X/ENS Physique PSI 2008

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Aucun document n 'est autorisé.

L 'usage de calculatriCes électroniques de poche à alimentation autonome, non 
imprimantes et
sans document d 'accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule 
calculatrice & la fois est admise
sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n 'est autorisé entre les 
candidats.

N.B. : L 'attention des candidats est attirée sur le fait que la natation 
tiendra compte du soin, de la
clarté et de la rigueur de la rédaction. Le candidat eSt prié d 'accorder une 
importance particulière
aux applications numériques.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 
'énonce', il le signa--

lera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives qu 'il a
été amené à prendre. < - THERMOMÉTRIE OPTIQUE ; PRINCIPE D'UN PYROMÈTRE BICHROQMATIUE. La température est après le temps, la deuxième grandeur physique la plus fréquemment mesurée. Pour des températures supérieures à 660 °C, on utilise les relations entre la température d 'un corps et le rayonnement (infrarouge ou visible) que ce corps émet. Cette méthode, utilisée par exemple dans les pyromètres optiques ou les bolomètres dans le domaine de l'imagerie thermique, présente 1 'aVantage de déterminer sans contact la température d 'un corps, celui--ci pouvant être alors situé à grande distance ou dans un environnement hostile. La partie ] traite de la réalisation d 'un capteur résistif de température à l 'aide d 'une thermis-- tance, suivie d'un conditionnement du signal. La partie Il traite du problème du rayonnement du corps noir et de ! 'émittance des corps en gé-- néral (aucune connaissance particulière sur ces sujets n 'est nécessaire pour aborder cette partie), ainsi que de ! 'absorpti0n infiarouge par l 'atmosphèæ. Une modélisation simple est proposée pour rendre compte de cette absorption. La partie Il] étudie le principe de fonctionnement d' un pyromètre aptique bichrontatique, son in- térêt et ses performances. Les trois parties sont largement indépendantes entre elles, mais il est conseillé au candidat de les aborder dans leur ordre d 'apparition. Notations et données numériques . On notera T une température exprimée en Kelvin et 49 cette même température exprimée en degré Celsius. On rappelle que 72e... =9(...°C) + 273. Célérité de la lumière dans le vide : c == 3 .108 m.s" Constante de Planck : h = 6, 63.10"34 J.s Constahte de Boltzmann : kB :: 1,38.10"" J.K"' Perméabilité magnétique du vide : ,ou = 472r.10'7 H .m'l Penniüivîté diélectrique du vide : eo = 1 2 === 8,85.10"'2 F.m" 1100 I. Therm0métrie par résistance. D'une façon générale, la valeur d'une résistance' dépend de sa tempéraüue T. On caractérise cette dépendance par le coefficient de température, noté ocR défini confine : a,, = ;ä£â?. I.]. Étude d'une thermistance. On considère une thermistanae, dont la résistance est fonction de la température suivant la loi : R(T)= R ...«explîB(--- ] I T T «;;--H , où B est considéré comme constant dans le domaine de températures en- visagé. On a représenté sur la figure 1 ci--dessous en échelle semi--logarithmique la variation de R en fonction de I/T. ----------------,-- ...... Æ...EÆEEÆAAAA N'NNMNNOEHËÆN NNHHHHNHWÙ ___--___"--- '...... ààæàæàæ%àæ "NNNHHÈTNNÜ ----------'l--- ...... gææàæwqæg...ÿwà Nflflñfiflfiflflfl ___--___----- 1... ààààäàææ...æà ......".........NÜ...... ------...--------- ...... àààlAæææææ% HNMN-"Ë-"NNNNN --.--____---- ... --Vl------- , T(K) 1.10"3 2.10"3 3.10"3 4.10'3 5.10'3 "'" 1000 500 400 _ 300 250 "200 @ Préciser la dimension de B et calculer sa valeur.avec 2 chiffres significatifs. @ Exprimer le coefficient de température de la thermistance et le calculer à 25°C. @ L'ordre de grandeur du coefficient de température des résistances métalliques autour de 25 °C est typiquement de 0,5 % /°C. Vaut--il mieux utiliser une résistance métallique ou la thermistance précé-- dente pour réaliser un capteur de température résistif ? L2. Lmeansatzon du cagteur. Fi ur e 2 1 La thermistanee est alimentée par un courant I et on 1 mesure la tension V à ses bornes : la caractéristique de ce capteur est fortement non linéaire. On cherche & linéariser la réponse V(I) en plaçant en parallèle sur la thermistance R(T) V @ V un reszstor gasszz' de reszstance Rp. - R(T) R'p On note R,, la résistance équivalente du dipôle ainsi armé ; re 2 , thermistance thermistance f (fgu ) _ linéarisée (THL) Montrer que la linéarisation au voisinage d'une température T , correspond mathématiquement à d2R" (T) l'existence d'un point d'inflexion de la fonction R,,(T) pour la température T, (soit dT2 = O'). T=T, Donner l'expression de R ,,_ En déduire que la valeur de la résistance Rp permettant cette linéarisa- B--2fi B+2fl tion s'écrit: R p : R(Tl) . Une telle linéarisaüon est--elle réalisable autour de 9, e 25 °C, avec la thermistance étudiée ? Exprimer le coefficient de température a...(T,) du dipôle linéarisé en fouetion de aR(TI), R(T,) et R P. Quel inconvénient la linéarisation ainsi effectuée présente--t-elle ? Calculer a,hl(Tl). 1.3. Le système de mesure. La thermistance linéarisée précédente, notée T HL, dont la résistance peut s 'écrire sous la forme : Ræu(T) : R(Ti)'[1+ ath/'(T '" T1)] est montée dans un pont de Wheatstone (fig 3a) avec trois résis- tances fixes de valeur R , = R(T,). On prendra : R(T_,) = 5 000 .(2. a,,,, a -- 1,58 .10"2K'1. Le pont est alimenté par une source de courant continu idéale la, de valeur fixée la m 1 mA. On considère le pont diviseur de courant de la figure 3b. Ex-- primer les courants I et I' en fonction du courant la et des conduc-- tances G--«l--«et G'-------£--- ' I ' I° R R' ' R | - @ Utiliser les résultats de la question 7. pour exprimer la tension ' de mesure umes m VC ---VD (voir figure 3e) en fonction de R,hl(T), R , _ et la. Figure 3b R110 + 3um En déduire que l'on a : R,h,(T) =- R1 R I . 1 0 "unies @ Montrer, en effectuant un développement limité au premier ordre, que u,... peut s'écrire sous la forme : um : fl (T --- Tl ) , où ,6 est une constante qu'on exprimera en fonctionde a,", R , et 10. Calculer numériquement ,6'. On conservera dans la suite du problème cette expression linéarisée de ames. On place l'ensemble du pont précédent dans une enceinte thermostatée & la température Te * T ,. Quelle valeur de la tension de mesure pourrait-on attendre en raisonnant de façon trop simpliste ? On mesure enfait une tension de desequilibre du pont ames = «- 3 mV. Calculer la résistance du dipôle THL et en déduire son échauffement 59 = T -- Te. On interprète l'auto échauffement de THL en prenant en compte d 'une part la puissance P J dis--- sipée par efi"et Joule et d'autre part la puissance thermique dissipée par convection avec ! 'enceinte, proportionnelle à l'écart 66. On notera Ka le coeflicient de proportionnalité, exprimé en W.K [ . Soit m la masse du dipôle THL etc sa capacité thermique massique, supposée Constante. ' Le capteur a la forme d'une plaquette carrée de coté de longueur L et d'épaisseur e, de conducti-- vité thermique À, supposée constante. On considère que les transferts thermiques, conductifs et convectifs se font suivant la direction perpendiculaire à la face carrée, la conduction obéissant à la loi de Fourier. Former deux durées caractéristiques d'évdlution- de la température du capteur, l'une rela-- tive à la conduction seule, l'autre à la convection seule et montrer que le transfert par conduction peut Æ K a être négligé si on a ; e << , hypothèse qui sera supposée réalisée dans la suite. A partir d'un bilan thermique appliqué au dipôle THL, et en justifiant les signes des différents ter-- mes, établir l'équation différentielle en 56 . Exprimer, en fonction des paramètres m, c et Ka un ordre de grandeur de la durée 12 du régime transitoire. Lequel de ces paramètres est--il le plus facilement ajustable pour diminuer cette durée ? Ex- primer en régime stationnaire, la relation liant P J, K,, et 56 . Établir 1'expresSion de la puissance P J dissipée par effet Joule dans le dipôle THL en fonction de la, R , et R,h,(D. Faire l'application numérique pour la valeur (9e = 25 °C de la température de l'enceinte. En déduire la valeur du coefficient K a. Compte tenu du domaine de températures envisagées, on constate que la puissance dissipée par ejj'et Joule P J et l'auto échauflement de THL sont pratiquement constants, qu 'on fixera à leurs valeurs moyennes : P, =1,25mW{ et 35: 0,16°C. Soit çà,, la puissance du rayonnement absorbé par la thermistance linéarisée THL. Exprimer, en régime stationnaire, la relation liant l'échauffement total AT de THL à son auto échauffement 35 , au coefficient K,, et à la puissance çôa absorbée. En vue de traiter le signal, on souhaite obtenir une tension, qu'on notera uS, directement propor-- tionnelle à la puissance absorbée par la thermistance. On considère pour cela le montage décrit sur la figure 4. Les amplficateurs opérationnels (A. O. ) sont supposés idéaux et fonctionnent en régime li-- néaire. Un générateur idéal de tension continue réglable délivre la tension Ua. La source de polarisation des A. O. n 'est pas représentée. Figure 4 ...et... Le signal de mesure uCD === U 2 ------ U ,, faible, est transmis à un système de détection chargé d'éliminer les « bruits » présents (continus ou alternatifs). On suppose en pratique qu'existe un même signal parasite sur les fils de liaison de résistance nulle, notés ( l) et (2). Une résistance variable, notée xRO est placée entre" les entrées inverseuses des amplificateurs Opé-- rationnels A.O.l et A.0.2. Exprimer la tension VS2 ------- VS| en fonction de U 2 ---- U 1 et x. Exprimer la tension u S en fonction de U0 et Vs, ------- VS! . En donnant à Ua une valeur particulière qu'on exprimera en fonction de ,6 (cf question 9), x et 35 , montrer que le montage de la figure 4 permet d'avoir us : G.çta . On donnera G en fonction de ,B, x et K,,- Application numérique : on veut G 3 24. Calculer x et Ua. Il : Rayonnement du corps noir. On définit l'exitance spectrale, notée M Â, d 'un corps comme la puissance émise par cette source dans un demi--espace par unité de surface du corps et par bande unité de longueur d'onde. II. 1. Loi de Planck. On appelle corps noir un corps capable d'absorber intégralement tout rayonnement incident quel que soit sa fréquence. A l'équilibre thermique, l 'exitance spectrale, notée M É" (T) d'un corps noir à la température T et pour la longueur d'onde /l est donnée par la loi de Planck : 2 h ' " C :| , où h est la constante de Planck, its exp hc -------l tk,T c la célérité de la lumière dans le vide et kB la constante de Boltzmann. MÎ"(T,Â) = hc ÂkÈT M f" (x) passe par un maximum (à T donnée) pour une certaine valeur non nulle x,,, que l'on calculera Reformuler l'exitance spectrale du corps noir en fonction de la variable x w . Montrer que . . . x numériquement, comme l'intersection des courbes y1 (x) : exp (--x) et y2 (x) == 1 ---- ---------. 5 En déduire que l'exitance d'un corps noir à la température T passe par un maximum pour la lon-- gueur d'onde Â... vérifiant la relation (appelée loi de déplacement de Wien) : ÀmT ::.--...-- C , où C est une constante qu'on exprimera en fonction de xm, h, c et kB. Calculer la valeur de C en ,um.K. La longueur d'onde Àm correspondant au spectre solaire est Àm : 530 nm . Préciser sa couleur et la température de surface du soleil TS, assimilé à un corps noir. En justifiant la réponse, indiquer si le so-- leil peut être en équilibre thermique à cette température. A quel domaine spectral appartient la longueur d'onde Àm émise par un corps noir à la tempéra-- ture de 300 K ? Donner l'expression simplifiée de l'exitance spectrale du corps noir dans le cas où x »" 1 (cadre de l'approximation de Wien, qui sera celui considéré dans la partie III). II. 2. Absorption sélective par ! 'atmosghère. Dans son trajet entre la cible et le détecteur, le rayonnement subit une atténuation liée à la na- ture et à l'épaisseur des milieux traversés. L 'atténuati0n atmosphérique est principalement due à la vapeur d 'eau et au dioxyde de carbone, qui présentent des bandes d'absorption dans [ infrarouge, sé-- parées par des «fenêtres de transparence », notamment les plages [O, 75 pm ; 2, 7 pm ], [3 pm ; 5 pm] et[7um ; I4um] - Le dioxyde de carbone et la vapeur d'eau présentent une bande d'absorption importante entre 5 et 7 pm : dé quel phénomène important sur le système Terre ------ atmosphère ces gaz sont--ils responsables ? Pourquoi ces domaines spectraux ont-ils une importance particulière '? En considérant que l'interaction entre une onde élecüomagnétique et un milieu matériel est d'origine électrique, expliquez pourquoi les molécules de type H20 ou CO2 sont plus « efficaces » pour absorber le rayonnement infrarouge que les molécules 02 ou N2, pourtant présentes dans l'atmosphère en plus grande proportion. On cherche à interpréter l'absorption sélective de l'atmosphère dans la fenêtre [5 pm ; 7 pm ] en adoptant le modèle simplifié suivant : On considère la propagation suivant ! 'axe des x dans le sens des x croissants, d'une onde élec-- tromagnétique plane progressive harmonique de pulsation a) polarisée rectilignement suivant l'axe des y, dont l 'image complexe du champ électrique s 'écrit : ---- w _ _ _ ,. . , . .  : E,,exp [f (cat ' !..":xH ey , avec ]2 m -1 et ou ! mdzce @ est a przorz complexe. L 'interacti0n de [ 'ahn0sphère avec cette onde conduit à la relation de dispersion liant ! 'indice 2 wc _w (mê--w')+;... ': quence nulle). wo et 't" sont des constantes caractéristiques du milieu. P 1 A l , d' I 0 0 . 1 our a fenetre spectra e etu zee zcz, on supposera . «-- << (00. T complexe _n_ à cosuivant : 112 ((O) = 1 + ;{0 , où Za est la susceptibilité statique (à flé- On considère une Onde émettant dans l'infrarouge, de longueur d'onde dans le vide À : 6 pm . Calculer la valeur de la pulsation correspondant à cette longueur d'onde (no. On pose __n_ === n'---- jn". En considérant que 10 << 1 , on a n" << n'. Donner les expressions appro-- chées de n' et n" en fonction de %> co, oe0 et 1.

Montrer que pour ce variant peu autour de la valeur 600, n" peut s'écrire sous 
la forme :

n" &) . .
n" @ ... , où on expnmera n"(æ0) en fonction de X0: 000 et r.
[1+4r'(w--wÙ ]

Donner les expressions des images complexes É(x, t) et Â(x, t) des champs 
électrique et magné--
tique de l'onde, en fonction de E0, n ', n", (0 et c. En déduire les valeurs 
réelles associées à ces champs.

Exprimer le vecteur de P0ynting ÎÏ associé à l'onde dans le milieu. En déduire 
la norme de sa

. Que représente ®(x) ?

ternp

moyenne temporelle, notée