X/ENS Physique PSI 2019

ECOLES NORMALES SUPERIEURES -- ECOLE POLYTECHNIQUE
CONCOURS D'ADMISSION 2019

MARDI 23 AVRIL 2019 - 8h00 - 12h00
FILIERE PSI

COMPOSITION de PHYSIQUE
(XCR)

Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être
une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa
composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené
à prendre

Ressorts : Conception, caractérisation, milieu de propagation

Les ressorts sont des dispositifs mécaniques permettant d'exercer des efforts 
élastiques.
Dans une première partie on étudiera : d'une part, l'influence des matériaux 
utilisés et de la géométrie
des ressorts sur leurs caractéristiques mécaniques, d'autre part, certains 
traitements thermiques ou
chimiques qui permettent d'améliorer leurs performances.
Dans une seconde partie, on étudiera la propagation d'ondes longitudinales dans 
un ressort hélicoïdal.
On modélisera l'effet des pertes sur cette propagation. Enfin on étudiera deux 
cas particuliers, pour
mettre en évidence la nécessité ou non de tenir compte des phénomènes 
ondulatoires dans un ressort
usuel.

Les deux parties sont totalement indépendantes, ainsi que les sous-parties de 
la première
partie. En revanche dans la partie IL, 11 est conseillé de traiter la partie 
IL. 1°) en premier.

Lors de la correction, une grande attention sera portée aux remarques à 
caractère physique, à la
clarté de la rédaction, ainsi qu'à la présentation. Il est demandé au candidat 
de rappeler le numéro

identifiant une question avant la solution qu'il propose.

Les applications numériques pourront être arrondies à un seul chiffre 
significatif.

Données numériques :

Nombre d'avogadro : N, =6,0.10" mol "

Charge de l'électron : --e=-1,6.10 " C
Sur le Fer :

Masse molaire : M. = 56 g.mol

Masse volumique : Pr = 7,9 g.cm

Module d'Younsg : E,. = 2,l 10" Pa

Energie surfacique 7 : Ye = 2,0 J.m *

Constante de torsion : G;, =8,1.10"° Pa
Sur le Zinc :

Masse molaire : M,, = 65 g.mol

Masse volumique : P,, =7,1 g.cm *

Potentiels standard d'oxydoréduction à 298 K :
E'(Fe*/Fe)=-0,44V E'(Zn*/Zn)=-076V  E°(H,O/H,)=0V

Partie I : Caractérisations et traitements.

I.1°) Caractérisation d'un ressort hélicoïdal

La fabrication d'un ressort hélicoïdal se fait en enroulant un fil métallique 
sur un cylindre.
Les caractéristiques du ressort final dépendent du matériau utilisé et de sa 
géométrie. Nous allons nous
intéresser à la limite en traction du fil métallique et à la relation entre les 
paramètres géométriques et la
raideur du ressort.

[.1°) a) Résistance théorique à la rupture du fil métallique

On cherche à évaluer la contrainte maximale en
traction que peut supporter un fil métallique avant de se
rompre. Pour ce faire, on modélise les liaisons entre les
atomes dans le fil par des ressorts. On suppose pour
simplifier que le fil est constitué de plans d'atomes parallèles
où les atomes en vis-à-vis sont reliés par des ressorts de -
raideurs k et de longueur à vide à (correspondant à la \
distance entre les deux plans en l'absence de contrainte
extérieure). La figure 1 représente dans sa partie gauche un fil
de section S et de longueur L, dans la partie droite on a

OH 1,
--0--O
--0--O
--0--0
--0--O
--0--O

représenté la modélisation par des ressorts entre les atomes T
des deux plans P; et P2. Sous l'action de la force de traction |
F, la distance entre les plans P, et P: passe de à à a. On EF
admettra que la distance entre les atomes dans les plans P: Fioure I
(respectivement P:) est a et le reste en présence de la force
de traction F.
1. Justifier la modélisation de l'interaction entre les atomes par des 
ressorts. Donner une

condition d'application de ce modèle. Dans le cas où l'énergie d'interaction 
entre deux atomes
s'exprime à l'aide d'une fonction U(a), donner l'expression de la raideur Kk 
des ressorts en fonction de
U.

2. On admet que le fil se rompt quand l'énergie élastique emmagasinée dans les 
ressorts
entre les plans P: et P: est supérieure ou égale à l'énergie nécessaire pour 
créer les interfaces métal-air
résultantes de cette rupture. On appelle y l'énergie surfacique nécessaire pour 
créer une interface d'aire
unité. Exprimer la force maximale PF, au-delà de laquelle le fl se rompt en 
fonction de y, S, ao et k.

3. En résistance des matériaux, la loi de Hooke relie la contrainte surfacique 
qui s'exerce
sur une section d'un barreau cylindrique avec son allongement relatif : 6 = EE 
où E est le module
d'Young, caractéristique du matériau, © la force surfacique et EUR 
l'allongement relatif, quotient de
l'allongement sur la longueur initiale. A l'aide de cette loi et du modèle des 
ressorts développé
précédemment relier la raideur k à E et à. En déduire l'expression de PF, en 
fonction de E, $, y et ao.

d, Application numérique : Evaluation de Fa, pour un fil de fer.

- Evaluer un ordre de grandeur de ao qu'on assimile au paramètre de maille du 
Fer qui
cristallise à température ambiante dans un réseau cubique centré (dont la 
maille est constituée d'un
atome au centre et d'un atome en chacun des huit sommets d'un cube de côté ao).

- Calculer Fax pour un fil de fer de section S = 5 mm°

5. En réalité les mesures expérimentales donnent une valeur de Fx:, de l'ordre 
de 100 fois
plus faible que celle calculée à la question précédente. Quels aspects du 
modèle de l'étude précédente
peut-on remettre en cause pour expliquer un tel écart ?
[.1°) b) Raïideur

On étudie un ressort caractérisé
par les paramètres géométriques suivant :
longueur à vide Lo, diamètre moyen D,
diamètre du fl d, pas à vide p, nombre de
spires N ; longueur sous la contrainte F :
L et allongement s = L - Lo. Toutes ces

orandeurs sont indiquées sur la figure 2
C1-contre.

Figure 2

On isole la partie supérieure du ressort entre une section $S
(en gris sur la figure 3) et l'extrémité supérieure. On admet que É
l'extrémité supérieure du ressort est sur l'axe de symétrie de ce
dernier ; ce qui a pour conséquence que la force extérieure

appliquée sur l'extrémité du ressort à son point d'application
comme indiqué sur la figure 3.

6. Justifier qu'à l'équilibre les actions de la partie
inférieure du ressort sur la partie supérieure ont une résultante
égale à --F. Calculer le couple M, que la partie inférieure du
ressort exerce sur la section S, montrer que M: = FD/2.

D
On isole un tronçon de ressort de longueur d£ = 5 d6. Quand le ressort est à 
vide, le tronçon

est supposé horizontal au premier ordre. Lors de la compression, le moment de 
torsion calculé à la

question précédente fait tourner la face B d'un angle da ce qui entraîne un 
déplacement vertical ds
(Figure 4 : en pointillé l'emplacement de la face B quand le ressort est à 
vide).

D
TD) NN
ZZ

NN

<= Î ds N M nl LL ES fl KE ji \ j SRE RO SN j 

<< Se \ ES XX dot En résistance des matériaux la torsion est caractérisée par la loi suivante : M, = GI, -- où G est la constante de torsion (aussi appelée module de Coulomb) caractéristique du matériau et I est le 4 moment quadratique de torsion, dépendant de la forme de la section ici I, =7--. 32 7. Calculer l'allongement total du ressort s=L---L, -- [ ds. En déduire que la constante fil Gd° de raideur k du ressort s'écrit : K = T- 8ND 8. Application numérique : Calculer la raideur d'un ressort de diamètre D = 2 cm comprenant N = 100 spires, fait avec un fil de fer de section S = 5 mm°. L.2°) Traitements complémentaires Une fois le ressort fabriqué, c'est-à-dire le fl enroulé de manière hélicoïdale autour d'un axe, certaines opérations de finitions peuvent être appliquées sur le ressort pour améliorer ses performances. On se propose dans cette partie d'étudier deux de ces opérations. [.2°) a) Traitement thermique de revenu On effectue souvent un traitement thermique (appelé revenu") pour éliminer les contraintes internes emmagasinées lors de la déformation plastique du fil et augmenter la limite élastique. Ce traitement de "revenu" consiste à chauffer le matériau métallique à une température qui peut être comprise entre 200 et 500 °C et à le laisser refroidir lentement. Pour cela, les ressorts produits sont placés sur un tapis roulant qui traverse un four parcouru par un courant d'air chaud dont on peut fixer la température et la vitesse. La vitesse de déplacement du tapis est déterminée pour que les ressorts restent dans l'enceinte du four pendant le temps désiré. Dans un cours de l'Université du Québec sur les traitements thermiques on peut trouver l'encadré de la figure 5. On y lit une formule donnant le temps nécessaire pour qu'un matériau passe de la température T; à T: quand il est soumis à un courant d'air chaud. Le coefficient a est le coefficient de la relation de Newton donnant la puissance thermique surfacique échangée 6 entre la paroi d'un solide et un fluide : @-- a(T ao -- Tu): P Temps de montée en température ASE CE Re D --* log Es T (h): temps de chauffage P (kg) : Poids du métal à traiter CADET Ti (°C): température initiale PRODUIT" ARR TE 1 AR CR IE IEC É 14. Faire un schéma de principe de l'électrolyseur. Ecrire les demi réactions qui ont lieu en précisant quelle électrode est la cathode et laquelle est l'anode. On indiquera aussi le sens de parcours du courant et la polarité du générateur branché aux bornes de l'électrolyseur. 15. L'électrozinguage du ressort est effectué dans une cuve électrolytique de résistance interne Ro = 5 Q. On utilise un générateur de courant délivrant une intensité de I = 1 A. - Evaluer le temps d'électrolyse minimum nécessaire pour déposer une couche de 10 im sur le ressort de la question &. - En utilisant les courbes intensité-potentiel de la figure 6, donner la tension relevée aux bornes des électrodes. - En déduire l'énergie électrique nécessaire pour recouvrir le ressort de zinc. Figure 6 16. La surtension cathodique à vide de la réduction de l'eau sur une électrode en fer est de l'ordre de - 0,65 V. Cette réaction a-t-elle une influence sur le phénomène d'électrozinguage étudié précédemment ? Partie IT : Propagation d'ondes d'élongation dans un ressort. II.1°) Equation de propagation On cherche à établir dans cette sous-partie l'équation de propagation des ondes d'élongations longitudinales dans un ressort. On s'intéresse à un ressort d'axe (Ox). On repère par &E(x,t) le déplacement lors du passage de l'onde d'un point du ressort situé en x quand le ressort est à vide. 17. Question préliminaire : - Soit deux ressorts identiques de raideur k et de longueur à vide £,. Trouver la raideur ka et la longueur à vide L du ressort équivalent à l'association de ces deux ressorts quand ils sont montés en série (c'est-à-dire accroché l'un à l'autre le long d'un même axe). - Généraliser ce résultat et en déduire que la raideur d'un ressort est inversement proportionnelle à sa longueur à vide. On appellera @ la constante de proportionnalité. - Ce résultat est-1l compatible avec le résultat de la question 7 ? Donner l'expression de & en fonction des caractéristiques géométriques du ressort. 8 18. Force en un point quelconque d'un ressort : Soit un ressort de raideur k et de longueur à vide {,, tel que K-/, =. On s'intéresse à un bout élémentaire de ce ressort de longueur dx compris entre x et x+dx. Exprimer l'allongement de ce ressort élémentaire lors du passage de l'onde. Puis utiliser le résultat de la question précédente pour déterminer la force qui s'exerce à ses extrémités. Conclure en montrant que la force en x que la partie du ressort située avant x exerce sur la partie du 6 ressort située après x s'écrit : F(x, t) = -- ae (x t). X 19. Etablissement de l'équation de propagation : Montrer que si l'on néglige le poids du ressort, l'élongation E(x,t) vérifie l'équation de e e oe & e e L propagation suivante : ---->------=, Montrer que c= |-- où «& est la constante 
introduite à la
| LL

| m .
question 17 et u =--"%% Ja masse linéique du ressort.
0

II.2°) Modélisation des pertes

Lors du passage de l'onde, les déformations du ressort peuvent engendrer des 
pertes d'énergie
interne. Nous allons modéliser ces pertes et en déduire les conséquences sur la 
propagation des ondes

d'élongation. La modélisation des pertes structurales se fait par analogie avec 
les pertes par frottement
fluide.

Etude des pertes par frottement fluide pour un régime sinusoïdal forcé :

Soit une masse m accrochée à un ressort de raideur k et de longueur à vide £,. 
La masse m est
astreinte à se déplacer horizontalement suivant un axe (Ox) et est soumise à 
une force de frottement
fluide de la forme : F ----hv où v et la vitesse de la masse m.

Une action extérieure impose un régime sinusoïdal permanent, l'allongement du 
ressort peut être pris
de la forme : Af -- x(t) = X) cos(ot).

20. Montrer que les pertes énergétiques E, sur une période, dues à la force de 
frottement

fluide sont proportionnelles à xs , on donnera le coefficient de AF®

proportionnalité en fonction de h et @.

On pose F(t)= kx(t)+ hx(t). Dans le plan (x,F) la
représentation de F(x) est la boucle d'hystérésis elliptique de Ja
figure 7.

21. Déterminer le sens de parcours de l'ellipse en

fonction du temps. |
Figure 7

22. Justifier que Fr est égale à l'aire de cette boucle. as
Analogie avec les pertes structurales (ou hystérétiques) :

En mesurant les contraintes (force surfacique 6) et les C7
déformations (allongement relatif £) de matériaux excités par des / e(t)
efforts sinusoïdaux, on peut tracer des boucles d'hystérésis qui ont la / _
forme indiquée figure 8. La surface des boucles est supposée
indépendante de la fréquence de l'excitation. La forme de la boucle
dépend en revanche des valeurs 6, et &...

Figure 8
Par analogie avec l'étude de l'oscillateur avec frottement fluide, on admettra 
que les pertes structurales,
Ehys, lOrS d'une période du régime sinusoïdal forcé d'une masse accrochée à un 
ressort s'écrivent :

E,,, = TBx, où B est caractéristique du matériau et de son cycle d'hystérésis 
(B est lié à la surface

du cycle et ne dépend donc pas de &).

23. Montrer qu'on peut alors modéliser les pertes structurales par une force de 
frottement
fluide équivalente caractérisée par un coefficient h que l'on exprimera en 
fonction de $ et ©.

24. En étudiant le mouvement d'une masse m accrochée à un ressort de raideur Kk 
et en
utilisant la modélisation des pertes structurales par une force de frottement 
visqueuse de coefficient
h, montrer que les pertes structurales peuvent être prises en compte pour un 
régime sinusoïdal forcé

par un ressort de raideur complexe k que l'on exprimera en fonction de k et f .

Conséquences des pertes structurales sur la propagation des ondes dans un 
ressort :
D'après l'étude faite précédemment, on admet que l'on peut tenir compte des 
pertes structurales
dans l'étude de la propagation des ondes longitudinales dans un ressort à 
condition de rendre complexe

la constante & introduite à la question 17. On posera : & = ©, +101.

On supposera : &, >>.

25. Soit une onde plane progressive monochromatique E(x,t)= En EXP i(ot --Kx),

(attention K représente 1c1 le vecteur d'onde et non la raideur d'un ressort), 
écrire la relation de
dispersion .

26. En déduire la vitesse de phase. Le milieu de propagation est-1l dispersif ? 
Quelle
conséquence cela a-t-1l sur la propagation des ondes réelles ?

27. Quel est l'effet des pertes structurales sur la propagation ? On introduira 
une distance
caractéristique du phénomène décrit.

28. S1 on envoie dans le ressort une onde en forme de créneau (E(O, t) égal à 
6, sur une

demi période To/2, puis --6, la demi période suivante) quelle est la forme de 
l'onde au bout d'une

distance "suffisamment" grande ?

IL.3°) Deux applications

Dans cette sous-partie, on étudie deux exemples de configuration ou 1l est 
nécessaire de tenir
compte des actions intérieures et donc les ondes d'élongation.
Ces deux applications seront traitées en l'absence de pertes.
On peut traiter les questions suivantes en admettant le résultat de la question 
18, donnant la force en x
que la partie du ressort située avant x exerce sur la partie du ressort située 
après x :

Fa (nt)

IL.3°) a) Validation de la modélisation usuelle pour un ressort de raideur K :

On considère un ressort horizontal de masse linéique lu, de longueur à vide £, 
, de raideur k et

donc caractérisé par la constante à =K-{,. Son extrémité en x = 0 est fixe et 
l'autre extrémité est

reliée à une masse m, susceptible de se déplacer sans frottement le long de 
l'axe (Ox).
On repère le mouvement de chaque point du ressort par l'élongation en x à 
l'instant t : Ex, t).

10
29. Comme on l'a vu à la question 19, E(x,t) est solution de l'équation de 
propagation

0° 1 ©" . Nr
LS ---- Te , donc s'écrit comme une combinaison linéaire de solution complexe 
de la forme :
ox" c° ot
E(x,t)= Aexpi(ot -- Kx)+ Bexpi(ot + Kx)
Que représentent physiquement les deux termes de cette solution ? Quelle 
relation existe-t-1l entre @
et K ?

30. Quelles sont les conditions aux limites vérifiées à chaque instant en x 
=0etx = {, ?
. 1H
En déduire que : tan| , ET ol= NET
OEoe mo
31. Montrer par une étude graphique que le résultat de la question précédente 
implique

qu'il existe une infinité de pulsations possibles pour les oscillations du 
système masse ressort.

32. Dans le cas ou la longueur à vide £/, est "suffisamment" petite montrer que 
l'on
: k
retrouve une solution correspondant à la pulsation propre usuelle : © =@, = 
,}--.
m
33. Etudier la condition de validité de l'approximation de la question 
précédente. Exprimer

cette condition d'une part sur £, puis sur la masse du ressort. Interpréter.

I1.3°) b) Décollage d'un ressort vertical comprimé

Soit un ressort de masse linéique 1, de longueur à vide £, , de raideur k et 
donc caractérisé

par la constante &oe =K:{,, posé verticalement sur le sol. Son extrémité 
supérieure est libre, aucune
masse n'y est accrochée. On appelle l'axe vertical ascendant (Ox), O étant un 
point du sol. On repère le
mouvement de chaque point du ressort par l'élongation en x à l'instant t : Ex, 
t).

On se propose de déterminer quelle est la compression minimale, pour qu'une 
fois relâché le ressort
décolle du sol.

34. Ecrire la relation fondamentale de la dynamique sur une tranche élémentaire 
de ressort
dx. En déduire l'équation aux dérivées partielles vérifiée par Ex, t).

35. Déterminer Ée (x), l'élongation de chaque point du ressort quand celui-ci 
est à

l'équilibre soumis à son propre poids. En déduire l'allongement du ressort à 
l'équilibre
AU = Éeg (4 ) . Commentaire.

36. On introduit la variable e(x,t)= Ex t)-E,, (x). Montrer que e(x,t) vérifie

l'équation de propagation de la question 19.

On comprime le ressort d'une distance a par rapport à sa position d'équilibre, 
c'est-à-dire que :
e(4 wt< 0) -- --a . Puis on le lâche sans vitesse initiale en t = 0. 37. Déterminer e(x,t < 0). 11 38. Pour t > 0, on cherche des solutions de la forme E(x, t) = f (x) cos ot.

Quelle équation vérifie f(x) ? Résoudre cette équation et déterminer f(x). En 
utilisant les conditions
aux limites aux extrémités du ressort, simplifier f(x) et montrer que seules 
certaines pulsations © sont
possibles. En déduire la forme des solutions correspondantes.

39. Pour déterminer la solution de notre problème, 1l faut établir une solution 
particulière,
combinaison linéaire des solutions trouvées à la question précédente et 
vérifiant la condition initiale
établie à la question 37. Justifier l'existence d'une telle solution.

40. Montrer que l'équation qui permet de déterminer l'instant ta où le ressort 
décolle s'écrit :
OE l
--(0,t,) = - FE
x

Cette équation n'admet de solution que pour certaines valeurs de a. Cela permet 
de déterminer la
compression minimale ami nécessaire pour faire décoller le ressort.

FIN DE L'ÉPREUVE

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