X/ENS Modélisation PSI 2022

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e de respecter l'ensemble des notations alphabétiques et numériques
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e de préciser ses propres notations lorsque cela s'avère nécessaire ;
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gauche sont trois fois plus grosses que les parois du ventricule droit. 
L'épaisseur du muscle cardiaque
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Lors de la contraction du coeur, le
sang est propulsé dans l'aorte à travers
la valve aortique puis distribué dans le
corps à travers le réseau artériel. Le

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Artère pulmonaire
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sang circulant à travers le coeur est |
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cardiaque si bien que le coeur possède Ventricule gauche
ses propres artères le vascularisant : ce VTC
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Dans la partie supérieure de EEE nn

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de tissu cardiaque appelé noeud sinu-
sal (le pacemaker naturel) et un autre
le noeud auriculo-ventriculaire (AV).
La dépolarisation part du noeud sinual
pour arriver au noeud AV. Ces régions commandent le cycle de contraction 
(systole) et décontraction
(diastole) du myocarde. L'électrocardiogramme (E.C.G.) permet de détecter cette 
activité électrique
du coeur.

hs
Sens de circulation du sang
--+

FIGURE 2 -- Schéma du sens de circulation dans un coeur

1.3 Régulation du système cardiovasculaire

Le contrôle de la pression sanguine est un système complexe que l'on peut 
décomposer en plusieurs
sous-systèmes, illustrés sur la figure 3, qui opèrent dans des temps d'actions 
très différents, allant
de la seconde à l'heure. Dans le cadre de cette étude, on ne s'intéresse qu'à 
la régulation à court
terme de la pression artérielle qui agit dans des temps de réponse inférieurs à 
la minute. La boucle de
régulation est alors constituée de capteurs qui envoient des informations aux 
centres de contrôle du

système cardiovasculaire.

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Voie sympathique, < PS ' - | Système MATE Noeud Nerveux Cell Autonome *_ Potentiel d'action * Couplage excitation - contraction : Excitabilité . ETATS + Force des fibres cardiaque + Pression ventriculaire É) 5 , Contractilité . D Con: 2 % de me ne mi ne oi ne ne en m4 m6 on eu me me nn en cs os or ne on ns mi ve me we me es mue eu ee me CR Circulation sanguine Régulation des vaisseaux / Activités ; 7 . Système cardio-vasculaire Pression artérielle et veineuse CC OT One Neo oo NICE DNS ATEN Te) MSN eT AN ne TS TA TA CEA CRE CT IUTT Co CERELTTCIUTLLTRET 19121707 10e FT) LT TA 6 23 BE 0 DTCCLTTELTT NT 0] pe 07) MC LOTS EX ee CLOUS LCR EXO 2 CETTE ITE Te Te DUTOTE (CET, LORS CRC T OT PSE CET DE LTEITETTNSTe IVe IUT ÉTEINT EEE CE CT LEE ZE) Te EU No) ET 001110127071 2e) OST Te ET EE 10 T0 Te TE 1e TRE CETTE EINPELE ENS TONER EEE RATER CERN TRE 11470 0e ET T 6 ET TE CT Es ET ENTER OT TETE Te A à) ET LEE TTETE CT IT CRT RE: 0) E TEEN TITI ati) CHR LT NT IE) RENTI TONER 07R TOI TITI Te RE CITE D DES DIE CRU RE ETC CYR) MORIN TT ee ET RE er TEINTE CT e (le) CT CT ET TES ET ET hel Tele NO REIETINIT 0e TITITE) 0 RER LE Te A UITE te LR UT ee) CRETE UTC OR EEN TE M ELEC oh Ie) ENTRE) ET ere) CITE ES TITRE LR NT0 0 CET RCE 1075 70)7TE CITE RS DES DC] Duel PE TETAEETRE CRE S ENTTEON TONER NT RE Ts 10) ne) RENTehlolsle No R- Te Rex 1 Telle LE7RE TRE CC RDA Ts ETES Te RE To)h tels) e[1Toe ETES CETTE ET CCS [07670707 071 ETC RE DES "onbeipies COTE TESTER ETSIT ER eT ET t el ets DT CEST CRIE LCRE)6 (075 1077107170 BE CITE Je DES : saqueains sonbiSojoisAyd suorouoy se] juop 'sy2odse sinoisnjd PLEIN CS CE To TENTE te Te) ET CET LACTTNT0 11 0) te E 41 CTP EITRELTEES CCE EE DETTE ITE RE Ke 7e TTT CEA Te L Me P EL ee 7 107 0) ET ETC) ES ET RE TT) te] 0 RTL UVCE O D 22E 14 10) 1 7 LT [07 ACCEE) 07 OT CET RESTO) ES HAT BR UENTES CT RUN ETES Te NE) ENT ETIENNE TT EE 7 CETTE T0)" CPRESTR BTE LETTRE T7 DES CITE RUE DES TTES CTI EEE TT eee [TTC SCT NTO RES CTTEEE 1571 CRCTE ONU LCI ETTI CRETE ETC) ECS ÉTÉ FETE BCE ETC ENTOTIES TON RES) COR TEE EEE RENE ETES RTE TE TCE T7 NTI LT [NT C7 RS, CV EITENTES CCI) DS ETES TR TRE Te) ENTREZ (Le ITS) GRR CEIUOUCETTD ETES CE CAC RTCREOTT RTE 0 )NTOT CES 0) EST T TEE (NT CE C7 VE TTRETTIC SC) CCS DES ET E COUCR GER RECETTE ENT To LES C7VCTTENTI ESC) CES 'stoied sop RUEIPTENTE ER RE ETT TENTE CR Vire CT IEEE UOTE) Late RULES EETENTET 0 R ERELS CITICTTO ET e DS 7T ce EEETTTC TUE") OT ET EST on TO ESCTTe ET ST EST CRETE TUTO RCE ITO TNT Tale Doll 0710 EETIE Tee TIC) DES ÉTOILE e| aquouugne sioied sep uoljeze]ip eun j2 eouonbai; u9 S2pO2 jU0S soSessoui $37 '2WIOUO] ALL SL EAN ETES C7 CR TELL 08 re ETC TION Lre URETIEZREECTETTESS ETOILES EEE ET Ce op lee RCE DES CT RER UOTE EST RCE 2 La modélisation du myocarde 2.1 Physiologie du muscle Le coeur est constitué du muscle cardiaque ap- pelé myocarde. Celui-ci est formé par les fibres mus- culaires cardiaques ou myocytes qui sont des cellules SEE MR TE Tee delete CARE AN el Ne CELLES cardiaques constituant chaque cavité permet l'éjec- tete DC CET CR CRE Cectttte es sement systolique et le relâchement diastolique sont assurés par des protéines contractiles appelées actine et myosine, qui forment l'élément contractile élémen- taire appelé sarcomère, la contraction n'étant possible qu'en présence d'une quantité suffisante de calcium. La figure 4 montre l'organisation d'un muscle squelet- tique. La structure hiérarchique est la même pour le FIGURE 4 -- Composition hiérarchique du myocarde mais l'orientation des fibres est plus com- muscle plexe. L'étude des relations entre les phénomènes élec- triques et les phénomènes mécaniques permet de mieux comprendre les mécanismes de la contraction. Les parties contractiles du muscle sont faites de séquences de cellules contractiles séparés par les disques intercalaires, et chaque cellule renferme une série de sarcomères, séparés par les lignes Z (cf. fi- gure 5). On suppose alors que l'élément contractile muscle En myocite sarcomère EN LE ? ENS 2 RE RE ee Erre SN LLC. SSSSS e4 LEGS 7/7 LE MS macroscopique (EC) résulte de la mise en série de N sarcomères identiques. à LEE contractile macroscopique Ho mine a ae È PRET OL UOTE RC Ou (EC); TEL OR TTC TOR ES cel Ne PA Er le -- 5, longueur d'un sarcomère ; re CL CCE TR Core ER RTL TÉL LITE ER OUT enE CURE EE 10e CERTES tion de longueur d'une entité (son allongement) et sa longueur au repos. Q3. Déterminer la longueur L de l'élément contractile ainsi que sa déformation, notée &. en fonction de 5, so et N 2.2 Modèles unidirectionnelles à l'échelle macroscopique NES CITE CRU EUR ES ec Ceci ter OT CC cuis s'appliquer à la relaxation du muscle : EC CLR ue NT CRUE ER lee CETTE Let ERrel TEL TEE LOL TEASER -- la contraction isotonique : le muscle développe une force constante au cours du temps; -- la contraction auxotonique : le muscle développe une force variable et se raccourcit, elle n'est ni isométrique, ni isotonique. On réalise une expérience de stimulation du muscle quasi-statique, illustrée sur la figure 6. Pour cela, on accroche au muscle une masse P (1) qui fixe sa longueur initiale (2), puis on accroche une masse À qui n'intervient pas dans la charge du muscle (3) (la butée supportant le poids de la masse À) ; on stimule le muscle électriquement pour qu'il développe une force (4). On maintient la stimulation électrique et on constate le raccourcissement lent du muscle (5). OP RUE CES lue ul EE Ce er ETS (4) et (5). EEE ET ET TESTER TOUTE CRETE PTE TOR EAN ITR EL SENTIR ANNEE T ee IE T0 RETT TT CETTE C TT ETL CEE 07e [0716 ITR (7e RTE ES ROLLER IP LCR EE QU TETE © LE NT 0 TEINTE) ER CENTRO RTE TO TE ENTIER ee), AE) TNT CRSCN ETES TNT 0 je ET 0 RE VIT 0/-REE EE CE DA 410) Lu Do LAPS ?3p 2 CORNE Eole NUE DEDTe TFC IETe TT LOTTET SET RE CES CRECITCTNTE 04 DO 161077 DEScT 6 ECC TREET 000) SUEDE) EE SET IEEE BTS REoToTTRCTE TRE TTCTENTITT ICT) 150107 QUTRE le 17 4 0 1N EEE CNTL ENTREE ES LCR °1 + | ae = ê ÉD) Wok) ze) CITE) C9] 79 ETIENNE) MORT ET ETES EURE EEE DT ET TORRES IUT EIRE TETE -egjenb juanjons juawiwo2 'suossei sep euuwo2 (47) 18 (S3) siuoweje sf juelepisuo uz 'JD a CE Ô . CE LA USE 0 CREER ENTCTNTERCE CRE ET CUITE" EC DETTE", DAYS | APE CETTE EESTI EURE EEE OT TT CNET TRES ETES ET, EXT) RS ES OUR CET RETRO) te EC CEE TOUT CORAN TTL LA eee TOI RD) CUS RE RE Le REETS[e[0] C7 CT ORETTS COS CT LOIS ICIN Te CAC TOC S BUGE TE ECS) HO ET EAN CTNNOICEE RES CRE RSR TENTE ENTER ESTONIE (S) NORD ETC ER EAN NULLE) Riel EUREE ETS [e (OI CYCTe RTS e7te CIVL CREER OT RECRUE COTES RENTE OT TOC LUTTE CRETE CURE TERRIER ITR TELE ENTESVES ENT ES CYTS LCR TI TC CRE TTO NE CEE CUT RTE EUTENEEBONE eo CS)E RO) TU UE CEE RICORENTQUE CCE QE) En roT RT ET RCE EU) ER UETNUE) ETS E Ten ON e DS CS DRE TOI T ECTS ETTENNIE)C TT CT CECIIC ETES )Te RE Ce TR TOO INT RETENUS) CRETE SCIE CC fete DIR) 017 E To ITENTE) Es DO AES LT: IT Ode) DT ITS DC 7N OC TRE), CETTE EL OB ENT EEE (TETE CP CIETE CENTRE Tee EC TE EST TRE EC CT 0e) RE TNT SION ER O SSSR IE) NPA RIDE En: onbTuTu | ?1 ST ÉTAT Tree] Éto)tob re Seu nl Aut ob )ee nc) CARS) eR ep ct ia) ES Eut] El bE)E] Lente é £ [4 L Fi ÿ FIGURE 8 -- Fonction d'activation chimique Q8. Pour une contraction isométrique, déterminer un encadrement du taux de déformation |é.| -- | Se | en fonction de la fonction d'activation u et de la force surfacique o.. Exprimer alors le taux de déformation maximale pour cette phase. Dans le cycle cardiaque, le muscle admet une phase de relaxation isotonique (mais pas de contrac- tion isotonique) pendant laquelle la longueur du muscle s'allonge. Q9. Pour une relaxation isotonique du muscle, déterminer la valeur minimale de la force surfacique ce développée par l'élément contractile. Le résultat trouvé devant être positif, déterminer une contrainte sur les paramètres de la fonction d'activation Dans un premier temps, on considère un comportement linéaire pour les éléments (ES) et (EP). 1, ir d . à On appelle modules d'élasticité les grandeurs constantes E, = %: et E, -- Te. On considère que la s P force surfacique est nulle pour une déformation nulle. Q10. Montrer que la force surfacique o développée par le muscle peut se mettre sous la forme : o = K.E + K4.E. où K et K4 s écrivent en fonction E;, E, et la fraction a -- je Les expériences quasi-statiques montrent que pour de grands allongements, le comportement est non linéaire pour les éléments passifs parallèles et vérifie une loi de la forme : d0» dy = Àp-Op > Ep

où À, est un taux caractéristique à l'élément.

.Q11. En supposant que l'action mécanique ©, est nulle pour une déformation 
nulle, déterminer la
nouvelle expression de la force surfacique o, en fonction de £,, À, et E,. Puis 
déterminer à
nouveau la force surfacique du muscle o& en fonction de EUR et de ©.

2.3 Prise en compte des effets inertiels

La fibre musculaire est incompressible, de masse volumique p,, et de masse 
totale m. Cette masse
est attachée entre l'élément contractile (EC) et l'élément passif (ES) et elle 
est en contact avec le
sang de sorte que l'on modélise l'action du sang par un frottement fluide de 
coefficient surfacique 7.

FIGURE 9 --- Modèle massique de Maxwell Hill

La figure 9 représente la configuration du système, en position repos (4 = Lo) 
et en configuration
déformée (4 = x). La section de fibre est notée S;. L'action de pesanteur est 
négligée devant les
actions mécaniques de l'élément contractile. Les éléments passifs (EP) et (ES) 
sont inchangés. Les
relations sur les déformations et les longueurs restent inchangées

Q12. Faire l'inventaire des actions mécaniques s'exerçcant sur la masse de 
fibre musculaire.

Q13. Appliquer le principe fondamental de la dynamique à la masse et déterminer 
l'équation diffé-
rentielle reliant à, & et o, -- os.

Q14. À partir de cette équation différentielle, montrer que l'on peut écrire :
Ee + LÉwée + uee = W?.0.EUR + B.0e
où les constantes EUR, w, a et B sont à exprimer en fonction de a, Es, Pm, leo 
et 1.

2.4 Modèles volumique du coeur

On modélise le ventricule gauche par un cylindre épais et creux formé par 
l'enroulement des fibres
en anneaux concentriques. Bien que grossier, ce modèle se rapproche de 
l'observation du grand nombre
de fibres myocardiques circulaires.

Rayon R,

Hauteur H,

Fibres
circulaires

FIGURE 10 - Modéle simplifié du ventricule gauche

On suppose que l'épaisseur de la paroi est constituée de fibres musculaires 
parallèles. On imagine
que les fibres s'enroulent et se referment sur elles-mêmes le long d'une 
génératrice du cylindre. Ces
fibres sont identiques et la somme des actions mécaniques de chaque sarcomère 
en parallèle peut être
vu comme un unique sarcomère géant de sorte que les résultats trouvés 
précédemment restent valides.
Le cylindre ne peut se déformer que suivant sa circonférence et garde une 
hauteur constante ÆH,. On
appelle également R, le rayon intérieure du myocarde et d'épaisseur e (avec e 
<< À,). On appelle donc V, le volume intérieur du ventricule gauche délimité par le muscle. Les grandeurs géométriques au repos sont indicées avec un 0 (V0, eo, Ro). Q15. Exprimer le volume V,, des fibres musculaires en fonction du rayon R,, de la hauteur H, et de l'épaisseur e puis exprimer le volume V, du sang à l'intérieur du ventricule gauche. Q16. Sachant que le muscle reste incompressible durant la déformation, exprimer une relation entre l'épaisseur e et le rayon Ry. Q17. Exprimer la déformation de la fibre musculaire EUR en fonction du rayon R, puis exprimer le volume intérieur V, en fonction de la déformation de la fibre. Calculer alors le débit Q, du ventricule gauche en fonction de la déformation de la fibre EUR. On néglige les effets massiques et les effets de la pression extérieure au ventricule gauche devant les actions mécaniques des fibres circulaires suivant la direction radiale. Q18. En raisonnant sur l'équilibre d'un demi-cylindre, montrer que la pression sanguine p dans le ventricule gauche vérifie la relation suivante o -- K,p où K, est à exprimer en fonction de EUR et des grandeurs au repos. Q19. Écrire le système d'équations permettant de relier la fonction d'activation u, l'entrée du modèle de myocarde, aux grandeurs de sortie qui sont le débit sanguin Q, et la pression sanguine p. Vous justifierez le choix des équations. Le système d'équations différentielles obtenu permet de relier l'action des cellules musculaires cardiaques à la pression et au débit sanguin à la sortie de l'organe. La partie suivante, nous conduit à suivre le flux sanguin dans le corps humain. Lu ÉCIT CORTE ET TOO ENT RE ES CITERCTRETR SET ESS CR ET e BTOC Te DELTA LITE R TUTO CEST Le) TNT ER C7 CS soigye So] anb sipuez uolssaid ssseq us ISSne 159 11n2119 27) 'SUeS ep 110M2S91 juezioduil un jueuus/e89 UE RO 0e ETAT ER CETTE EE MORE CRETE TR LE NTETUUE LETTRE 6 EDIT le 27 RE RCTRTTe) ES CTTe ENT EN -uaw8ne sun 49 Sopl8u 3979 9 sed jU0S ou suInBUes XNE9SSIEA $97 'S211EUIPIO S9[9}U819JJIP SUOIENDS p ETS PVÉSITERUT BTS EST ETES Lo) T ATP eRECITTE SCT CET ET TT Tito REY V EE Te) TO ES TTETIE) CES RTETEITIT REC BELLE TT -915Âs ayaoidde sun suosSesiaus snou 'auiefn2seA }in9419 np qjuewamoduo 2j 1azuas91da1 1n04 ECTS EUR CCR NET ITR EST RE CR ETS [ET OT Eco) (TOTALE ES Te TTC) DELL Te ESC TL TOR CL LCR Ne CRC ERREUR EEE LORS ITTT ETES ET DST OT e SCT e RE CTTO RS CITT C7 Ce LE CeBIT CET RIT CR LETTRE ETS ET DEEE TTNEETE NT CEE MEET TETE CRCCTIT ET CE DES ÉRIC CRTC CEA Ie IEECT EST on LOTO RENE ET 4 0070 DE a LT NIV LOTIR TS CALE LT UE) ELITE EE CT TC TT I [cie BCCE DES '(sepi8u snjd 3e soyod snjd sarjeuieip sp) sejousqie sap Aiuanep Anod 1n2oe09 np qued (onbises juaweuarpnonued 3e sosjeuueip spuei3 op) oyoe 7 'snjd MÉRITE BETTER To E ce TES ET ET OST ETES EE EST SCT CR ECTS VC E DS UE CCE LTENETEI Ro Eole [TE ee FCO ES TT OT re ET ECTS CCE EEE) ES | Éd RO) te RAR ete dre) ct ER CAN e) Ass EU ANSRRS To) UE 218) OO CR men) CRUE SE ACT IC enbiuajsÂs uoneinon CAEL TS RCE LCA EN 15 PARC ET sieue k 7 aueuound uonenou ETES AVRIL TR UTENTENTES TUE CIITS ETS DIET LT RES CTICS OX EEE TTop Te) CEE E TE ENETETE TERTIAIRE ELEC LIN ETOR TA ele EIRE Te Te) ES 7TT2 Te) 00) Te Te ETS 7NENTEST) CES DES BUS RES RO ETAT EP: LETTRE CTI EST Lo E To SCT EE IEC NUIT ee ETES TTe7 Te EN CTTIEYTe) EST 911110] CTI Ie) L 5 SITE) DETTE) np queyed Sues ne jouuod inb (uorejnaus spuei8 no) snbuugqsÂs auiepn2seA awuasÂs 97 -- CITE GE) BEEN UT ETS DRE TELLE CSC RECULER LATE ETUI LES Tele EESTI où (2 Trio 7 lie RTE Tele LOU DES E1Vie Te CYR eo) 7e ÉNToe Se EE 0 CITE TT REINE ENST 0) CYSTT AT CRETE Tr ESS NUETITIEE LITRES CCC 0) ELITE NI 0 ee BToT [e LS A RETTS TESTS ETES SR ETES To CT ee CETTE To) N 3 Luten rte ET TTele)NiD ete CE GIVEN Ts) 2e DES 3.1 L'écoulement sanguin NN Le coeur est capable de pomper environ 5,7 litres de sang par minute et doit battre à une pulsation d'environ 70 battements par minute au repos, la fréquence pouvant évoluer entre 40 et 220 Etats er Ti eee el eue e-R- TT el olltE Re LIN ee ce AR Ole elite =E-e TR otelT Il tel NL e TITLE" est un écoulement stationnaire d'un fluide incompressible dans un réseau de conduites élastiques. Ce réseau de vaisseaux sanguins dénombre plusieurs types de conduites dont voici une liste non exhaustive : ET | 1 seule de rayon 5 mm Grandes artères 40 de rayon 1.5 mm LOTS artères | eu AUTRE) OURS RattEe- CE ec CCC En) ide elle Re) et AS T ALL | Artérioles [environ UTC RE) CRU URI TUE TES environ 1 milliard de rayon 4 um ET OC OR SA IES ET ET OI Een AO E IL capillaire Etre artère aorte URSS TENTE STE TE ae FIGURE 13 - Schématisation du réseau sanguin La figure 13 schématise le réseau sanguin de la grande circulation. L'aorte distribue le sang dans les grandes artères qui distribue le sang rempli d'oxygène à chaque organe par une irrigation capillaire. La pression artérielle p, est plus grande que la pression veineuse p,.. ep TS ER CT OEIL RD RER Re CR I CURE RC El CDS IE) estimer le débit et la vitesse d'écoulement à travers un capillaire. La viscosité dynamique du sang est notée u, -- 107%Pa.s et sa masse volumique est no- tée p, = 10%kg.m %. On considère les capillaires comme des cylindres de rayon r. et de longueur Le = 1cm environ. L'écoulement du sang dans les capillaires est donc un écoulement de Poiseuille OUT UTERE RNCS TOUE RR ECNeTRA Te oc Re LI Ro Te TT Lo oO N- cs OC EL te IE (TE la pression en sortie du tube, c'est à dire pour l'abscisse x -- L,, est notée p,. Le champs des vecteurs MSC cc CRE (ae V(M, DÉLTCR FIGURE 14 - Écoulement de Poiseuille dans un tube cylindrique Q21. Calculer le nombre de Reynolds dans un tube capillaire. Conclure sur le type d'écoulement et la prédominance des effets. D Q22. Justifier la forme du champ des vecteurs vitesses dans un capillaire V(r,8, z,t) = v(r)* On s'intéresse à une portion cylindrique de liquide de rayon r < r. et de longueur 1... On rappelle que sur la surface latérale de ce cylindre de rayon r s'exerce une force de viscosité parallèle à l'axe T dont la norme est caractérisée par | Foisqueue | = 277 Us Le id). Les termes gravitationnels sont négligés. Q23. Faire l'inventaire des forces s'exercant sur le cylindre de rayon r. Q24. Appliquer le principe fondamental de la dynamique au tube de liquide de rayon r et en déduire une équation différentielle de la forme : dv ge = Aa Por où À s'exprime en fonction de Le et us. Q25. Déterminer le débit volumique Q de la conduite puis déterminer le coefficient de perte de charge Re = Bee en fonction Le, ji et re. Pour chaque étage, on suppose que le réseau minimise la puissance de transport du flux sanguin. Par conséquent, on cherche à minimiser la puissance P = P, + P,, où P; est la puissance requise pour transporter le sang et P,, est la puissance nécessaire pour maintenir le flux sanguin. Dans un premier temps, on prend un seul capillaire et on émet l'hypothèse que P, est proportionnel au volume du capillaire d'un facteur métabolique À}, > 0.

Q26. Déterminer. la puissance de transport P, et d'entretien P, pour un 
capillaire. En déduire la
puissance la puissance totale P.

Q27. Le rayon r. minimise la puissance de transport et d'entretien pour débit 
imposé par le coeur.
Montrer alors qu'il existe une relation Q = Ka-.rè où Ko est un grandeur à 
exprimer en
fonction de 1, et de À.

Q28. Dans le réseau sanguin, on considère que chaque vaisseau minimise la 
puissance de transport
et d'entretien. Lors d'une bifurcation, quelle relation doit vérifier le rayon 
de la branche mère
par rapport aux rayons de la branches filles ? Cette loi était-elle vérifiée 
pour l'aorte et les
grandes artères ?

3.2 Prise en compte de l'élasticité des vaisseaux sanguins

Systale Diastole

Aorte

valve aortique
ouverte

valve aortique

fermée

FIiGuRE 15 - Représentation de la distensibilité des artères lors d'un cycle 
cardiaque

Sous l'effet d'une augmentation de la pression interne p, le vaisseau sanguin 
se distend et donc
le rayon R, augmente comme le suggère la figure 15. On suppose que les 
variations du rayon restent

Ds
Chambre 7"
élastique ë

y CA

Débit sortant
Qs

Débit entrant

Qc eme
Clapet Conduite rigide

de résistance Ra

FIGURE 16 -- Schéma du modéle de Windkessel

faibles de sorte que l'on considère l'écoulement du sang dans les vaisseaux 
comme l'écoulement d'un
fluide incompressible dans un tube infiniment long, circulaire, homogène à 
parois minces et élastiques.

Lorsque la valve aortique s'ouvre (cet instant est appelé systole), l'aorte se 
distend et emmagasine
une partie du flux sanguin et de la pression. Lorsque la valve aortique se 
ferme (diastole), la paroi
de l'aorte retrouve sa position de repos et restitue le flux et la pression 
emmagasinés. Pour prendre
en compte ce phénomène, on utilise tout d'abord un modèle simplifié appelé 
modèle de Windkessel.
Ce modèle utilise une chambre élastique de pression intérieure p*(t) et de 
volume V*(£) variables au
cours du temps. Ce réservoir est branché sur une conduite rigide et précédé par 
un clapet représentant
la valve aortique (voir figure 16).

La capacité des artères à se déformer est caractérisée par une grandeur appelée 
compliance C, --
a supposée constante. La conduite rigide est caractérisée par une résistance 
hydraulique R, et la
pression en sortie p, de la conduite est constante.

Q29. Durant la phase systolique (clapet ouvert), déterminer une relation entre 
Q., Q, et =.

Q30. Durant la phase systolique(clapet ouvert), déterminer l'équation 
différentielle vérifiée par la
ystoniq P
pression p* au sein de la chambre élastique en fonction des grandeurs Q4 et ps.

On modélise pour l'instant le débit sanguin entrant Qc par un signal créneau de 
période T et

d'amplitude Qaz. Ce signal maintient le débit maximal sur une durée T} comme le 
montre la figure
17.

FIGURE 17 - Approximation en signal créneau du débit sortant du coeur

Q31. À partir du graphique donné sur la figure 17, déterminer le débit moyen 
Qmoy entrant en
fonction Qumax, T et Th. Tracer l'allure de la pression p* pour les deux 
pulsations wi = 2 et
Wa = D: avec Ta = Ra Co.
Pi

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4 Le système nerveux autonome (S.N.A.)

Le contrôle de la pression sanguine est un système complexe que l'on peut 
décomposer en plusieurs
sous-systèmes qui opèrent dans des temps d'action très différents, allant de la 
seconde à l'heure. Dans
le cadre de cette étude, on ne s'intéresse qu'à la régulation à court terme de 
la pression artérielle qui
agit dans des temps de réponse inférieurs à la minute. La boucle de régulation 
est alors constituée de
capteurs (les barorécepteurs et les récepteurs cardio-pulmonaires) qui envoient 
des informations aux
centres de contrôle du système cardiovasculaire (cf. figure 3).

D'un point de vue physiologique, le SNA est un système biologique complexe dont 
la modélisation
classique est basée sur des fonctions de transferts causales qui permettent 
d'établir des liens entre
des grandeurs d'entrée et de sortie. Comme indiqué dans la partie 1.3 de 
l'introduction, plusieurs
oo et Ton TT el Gala ut tre R te T Tea T ANS LCR tal Te dti DAT ee RE TE CCC 
tol CCE Ce LTRree TIR
ces informations sont exploitées par des systèmes biologiques complexes 
capables de délivrer des
signaux électriques (mesurables lors d'un ECG, cf. figure 20) mettant en action 
les cellules musculaires
cardiaques, mais également celles du système artériel et veineux.

L'objectif de cette partie est d'étudier la mise en place d'un modèle numérique 
du SNA, exploi-
LU CU RC Let ete eo Ne ETES LR ou E- LE tte ele tel eat ete LE Re et At CR CEST 
ETES
assurant un pilotage représentatif de la régulation de la fréquence cardiaque. 
Il sera ensuite possible
de confronter ce modèle à des mesures obtenues sur des patients en conditions 
réelles.

CR OO ONE SU Dovrtote Es Cela RCE tte

On définit la séquence (7,) par Th = n AT, une discrétisation régulière du 
domaine temporel
étudié [0,Tr = N + AT] soit n EUR {0,...,N}. On nomme F£ la fréquence 
d'échantillonnage associée
à cette discrétisation.

Q34. Déterminer en fonction des données l'expression de la fréquence Fr. En 
supposant une fré-
quence cardiaque maximale théorique de 250 battements par minute, proposer une 
valeur
maximale de AT,»+ permettant de représenter convenablement l'harmonique 
fondamentale
d'un signal cardiaque par échantillonnage numérique ? Quel est le nom du 
théorème qui permet
CNET RTC EE

En pratique, l'analyse par ECG des signaux électriques se produisant dans la 
fonction cardiaque,
permet d'observer des phénomènes à des fréquences jusqu'à environ 30 Hz (cf. 
figure 20). Les fré-
quences d'acquisition minimales de ces dispositifs de mesure sont de 500 Hz. 
Dans le modèle développé
par la suite, on supposera un pas de temps d'échantillonnage AT = 1 ms.

AUTRE DR LE

eS

PNEU
aux mouvements

Temps

p x
; : É s 5 Ë É Le] É pu) LE pa) 25 30 35 EU]
CHR LF ANT Eee

FIGURE 20 -- Représentation schématique d'une mesure d'électrocardiogramme 
(ECG) sur une
période 7} à gauche, et de la densité spectrale des signaux d'un ECG, à droite.

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PA

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4.2 Récepteurs d'informations barométriques

DIT en To ER eee TE Re ed CRE Cod eele TE Re TR lt ECC ane
récepteurs basse pression (cardio-récepteurs) sous influence de la pression 
veineuse. Les barorécepteurs
sont modélisés habituellement par un filtre passe pas du premier ordre, reliant 
l'image transmise (pb)
de la pression artérielle réelle (pa) dont la fonction de transfert dans le 
domaine fréquentiel de pulsation
CRE CU TIME ET UC 22

Pression Pa
États

PAS TO TES Os Ne Scene) Ce trMen ue te ec IoITEUIT

Q36. Établir l'équation différentielle reliant les signaux temporels continus 
d'entrée pat) et de sortie
PORTE EE e 7 r-TTE

Q37. En déduire la relation de récurrence définissant la séquence discrète 
(Pb,) en fonction des
PALETTE LITE DE

Q38. Écrire le code Python d'une procédure modifiant le signal de sortie Pb :

EEE CCI CN RE Mu LT CON AR eUT E TEEN ART PL CRC PERD E

AE DIEE

ES CT CDR CE TIC ER CIE Ce DEEE CE at AIRE

-- Pa et Pb sont des tableaux numpy de taille N+1, dont toutes les valeurs sont 
connues pour
ÉRIC ee

-- tau est un nombre flottant représentant la constante de temps du filtre (ici 
rm), et K le
ÉCRIN

Dans la suite du sujet, le barorécepteur est modélisé avec un gain unitaire Ky, 
-- 1. Il existe
également d'autres récepteurs barométriques, notamment pour relever la valeur 
de la pression veineuse
(qui n'est pas filtrée car beaucoup plus stable). Cependant, dans cette étude 
simplifiée, qui se concentre
sur la chaîne de gestion de la fréquence cardiaque isolée de l'activité 
musculaire, seule la pression
ET ER ANAL IE ER

CR Tee SERA Te se CROIRE

Les informations fournies par les récepteurs sont transformées dans les centres 
de régulation
cardiovasculaires en activité vagale et sympathique. On considère que 
l'activité vagale (rapide) n'agit
que sur le rythme cardiaque alors que l'activité sympathique (lente) sert à 
l'ensemble de la régulation
Cu Re re tel ES ET NEC N 9 Ru 1tou Eee IEC IE CE REC CC
structure similaire présentée sur la figure 23. La première étape vise à 
séparer significativement les
différences de comportements entre ces deux voies x EUR {v,s} qui sont basées 
sur la même information
RES OR OT RE TTC R Entente us Ole TN E Tate Tel IE CN

VE

POP re

de manière à reproduire les fonctionnements physiologiques inverses entre les 
voies : par exemple, une
augmentation de pression artérielle est corrélée avec une augmentation de 
l'activité sympathique alors
qu'elle produit une baisse de l'activité vagale.

Q39. Tracer l'allure d'une courbe C®, définie par F;(Pb) pour ax = 0, by = 1, 
P9 = 0 avec
Tr = --1 sur l'intervalle --10 < Pb < 10. Vous déterminerez les asymptotes pour Pb -- --co, ER ER IT ER ER CE le Ajouter sur le graphique la courbe C9 pour F,(Pb) pour ax = 0, bx = 1, P9 = 0 mais avec PEUR rt (Ch: SR UC EE ETF IEOT) CRÉENT OT OUT CRETE AVE ET ET TRE ET CRETE TER TT OCT CIE OT ENT s 110710] PE COUNTER OSEO, ETES OT ENT EU CATIERET EESTI ONE EEE QE HUIT TER BTE ETES CR: > a 0) TIR)

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ROUE EETIIRE DES TS)
De la même manière, pour simplifier le code, l'ensemble des signaux 
(conformément à la figure
23) et des variables utilisées par le modèle sont rassemblés dans la classe 
suivante :

class SignauxSNA:

def

init___ (self, DT, N):

ÉD EERDE ECCE 11e
EE) ES ER CE ON CR Te TITLES
self.T = np.linspace(0,NxDT,N+1)

74

TELE Te

# pressions

self.Pa -- np.zeros(sz)
self.Pb = np.zeros(sz)
# voie vagale

self .Sfv = np.zeros(sz)
self .Srv = np.zeros(sz)
CR EES 110 Ce 1 C2
RCE ZEN IS

self .Sfs -- np.zeros(sz)
self .Srs = np.zeros(sz)
self.Ss = np.zeros(sz)
# entree de l'IPFM
RS ER 1 C7
Pan Te 1 (elr I I
self .PulseC = np.zeros(sz)
# integrateur IPFM
ÉER  ER

UT

A l'aide d'appels aux différentes fonctions précédemment définies, en utilisant 
les classes
SignauxSNA et ParametreSNA compléter la procédure :

def SNA(n:int,s:SignauxSNA,p:ParametresSNA):
# Filtrage de la pression  arterielle
passe _ bas gain(n,s.Pa,s.Pb,ptau_b,p.K_b,s.DT)
FR

actualisant l'ensemble de l'état des signaux du SNA à l'instant discret n, en 
supposant connue
la valeur Paln] , ainsi que l'ensemble des valeurs des signaux pour les indices 
i RER CES
LU ALLOTEE L TU LE:
dent (1 ES
es
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Nue:

FIGURE 27 - Simulation numérique de la manoeuvre de Valsalva à l'aide du modèle 
Python
OT non Det int) ele MEN TS tee ere Co SN te at CICR CCE DOS Ste NE Te tCITC REA 
120

la pulsation cardiaque simulée (b), évolution de la fréquence cardiaque (c), 
représentation des
signaux dans le SNA (d).

p2:
Ga

O0 CARE ENTIER loutre) ET ESETTN RETTUT IE le)Te) Se) e74 EC ETC RSENTTONT
-OUe,p 9209944 U012839p e] e eSessiueidde p sspoyzauu sajppanou ssp uonesiddy 
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