X/ENS Physique PSI 2020

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X/ENS Physique PSI 2020 -- Énoncé

Mesures de précision - Application à la métrologie

Lors de sa 25° réunion en novembre 2014, la Conférence Générale des Poids et 
Mesures
(CGPM) à adopté une résolution sur la révision du Système International 
d'unités (S.1). Dans le
S.[ révisé, quatre des sept unités de base du S.[. - à savoir le kilogramme, 
l'ampère, le kelvin et la
mole - seront redéfinies en s'appuyant sur des constantes de la nature. La 
motivation principale
de changement est la définition du kilogramme qui est encore défini à partir 
d'un objet matériel
(artefact), à savoir le prototype international du kilogramme conservé au 
Bureau International
des Poids et Mesures (BIPM). Tout le travail du BIPM est de fournir des séries 
d'instructions qui
permettent de réaliser la définition en pratique, au plus haut niveau 
métrologique, de chacune
des unités de base. Ce nouveau système d'unités a été adopté le 16 novembre 
2018.

La première partie traite des problèmes liés à la définition du kilogramme via 
l'artefact et
du dispositif permettant de mesurer avec la plus grande précision la valeur de 
la masse de ce
prototype. La seconde partie étudie le phénomène de l'effet Hall à la base de 
la définition de
l''Ohm et de la mesure de courant de précision.

I Prototype international du kilogramme

Lors de la première conférence en 1 889, il a été décidé que le kilogramme 
était défini par la
masse d'un objet en platine iridié, alliage de platine (90%) et d'iridium 
(10%). Plusieurs autres
références ont été fabriquées et étalonnées par rapport au prototype initial 
dans le but d'être
distribuées sur tous les continents pour que l'ensemble des physiciens puissent 
avoir leur propre
référence. En mesurant au fil des années la masse du prototype initial et des 
références, les
résultats de comparaisons ont indiqué une certaine divergence avec le temps 
(figure 1).

80 official copies Nos. 43 and 47 1946 1991 2014
first calibrated in 1946; è
all others in 1889 EE hrs
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* 20 40 60 80 100 120 140
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-40

years since 1889

FIG. 1 -- Variation des différentes références de masse au cours du temps. 
Mesures réalisées par
M. Stock, P. Barat, R. Davis, A. Picard et M. J. T. Milton (2015).

Il s'agit dans un premier temps d'étudier différents effets susceptibles 
d'introduire des biais
dans les comparaisons.
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1.1 Quelques propriétés des étalons de masse
1.1.1 Propriétés géométriques

À cause du phénomène d'adsorption, étudié un peu plus tard dans le sujet, il 
est souhaitable
de donner aux objets matériels une forme susceptible de rendre minimale la 
surface de ces objets.

1. Pour un matériau homogène, quelle est la forme géométrique assurant, à une 
masse donnée,
la surface extérieure minimale ? Commenter l'aspect pratique de ce résultat.

2. Par commodité, les étalons sont des cylindres droits à base circulaire de 
hauteur À et de
diamètre D. Déterminer la relation entre h et D pour obtenir, à volume fixé, 
une surface
extérieure St minimale ?

Dans toute la suite de cette partie les étalons employés satisfont cette 
condition.

3. Pour obtenir des étalons de masse nominale 1 kg, quelles valeurs doit-on 
donner à D et
h dans le cas d'un étalon en platine iridié de masse volumique ppt. = 2 X 10 
kg.m *?
Calculer dans ces conditions le volume V du cylindre obtenu.

4. Pour quelle variation relative de À ou D la masse varie-t-elle de Ami = 10 
ug ? Que conclure
pour de tels étalons ?

1.1.2 Poussée d'Archimède

Les comparaisons entre étalons de masse et les étalonnages ne sont pas 
effectuées dans le vide
mais dans l'air. On notera p,;- la masse volumique de l'air et go 
l'accélération de la pesanteur.

5. Rappeler la force totale exercée par l'air sur l'étalon. Contribue-t-elle à 
augmenter ou
diminuer la masse apparente de l'étalon ?

6. Exprimer, en valeur absolue, la variation de masse apparente Am: associée à 
cet effet, c'est-
à-dire la variation de masse qui serait nécessaire pour, en l'absence de cet 
effet, obtenir la
même force.

7. Application numérique: l'air sec à la pression p,ï et à la température 
T,;i,, supposées
uniformes, peut être assimilé à un mélange idéal de gaz parfaits de masse 
molaire M. On
donne pair = 1 bar, Tair = 300 K, M = 30 g.mol !.

(a) Déterminer Am2 dans le cas de l'étalon en platine iridié. Commenter.

(b) Quelle variation relative (en valeur absolue) de la masse volumique pair 
provoquerait
un décalage de la variation de masse apparente de 10 ug ?

1.1.3 Adsorption de particules

On s'intéresse à un gaz de particules toutes identiques, supposées ponctuelles 
et sans inter-
action entre elles, occupant le demi-espace z > 0 limité par le plan xOy. Le 
demi-espace z < 0 est constitué d'un milieu homogène fixe. La température To est supposée uniforme dans tout l'espace. L'interaction entre le gaz et la paroi est décrite par une énergie d'interaction du type Waa(z) = --Kaa/2 avec Kaa = 3 X 107% J.m°. Compte tenu de l'interaction avec la paroi, la densité dans le gaz et la pression p(z) à la distance z de la paroi ne peuvent être uniformes pour z > 0. On néglige toute autre énergie devant W,a dans cette partie.

On assimile localement le gaz à un gaz parfait et l'équilibre thermodynamique 
est atteint à
la température To.

8. Avec les conditions précédentes, la loi de Boltzmann est vérifiée pour la 
pression. Donner
l'expression de p(z) en notant p(+co) la pression à la température T4 en un 
point z = +
infiniment éloigné de la paroi.
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9. Quelle est, dans l'expression précédente, la limite de p(z) lorsque z tend 
vers 0 ? Qu'arrive-
t-il lorsque p(z) devient supérieure à p,(To), la pression de vapeur saturante 
du gaz à la
température To ?

10. En déduire qu'il existe à la surface de la paroi une « couche liquide » sur 
une épaisseur dia
dont on déterminera l'expression en fonction de K,;a, la constante de Boltzmann 
kB, To,

ps(To) et p(+oo).
11. Pour les molécules envisagées, p(To) = 24 hPa à To = 300 K, p(+oco) = 8 hPa.
(a) Déterminer la valeur numérique de di. Commenter la valeur obtenue.

(b) Quelle serait la masse excédentaire Am adsorbée sur toute la surface de 
l'étalon de
platine, si le fluide adsorbé a une densité de 10° kg.m *? On prendra une 
surface
totale Sext = 70 cm.

1.2 Comparaison des effets

12. Parmi les effets étudiés précédemment, quels sont ceux qui contribuent le 
plus à l'incertitude
des étalonnages de masses ? Lesquels peuvent être « facilement » corrigés ?

II Effet Hall et mesures

II.1 Principe

On s'intéresse à un gaz bidimensionnel d'électrons libres que l'on fabrique à 
l'interface entre
deux semiconducteurs de surface carrée de côté L. Le gaz d'électrons a une 
densité surfacique
N, = 8 x 10° m *. On place une sonde de même dimension que le gaz au niveau de 
cette

--
interface, dans un champ magnétique uniforme perpendiculaire au plan (Oxy) : Bo 
= Bo ei. On

--
note E (Cr) -- E,(T) e? + E, (T°) ey le champ électrique dans ce même plan. On 
fait circuler
un courant dans cette sonde et on suppose que les électrons dans le plan sont 
soumis à l'action

--
de la force de Lorentz et d'une force de frottement f -- mm v /T où T désigne 
un temps de
collision moyen et m* = 0,07 m, où m, est la masse de l'électron. Dans tous les 
calculs, la masse
de l'électron est remplacée par sa masse m* dite effective.

13. Écrire le principe fondamental de la dynamique appliqué à un électron, et 
montrer que la
solution en régime permanent peut se mettre sous la forme matricielle :

(5) _ (ee 7) ()
18y Oyx  Ouy Ey
où ©;; représente les composantes de la matrice conductivité et où js est la 
densité surfa-

cique de courant qui parcourt le gaz d'électrons bidimensionnel. Exprimer les 
composantes
.  . . . eBo
de la matrice conductivité en fonction de la pulsation cyclotron we -- ---- > 0 
et de
m
N4 e?T

OQ -- x

14. Quelle est la signification physique de 0 ?

Lors d'une mesure d'effet Hall, on observe seulement un courant qui circule, en 
régime perma-
. | s" --
nent, dans la direction Ox en présence d'un champ Bo = Bo EURe;. On mesure la 
tension transversale
Vy à l'aide d'un voltmètre d'impédance d'entrée infinie.
15. Expliquer brièvement l'origine de la tension transversale Vy.

16. Définir l'impédance d'entrée. Pourquoi doit-on avoir une impédance d'entrée 
du voltmètre
« très grande » ?
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©,
Bo
L I
. Q
A y
Le
L x

F1G. 2 - Représentation dans le plan (Oxy) du gaz d'électrons (carré grisé).

17. Établir la relation entre js, et F,, en régime permanent en fonction de o6, 
we et Tr (effet
Hall).

18. En déduire l'expression de la résistance de Hall définie par : Rx = Vx/I en 
fonction de e,
Bo et Nk.

On polarise une sonde à effet Hall avec une densité surfacique de courant 
limitée à cause des
problèmes d'échauffement à js = 200 A.m !.

19. Exprimer la sensibilité de la sonde de Hall définie par s = ÔVx/0B en 
fonction de L, N,,
js ete.
20. Calculer la valeur numérique de s pour L = 5 pm.

21. L'imperfection des appareils limite la précision de la mesure de la tension 
de Hall à +1 nV.
Quel est le champ minimal que l'on peut mesurer à l'aide de la sonde précédente 
?

II2 Application à la mesure de courant

Dans cette partie, nous utilisons un capteur à effet Hall pour obtenir une 
tension image d'un
courant à étudier.

On représente une structure possible sur la figure ci-dessous. Le système est 
constitué d'un
matériau ferromagnétique doux de splitéabilité relative u., de longueur L et de 
section Sf et d'un
bobinage de N spires parcouru par un courant d'intensité i(t) entourant le 
circuit magnétique.
L'entrefer a une longueur £ et une section S.. Hormis dans les trois dernières 
questions de cette
partie, on néglige toutes les pertes.

| entrefer

F1G. 3 -- Schéma simplifié de la structure.

--
22. Définir l'excitation magnétique H.

23. Définir l'ARQS magnétique. Que deviennent les équations de Maxwell dans 
cette approxi-
mation ?

24. Quelle est la caractéristique principale d'un milieu ferromagnétique doux ? 
Donner un ordre
de grandeur de y; pour ces milieux en précisant le milieu.
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25. Qu'appelle-t-on l'approximation linéaire des ferromagnétiques doux ? En 
déduire la rela-
tion entre le champ magnétique dans le matériau ferromagnétique, noté Br, et 
l'excitation
magnétique Hf.

La résolution numérique des équations issues de l'étude de l'association du 
matériau ferro-
magnétique et du bobinage permet de tracer les lignes de champ (figure 4).

2.560e-003 : >2.695e-003
2.426e-003 : 2.560e-003
2.291e-003 : 2.426e-003
2.156e-003 : 2.291e-003
2.021e-003 : 2.156e-003
1.887e-003 : 2.021e-003
1.752e-003 : 1.887e-003
1.617e-003 ; 1.752e-003
1.482e-003 : 1.61 78-003
1.348e-003 : 1.482e-003
1.213e-003 : 1.348e-003
1.078e-003 : 1.21 3e-003
9,433e-004 : 1.078e-003
8.086e-004 : 9.433e-004
6.738e-004 : 8.086e-004
5.390e-004 : 6.738e-004
4.043e-004 : 5.390e-004
2.695e-004 : 4.043e-004
1.348e-004 : 2.695e-004
<0.0006+000 : 1.348e-004 Density Plot: |B|, Tesla FIG. 4 -- Lignes de champ obtenues par résolution numérique. 26. À quelle condition géométrique peut-on considérer que les lignes de champ restent parallèles entre elles dans l'entrefer ? On supposera cette condition vérifiée dans tout le sujet. 27. D'après la figure, que peut-on dire du flux magnétique ? 28. Montrer que le champ magnétique B, dans l'entrefer vérifie la relation B, = a avec a une constante à déterminer en fonction de 54, Sr, L, Lo, N, £ et ju. 29. On place maintenant un capteur à effet Hall dans l'entrefer. En fixant le plus précisé- ment possible un courant d'intensité I continu, montrer que l'on récupère une tension VH proportionnelle à l'intensité (4). Déterminer le coefficient de proportionnalité. On s'intéresse maintenant aux pertes fer. 30. Quels sont les deux phénomènes associés aux pertes fer ? On détaillera l'origine de chaque perte. Quel autre type de perte existe dans ce système ? 31. En pratique, comme règle empirique, on considère que les pertes fer sont minimisées si le produit N x à x f (N est le nombre de spires du bobinage, f la fréquence du courant d'intensité i(t)) est le plus faible possible. Justifier cette règle empirique. 32. Pourquoi doit-on alors être vigilant lorsqu'on utilise ce type de capteur avec un courant d'intensité 4(t) périodique non-sinusoïdal quelconque même de faible amplitude ? II3 Mesure expérimentale Pour des raisons pratiques, les mesures de précision sont faites à de basses températures (cf prochaine partie). On donne ci-dessous le résultat expérimental de la mesure de la résistance Hall Rx d'un gaz d'électrons d'un échantillon GaAs/AlGaAs en fonction du champ magnétique appliqué à une température de 0,1 K. X/ENS Physique PSI 2020 -- Énoncé R, (KQ) FIG. 5 --- Mesure expérimentale de la résistance Hall Rx d'un gaz d'électrons d'un échantillon GaAs/AIlGaAs en fonction du champ magnétique B à une température de 0,1 K. 33. D'après les résultats de la partie IL.1, quelle courbe attend-on ? Commenter la courbe obtenue. 34. Retrouver l'ordre de grandeur de la valeur de la charge élémentaire e sachant que le gaz d'électrons a une densité surfacique de Né exp = 8 X 1015 m *. Seule la mécanique quantique peut prédire la courbe obtenue expérimentalement à basse tem- pérature (effet Hall quantique). Elle montre que l'écart de résistance entre deux paliers successifs est une fonction universelle R, de la constante de Planck À et de la charge élémentaire e. 35. Par analyse dimensionnelle, déterminer l'expression de la résistance R, en fonction de À et de e. En déduire sa valeur numérique. La constante multiplicative sans dimension est prise égale à 1. 36. Expliquer l'intérêt d'utiliser l'effet Hall quantique pour définir un étalon de résistance. III Bruit de mesure Lorsqu'on cherche à faire des mesures de précision, il faut prendre en compte les fluctuations plus ou moins importantes du signal étudié. Ces fluctuations, dont les origines peuvent être diverses, sont appelées bruit. On peut citer par exemple les parasites audios dans un récepteur radio ou le bruit de souffle à la sortie d'un amplificateur. Un signal n'est jamais sans bruit mais ce bruit peut être plus ou moins important. Si celui-ci est très faible par rapport au signal, il devient « invisible à l'oscilloscope ». On s'intéresse ici au bruit thermique généré par une résistance électrique R. On note b(t) le bruit généré par cette résistance. Les fluctuations étant aléatoires, il est clair qu'en moyenne b(t) est aussi souvent positive que négative: sa valeur moyenne est nulle. Par contre, sa valeur efficace ne l'est pas. L'information contenue dans le bruit est mesurée grâce à la densité spectrale SL(f) qui représente le spectre du bruit en fonction de la fréquence. L'origine du bruit thermique d'une résistance réside dans les fluctuations de la vitesse dans les conducteurs électriques. On se propose de déterminer l'expression de S,(f) et de la relier à la tension efficace du bruit générée par une résistance électrique. X/ENS Physique PSI 2020 -- Énoncé III.1 Bruit et vitesse dans les conducteurs On considère un conducteur à l'équilibre thermodynamique à la température T dans lequel se déplacent des électrons à la vitesse (4) -- v(t) e2. Les porteurs de charge sont soumis à une *k -- force de frottement f = -7 v(t) eÀ. avec m° -- 0,07m. où m,. est la masse de l'électron, qui -- freine leur mouvement et à une force aléatoire f, = m*b(t) eZ où b(t) le bruit étudié. Sauf dans la partie IIT.2, on ne considérera que ces forces par la suite. 37. Écrire l'équation différentielle vérifiée par la vitesse u(t) d'un électron de masse effective mm. 38. En déduire que la solution de cette équation vérifiant v(0) = vo est u(é) = vpe --*/70 + [ exp ( = =) b(u) du 0 TO 39. Identifier le terme du régime transitoire. Quelle est la durée At de ce régime ? Dans toute la suite, on considérera que le régime transitoire est négligeable, c'est-à-dire pour L > TO:

I11.1.1 Bruit blanc

On s'intéresse maintenant à un bruit dont le spectre est constant quelle que 
soit la fréquence.
On parle alors de bruit blanc (par analogie avec la lumière blanche). b(t) est 
alors caractérisé par
les relations suivantes :

(b(t)) = 0 et CT) = (b(t)b(t +T)) = Tô(7)

où l'est une constante, 0(7) est la fonction impulsion (définition et 
propriétés données en annexe).
Pour les signaux considérés, CL(T) ne dépend pas du temps t et (..) est la 
valeur moyenne
temporelle définie par

1 to+To/2
Chr) = lim -- dt b(t)b(t +7)
To--oo To to--To/2

La densité spectrale associée à ce bruit est définie par
+00 |
SL(f) = | dre 2iTiT Ci(r)
-- OO

40. Par le calcul de S;(f) et des relations fournies dans le formulaire, 
montrer que l'expression
de CL(T) est cohérente avec la définition d'un bruit blanc.

41. Quel commentaire peut-on faire entre l'élargissement temporel de C; (7) et 
celui fréquentiel
de Sp(f) ? Citer un autre phénomène où cette propriété apparaît.

II1.1.2 Densité spectrale de la vitesse des électrons

42. D'après l'expression obtenue de v(t), calculer {v(t)). On supposera qu'on 
peut intervertir
les intégrales et la moyenne temporelle.

On cherche à trouver un lien entre le facteur Let d'autres paramètres physiques 
du problème.

43. Montrer que pour t > To, (v*(t)) = lr/2. On pourra s'aider du formulaire et 
d'un
changement de variable w' = u + T7 dans une des intégrales pour se ramener à la 
définition
du bruit blanc de l'énoncé.
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44. On peut montrer que la relation entre l'énergie cinétique moyenne d'une 
particule dans un
gaz parfait et l'agitation thermique reste valable en ordre de grandeur pour 
les électrons.
En déduire la relation qui existe entre [', m*, To, la température T et la 
constante de
Boltzmann kB.

De la même façon, on peut montrer que pour & > To,

Car) = (u(t)u(t + r)) = He exp _

La densité spectrale de la vitesse $,(f) est reliée à C,;(T) de la même façon 
que S(f) et CL(T).

TO

45. Déterminer l'expression littérale de S,(f).
46. Tracer alors le diagramme de Bode 20 logS, = F(log f) pour f > 0.
47. En déduire la fréquence de coupure f4 et que pour f & fc, Su(f) = 2k8Tro/m*.

48. Sachant que 7 < 10 ns, la condition f < f. est-elle en général vérifiée en TP? On supposera cette condition vérifiée par la suite. III.2 Bruit dans une résistance On considère le même gaz d'électrons bidimensionnel de densité surfacique N,, étudié dans -- la partie IT, soumis aux forces f et f, ainsi qu'à l'action du champ électrique E -- E EUR. En moyenne, la conductivité surfacique de ce gaz est N.e?To Os m* 49. En déduire l'expression de la résistance Ro = U/L. On peut montrer que la différence de potentiel V(t) se met sous la forme N Re À 0 VO = DV = LS uit i=1l i=1l où v,; est la vitesse de l'électron 2 et N le nombre total d'électrons contenus dans le gaz. 50. Exprimer la densité spectrale de la quantité V;(t), notée Svy,(f) en fonction de la densité spectrale de la vitesse S,(f) trouvée précédemment. 51. On admet que Sy(f) = NSv,(f). Déduire de cette relation et de la question précédente, la relation de Johnson Nyquist Sy(f) = 2kpT Ro Commenter l'intérêt de travailler à des basses températures lors de mesures de précision. 52. La tension efficace du bruit est donnée par Up = V/Sv(f) Af avec À f la bande passante associée au diagramme de Bode précédent. Pour 7 = 10 ns, estimer la valeur numérique de Uk, pour une résistance de 300 (2 à température ambiante. Commenter. X/ENS Physique PSI 2020 -- Énoncé Formulaire « Fonction » impulsion (ou de Dirac) ô(t): e Ü(t)=osit=0;0(t) =0sit 0 +00 e Pour toute fonction f, | f(t) Ô(t -- to) dt = f(to) +00 e En particulier, | Ô(t--to)dt =1 OO Une intégrale particulière : Constantes usuelles : Aides numériques pour les applications numériques : +00 2 e Pour une fonction f(t) =e-lil, |. ft) er dt -- 1+472f2 e Nombre d'Avogadro: Na = 6,02 x 10% mol !: Constante de Boltzmann: kp = 1,38 x 10% J.K-!{: Masse de l'électron : ma = 9,11 x 10--°1 Kg ; Constante de Planck: k = 6.63 x 107% J.s: Charge élémentaire: e = 1,60 x 107 !° C: Perméabilité du vide: 0 = 4m x 1077 Him !. 61/3 |10-% | In3 | 107-285 Valeur approchée | 2 0,02 1 15x10 10 Fin de l'épreuve