X/ENS Physique PSI 2010

CX0613
Banque commune École Polytechnique ­ ENS de Cachan

PSI
Session 2010
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Épreuve de Physique
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Durée : 4 heures
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Aucun document n'est autorisé
L'usage de calculatrice électronique de poche à alimentation autonome, non 
imprimantes et
sans document d'accompagnement, est autorisé selon la circulaire n°99018 du 1er 
février
1999. De plus, une seule calculatrice est admise sur la table, et aucun échange 
n'est autorisé
entre les candidats.
N.B : L'attention des candidats est attirée sur le fait que la notation tiendra 
compte du soin,
de la clarté et de la rigueur de la rédaction. Le candidat est prié d'accorder 
une importance
particulière aux applications numériques.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il
est amené à prendre.

Quelques aspects du fonctionnement d'un laser
Les lasers sont des sources de lumière à la fois très intenses et très 
cohérentes. On se propose
d'étudier quelques aspects du fonctionnement d'un laser hélium-néon. Ce 
problème comporte deux
parties dans une large mesure indépendantes. Dans la première partie, on étudie 
la largeur d'une raie
spectrale, puis le principe de la cavité optique qui explique la finesse du 
spectre d'émission d'un laser.
Dans la seconde partie, après avoir étudié la propagation d'une onde dans un 
milieu amplificateur, on
s'intéresse aux régimes de fonctionnement stationnaire d'un laser.
Lors de la correction, une grande attention sera portée aux remarques à 
caractère physique, à la
clarté de la rédaction, ainsi qu'à la présentation. Il est demandé au candidat 
de rappeler le numéro
identifiant une question avant la solution qu'il propose.
Convention de signe et notation
A tout signal sinusoïdal de la forme : s t s 0 cos Zt  I , on associe un signal 
complexe de la
forme : s t s 0 exp>i Zt  I @ où i est le nombre complexe dont le module est 
égal à 1 et l'argument à
S
.
2
&
&
&
Pour une grandeur se propageant, on écrit : s r , t s 0 exp>i Zt  I r @ S r 
exp>i Zt @
&
&
&
où S r s 0 exp> iI r @ est l'amplitude complexe de l'onde en r .
&
On écrira l'intensité lumineuse associée à une onde d'amplitude complexe S r :
&
&
&
& 2
I r S r S* r S r .
1

TOURNEZ LA PAGE S.V.P.

Données numériques :

20,2 g.mol -1

Masse molaire du néon :

M néon

Vitesse de la lumière dans le vide :

c 3,00 10 8 m.s -1

Constante des gaz parfaits :

R 8,31 J.mol 1 .K 1

Formulaire :
f

³

x exp(  z 2 )dz

S

f
f

§ D2 ·
¸
S exp¨¨ 
¸
© 4 ¹

³

x exp  z 2 cos Dz dz
f
f

³

x exp  z 2 sin Dz dz

0

f

0.
Les lasers sont des sources lumineuses caractérisées la plupart du temps par 
les trois
propriétés suivantes : forte intensité, très grande cohérence temporelle et 
grande directivité. Citer au
moins trois applications des lasers. Préciser dans chaque cas quelles 
propriétés spécifiques du laser
sont utilisées.

Partie I : Profil spectral et cohérence temporelle.
I.1°) Elargissement d'une raie spectrale par effet Doppler

I.1°) a) Effet Doppler.
Soit un détecteur D fixe en un point O de l'espace, une source S se déplace à 
la vitesse
algébrique V sur un axe (Ox) orienté du détecteur vers la source. L'abscisse 
x(t) représente la distance
entre D et S. La source S émet un signal de période T ; la célérité du signal 
dans le milieu qui sépare S
de D est c.
1.
Soit t (respectivement t') et t+T (respectivement t'+T') les instants 
correspondant à
l'émission par la source (respectivement la réception par le détecteur) du 
début et de la fin d'une
période du signal. Calculer t' et t'+T' en fonction des données.
2.
Si on suppose que le temps caractéristique de variation de la vitesse de la 
source est
très grand devant T, exprimer T' en fonction de T, V et c.
Dans le cas où V<i Zt  kz @e x , établir 
l'équation de dispersion
&
&
&&
reliant Z et k. On rappelle la relation vectorielle suivante : rot rot X Grad 
div X  'X
2

n  in ' avec n>0.
27.
On suppose que la constante diélectrique relative s'écrit H r
Ecrire le champ électrique de l'onde se propageant vers les z croissant. A 
quelle condition sur n',
l'amplitude de cette onde augmente-t-elle ?
28.
Ecrire le champ magnétique de l'onde étudiée à la question précédente. En 
déduire
&
l'expression du vecteur de Poynting S . Calculer la norme de sa valeur moyenne 
dans le temps
&
I
S .
29.
On appelle R le coefficient de réflexion en puissance du miroir de la cavité 
résonnante
situé en z=0. Si l'on néglige toutes autres sources de pertes, donner la valeur 
de n' pour que le laser
fonctionne en régime stationnaire, c'est-à-dire que l'amplification sur un 
aller retour de l'onde
compense exactement les pertes dues à l'émission du faisceau extérieur.
30.

Que se passe-t-il si n' a une valeur supérieure à celle calculée à la question 
29 ?

9

TOURNEZ LA PAGE S.V.P.

II.2°) Phénomène de saturation et régime de fonctionnement stationnaire

Pour pallier le problème soulevé à la question 30, il faut tenir compte du 
processus
microscopique à l'origine de l'amplification. On rappelle que l'émission ou 
l'absorption d'ondes
électromagnétiques par la matière, correspond à la transition au sein d'un 
atome d'un électron entre
deux niveaux énergétiques notés 1 et 2, d'énergie E1 et E2 (E10, en déduire une condition sur 'N
pour que le milieu soit amplificateur. En utilisant le résultat de la question 
29 déterminer la valeur
critique 'N C de 'N qui correspond à un fonctionnement stationnaire du laser.
32.
On appelle I0 l'intensité lumineuse totale dans la cavité qui part du miroir 
situé en z=0.
Si 1  R  1 , les pertes sont faibles, l'amplification de l'onde sur un aller 
retour est donc faible elle
4n ' ZL
 1 . En déduire qu'au premier ordre :
aussi. Cela permet de supposer que
c
- en tout point de la cavité on peut prendre I | I 0 .
4n ' ZL
I0
- le gain d'intensité sur un aller retour vaut : 'I g |
c
33.

Les pertes sur un aller retour s'écrivent 'I p

 1  R I 0 . En admettant que le temps

d'un aller retour dans la cavité est faible devant le temps d'évolution de I0, 
montrer que :
dI 0
J  1  g'N I 0
dt
Exprimer les constantes g et J respectivement en fonction de D, L, c, Z et R et 
de R, c et L.
On admettra que l'évolution de 'N est traduite par l'équation :
'N  'N 0
d'N
 E'NI 0

W
dt
où W et E sont des constantes et 'N 0 est la différence de peuplement des deux 
niveaux d'énergie en
l'absence d'onde dans la cavité. Cette valeur est maintenue positive par un 
dispositif dit de
``pompage'' extérieur à la cavité.
'N 0
Montrer qu'en régime stationnaire on a : 'N
, exprimer IS en fonction de W et E .
I
1 0
IS
34.

35.
En utilisant les résultats des deux questions précédentes, montrer qu'en régime
stationnaire il ne peut exister que deux intensités I' et I'' dans la cavité :
Soit I0=I'=0, soit I0=I''=(K-1)IS, exprimer 'N 0 en fonction de g et K.
36.

Etude de la stabilité de la solution stationnaire I'' :

10

Gi
 1 . Déterminer l'évolution temporelle Gi(t) pour Gi(t=0) = GI0. A quelle
I' '
condition sur K la solution est-elle stable ?
On pose I 0

37.

I' ' Gi avec

Effectuer la même étude qu'à la question précédente pour la solution 
stationnaire I'.

38.
En utilisant les résultats des deux questions précédentes tracer le graphe 
I0(stable) en
fonction de K. Quelle est la valeur minimale de K pour que le laser émette ? 
Que vaut alors 'N 0 ?
39.
Enfin tracer, pour les régimes stationnaires stables 'N en fonction de K. En 
déduire
que 'N ne peut dépasser une valeur seuil 'N S . Comparer 'N S au 'N C de la 
question 31 sachant
que 1-R<<1. Conclure que le problème de la question 30 est levé. FIN DE L'EPREUVE 11