X/ENS Physique PSI 2006

SCIENCES PHYSIQUES

DURÉE: 4 HEURES

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autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé, une 
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étant admise sur la table ou le poste de'travail, et aucun n 'échange n 'est 
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Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le signale sur
sa c0pie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il est amené à prendre.

Le sujet comporte 9 pages

Autour des ondes de gravité

Ce problème étudie quelques situations assez courantes en hydrodynamique. On 
établit
dans la première partie les équations régissant les ondes de gravité dans un 
fluide, c'est--à-dîre,
pour prendre un exemple précis, les vagues dans l'eau. On s'intéresse alors 
sommairement à
la manière dont ces vagues sont engendrées par le vent à la surface d'une 
étendue d'eau. La
seconde partie modélise le phénomène de ressaut hydraulique qui se manifeste 
notamment au
fond d'un évier par l'apparition d'un bourrelet circulaire séparant deux zones 
pour lesquelles
la hauteur d'eau diffère notablement. On montrera alors que la vitesse de 
pr0pagation des
vagues joue un rôle essentiel dans l'interprétation du ressaut hydraulique.

Dans tout le problème, on se place implicitement dans le référentiel terrestre, 
supposé
galiléen. Tous les écoulements étudiés sont considérés comme parfaits.

Les différentes parties sont très largement indépendantes entre elles. Tout 
résultat donné

par l'énoncé pourra être utilisé même s'il n'a pas été démontré. Une grande 
importance sera

accordée aux ordres de grandeur demandés.

Données :
. constante des gaz parfaits : R = 8, 3 J.K_1.mol"1

. le noyau de l'atome d'azote comporte 7 protons et ? neutrons

Formulaire :
o en coordonnées cartésiennes, les différents opérateurs s'expriment sous la 
forme suivante,

où f (M , t) est un champ scalaire et Â(M, t) un champ vectoriel :

-- gradient : gîälf .-- %£üæ + --â--£û}, + %£üz

-- divergence : div  : %? %? dàîz

-- rotationnel ' OEt -- ôAz --ÔAy ---------)ü' + ((?/la. ôA2)ü° + (ôA ÜAOE)1Ï
' ôy 82 '" ôz ôæ " ôx ôy Z
-- laplacien: A f div grad f
--- div(fÂ)= fdivA +gradfÂ
--rot(fÂ)= frotA+gradeA
. la dérivée particulaire d' une grandeur scalaire X (M , t) est :

DX ÔX

"'D--t-- ---- --Ô-t-- + v. gradX.
En conséquence, la dérivée particulaire de la vitesse est :

Dv _ôv 817 ------> v2 --->

+(v. gradv )v= + grad ? + rotv /\Ü'

Dt Ôt Ôt

Préambule

0. Dans la suite du problème, les paramètres physiques d'importance sont 
notamment l'accélé-
ration de la pesanteur à la surface de la Terre 9, les masses volumiques de 
l'eau peau et de
l'air pair à température et pression usuelles. Pr0poser des valeurs numériques 
pour ces trois

quantités.

I Ondes de gravité dans un fluide (vagues)

I. 1 Pr0pagation

On considère une étendue d'eau de profondeur h uniforme quand aucune vague ne la
parcourt, la surface de l'eau occupe alors le plan :vOy. On suppose que la 
situation physique

est invariante selon la direction ù'y perpendiculaire au plan de la figure 1. 
Une onde se pr0page,
correspondant à une variation ô(a:, t) de la hauteur de la surface par rapport 
à la situation au

repos. La pression dans l'air est prise uniforme et égale à PO.

1. Rappeler la définition d'un écoulement parfait. Quelle est la différence par 
rapport à un
écoulement visqueux en ce qui concerne les conditions aux limites ? Dans quelle 
zone le modèle

de l'écoulement parfait peut--il être convenable pour décrire des écoulements 
réels ?

2. L'écoulement est supposé incompressible. Définir un tel écoulement du point 
de vue de la
masse volumique. Quelle est la conséquence pour le champ des vitesses? 
Pouvez-vous citer
dans d'autres domaines de la physique deux champs vectoriels présentant cette 
propriété?

FIG. 1 -- Schématisation de l'onde.

3. On choisit d'étudier les solutions potentielles, c'est--à-dire telles que le 
champ des vitesses

--->
s'écrive Ü(M , t) : grad cb(M , t). Montrer que le champ des vitesses est 
irrotationnel. Le choix
de d) est--il unique? Comment peut-on modifier le potentiel de manière la plus 
générale tout

en conservant le même champ des vitesses?

4. Quelle est l'équation aux dérivées partielles imposée à çb par les 
hypothèses précédentes?
Avez--vous déjà rencontré cette équation dans d'autres situations physiques? 
Donner deux

exemples.

5. Pour ----h 5 z 5 5, on cherche une solution de la forme $(oe, z,t) : sin(koe 
-- wt) f(z), où f
est une fonction à déterminer. Commenter précisément ce choix en termes 
ondulatoires : cette

onde se propage-t--elle, est-elle plane? Comment se nomment les constantes le 
et w? Exprimer

la longueur d'onde À. Montrer que f(z) : $D[exp(kz) + Aexp(--kz)], où A et çbg 
sont des
constantes. Que représente k vis--à--vis de la description du phénomène selon 
3: et selon 2?

6. À l'aide d'une condition aux limites, exprimer A.

7. On rappelle l'équation d'Euler qui régit le champ de vitesse U(M , t) d'un 
écoulement parfait
de masse volumique p :

DU --------+
---- = " --- ad P
p D t PQ gr ,
\ o --' . . D I . I . 0
ou P est la press1on, g le champ de grav1tat10n et D? la der1vee particulaire.

Séparer en deux groupements les termes apparaissant dans l'expression 
cinématique de la
dérivée particulaire de la vitesse et les commenter. À ce pr0pos, on donnera 
deux exemples
d'écoulements pour lesquels exactement l'un des deux groupes est nul.

8. Une approximation courante consiste à supposer que l'amplitude de des vagues 
est très

faible par rapport a la longueur d'onde /\ du phénomène. Donner un ordre de 
grandeur pour
chacun de ces deux termes dans le cas de vagues à la surface d'une mer ou d'un 
océan arrivant

à proximité du rivage. Faire un schéma précisant la signification de ces deux 
termes. Vérifier
que l'approximation pr0posée est valide. Cette approximation sera nommée vagues 
de faible

amplitude par la suite.

9. Donner l'ordre de grandeur typique de la vitesse des particules de fluide en 
fonction de 60 et

de la période T du phénomène. Sur quelle longueur varie typiquement la vitesse? 
Montrer, dans
----> 86
le cadre des vagues de faible amplitude, que |(Ü.grad)fil << |----|. Comment s'écrit l'équation Ôt d'Euler dans cette approximation ? 10. On suppose que l'eau est incompressible. Montrer, vu les hypothèses utilisées, que l'équation d'Euler implique : 8 P --(ê+--+gz=C(t), ... Ôt p où C est une fonction ne dépendant que du temps et p la masse volumique de l'eau. Comment nommeriez--vous cette relation? Montrer qu'on peut imposer C(t) : O. 11. Relier la composante de la vitesse selon 2 àla surface et la déformation 6(:1:, t) de l'interface. Montrer que, toujours dans l'hypothèse des vagues de faible amplitude, on obtient à l'ordre le plus bas non nul : â--î(æ,t) : v,_(oe, z : O,t), (2) où vz(oe, z, t) est la composante selon z de la vitesse de l'eau. On détaillera les approximations réalisées. 12. En utilisant notamment les relations (l) et (2), et le fait que la pression soit continue à l'interface eau--atmosphère, conclure de l'étude précédente que la relation de dispersion des ondes est : w2 : gkth(kh). 13. Que devient cette relation en eau peu profonde? On précisera par ailleurs cette notion. Calculer au premier ordre les vitesses de phase % : Usurfæe et de groupe % en eau peu profonde. 14. Rappeler en moins de cinq lignes ce qu'est la diSpersion. A--t-on ici un phénomène diSpersif, en général et en eau peu profonde? Pr0poser des ordres de grandeur raisonnables, et en déduire l'ordre de grandeur de la vitesse de pr0pagation des vagues à proximité du rivage. 15. Si le fond de l'océan n'est pas horizontal, la profondeur de l'eau au repos h n'est pas constante mais varie sur une distance typique d dans la direction de pr0pagation des vagues, indiquer qualitativement à quelle condition l'étude précédente reste valable en remplaçant h par h(a:). 16. Expliquer qualitativement le déferlement des vagues observé sur le rivage. I.2 Genèse des vagues : instabilité de Kelvin--Helmholtz En fait, le vent soufflant parallèlement à la surface de l'eau entraîne l'apparition de vagues dont l'amplitude peut notablement s'amplifier. Ce phénomène constitue un cas particulier de l'instabilité de Kelvin--Helmholtz dont les résultats sont sommairement discutés ci--après. 17. On étudie un écoulement comprenant deux fluides superposés (voir la figure 2 sur laquelle les vitesses ont été supposées uniformes). Contrairement à ce qui a été réalisé dans la partie 1.1, le fluide du dessus doit être décrit avec le même niveau de précision que le fluide du dessous. Par exemple, les vitesses dans chaque fluide loin de l'interface sont notées 17100 : Uyäoe pour 2 --> oo et 6200 : U2'ÜOE pour z ----> --00.

En utilisant un principe de la physique, montrer qu'il est équivalent d'étudier 
un écoulement
de vitesse moyenne nulle à l'infini, c'est--à--dire tel que U1 : --U2 : U.

18. On recherche l'évolution d'une solution des équations de la mécanique des 
fluides voisine
d'un écoulement uniforme. On note, comme précédemment, 6(æ,t) la variation 
d'altitude de
l'interface par rapport à une interface horizontale non perturbée.

FIG. 2 ---- Ecoulement de deux fluides superposés. Les vitesses sont 
représentées comme uni--
formes dans chaque fluide.

On considère une perturbation de l'interface de la forme, en notation complexe,
é(oe, t) = 50 exp(ikoe -- at),

avec le réel, et a a priori complexe. Quelle est la dimension de a? Comment 
peut--on interpréter
cette quantité (on pourra distinguer sa partie réelle de sa partie imaginaire) ?

19. Les équations linéarisées de la mécanique des fluides (dans le cadre 
d'approximations sem--
blables à celles de la partie 1.1) impliquent 02 : k?U2 dans le cas où les deux 
fluides ont même
masse volumique.

On suppose que la perturbation est initialement spatialement périodique et 
possède une cer-
taine longueur d'onde À. Que vaut alors a ? Écrire l'expression de la forme 
générale de l'inter--
face 6(a:, t). Décrire l'évolution temporelle d'une telle perturbation. Quelle 
est l'influence de la

longueur d'onde sur l'évolution d'une perturbation?

20. Pourquoi parle-t-on d'instabilité? Citer un autre domaine de la physique où 
la notion de
stabilité/ instabilité intervient.

21. Si on prend en compte la différence de masse volumique des deux fluides, la 
condition

2 _ 2

d'instabilité est U 2 > Qp2 pl
k P1P2

et pg : pl. Caractériser le type de vagues pouvant être engendrées par un vent 
de 100 km.h--l.

. Vérifier son homogénéité. Commenter les cas pg > p1, pg < p1 II Ressaut hydraulique Un ressaut hydraulique est une rupture brusque de l'aspect de la surface d'un fluide en écoulement. On va mettre en évidence dans deux cas l'apparition d'un ressaut hydraulique et sa relation avec la vitesse de pr0pagation des ondes de gravité en eau peu profonde établie à la question 13. L'écoulement est considéré parfait, incompressible et permanent dans les parties 11.1 et 11.3. Pour les applications, ce fluide sera de l'eau. II.1 Écoulement au--dessus d'un obstacle On étudie un écoulement au-dessus d'un obstacle, décrit sur la figure 3. On appelle eg(a:) la hauteur de l'obstacle par rapport au sol supposé horizontal et h(a:) la hauteur réelle d'eau. La situation est supposée invariante selon la direction ü'y et la vitesse est prise uniforme dans les sections verticales d'abscisse constante. La vitesse est par conséquent de la forme v(:v) et est dirigée selon ü'OE. Loin avant l'obstacle, la hauteur de fluide se note h et sa vitesse @. obstacle FIG. 3 -- Écoulement au-dessus d'un obstacle. Les traits (a) et (b) indiquent l'aspect de la surface dans deux régimes d'écoulement. Typiquement, deux types d'écoulements sont observés suivant les conditions expérimentales. L'aspect de la surface est indiqué sur la figure 3 : surface (a) ou (b). Dans le cas (a), on note seulement une légère baisse du niveau de la surface sur l'obstacle. L'aspect du cas (b) est nettement différent vu que la hauteur de fluide baisse très nettement et est minimale juste après l'obstacle; on observe alors des remous jusqu'à ce que l'écoulement reprenne une forme plus calme. Nous allons plus précisément étudier quelle grandeur permet de déterminer le type d'écoulement. On pourra s'aider des allures données sur la figure 3 pour répondre aux questions qui suivent. 22. Montrer que le débit volumique associé à l'écoulement ne dépend ni du temps ni de l'abscisse a laquelle il est évalué. 23. Redémontrer la relation de Bernoulli juste à la surface du fluide en mouvement en suppo-- sant son incompressibilité. On précisera clairement les hypothèses nécessaires et on notera PO la pression à la surface. On admettra que cette relation reste vérifiée malgré la présence des remous qui est incompa- tible avec certaines des hypothèses. 24. Établir la relation v'(OE) v(--'B) 25. De quelles manières peut--on réaliser un nombre sans dimension avec les grandeurs ca-- ractéristiques de l'écoulement : h, o, g et p? v(oe) gh(OE) < 1. (--çh<æ) + v2<æ)) + ge5<æ> = 0. (3)

26. On définit le nombre de Fraude F1(a:) : , dont la valeur varie le long de 
l'écoulement.

"U

\/ÿ7î

On s'intéresse au point a:o où l'obstacle est de hauteur maximale. Montrer que 
pour vérifier

d
l'équation (3), on a deux possibilités : £(æg) : 0 (cas i)), ou gh(æ0) : 
v2(oe0) (cas ii)).
a:

dh.
27. Dans le cas i), montrer alors que â--(OEo) : O. L'écoulement 
présente--t--il le profil (a) ou
a:

On suppose qu'avant l'obstacle Fr :

(b) de la figure 3? A-t--on un maximum ou un minimum de vitesse en a:0 ? Que 
dire du nombre
de Froude sur toute la longueur de l'obstacle?

du

28. Dans le cas ii), que vaut le nombre de Froude en 320? Montrer que Æ ne 
change pas de

signe dans la zone au-dessus de l'obstacle après 930. Préciser ce signe. Donner 
finalement les
signes des différents membres (c'est--à-dire v'(a:), --gh(æ) +v2(æ) et eô(oe)) 
de l'équation (3) au
niveau de l'obstacle, en séparant les cas avant et après 330.

29. Pour chacun des écoulements (a) et (b), situer le nombre de Froude par 
rapport à 1 en

fonction de a: dans la zone au-dessus de l'obstacle. Que peut--on conclure?

v2

30. Donner le sens physique de la grandeur B = ? + gh. D'après l'étude 
précédente, a-t-on

unicité de la hauteur de fluide h. et de la vitesse ?) en dehors de l'obstacle 
à débit volumique
et a B fixés? Montrer qu'il existe en général deux solutions en étudiant 
l'expression du débit
volumique en fonction de B, h et g.

31. On se pr0pose de montrer que l'une de ces deux solutions correspond a un 
nombre de
Froude inférieur à 1, et l'autre à un nombre de Fronde supérieur à 1. En 
d'autres termes, à
l'aide d'un obstacle adapté, il est a priori toujours possible d'observer un 
ressaut hydraulique.
Établir la relation :

nÏ/3Frâ/3(Frî/3 + FI'â/3) : 2,

où Fr1 et Fr2 sont les deux nombres de Froude solutions, et conclure.

Pour établir cette relation, on pourra écrire des lois de conservation entre 
les couples de
solutions (m,/L1) et ('U2,h2), puis éliminer les hauteurs et enfin mettre le 
terme 111 -- U;} en
facteur.

11.2 Tuyère convergente--divergente

Le phénomène de ressaut hydraulique au--dessus d'un obstacle présente de 
nombreuses
similitudes avec l'écoulement dans un certain type de tuyère, nommé 
convergente--divergente
d'après son aspect (figure 4). La tuyère, de révolution autour de l'axe ù'OE, 
possède une section
droite d'aire S (12) présentant un minimum au col d'abscisse :co.

FIG. 4 ---- Représentation de la tuyère convergente-divergente.

Un gaz supposé parfait est en écoulement permanent unidimensionnel, 
c'est-à--dire que
toutes les grandeurs d'intérêt comme la pression P, la température T, la 
vitesse macroeoepique
17 : oû... et la masse volumique p du fluide ne dépendent que de :1:. On note 
dP, dT, d'Ü' : dv "EZOE
et dp les variations entre a: et a: + da: des quantités précédentes. 
L'écoulement se fait dans la
direction û'æ.

32. Expliquer en quoi le modèle de l'écoulement parfait implique ici des 
transformations

adiabatiques réversibles du gaz. On note C,, (C.,) la capacité thermique 
massique du gaz à.

c
pression (volume) constant. Le gaz étant un gaz parfait de rapport 7 : c--p 
indépendant de

'U
la température, trouver une relation liant la pression P(æ) et la masse 
volumique p(:v). En

dP d
déduire un lien entre ---- et --E.
P p

33. En appliquant le premier principe à un système qu'on précisera, démontrer 
avec soin que

est une constante tout au long de la tuyère (h est dans cette partie Il.2 
l'enthalpie

massique du gaz). On justifiera notamment la valeur donnée à la contribution de 
l'action des
parois sur le système. Lier alors dT à dv.
, d du - _ , RT :L' , .
34. Relier --£ et --. On fera apparaitre la quantite c(a:) : Ï--M--(--)-- dont 
on pre01sera la
p ?) a

signification physique. R est la constante des gaz parfaits et Ma la masse 
molaire du gaz.

35. Établir une relation entre dS, dv, S(m), v(æ) et c(a:).

36. Quelle serait la relation entre notamment dS et du pour un écoulement 
incompressible?
En déduire un critère qui permette d'estimer la compressibilité de 
l'écoulement. Donner un
argument pour expliquer pourquoi les écoulements usuels concernant l'eau, 
connue ceux des

parties I, 11.1 et 11.3, sont considérés comme incompressibles.

v(æ)

37. Pour des écoulements dans l'air, on définit le nombre de Mach M (a:) == ( 
). Établir un
c a:

parallèle avec le nombre de Froude défini à la question 26.

38. Montrer qu'au col de la tuyère, soit la vitesse 11 est extrémale, soit 
v(:vo) : c(oeo). Com-
menter ce résultat.

39. Quel type de phénomène survient--il si, lors d'un écoulement, il arrive que 
M > 1 ?

40. Faire le bilan des analogies et différences entre le ressaut hydraulique 
étudié dans la partie
11.1 et l'écoulement dans la tuyère convergente--divergente.

II.3 Ressaut hydraulique dans un évier

L'écoulement de l'eau issue d'un robinet au contact d'un évier prend 
typiquement l'aspect
indiqué en figure 5.

/ jet d'eau provenant du robinet

faible épaisseur et vitesse rapide

forte épaisseur et vitesse lente

l

FIG. 5 --- Allure du ressaut hydraulique.

On va étudier la possibilité d'une telle configuration. On modélise 
l'écoulement supposé
permanent de manière unidimensionnelle, et la hauteur d'eau varie brusquement 
de 111 à h2

dans une zone avec des remous (figure 6). La situation est supposée invariante 
par translation
selon la direction normale au plan de la figure 6. En amont (aval) du ressaut, 
la vitesse supposée

uniforme est notée v1 (Ug).

BI
Hz
0 \ h2

FIG. 6 -- Modélisation du ressaut hydraulique.

41. L'écoulement est supposé parfait et le fluide incompressible dans le reste 
de l'énoncé.

Au niveau des sections [A, B] et [A',B'] (voir la figure 6), l'écoulement est 
quasi uniforme.
Montrer que sur ces verticales, la pression varie selon la loi de 
l'hydrostatique. Tracer l'allure

de la courbe P(z).

42. Par un bilan de quantité de mouvement sur le système délimité par le trait 
noir en figure 6,
établir une relation entre 111, h1, @, kg et g. L'air est supposé immobile, et 
de pression uniforme

P0.
43. En déduire l'expression des vitesses vl et w en fonction de g, h.] et ]'L2.

44. Vérifier que h.1 < h.g implique en > "02. Que valent les nombres de Froude 
(cf. question 26)
en amont et en aval en fonction de h,1 et hg? Les situer par rapport a l.

45. Donner les ordres de grandeur de U1 et fil en amont pour le ressaut 
hydraulique familier
qu'on observe dans les éviers. Vérifier que le nombre de Froude est bien dans 
la zone déterminée

à la question précédente.

46. Dans quelles conditions et dans quelle zone de l'écoulement le schéma de la 
figure 6 peut-il
s'appliquer à l'écoulement en présence d'un obstacle étudié dans la partie II.1 
?

h 'U
47. Exprimer --2-- en fonction du nombre de Froude en amont : Fr1 : 1 . Estimer 
(grossière--
h1 vyh1

ment) sa valeur. Commenter le résultat.

48. L'étude précédente s'applique--t-elle au ressaut hydraulique apparaissant 
dans un évier?
De manière générale, quelle contrainte entre les différents paramètres du 
problème permet--elle

de se ramener à un problème unidimensionnel'? On pourra fournir un ordre de 
grandeur pour
le ressaut hydraulique dans un évier.