur 4 LD -- 33. Justifier le fait que la O: Accéléromètre force électromagnétique re- çue par le noyau mobile 0 lors de son déplacement est nulle. FIGURE 12 -- Accéléromètre asservi à masse sismique. Dans toute la suite, on suppose que la masse sismique de centre d'inertie G inclut le noyau mobile du LVDT. 1 -- 34. Lorsque le point G est en mouvement, établir l'équation différentielle vérifiée par Z (t). Page 9/10 Physique IT, année 2022 -- filière PSI LH -- 35. Déterminer la valeur Z de Z à l'équilibre. Comme dans la première partie, on note 2 la position du centre © du noyau mobile (voir figure 2). La position du capteur LVDT est ajustée de telle manière que z = 0 lorsque le boîtier est immobile et la masse m à l'équilibre. Quelle est la relation entre z et 77? -- 36. On suppose qu'à l'instant { -- 0, la masse m est lachée sans vitesse initiale d'une position Z; Æ Zo. Quelle est la valeur minimale À, qu'il faut imposer à À afin que la masse retrouve sa position d'équilibre sans oscillation ? On supposera dans la suite que À > Ain.

IV.B Etude simplifiée du boitier mobile
dZ:

Désormais le boîtier de l'accéléromètre se déplace selon l'axe (O,üz). On pose 
w1 -- Ps et
: d°Z
LH -- 37. Dans le référentiel terrestre, exprimer la vitesse de G en fonction 
de v, et de --, puis son

dt
2
accélération en fonction de 7, et de TE En déduire la nouvelle équation 
différentielle

vérifiée par Z (t) ainsi que les nouvelles positions d'équilibre Z4 de G et z4 
du capteur.

Quelle information apporterait la lecture de 24 au bout d'un temps infini sur 
l'échelle
graduée de la figure 12?

Afin d'obtenir une mesure électrique du déplacement z de C', on utilise la 
tension V4 = K 0 Z
fournie par le capteur pour commander un dispositif moteur, non étudié ici, qui 
applique une
force EF = GV üuz sur la masse sismique.

D -- 38. Etablir les équations différentielles vérifées par Z (t) et z (t).

Déterminer l'expression de la valeur z, de z à l'équilibre et la valeur de V4 
correspon-
dante. Quelle information apporterait la mesure de V,., au bout d'un temps 
infini ?

Le mouvement de C se décompose en un régime transitoire suivi d'un régime 
permanent.
Quelle est la condition que doit remplir À pour que la durée du régime 
transitoire soit la
plus petite possible ?

Estimer le temps de réponse de l'accéléromètre construit dans ces conditions.

FIN DE L'ÉPREUVE

Page 10/10