X/ENS Physique PSI 2024

ECOLES NORMALES SUPERIEURES
ECOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2024

MERCREDI 17 AVRIL 2024
08h00 - 12h00

FILIERE PSI - Epreuve n° 4

PHYSIQUE (XSR)

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve

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25

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kxkx DÉBUT DU SUJET xxx

Expériences de physique à bord de l'ISS

Depuis sa mise sur orbite, la Station Spatiale Internationale (ISS) abrite des 
modules-laboratoires
permettant de réaliser des expériences de pointe dans l'espace et en 
microgravité. L'ISS étant le fruit
d'une coopération internationale, elle comporte plusieurs modules : le 
laboratoire européen Columbus,
le module américain Destiny, le module japonais K100, et le module russe Nauka. 
Depuis son lancement,
plus de 3000 expériences ont été réalisées à bord allant de la physiologie à la 
physique fondamentale, en
passant par la science des matériaux, la physique des fluides et 
l'astrophysique. Chaque mission réalisée
par les spationautes comporte son programme scientifique et de recherche. Nous 
nous intéressons dans
ce sujet à quelques expériences qui ont été conduites dans l'ISS lors des dix 
dernières années. Certaines
expériences et certaines modélisations qui sont décrites dans ce sujet ne font 
pas directement appel à
une situation de microgravité.

> Les applications numériques seront effectuées avec la précision qu'un calcul 
à la main permet
aisément, et (sauf mention contraire) sans excéder deux chiffres significatifs. 
Les ordres de gran-
deur seront donnés avec un seul chiffre significatif. Les données numériques 
ont été choisies pour
rendre aisés les calculs.

> Les références des questions abordées devront être indiquées de façon claire.

> Le sujet comporte douze pages : les trois parties constituant ce sujet sont 
indépendantes et peuvent
être traitées séparément.

Notations, formulaire et données numériques.

e En coordonnées cylindriques, l'opérateur gradient appliqué à une fonction 
scalaire g s'écrit

_ Ôr
e Viscosité dynamique de l'air : 9 -- 1,8 x 10° Pa.s

e Masse volumique de l'air : pa = 1,2 kg.m *

e Conductivité thermique de l'air : & = 2,4x 102? W.K=_!m !

e Capacité thermique massique de l'air à pression constante : EUR, = 1,0 x 10 
J.K-!ke |

e Masse volumique de l'eau : p = 1,0 x 10% kg.m *

e Accélération de la pesanteur terrestre : 9 =9.8m.s *

e Masse volumique de l'aluminium : p = 2,7 x 10° kg.m *
e Module de YOUNG de l'aluminium : E = 6,9 x 10! GPa
e Coefficient de POISSON de l'aluminium : v = 3,3 x 10!
e Masse d'un atome de rubidium : M = 1,4 x 10 * kg
e Largeur radiative : l'/27 = 6,0 MHz

e Longueur d'onde du laser : À = 8,0 x 10° nm

e Célérité de la lumière dans le vide : c = 3,0 x 10° m.s_!
e Charge élémentaire : e = 1,6 x 10°C

e Taille typique d'un atome : R = 10m

e Masse de l'électron : m = 9,1 x 10 1 kg

e Permittivité du vide : eo = 8.9 x10-l2Fm !

e Constante de BOLTZMANN : kp = 1,4 x 107% J.K- 1

e Constante de PLANCK : h = 6,6 x 107% J.s

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I Mouvement d'une goutte d'eau autour d'une aiguille

En 2012, l'astronaute américain Don PETTIT réalise à bord de l'ISS l'expérience 
suivante : il frotte
une aiguille à tricoter en nylon avec une feuille de papier, ce qui a pour 
effet de charger l'aiguille
supposée infiniment fine avec une densité linéique de charge À < 0 considérée constante et uniforme. Dans le même temps, il crée au voisinage de l'aiguille une goutte d'eau de masse m et de rayon kR = 2mm à laquelle il donne une charge q > 0. Il constate que la goutte se met 
en orbite autour de
l'aiguille, avec une pseudo-période de l'ordre de 3s à une distance de 
l'aiguille de l'ordre de 1 cm. Le
mouvement dure jusqu'à ce que la goutte s'écrase sur l'aiguille.

FIGURE 1 -- Expérience de D. Pettit. La flèche grisée indique une rotation de 
la goutte autour de l'axe de l'aiguille.

Pour décrire cette situation, on se place dans un repère orthonormé muni des 
coordonnées cylindriques
(O, EUR, ep, e,), l'axe OZ étant confondu avec l'axe de l'aiguille. La position 
de la goutte, supposée
ponctuelle, est repérée à tout instant par le point Mr, 6, 2).

IA Champ et potentiel électrostatiques produits par l'aiguille

1. En assimilant l'aiguille à un fil infini, établir l'expression du champ 
électrostatique É(M) produit
par l'aiguille en fonction de À, EUR et r.

2. En déduire, à une constante additive près, le potentiel électrostatique V(M) 
produit par l'aiguille.

I.B Étude du mouvement de la goutte

Dans un premier temps, on néglige les frottements de l'air sur la goutte, 
supposée de masse
constante. Initialement, r(0) = ro, z(0) = 0, w (0) = vo 69.

3. Justifier que le mouvement est plan. En utilisant le théorème du moment 
cinétique, déterminer

l'expression de Ô -- d en fonction de 7, ro et Vo.

4. Montrer que l'énergie mécanique de la goutte peut s'exprimer sous la forme 
suivante :

1.
Em = LU + Ep,efr (r) , (1)

a dr
Où Ep, ef (T) = 52 + Blnr et r -- --. On explicitera les constantes positives à 
et 5 en fonction

dt
de £o, M, To, Vo, q et À.

5. 'Tracer, en la justifiant, l'allure de l'énergie potentielle effective r + 
E,, eæ(r). Conclure sur la
nature des mouvements possibles de la goutte et sur l'existence d'états de 
diffusion.

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6. On s'intéresse au cas d'un mouvement circulaire de rayon ro. Établir 
l'expression de la vitesse
de la goutte autour de l'aiguille en fonction de q, À, m et EURo, 
indépendamment de ro. Conclure
sur la stabilité de la trajectoire.

dz

= qt-0 non

La vitesse initiale de la goutte est maintenant (0) = vo ep + £(0)EUR,, avec 
2(0)

nulle.

7. Décrire le mouvement. On constate que si Z(0) n'est < pas trop grand >, la 
goutte arrivée au
bout de l'aiguille peut effectuer des allers-retours le long de l'aiguille. 
Expliquer cette observation
et préciser ce que signifie « pas trop grand > dans ce contexte.

IC Prise en compte des frottements de l'air

Du fait des frottements de l'air sur la goutte, on observe que celle-ci finit 
par s'écraser sur l'aiguille
au bout de plusieurs dizaines de secondes, après avoir effectué un certain 
nombre de tours. Pour
simplifier, on suppose que la trajectoire de la goutte reste quasi-circulaire à 
tout instant, r(0) = ro
et 2(0) = 0. Afin de modéliser l'influence des frottements sur le mouvement de 
la goutte, on propose
deux expressions de force différentes, données ci-dessous :

x l'une proportionnelle à la vitesse, F. -- _k, 0 avec k1 = 6x nR :

1
x l'autre proportionnelle au carré de la vitesse, Fo = Hd || v avec k = 2 Par 
R?.

La viscosité dynamique de l'air est notée 7 et p, désigne la masse volumique de 
l'air.

8. Rappeler la définition et l'interprétation du nombre de REYNOLDS. Par un 
calcul d'ordre de
grandeur, préciser et justifier le choix de la force de frottement.

9. On réalise l'approximation suivante : la trajectoire est considérée comme 
localement circulaire,
c'est-à-dire que sur un tour, r(t) & cste. En déduire que v est une constante 
et donner son
expression en fonction de q, À, EURo et m.

10. La goutte tend tout de même à s'écraser sur l'aiguille à cause de la force 
de frottement. Exprimer
la puissance instantanée, notée P, cédée par cette force à la goutte d'eau. Par 
un bilan d'énergie
mécanique, montrer que le rayon de la trajectoire obéit à l'équation 
différentielle

dr T

dr (2)

T

où 7 est une grandeur à exprimer en fonction de k1 ou k2, et m.

11. En déduire la loi d'évolution r(t). Évaluer numériquement la durée de chute 
de la goutte et
commenter le résultat.

12. Calculer la variation relative de rayon au début de la trajectoire lorsque 
la goutte a effectué un
tour autour de l'aiguille. Commenter la validité de l'approximation réalisée à 
la question 9.

13. On examine dans cette question la faisabilité de cette expérience sur 
Terre. Dans le cas du
mouvement circulaire étudié précédemment, comparer en norme la force exercée 
par l'aiguille
sur la goutte au poids que subiraiït la goutte sur Terre. Conclure quant à la 
faisabilité de cette
expérience sur Terre.

II Motifs de vibration sur une plaque : figures de Chladni

Lorsque l'on fait vibrer une plaque sur laquelle on place des particules comme 
du sel ou du sable,
on observe des endroits où elle ne vibre pas et d'autres où, au contraire, les 
vibrations sont fortes.

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Ceci entraine une agglomération de particules dans les lieux non vibrants, 
faisant émerger des formes
baptisées figures de CHLADNI, en hommage au physicien E. CHLADNI qui les a 
découvertes en 1787.
Ces figures dépendent en particulier de la fréquence de vibration, de la forme 
et des dimensions de la
plaque choisie. Lors de sa dernière mission dans la Station Spatiale 
Internationale, Thomas PESQUET a
eu l'occasion de revisiter cette expérience en trois dimensions, en plaçant 
dans un tube des particules et
en les soumettant à des ondes ultrasonores, en l'absence de gravité. Cette 
expérience a été réalisée grâce
au démonstrateur technologique TetrISS et sur proposition d'un groupe 
d'étudiants ayant participé
au concours « Génération ISS >.

On étudie dans cette partie l'expérience historique de CHLADNI.

ITI.A Propagation d'ondes acoustiques dans les solides

La propagation des ondes acoustiques dans les solides peut être décrite par un 
modèle permettant
d'exprimer la célérité des ondes en fonction de grandeurs physiques 
mésoscopiques, à savoir la masse
volumique et le module de YOUNG. Le module de YOUNG, noté Æ, est défini à 
partir de la loi de
HOOKE, exprimant la norme de la force élémentaire 0 F à appliquer à une portion 
de solide de surface
élémentaire dS pour créer un allongement relatif 06/0x dans la direction x, 
orthogonalement à dS :

OÉ

F=E--dS.
Ô Sr d°

Dans cette loi, £ représente le déplacement de la surface dS' par rapport à sa 
position d'équilibre.

(3)

On propose de retrouver l'équation (3) en effectuant un raisonnement à 
l'échelle microscopique.
Considérons un modèle simplifié dans lequel tous les atomes sont disposés sur 
les noeuds d'un réseau
cubique. On note ro la distance entre atomes au repos et ÔN le nombre de 
liaisons traversant une section
droite d'aire dS normale à la force mésoscopique appliquée. On suppose que la 
force de résistance à
la traction microscopique de chaque liaison, faiblement étirée de ro à r, peut 
être modélisée par un

rappel élastique de la forme k(r -- ro) avec k la constante de raideur de la 
liaison exprimée en N.m°f.

12

k n as
CAM'aS ES PVO

0F

FIGURE 2 -- Modélisation microscopique des liaisons entre atomes dans un réseau 
cubique.

14. Exprimer ON en fonction de dS et ro. Déterminer l'expression de la force 
ÔF' et en déduire

l'expression du module de YOUNG E en fonction des paramètres microscopiques k 
et ro.

15. Donner un ordre de grandeur du paramètre de maille d'un métal. Pour une 
liaison métallique
pure, on donne k EUR [15,40] N.m !. En déduire une estimation numérique de E. 
Comparer à la

valeur tabulée de l'aluminium.

On étudie dans la suite la propagation d'une onde acoustique dans un solide de 
masse volumique p,
de module de YOUNG FE, de longueur L et de section $ uniforme, dans le 
référentiel terrestre supposé
galiléen. On considère une fine tranche initialement comprise entre les 
surfaces d'abscisses x et x + dx.
À un instant { quelconque, ces surfaces sont respectivement situées en #+£(x,t) 
et x+dr+£(x+d, t).
Les déformations sont supposées suffisamment petites pour pouvoir se limiter à 
l'ordre le plus bas non
nul en la perturbation £(x,t).

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LA La
La La
LA L4
# LA
mn --{S
l (l

nn

0 L  Y
/ x + dx + E(x + dx,t)
t + é(æ,t)

FIGURE 3 -- Propagation d'une onde dans un solide de masse volumique p et de 
module de Young E. La
partie grisée du solide représente la portion du solide comprise entre les 
abscisses x + £(x,t) et x + dx + £(x + dx,t).

16. Justifier que la largeur de la tranche à l'instant { reste 
approximativement égale à dx, puis
déterminer la résultante des forces exercées sur la tranche considérée de la 
part des tranches
adjacentes.

17. Montrer que la perturbation £(x,t) obéit à l'équation de D'ALEMBERT. 
Exprimer la célérité c
130 associée en fonction de E et p, et vérifier sa dimension.

18. Calculer numériquement c dans le cas de l'aluminium.

IIB Vibration d'une plaque en flexion pure

Dans un second modèle, on propose de modéliser les vibrations de la plaque dans 
l'expérience de
CHLADNI par des déformations en flexion. Selon la théorie des plaques minces de 
KIRCHHOFF-LOVE,
le déplacement vertical z(x,y,t) de la plaque est régi par l'équation suivante

DA(Az) + 97 Lo (4)
Z -- =0.
or
Dans cette équation, À représente l'opérateur laplacien et A(Az) est donc le 
laplacien du laplacien
du champ z. Par ailleurs, p désigne la masse volumique, À l'épaisseur de la 
plaque et D la rigidité en
flexion de la plaque, elle-même définie par

ER

DE Da: (5)

avec v, un coefficient sans dimension, appelé coefficient de POISSON. Lorsqu'un 
effort est appliqué dans
une direction, le matériau peut se déformer selon d'autres directions. Le 
coefficient de POISSON d'un

135 matériau est donc défini comme le rapport du rétrécissement relatif dans 
une direction orthogonale à
l'effort (compté positivement si le matériau est effectivement rétréci) sur 
l'allongement relatif dans la
direction de l'effort.

Considérons un matériau isotrope, de forme cubique, de côté £ et de volume V. 
On l'allonge d'une
quantité 00 = El (avec |£| 1 ) selon l'une de ses directions principales. Son 
volume augmente alors
140 d'une quantité OV.

19. Pour de petites déformations, montrer que la variation relative de volume 
s'écrit

o

7 -- E(1 -- 2v). (6)

En déduire la valeur de v pour un matériau parfaitement incompressible.

On cherche une solution de l'équation des ondes de flexion de type onde plane 
progressive harmo-
nique, de pulsation w et de vecteur d'onde K = Kü avec à un vecteur unitaire 
dans le plan (xy).

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20. Déterminer la relation de dispersion w = f(K), puis les vitesses de phase 
vw, et de groupe v, de
ces ondes en fonction de w, D, p et h. Expliquer, en justifiant, si les ondes 
se propagent avec ou
sans dispersion, avec ou sans atténuation.

On suppose que la plaque est carrée de côté a. Afin de tenir compte de la 
présence des bords, on
propose la solution suivante :

2(x,y,t) = Asin(K,7 + x) Sin(Kyy + y) sin(wt) . (7)

Dans le cas d'une plaque simplement supportée sur tous ses bords, il faut 
imposer un déplacement
vertical nul sur tous les bords de la plaque.

21. Établir l'expression mathématique de K, et K,, et montrer que ces grandeurs 
sont quantifiées
par des entiers naturels, notés respectivement m et n. En déduire les 
pulsations propres wymn en
fonction de E, p,v,h,a,m et n.

II.C Comparaison avec les résultats expérimentaux

fi = 629,8 Hz f> = 1 022,8 Hz fs = 1 240, 2 Hz fi = 1 368,3 Hz fs = 1 795,4 Hz 
f6 = 2 212,2 Hz

7 = 2 435,0 Hz fs = 2 743,8 Hz

FIGURE 4 -- Figures de Chladni observées avec la plaque d'épaisseur 1 -- 1 mm. 
Pour chaque mode de
résonance (un motif spatial), on précise la fréquence f; associée, avec à = 
1,..., 12. Source : The Journal of the Acoustical
Society of America 137 (2015).

On cherche à confronter les modèles théoriques précédents à l'expérience. On 
dispose de trois
plaques carrées en aluminium, de côté a = 24,0 cm et d'épaisseurs respectives 
h1 = 1 mm, h2 = 2 mm
et h3 = 5 mm. On visse la plaque d'épaisseur h1 en son centre à une tige 
métallique. Après avoir
saupoudré la plaque de billes de silice de diamètre 0,3 mm, on la place sous 
une cloche à vide et on
impose à la tige un mouvement vertical sinusoïdal, dont l'amplitude et la 
fréquence sont contrôlées
via un générateur de tension. Pour certaines fréquences particulières, notées 
j;, où 2 est un entier
naturel, on observe des figures de CHLADNI sur la plaque. La figure 4 illustre 
certains motifs observés
expérimentalement.

22. Pour une onde stationnaire harmonique (monochromatique) solution de 
l'équation de D'ALEM-
BERT,, rappeler l'expression de la distance entre deux noeuds de vibration 
consécutifs en fonction
de la longueur d'onde À. En estimant numériquement l'écart moyen entre deux 
lignes nodales
voisines sur l'une des photos de la figure 4, montrer que le modèle décrit dans 
la sous-partie IT. A
est à exclure.

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On considère à présent le modèle de vibration en flexion. On cherche à tester 
la validité de la
relation de dispersion obtenue à la question 20.

On étudie tout d'abord l'influence de l'épaisseur h, pour une valeur de K 
fixée. On reporte dans le
tableau ci-après les fréquences qu'il a fallu imposer pour obtenir la même 
figure de CHLADNI représentée
170 en haut à gauche sur la figure 4, pour chacune des plaques.

Épaisseur de la plaque || hi = 1 mm | h2 = 2 mm | h3 = 5 mm
f1 (H) 630 1 300 3 200

TABLEAU 1 -- Influence de l'épaisseur de la plaque sur la fréquence d'un mode 
donné.

23. Analyser la cohérence des résultats avec le modèle. Expliquer les origines 
des éventuels écarts
au modèle.

K,=136a ! K=--16,16a ! K3=18,2a ! Ki = 19,5 O --<21,3a ! 2 -- 23,9 % = dr D "2"LHLE LR PTS SO! LAON EX, K:=325,6a ! Ke = 26,4a ! Ko=27,4a ! K10 = 29, ee K1 = 31, 7 a Kp=331a IKC EE Su ss FIGURE 5 -- Valeurs de K; correspondant aux modes associés aux figures de Chladni illustrées sur la figure 4. Les motifs représentés sur la figure sont issus de simulations numériques. Source : The Journal of the Acoustical Society of America 137 (2015). On étudie à présent l'influence de K, pour une épaisseur de la plaque fixée, avec h = h1 = 1 mm. Les conditions aux limites n'étant pas celles d'une plaque simplement supportée (les bords sont libres 5 _ de vibrer), les expressions de X, et K,, sont plus complexes que celles obtenues à la question 21. Par des simulations numériques non décrites dans ce sujet, il est toutefois possible de remonter aux valeurs -- 1 de K;, associées à chacun des modes présentés sur la figure 4, et exprimées en fonction de a sur la figure 5. On reporte les résultats expérimentaux obtenus sur la figure 6. 24. Comparer quantitativement l'ajustement tiré des résultats expérimentaux de la figure 6 et la 180 relation de dispersion trouvée à la question 20. Conclure. L'expérience embarquée à bord de l'ISS à pour but d'observer des figures de CHLADNI en trois dimensions, en l'absence de gravité. Deux émetteurs à ultrasons de fréquence 40 kHz permettent de générer des ondes stationnaires dans un tube, et des billes en acier placées à l'intérieur sont susceptibles de s'immobiliser sur les noeuds de vibration. Un moteur pas à pas permet de faire varier la distance 185 entre les émetteurs, modifiant ainsi les figures observées. 25. Proposer une hypothèse permettant d'assurer que l'agitation thermique de l'air ne va pas per- turber l'observation d'une figure de CHLADNI dans ce cas de figure. -- Page 7/12 - 190 195 200 210 5000 t -- Ajustement / (&) = 0.222K° 4000 | M Mesures 3000 f (H) 2000 + 1000 + 0 1 1 ñ 1 i 1 1 l 1 1 n 1 " 0 20 40 60 80 100 120 140 160 K (m) FIGURE 6 -- Évolution de la fréquence }; des modes de résonance en fonction du nombre d'onde K;. L'ajustement en traits pleins a pour équation f(K) -- 0,222 K°. Source : The Journal of the Acoustical Society of America 137 (2015). 26. Rappeler l'ordre de grandeur de la célérité du son dans l'air dans les conditions usuelles de température et de pression. En supposant des transferts thermiques purement conductifs, vérifier la validité de l'hypothèse précédente à partir d'un raisonnement en ordre de grandeur. III Ralentissement de la matière et condensation de Bose-Einstein À partir des travaux théoriques de BOSE et EINSTEIN, qui avaient prédit un nouvel état de la matière, la réalisation expérimentale du premier condensat de BOSE-EINSTEIN a eu lieu en 1995 et a été récompensée par le prix Nobel en 2001, décerné aux physiciens E. CORNELL, C. WIEMAN et W. KETTERLE. Parmi les expériences de physique fondamentale réalisées à bord de l'ISS, dans le Cold Atom Laboratory mis en service en 2018, le premier condensat de BOSE-EINSTEIN dans un environnement de microgravité a pu être obtenu en Juin 2020. L'avantage de la microgravité est de permettre de maintenir le condensat en suspension pendant une à quelques secondes, la durée de vie du condensat sur Terre étant beaucoup plus courte en raison de la gravité. Cette première technologique a donné lieu à une publication dans la revue Nature, Observation of Bose-Eïinstein condensates in an Earth-orbiting research lab", David. C. Aveline et al. , Nature 582, 193-197 (2020). La réalisation d'états particuliers de la matière, comme les condensats de BOSE-EINSTEIN, nécessite de se placer dans des conditions où la nature quantique des particules apparaît, et notamment de ralen- tir et de refroidir la matière. Dans cette partie, on désire mettre en évidence les différents effets respon- sables du ralentissement d'atomes neutres. On étudie en particulier les atomes de Rubidium pour les applications numériques. Cette partie est constituée de trois sous-parties relativement indépendantes : l'une traite du modèle de l'électron élastiquement lié, la deuxième des forces radiatives responsables du ralentissement, et enfin la dernière, de la prise en compte de l'effet DOPPLER dans le ralentissement d'atomes. Dans toute cette partie, on se place dans un référentiel supposé galiléen, muni d'un repère cartésien (O, EUR, EURy, EUR). Un point M de l'espace est repéré à tout instant par les coordonnées (x, y, 2). -- Page 8/12 - 215 220 225 230 235 ITIA Modèle de l'électron élastiquement lié Comprendre l'origine et la forme des raies spectrales d'une source lumineuse nécessite l'élaboration de la physique quantique. Cependant, certains modèles classiques furent mis en place dès la découverte de l'électron. Ce premier modèle permet par la suite de comprendre l'interaction d'une onde avec la matière dans le but de ralentir des atomes. Dans le modèle de J.J. THOMSON, l'électron se déplace dans une boule uniformément chargée de densité volumique de charge p, de rayon R et de charge totale q = e : on parle du modèle de l'électron élastiquement lié. On note O le barycentre des charges positives de l'atome, confondu avec le centre de la boule chargée, et M le point matérialisant la position de l'électron qui se déplace à l'intérieur de celle-ci. À Z M T Y FIGURE 7 -- Modèle de Thomson : schéma en coupe dans le plan (xOz). La partie grisée représente la densité volumique de charge p positive. On propose ici de déterminer l'expression de la force s'exerçant sur l'électron en l'absence de forces extérieures à l'atome. On note 7/(t) = OM(#) le vecteur position de l'électron en fonction du temps. 27. En utilisant le théorème de GAUSS, déterminer l'expression du champ électrique É(M) à une distance r < À. En déduire que la force électrique subie par l'électron peut s'écrire sous la forme d'une force de rappel élastique de longueur à vide nulle et de constante de raideur k, dont l'expression sera donnée en fonction de e, EURp et À. 28. On suppose qu'à t = 0 l'électron se situe à une distance ro du centre O, barycentre des charges positives, et sans vitesse initiale. En l'absence de toute autre force, montrer que r(t) = ro cos(wot). On donnera l'expression de la pulsation propre wo. 29. Dans ce modèle, on admet que le mouvement de l'électron engendre une onde électromagnétique, à l'origine des raies spectrales de l'atome. Donner un ordre de grandeur numérique de la constante de raideur # pour une raie spectrale dans le visible. 30. Exprimer l'énergie mécanique £,, de l'électron à { = 0 et à une date quelconque t£. La théorie classique du rayonnement électromagnétique montre que toute charge accélérée rayonne de l'énergie. Ceci impose que l'électron en mouvement va perdre de l'énergie par émission d'ondes électromagnétiques. La puissance P perdue par rayonnement sur une période est donnée par la formule de LARMOR : Ps (EE ()), (8) ÔTEOC avec (...) la valeur moyenne effectuée sur une période d'oscillation. Afin de prendre en compte l'énergie perdue par rayonnement, on considère que le mouvement de l'électron est décrit par l'expression r(é) = ro(t) cos(wot), avec ro(t) une fonction dépendant du temps. On suppose que la fonction ro(t) -- Page 9/12 - 240 245 250 255 260 265 270 275 a une durée caractéristique de variation très grande devant la période T5 = 27/w0 d'oscillation. On peut donc considérer que l'expression de l'énergie mécanique établie à la question 30 reste valable à un instant t donné. 31. Après avoir exprimé P(t) en fonction de l'énergie mécanique EA(t) et de quantités constantes, établir l'équation différentielle vérifiée par E,(t). 32. En déduire l'expression de la durée caractéristique 7 de variation de l'énergie mécanique. Ex- pliquer pourquoi à est appelé « temps de vie de l'état excité > d'un atome et 
donner un ordre
de grandeur numérique de To.

La perte d'énergie continue due au rayonnement d'ondes électromagnétiques peut 
être modélisée

m

par une force de frottement fluide d'expression F = ----Y, où v est la vitesse 
de la charge accélérée.
TO

On supposera dans la suite que l'électron est également soumis à cette force de 
frottement.

IIIB Interaction lumière-matière

On étudie dans cette section l'interaction lumière-matière entre un laser, 
modélisé par une onde
électromagnétique de pulsation w, et un atome dont la modélisation est 
identique à celle de la sous-
partie ITA. L'onde électromagnétique est supposée plane, harmonique 
(monochromatique), de pulsa-

tion w et caractérisée par un champ électrique et un champ magnétique notés 
respectivement (Fr, t)
et B(F, t).

Dans le cadre du modèle atomique précédent, l'électron est soumis à plusieurs 
forces énumérées
ci-dessous :

x la force de LORENTZ ;

x la force de rappel élastique (établie à la question 27) ;

m
x la force de frottement fluide de la forme F -- 7%, modélisant les pertes par 
rayonnement.
TO
33. Donner la condition permettant de négliger la composante magnétique de la 
force de LORENTZ
devant la composante électrique. On suppose cette condition réalisée dans la 
suite de l'étude.
Justifier que le champ électrique associé au laser peut s'écrire É(P, t) © É 0 
,t) -- É0 cos(wt).

Sous l'effet du champ électrique du laser, un atome (ou une molécule) peut 
acquérir une polarisation,
c'est-à-dire que le barycentre des charges positives, modélisant le noyau, et 
celui des charges négatives,
modélisant le nuage électronique, ne sont plus confondus. On dit que l'atome 
est polarisable. L'atome
acquiert alors un moment dipolaire induit par la sollicitation électrique, noté 
D -- _eT. où 7" est
dirigé du barycentre des charges positives vers celui des charges négatives et 
traduit la distance entre

les deux barycentres.

Le champ électrique du laser étant harmonique, on introduit la représentation 
complexe associée
au champ électrique telle que

É _ E, cut (9)
où i? -- --1. De la même façon, on associe à la position r(t) du nuage 
électronique la grandeur complexe
r(t). On définit le désaccord Ô par la différence entre la pulsation w du laser 
et la pulsation propre
wo du nuage électronique dans le cadre du modèle de l'électron élastiquement 
lié : Ô = w -- wo. Dans
toute la suite, on travaille avec une pulsation du laser proche de la pulsation 
propre, c'est-à-dire au
voisinage de la résonance : |ô| & wo.

84. Établir l'expression complexe de r(t) en fonction de w, wo, e, m et Tn 
notamment. En déduire
l'expression complexe du moment dipolaire induit D.

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_
P

La relation entre le moment dipolaire induit y et le champ électrique 
excitateur du laser É s'écrit

de la manière suivante
D = coa(w)E | (10)

où a(w) est la polarisabilité complexe de l'atome, dépendant de la pulsation w. 
On introduit les parties
réelle a' et imaginaire --a" de la polarisabilité complexe, en notant a(w) = 
&'(w) -- ia"(w).

35. Exprimer la polarisabilité complexe a(w). Montrer que dans le cadre de 
l'approximation [| & wo,
«et a" peuvent se mettre sous la forme suivante :
0 WoÔ 0 wor /2

[= _T t  _a!=T | 11
: 2 G2HI2/4 2 62+ 2/4 di)

On exprimera «0 en fonction de e, m, EURo et wo, et L' en fonction de x.

36. Déterminer la dimension de ag. Proposer une interprétation physique de 
cette grandeur.

À partir des expressions des parties réelle et imaginaire de la polarisabilité 
dynamique a(w), on
peut déduire l'expression de la force exercée par le faisceau laser sur 
l'atome, résultant de l'interaction
de la lumière avec l'atome lui-même. Sans détailler les calculs, on admet que 
la force F s'exerçant sur
l'atome, appelée « force radiative >, s'écrit

RLpel 1 r?/4 L'hc

KE = -- Lsxt =
2 D 2 +2 Sa Dapwo |

(12)

NN . . /, 2 / se / / 7
280 Où Î est l'intensité du laser associé au champ électromagnétique précédent 
de vecteur d'onde K.

C0

37. Représenter l'allure de la norme de F en fonction du désaccord 6.

38. On définit l'intervalle de pulsation Aw = w, -- w_ tel que F(wr) = Fax/2. 
Déterminer l'ex-
pression de Aw en fonction de To.

39. Comparer la norme de la force F à l'action de la pesanteur sur un atome de 
Rubidium, pour
285 TI = 1;,t et à la résonance.

ITIIC Ralentissement d'atomes par laser

La sous-partie précédente a montré que l'interaction entre l'onde provenant du 
laser et l'atome
est optimale si w © wo ([ô| & 1). Cependant, le raisonnement précédent et les 
différentes étapes de
calcul ont été conduits dans le cadre d'une situation où l'atome était immobile 
dans le référentiel du

o laboratoire. En pratique, les atomes constituant la vapeur atomique sont en 
équilibre thermique avec
un thermostat de température T' et les atomes ne sont pas immobiles : chaque 
atome est animé d'un
mouvement en raison de l'agitation thermique.

2

O

AO. En supposant le gaz d'atomes porté à une température de 1 000 K, établir 
l'expression de la
vitesse quadratique moyenne de ces atomes et l'estimer numériquement.

295 L'agitation thermique, en permettant des mouvements des atomes les uns par 
rapport aux autres et
par rapport au référentiel du laboratoire, provoque une dispersion des 
fréquences propres w/2T par effet
DOPPLER. Cet élargissement du domaine des fréquences sur lequel les atomes vont 
pouvoir interagir
avec le faisceau laser a des conséquences sur le ralentissement des atomes de 
la vapeur atomique. Nous
cherchons à caractériser cet élargissement dans les questions suivantes.

300 Considérons un atome dont la position est matérialisée par le point R, en 
mouvement par rapport
au référentiel du laboratoire avec une vitesse Y, et une source lumineuse $S de 
période T = 27/w,

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305

310

315

N
N
_ &
(D N
R(t)d- -
; -- _ N
Te LON
T7 À

FIGURE 8 -- Modélisation de l'effet Doppler lorsque le récepteur est en 
mouvement par rapport à la

source, supposée immobile.

supposée fixe dans le référentiel du laboratoire. On s'intéresse ici à la 
pulsation de l'onde perçue par
l'atome. La configuration est représentée sur le schéma de la figure &.

On modélise l'émission de la source par des impulsions périodiques de période 
T. Une première
impulsion est émise à l'instant {,, une seconde à l'instant to = t1 + T. 
L'atome recoit ces impulsions
aux dates t} et t!, avec &, > t!.

41. Exprimer la période T" = {', --{ perçue par l'atome en fonction des 
distances source-atome aux
dates t, et {,, notées respectivement SR(t;) et SR(#), de T'et de la célérité 
des ondes c.

42. La vitesse de déplacement v de l'atome par rapport à la source étant petite 
par rapport à la
célérité c de la lumière (v & c), les impulsions reçues par le récepteur sont 
infiniment rapprochées.
À partir d'un développement limité en t{, -- t} et en introduisant le vecteur 
unitaire # dirigé de
la source vers l'atome, montrer que la pulsation w' perçue par l'atome s'écrit

"ufr, (13)

C

48. On se place à une dimension. Quels atomes sont susceptibles d'être ralentis 
par le laser ? Ce
processus de ralentissement permet-il de les immobiliser complètement ?

En pratique, pour éviter le défaut précédent lié à l'effet DOPPLER, on utilise 
deux faisceaux laser
identiques émettant des ondes lumineuses selon la même direction mais dans des 
sens opposés. On
parle de laser en configuration <« contra-propageante >. Dans cette 
configuration, les atomes sont
effectivement ralentis. Par conséquent, l'agitation thermique dans la vapeur 
atomique diminue et la
température décroît. Le ralentissement de la vapeur engendre bien un 
refroidissement du gaz atomique.
Un nouvel état de la matière, appelé condensat de BOSE-EINSTEIN, peut alors 
apparaître sous certaines
conditions, cet état étant une manifestation de la nature quantique des 
particules du gaz atomique.

kxkxk FIN DU SUJET xxx

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