Mines Physique 2 PSI 2024

A2024 --- PHYSIQUE II PSI

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2024
DEUXIÈME ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Durée de l'épreuve : 4 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

PHYSIQUE II - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 8 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé,
il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons 
des
initiatives qu'il est amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMEP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Physique IT, année 2024 -- filière PSI

Freinages

On s'intéresse ici à une conséquence électromécanique de la loi de l'induction 
de Lenz-Faraday : le
freinage inductif. Le déplacement d'une source de champ magnétique (aimant, 
bobinage) mobile en
présence d'un conducteur électrique immobile (dans le premier problème), tout 
comme le déplacement
d'un circuit électrique mobile dans une zone de champ magnétique statique (dans 
le second) ont pour
conséquence le freinage du système mobile.

Dans le premier cas, le freinage inductif se manifeste par la dissipation de 
puissance par effet Joule du
fait de la circulation de courants induits en volume (courants de Foucault) : 
c'est le principe des freins
rhéostatiques installés sur certains véhicules lourds (autocars en zone de 
montagne, trains) lorsque le
frottement de traînée aérodynamique et le freinage par friction ne suffisent 
pas.

Dans le second cas, le freinage est une conséquence directe des courants 
induits à travers la force de
Laplace. Elle est présentée ici dans le cadre d'une proposition récente 
permettant de faire descendre
les satellites artificiels de la Terre hors d'usage sur une orbite assez basse 
pour que le freinage par
l'atmosphère prenne le relais et provoque leur retombée sur terre ou leur 
destruction.

Ce sujet est constitué de deux problèmes I et IT totalement indépendants. Pour 
les réponses aux
questions posées, on distinguera exprimer (donner une forme littérale) et 
calculer (donner une valeur
numérique). Toutes les données numériques nécessaires, ainsi qu'un bref 
formulaire, figurent en fin
d'énoncé. Pour toutes les applications numériques demandées, on peut se limiter 
à un seul chiffre
significatif. Lorsque l'énoncé demande d'expliciter la dimension d'une grandeur 
physique on le fera
en fonction des dimensions fondamentales, longueur L, masse M, durée T', 
courant électrique I et
température @. À titre d'exemple, la dimension d'une vitesse V pourra être 
notée [V] = L-T-! et celle
d'une force [F] = M-L-T?.

I Freinage d'une chute libre

Cette partie comporte trois sous-parties I. A, I.B et I.C qui peuvent être 
abordées de manière totale-
ment indépendante à condition d'admettre éventuellement les résultats affirmés 
par l'énoncé.

On s'inspire ici d'une vidéo de vulgarisation du
MIT %. D'après le commentaire proposé, « Un a1-
mant est abandonné le long d'un tube de cuivre et y
subit une force résistive. La chute de l'aimant induit
un courant dans le tube de cuivre et, du fait de la loi
de Lenz, ce courant crée un champ magnétique qui
s'oppose aux variations du champ dues à la chute
de l'aimant. Ce dernier est ainsi repoussé et tombe
plus lentement. »

On voit (photographie ci-contre à droite) l'expéri-
mentateur attendre plusieurs secondes l'arrivée de
l'aimant à la base du tube alors que la même chute
sans les effets inductifs dure quelques centièmes de
seconde. Une vue par le haut (ci-dessus) montre
l'aimant, sphérique, dans le tube pendant sa chute.

a. voir https://www.youtube.com/watch?v=N7t1i71-A)jA

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Physique IT, année 2024 -- filière PSI

IA Chute libre et freinage aérodynamique

L'objet dont on étudie la chute est soit une bille d'acier (sans propriété 
magnétique significative) soit
un aimant sphérique ; dans les deux cas on prendra pour son rayon r = 1 cm et 
pour sa masse m = 33g;
la chute se déroule à l'intérieur d'un tube de cuivre de hauteur À = 20 cm. On 
note go l'accélération
de la pesanteur.

U -- 1. Dans le cas, où on néglige tous les frottements, exprimer puis calculer 
la durée At de traversée
du tube sans vitesse initiale ainsi que la vitesse moyenne de chute v,}.

La chute est en fait ralentie par le frottement de l'air dans le tube, qu'on 
modélisera comme une force
de traînée aérodynamique de norme :

1
F -- D CxpS5 LU?
où v -- [fu] est la vitesse de chute, C} le coefficient de traînée (sans 
dimension, supposé constant

pendant la chute), p la masse volumique de l'air et S\ la section droite de la 
bille, donc ici l'aire d'un
disque de rayon r.

2 2
ÙU VS --Ù
LH -- 2. Montrer que la vitesse de chute est régie par l'équation H-- D : 
interpréter les constantes
VooT

vs et T et exprimer vo/T et VHT.

D -- 3. En admettant que les frottements restent un terme correctif modeste 
pendant la chute, déduire
de y, une estimation du nombre de Reynolds R qui caractérise l'écoulement de 
l'air autour de
la bille lors de la chute de celle-ci.

À Cx

10°

# LIN

10°

107! ai
pe

">

107?
1071 10° 10! 10° 10° 10* 10° 10° 10° 10%

FIGURE 1 -- Coefficient de traînée d'une sphère lisse dans l'air

Li -- 4. Le coefficient de traînée C, pour une sphère lisse dépend du nombre de 
Reynolds comme le
montre la figure 1. Estimer les ordres de grandeur de C,; puis de r.

D -- 5. Les frottements aérodynamiques permettent-ils de rendre compte d'un 
temps de chute est At
de l'ordre de 4 secondes pour un tube de 20 cm de haut ? Conclure.

I.B Freinage inductif

Dans ce qui suit on négligera le freinage aérodynamique. Le tube de cuivre a 
pour rayon intérieur
r; = 15 mm et pour épaisseur e -- 7 mm. On s'intéresse à une situation où 
l'aimant progresse vers le
bas à la vitesse v supposée constante le long de l'axe (Oz) du tube (figure 2).

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Physique IT, année 2024 -- filière PSI

12
PS
I

O:
I

> on A ditp=n
[l
--
te.
I
e  Ù
é s &--------
Ti

FIGURE 2 -- Représentation perspective et en coupe de la chute de l'aimant 
(échelles non respectées)

Le mouvement de l'aimant crée un courant induit en volume dans le tube. Nous 
admettrons que
l'aimant est équivalent à un dipôle magnétique ponctuel de moment dipolaire M = 
Moe, disposé en
son centre C. Il descend à la vitesse Ü -- --ve, avec v > 0. Nous admettrons 
aussi que les courants
induits sont de géométrie orthoradiale : ils tournent dans le tube autour de 
l'axe (Oz) de la chute.

LU -- 6.
U -- 7
I --- 8
I --- 9
D -- 10.
D -- 11.
D -- 12.

On étudie d'abord une partie du tube délimitée par un anneau (4) de centre À, 
de hauteur
dz, disposé à l'ordonnée z, compris entre les rayons r; et r; +e (cf. figure 2) 
au sein du cuivre,
matériau vérifiant la loi d''Ohm avec la conductivité 7.

En considérant e & r; (même si cette approximation n'est pas pertinente au vu 
des valeurs
numériques), déterminer la conductance électrique dG de cet anneau en fonction 
de 7, e, dz et

Ta.
. On admet que le flux ®(t) du champ magnétique créé par l'aimant à travers ce 
même anneau
3
T: |
(À) s'écrit P(t) = Po L 572 où ®9 est une constante dont on admettra qu'elle 
s'écrit

(r£ + (z+ut)?)
sous la forme Po = u&MÈr£ où yo est la splitéabilité magnétique du vide. Tracer 
l'allure de la
courbe ®(t). Déterminer les exposants à, b et c par analyse dimensionnelle.

. On pose æ = (z + vt)/r;. Montrer que la puissance dissipée par effet Joule 
dans l'anneau (4)

s'écrit : 17 0
9 M d
dP; = ICP02 0 _Y _ _u?
277;  (1+%*)

. Justifier que la puissance totale dissipée par effet Joule puisse être 
approchée par l'intégrale :

--+O0
P,= | dP;

= --X

Tous calculs faits, on obtient P; = K M£v? où K = 2,3SI. En admettant la 
conversion totale de
l'énergie mécanique en énergie électrique lors du freinage inductif, donner 
l'expression littérale
de la force de freinage F' exercée sur l'aimant pendant sa chute, en fonction 
de K, M, et v.

Le temps de chute est Afy = 4,0$ pour un tube de 20 cm de haut. Quel serait le 
résultat de la
même expérience avec un tube de même longueur en aluminium ? en acier ?

Calculer le moment dipolaire M, de l'aimant utilisé.

Le matériau utilisé pour la fabrication de l'aimant est un alliage 
ferromagnétique caractérisé par un
cycle d'hystérésis large. On rappelle ici que celui-ci trace les valeurs de 
l'aimantation M en fonction
de l'excitation magnétique À appliquée.

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Physique IT, année 2024 -- filière PSI

LH -- 13. Faire apparaître sur votre copie l'allure d'un tel cycle en précisant 
les valeurs de l'aimantation
rémanente M,, de l'aimantation à saturation M, et de l'excitation coercitive 
A...

Laquelle de ces trois grandeurs pourrait être déterminée à partir de la mesure 
de M, ?

IC Freinage ferroviaire rhéostatique

La chute de l'aimant au sein du tube métallique constitue un bon modèle des 
systèmes de freinage
magnétique utilisés sur certains trains et tramways (cf. photographie de la 
figure 3, qui montre le
système de bobines descendu à proximité du rail).

FIGURE 3 -- Bobines d'un frein électromagnétique KNORR sur train de type VELARO

Le schéma simplifié de la figure 4 montre une paire de bobines du système, 
alimentées au moment du
freinage par le courant 7 > 0. Ces bobines sont solidaires du train qui avance 
à la vitesse v relativement
au rail (fixe). Le schéma propose aussi, seulement au voisinage des bobines, la 
direction (mais pas le
sens) des lignes de champ magnétique créées par celles-ci dans le volume du 
rail.

CI

TS
Sy
--7
__-@----
Y

lignes de champ magnétique

FIGURE 4 -- Système de freinage ferroviaire à courants de Foucault

D -- 14. Reproduire sur votre copie l'aspect général de la figure 4 en y 
précisant le sens du champ ma-
gnétique par l'orientation des lignes de champ; justifier très brièvement.

LH -- 15. Indiquez, sur le même schéma, la direction et le sens des densités 
volumiques j des courants
induits dans le rail à l'aplomb des deux bobines; justifier soigneusement le 
sens choisi.

IT Freinage et chute de satellites

Ce problème décrit certains aspects du freinage des satellites, d'une part du 
fait des frottements sur
les hautes couches de l'atmosphère et, d'autre part, dans le cadre de 
propositions encore théoriques à
ce stade d'un autre mode de freinage, de nature électromagnétique.

Ce problème comporte quatre parties IT. A, II.B, II.C et IL. D qui peuvent être 
abordées de manière
totalement indépendante à condition d'admettre éventuellement les résultats 
affirmés par l'énoncé.

II.A Il faut d'abord faire descendre les satellites en orbite très basse...

Un satellite artificiel de masse M = 10° kg est en orbite circulaire de rayon 
Rr + h autour de la Terre.
qu'on assimilera à une répartition à symétrie sphérique de rayon Rr et de masse 
Mr. On note G

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Physique IT, année 2024 -- filière PSI

la constante de la gravitation universelle. Le champ de gravitation au sol sera 
identifié au champ de
pesanteur go. Dans cette partie, on considérera que le satellite évolue dans le 
vide.

D -- 16. Exprimer, en fonction de M, go, Rr et h, l'énergie potentielle de 
gravitation E, du satellite. On
prendra l'origine des énergies potentielles si À -- oo.

D -- 17. Exprimer, en fonction de M, go, Rr et h, la norme v de la vitesse et 
l'énergie mécanique totale
FE du satellite.

Le satellite est en orbite à l'altitude h1 -- 1 000 km au-dessus de la surface 
du sol. On souhaite l'amener
progressivement à l'altitude beaucoup plus basse ho = 200 km, altitude en 
dessous de laquelle l'influence
de l'atmosphère deviendra suffisante pour espérer que les frottements de l'air 
le feront retomber au sol.
Quel que soit le système utilisé pour abaisser l'altitude de h1 à ho, on 
considérera une évolution assez
lente pour conserver en permanence le caractère quasi-circulaire de l'orbite, 
donc aussi les relations
v(r) et Er) établies à la question précédente.

1 -- 18. Comparer les vitesses v1 = [[u1|| et vo -- |[üol| avant et après la 
descente.

Estimer leurs valeurs numériques ainsi que celle de Av = vi -- vo.

Li -- 19. Cette descente est souvent obtenue au moyen d'un système de fusées 
qui exerce sur le satellite
une force constante Maär,., pratiquement tangente à chaque instant à la 
trajectoire circulaire.
Représenter sur un même schéma le vecteur vitesse du satellite et à. pendant la 
descente.

Qi -- 20. Avec ag = 4:10 °m:s7?, estimer, au moyen d'un bilan énergétique 
simplifié, la durée (en mois)
nécessaire à la descente de h1 jusqu'à ho.

À partir de l'instant où le satellite atteint l'altitude ho, il devient soumis 
aux frottements sur les plus
hautes couches de l'atmosphère, ce qui entraînera sa chute. Ce frottement est 
directement proportionnel
à la densité particulaire de l'atmosphère n* (nombre de molécules par unité de 
volume) qui, elle-même,
dépend de l'altitude z (comptée depuis z = 0 au sol). Nous allons donc 
maintenant étudier cette
répartition des molécules dans la haute atmosphère (ou, ce qui revient au même, 
au niveau des orbites
très basses).

ITLB ... où ils arrivent dans l'atmosphère...

Dans le but de modéliser la répartition des molécules dans l'air en fonction de 
l'altitude z, cette partie
propose un modèle décrivant l'air atmosphérique en équilibre par compensation 
de deux courants de
particules : le courant descendant dû au champ de pesanteur et le courant de 
diffusion qui lui est
opposé. Dans cette partie, le champ de pesanteur est uniforme, vertical, 
d'intensité go; l'axe (Oz) est
vertical ascendant et le niveau z = 0 est celui du sol.

D -- 21. On étudie le mouvement d'une molécule de l'atmosphère terrestre, point 
matériel de masse m
soumis d'une part à son poids et d'autre part à la résultante des collisions de 
cette molécule
avec le reste de l'atmosphère, qu'on décrira comme une force de frottement 
proportionnelle à
la vitesse, f -- --mv/T. Montrer que, après un régime transitoire que l'on 
négligera, la chute se
poursuit à la vitesse constante v,,, que l'on exprimera en fonction notamment 
de l'intensité go
de la pesanteur au sol.

D -- 22. On note n* la densité particulaire de l'atmosphère (nombre de 
molécules par unité de volume).
Exprimer la densité volumique de courant de particules 7, (grandeur qui 
s'exprime en molécules
par seconde et par mètre carré) associée à cette chute continue des molécules 
de l'atmosphère.

L'effet du courant descendant 7 est d'accumuler des particules près du sol ; la 
densité particulaire n*(2)
est donc une fonction monotone décroissante de z. L'agitation thermique des 
molécules se traduit donc
par l'existence d'un courant de diffusion nr régi par la loi de Fick avec le 
coefficient de diffusion D qui
compense exactement les effets de la gravitation.

D -- 23. Rappeler la loi de la diffusion des particules, ou loi de Fick ; 
préciser les dimensions de toutes les
grandeurs qui apparaissent dans son expression.

Ci -- 24. Si on écrit D = u?r où r est défini à la question 21, quelle est la 
dimension de la grandeur u ?
À votre avis, u et D dépendent-ils de la température et, si oui, dans quel sens 
?

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z
D -- 25. En déduire que n*(2) s'écrit en fonction de la densité nf au sol sous 
la forme n"(2) = no exp (- =)
et exprimer la hauteur caractéristique H en fonction de u et go.

La figure 5 ci-dessous permet de relier l'altitude et la densité des principaux 
constituants de l'atmo-
sphère terrestre dans la basse atmosphère.

z (km),

S0 L \ 4 \

60 \ \ "
40 2 \ |

TOY
TO

20 * g

LES « > * --3
10° 10° 1070 107$ 1070 107* 104 em)

FIGURE 5 -- Profils verticaux des principaux constituants de l'atmosphère

Li -- 26. Ces profils sont-ils conformes au modèle proposé ci-dessus ? Si oui, 
proposer une estimation de
H ; sinon, quelle(s) interprétation(s) proposez-vous ?

IIC ...et commencent donc à descendre !

Toujours sur son orbite quasi-circulaire, à partir l'instant &{ = 0, le 
satellite est abandonné à partir de
l'altitude ho = 200 km aux frottements de l'atmosphère, qu'on modélise par la 
force F dépendant de
la masse volumique p(h) à l'altitude À :

. D h
F2 Kp(n) [8 & avec p(h) = po exp (-7)

où H = 11 km et À est une certaine constante.

D -- 27. Expliciter la puissance dissipée par les forces de frottement. En 
déduire l'équation d'évolution
de l'altitude h(t) en fonction du temps et montrer que sa solution approchée 
respecte l'équation

sulvante :
NO LOS
xp|-- | ---exp| ---- | = ---
P\7 P\ 7 7

sous réserve de considérer que h & kr ; expliciter la constante de temps 7 en 
fonction de po, M,
K, go, RT et À.

Ci -- 28. Sachant que 7 = 7-10 ?s, estimer, en mois. la durée de la chute 
jusqu'au sol.

D -- 29. La station spatiale internationale (ISS) est en orbite circulaire à 
une altitude hjss = 400 km. Que
dire de sa durée de chute dans le même modèle ?
IILD Une amélioration : le nettoyage des orbites par câble ?

La technique décrite ci-dessus pour provoquer la chute d'un satellite consiste 
donc d'abord à amener en
orbite les réacteurs à propulsion nécessaires à la première phase de descente; 
en pratique, la quantité
de matière requise à cet effet est de l'ordre de 20% de la masse du satellite à 
freiner. Pour éviter cette

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Physique IT, année 2024 -- filière PSI

nouvelle mise en orbite, des solutions basées sur le freinage inductif, 
utilisant le champ magnétique
terrestre, ont été proposées notamment par Forward, Hoyt et Uphoff (Journal of 
Spacecraft and Rockets,
2000).

Le champ magnétique terrestre est faible et on ne peut espérer que des forces 
de freinage modestes
mais, cumulées sur plusieurs mois de chute, elles suffisent à une descente 
contrôlée d'un satellite jusqu'à
ce que les frottements atmosphériques prennent le relais. On propose donc à cet 
effet d'équiper un
satellite, lui-même en orbite dans le plan équatorial (Oxy) de la Terre, d'un 
long câble en aluminium
de longueur £ représenté sur la figure 6. Ce câble est rectiligne le long de 
l'axe (Ox) et il y circule un
courant 1 > 0 descendant, induit par le mouvement de l'ensemble dans le champ 
magnétique terrestre.
Ce courant revient par conduction au sein du plasma ionosphérique qui entoure 
le câble; à cet effet
l'extrémité basse du câble serait munie d'un émetteur d'ions EUR, que nous 
n'étudierons pas ici.

12 Z
Pôle nord | PB
D: L. x k l -

y
K L A |
ES LS ES ES A quateu "+ _ < > T
quareu EX

satellite

FIGURE 6 -- Géométrie du câble de freinage d'un satellite dans le plan 
équatorial

On note Bo le champ magnétique créé par le dipôle magnétique terrestre. À un 
instant t fixé, on peut
se placer dans les coordonnées cartésiennes de la base Z = (e,,e,,e,) précisée 
sur la figure 6.

M -- 30. Au voisinnage du câble et en le supposant uniforme, exprimer Bo en 
projection sur Z.. On
justifiera la direction et le sens choisis et on exprimera la norme Bo de ce 
champ en fonction
de B, (champ magnétique terrestre à l'équateur), du rayon Rr de la Terre et de 
l'altitude À du
satellite. Dans ce qui suit, on prendra B5 = 20 UT.

D -- 31. Exprimer, en fonction de go, Rr et h, la norme wo de la vitesse v du 
satellite sur son orbite
circulaire à l'altitude h. En considérant que 1 > 0 (voir figure 6), exprimer Y 
en projection sur
PB. Dans ce qui suit, on prendra vo = 7,4km/s.

Qi -- 32. Le câble de freinage est en aluminium de section s -- 10 6 m° et de 
longueur { = 5 km. Calculer
les valeurs de sa résistance électrique RQ et de sa masse mo ; commenter ces 
valeurs.

plasma RE
Y
ol]
S
©
=
2
"=
: :

FIGURE 7 -- Circuit ionosphérique (ni la vitesse du câble, ni le champ 
magnétique dans lequel il se
déplace ne sont représentés).

Li -- 33. Pour déterminer la force électro-motrice e induite par le déplacement 
du câble fixé au satellite
en présence du seul champ magnétique terrestre, on imagine (figure 7) qu'il est 
la seule partie
mobile d'un circuit fermé par la circulation dans le plasma ionosphérique. 
Appliquer la loi de
l'induction de Faraday au circuit ainsi formé; en déduire l'expression puis la 
valeur numérique
de e.

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Physique IT, année 2024 -- filière PSI

LH -- 34. Déduire de ce qui précède les expressions et valeurs numériques de 
l'intensité 7 du courant induit
et de la force de freinage f exercée sur le câble. Commenter cette dernière 
valeur.

Données numériques et formulaire

Accélération de la pesanteur au sol .

Conductivité électrique du cuivre
Conductivité électrique de l'aluminium

go = 10m-s
Ycu = 5,7-107S-m° |
ya = 3,7-107 S:m_l

Conductivité électrique de l'acier

Dipôle magnétique terrestre

Durée d'un mois (moyen)

Durée d'une année

Intensité du champ magnétique terrestre aux pôles
Intensité du champ magnétique terrestre à l'équateur
Masse volumique de l'air au sol

Masse volumique de l'aluminium

Perméabilité magnétique du vide

Va = 7,7-106S-:m--!l
ur = 7,17:107? Am'

30 j = 26-1095
365 j = 3,2-10°s
By = 60 UT

Be = 30 uT

po = 1,2kg-m
pa = 2,7-10° kg-m *
uo = 1,3-10 6 H:m |

Rayon terrestre Fr = 6 400 km
Viscosité dynamique de l'air n = 1,810 ° Pa:s
Facteurs de conversion DC = 273K

1 bar -- 10° Pa

3 Hot
B --
Arr

[2 cos 0EUR; + sin 0EURp)

In(10) = 2,3 V60 = 7,7 V63 = 7,9

FIN DE L'ÉPREUVE

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Champ magnétique créé par un dipôle magnétique placé à l'origine des 
coordonnées, de moment dipo-
laire ü = e,, en un point de coordonnées sphériques r, 4, 6 :

exp (18,18...) -- 7,9-107