X/ENS Physique PSI 2018

CX8613

Banque commune École Polytechnique - InterENS

PSI
Session 2018

Épreuve de Physique

Durée: 4 heures

Aucun document n'est autorisé.
L'usage de calculatrices est interdit.

N.B. : L'attention des candidats est attirée sur le fait que la notation 
tiendra compte
du soin, de la clarté et de la rigueur de la rédaction et de la présentation. 
Les
résultats non justifiés n'apporteront pas de points. Les candidats sont priés
d'accorder une importance particulière aux applications numériques.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé,
il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant 
les
raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
La longueur du sujet ne doit pas décourager les candidats. L'indépendance des
différentes parties, la progressivité de chacune d'entre elles, la diversité 
des thèmes
abordés permettront à chaque candidat de révéler sa compréhension de la physique
dans des domaines variés. Les candidats doivent être conscients qu'un traitement
superficiel de quelques questions dans chaque partie sera peu valorisé.

1/8

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4"('%-# $*# 4"6&"1-# 3*+tidien depuis de
nombreuses années en Europe et dans le Monde entier !
Ce problème va étudier quelques aspects de ce transport :
- Le rendement énergétique du réseau qui est un enjeu majeur à l'heure des 
économies d'énergies.
- Les incidents sur les lignes qu'il faut à tout prix éviter afin de protéger 
les installations en aval et en amont
du réseau. L'objectif est de sécuriser la distribution d'énergie électrique.
Les deux parties sont largement indépendantes.
Un certain nombre de questions portent sur l-&# 2+,$%'%+,&# $/0'").%&&-7-,'# 
$/*,# 7+$8.-# 496&%3*-# $-&#
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-* %.* :("0(* /4,2("5+(* /.2)* %()* %+52()* /(* 0".2):#"0<* ?(00(* :("0(* /,:(2/* %."5('(20* /(* %4+20(2)+0,* /1* courant les parcourant. Or cette intensité dépen/* /(* %4+2)0.%%.0+#2* "(6(;.20* %4,2("5+( et éventuellement de la ligne électrique. On considèrera que cette ligne est constituée de deux fils conducteurs de longueur d . 1 étant la La source sera considérée comme sinusoïdale avec uS ! t " # U0 2 cos ! 2% f t " , f # T fréquence. iD ! t " iS ! t " source uS ! t " ligne 2/8 uD ! t " installation A I) Puissance perdue dans la ligne 1) Expliquer à quelle condition on peut considérer que iS ( t ) » iD ( t ) . Cette condition sera supposée réalisée dans toute la partie A. On notera i ( t ) = iS ( t ) = iD ( t ) . 2) Expliquer à quelle condition on peut considérer que uS ( t ) » uD ( t ) . Cette condition sera supposée réalisée dans toute la partie A. On prendra uD ( t ) = uS ( t ) . 2 La puissance perdue dans la ligne peut s'écrire sous la forme pL ( t ) = K × d × i ( t ) , d étant la longueur de la ligne et K une constante. La puissance moyenne est notée pL ( t ) = PL = K × d × I 2 3) Quelles sont les causes physiques de cette perte ? 4) Que représente I ? 5) Quels sont les différents facteurs pouvant modifier la valeur de K . Appuyez votre réponse sur des exemples simples (conducteur ohmique cylindrique). La puissance moyenne consommée par l'installation est notée P . On appellera rendement P énergétique de la ligne h = . P + PL A II) Le facteur de puissance 6) Quelle propriété de l'installation permettrait d'assurer une intensité i ( t ) sinusoïdale de la forme i ( t ) = I0 2 cos ( 2p f t + j ) ? Donner les valeurs de la tension efficace et de la fréquence pour le réseau européen. Discuter numériquement la condition imposée dans la question (1). On adoptera cette propriété pour toute la partie AII). avec 0 ³ j > -

p
2

.

7)
Exprimer le rendement h en fonction des données de l'énoncé : la puissance 
moyenne
consommée par l'installation P ainsi que K , d , U0 , j .
8)
Sur quels facteurs, autres que j et K , peut-on jouer pour augmenter ce 
rendement ? Évitez
une simple énumération dans la réponse. Détaillez plus particulièrement le 
facteur, en pratique, le
plus important en proposant des solutions technologiques au problème.
On tente d'améliorer le rendement en ajoutant un dispositif de compensation « à 
côté » et en
parallèle avec l'installation. On notera iC ( t ) = IC 2 cos ( 2p f t + jC ) . 
La puissance moyenne
consommée par le dispositif de compensation est notée PC .
iD ( t )

iS ( t )
source

9)

uS ( t )

ligne

uD ( t )

iC ( t )
installation

compensation

Quelle propriété doit vérifier iC ( t ) pour que PC = 0 ?

10)
Déterminer, lorsque PC = 0 , iC ( t ) pour que h soit maximum toutes choses 
égales par
ailleurs.

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11)
Proposer un dispositif, autre que celui étudié dans la suite, permettant 
d'obtenir le résultat
escompté. Préciser le ou les paramètres du dispositif en fonction de P , f , U0 
, j .

Pour réaliser le dispositif de compensation on utilise un
moteur synchrone.
Ce moteur tourne à vide et on négligera les pertes
mécaniques et électriques du moteur dans un premier temps.
Ce moteur est électriquement équivalent à un dipôle
d'impédance purement imaginaire jX avec X > 0 en série
avec un générateur sinusoïdal de même fréquence f que le
réseau.
On notera E la tension efficace de ce générateur dont on

iC ( t )

Dipôle

uD ( t )

e (t )

Moteur à vide
compensation

peut régler le module E = E .
12)
Pourquoi X > 0 ? Comment peut-on régler E ? Pourquoi la fréquence est-elle la 
même que
celle du réseau ? Répondez de manière qualitative, mais précise, à ces trois 
questions.
13)
Calculer, en fonction de P , X , U0 , j , la valeur de E permettant d'optimiser 
la distribution
de l'énergie.
Les pertes énergétiques du moteur ne sont plus négligées et elles sont prises 
constantes de
puissance égale à PC . Cette puissance est fournie
intégralement par le réseau d'alimentation. Pour
calculer la nouvelle valeur du module de E
jm
permettant d'optimiser les pertes en ligne on utilise
E
jXI C
jm
une construction dans le plan de Fresnel.
UD = U0

14)
Quelle est la signification de jm ? Réaliser la
construction dans le cas PC = 0 .

15)
Déterminer ( avec PC > 0 ) la valeur de E
permettant d'optimiser la distribution de l'énergie en fonction de U0 , P , PC 
, X , j .

A III) Le facteur de forme
L'installation est maintenant un redresseur suivi
d'une charge correspondant à une inductance L en
série avec une résistance R et un générateur de

(

)

tension E0 ( t ) U0 2 > E0 ( t ) ³ 0 . Ces deux derniers

i (t )

1
uD ( t )

u1

3
iA (t )

i1
L

R

2 uL ( t )
E0 ( t ) 4
éléments modélisant un accumulateur en recharge.
On se place en régime périodique.
Les interrupteurs sont idéaux (ils ne consomment
aucune puissance) et ils sont repérés par les numéros 1, 2, 3, 4. Les 
interrupteurs sont tels que
l'intensité du courant iA ( t ) ³ 0 .

4/8

16)

Pourquoi la tension E0 ( t ) dépend-elle du temps ? Pourquoi pourra-t-on 
considérer dans la

pratique qu'elle n'en dépend pas ? On la notera, pour simplifier, E0 .
17)

Ce convertisseur de puissance obéit-il aux règles d'association ?

18)
Comment choisir la valeur de l'inductance L pour que l'on ait iA ( t ) > 0 
(conduction
continue). On supposera cette condition vérifiée pour la suite et on 
considérera , de plus, que
iA ( t ) = I Am ? DI A ³ i A ( t ) - I Am , DI A étant l'ondulation de courant.
19)
Quels sont les interrupteurs dont le fonctionnement est complémentaire (quand 
l'un est
ouvert, l'autre est nécessairement fermé)
20)

Expliquer pourquoi exactement deux interrupteurs doivent être fermés en même 
temps.

Les interrupteurs 3 et 4 sont de simples diodes que l'on considèrera comme 
idéales.
On donne une courbe, issue d'une simulation, représentant différentes grandeurs 
en fonction du
temps. Pour l'intensité i ( t ) , on a choisi de tracer Ri ( t ) par souci 
d'homogénéité.

uD ( t )
E0
t2
Ri ( t )

t

t1

21)

Disposer les diodes 3 et 4 dans le circuit.

22)

Tracer le chronogramme sur une période de l'interrupteur 1 ( u1 ( t ) et Ri1 ( 
t ) ) .

23)
Tracer , dans le plan ( u1 , i1 ) , la courbe décrite par le point de 
fonctionnement de
l'interrupteur 1. Pourquoi faut-il utiliser un transistor ?
24)

Tracer uL ( t ) . La simulation vous paraît-elle pertinente ? Si non, expliquer 
succinctement

comment modifier iA ( t ) = I Am , toutes choses égales par ailleurs, pour 
l'améliorer.
25)
Expliquer pourquoi, en vous aidant de la forme du spectre de l'intensité i ( t 
) , la présence
de ce genre de convertisseur en charge d'une ligne de distribution diminue le 
rendement
énergétique de la ligne.

5/8

A IV) L'élévation de la tension
On considère le circuit suivant, composé
d'inductances Le , Ls , de condensateurs C , Cs ,
d'une résistance, représentant la ligne
électrique et l'installation, RS et de deux
interrupteurs idéaux complémentaires K1 , K2 .
Les
interrupteurs
ont
un
cycle
de
fonctionnement périodique de période TH .
Pendant la durée a TH , K 1 est fermé et K 2 est
ouvert. Pendant la fin du cycle, sur la durée
( 1 - a )TH , K 2 est fermé et K1 est ouvert.
0  0 et

k < 0. 39) Exprimer la vitesse de phase et la vitesse de groupe. Les interpréter ! 40) La corde est maintenant fixée en x = 0 . Une onde incidente sinusoïdale se propage dans la partie x < 0 et se réfléchit. On note y = Y i e j (wt - kx ) l'onde incidente. Écrire l'onde réfléchie supposée i d'amplitude Y r . Comment justifier simplement qu'elle soit de même pulsation. Yr le coefficient de réflexion en x = 0 . Trouver sa valeur. En déduire Yi l'expression de l'onde totale pour x < 0 . Quelle est sa nature ? 41) On note r = B I B) Analyse énergétique 2 42) On note ec = 1 æ ¶y ö l'énergie cinétique linéique de la corde. Appliquer le théorème de la m 2 çè ¶t ÷ø puissance cinétique à une tranche [ x , x + dx[ de corde en mouvement. On notera d Pi = pi dx la puissance des efforts intérieurs (nécessaire compte tenue de la déformabilité de la corde). pi est la ¶y ¶ 2 y puissance linéique intérieure. Montrer que : pi = -T0 . × ¶x ¶x¶t 2 43) 1 æ ¶y ö En déduire qu'il existe une énergie potentielle linéique intérieure : ep = T0 ç ÷ . 2 è ¶x ø 7/8 44) que : On appelle P ( x , t ) = Ty ( x , t ) ( ¶ ec + ep ¶y ( x , t ) la puissance transférée par l'onde en x à t . Vérifier ¶t ) = - ¶P . Par analogie avec l'électromagnétisme comment pourrait-on appeler P et ¶t ¶x cette équation ? Que nous dit-elle concernant les termes de "pertes" ? Est-ce en accord avec le modèle ? 45) Pour l'onde de la question 41), après retour réel calculer P ( x , t ) . En déduire sa valeur moyenne. Montrer que les points où P ( x , t ) est nulle à tout instant sont équidistants de l / 4 . B II) Section de la ligne Pour étudier la propagation d'une onde électrocinétique dans la ligne de longueur d , on utilise l'analogie avec la corde vibrante. On la modélise par une suite de filtres linéaires faisant intervenir une inductance par unité de longueur L et une capacité par unité de longueur G . On a toujours la tension d'entrée uS ( t ) = U0 2 cos ( 2p f t ) . On pose : c = 46) 1 LG , k= w c et ZC = iS ( t ) source uS ( t ) i (t , x ) iD ( t ) u (t , x ) ligne dL = Ldx u (t , x ) uD ( t ) installation x i ( t , x + dx ) dC = Gdx u ( t , x + dx ) L . G Déterminer la dimension des différentes grandeurs ZC , c . 47) Dresser un tableau des analogies entre le problème de la corde et celui de la ligne . Faites ¶y ¶y correspondre les grandeurs de la corde , , T0 , m , ec , ep , P avec celles de la ligne. ¶t ¶x L'impédance de l'installation vaut Z D . La tension dans la ligne s'écrit : u ( x , t ) = (U i exp ( - jkx ) + U r exp ( jkx ) ) exp ( jwt ) = U ( x ) exp ( jwt ) . On calcule U r exp ( jkx ) U i exp ( - jkx ) = ZD - ZC exp ( 2 jk ( x - d ) ) . ZD + ZC En posant i(x , t ) = I ( x ) exp( jwt ) et après calcul on obtient U (x) I (x) = ZC ZD + jZC tan ( k ( d - x ) ) ZC + jZD tan ( k ( d - x ) ) 48) Déterminer la relation entre ZC et Z D pour que l'onde de tension dans la ligne soit progressive. Un incident se produit sur la ligne électrique. Le câble électrique se rompt et reste suspendu en l'air à l'abscisse x = a . 49) Déterminer l'intensité I ( 0 ) et la tension U ( a ) . 50) Que se passe-t-il si a = l 4 . Commenter. Fin du problème 8/8