X/ENS Modélisation PSI 2023

ECOLES NORMALES SUPERIEURES
ECOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D'ADMISSION 2023

VENDREDI 21 AVRIL 2023
8HOO0 -- 13H00

FILIERE PSI

MODELISATION EN SCIENCES PHYSIQUES ET SCIENCES DE
L'INGENIEUR

Durée : 5heures

L'utilisation de calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Il est recommandé aux candidats :

e De respecter l'ensemble des notations alphabétiques et numériques du sujet ;
e De préciser ses propres notations lorsque cela s'avère nécessaire ;

e De justifier ses hypothèses et rédiger clairement ses réponses ;

e De numéroter soigneusement les pages de sa copie.
Modélisation d'un éco-bâtiment

Ce sujet comporte 50 questions, s'étend sur 27 pages et se compose de 4 parties 
indépendantes :

-- La partie 1 présente l'étude et demande d'extraire des informations d'une 
base de données
qui servira ensuite de support pour l'optimisation de la gestion de l'énergie.

---- La partie 2 traite de la modélisation et du contrôle thermique d'un 
bâtiment. Le candidat devra
appréhender un modèle et l'utiliser afin de contrôler la température d'un 
bâtiment.

-- La partie 3 traite de la récupération et de la mise en forme de l'énergie 
solaire pour
l'alimentation d'un bâtiment. Le candidat devra maitriser les différentes lois 
de
l'électrocinétique.

-- La partie 4 traite du dimensionnement d'une méthode de commande haut niveau 
permettant
de contrôler la thermique du bâtiment et d'une méthode issue de Machine 
Learning.

- Partie Ill
Partie I ------
| | | |
| | Contrôle
l Fichier I
chi l ] MPPT
I Fichier mesures | ]
l météo | Panneaux
I , | photovoltaïques
L | L_| DC
I DC
Ï y I QE
Flux solaire
| Commande l Partie Il
prédictive l EEE --  -- -- --
| Pertes
: LL 2 I nd énergétiques : |
Partie IV comportement
thermique du
Y u bâtiment |
Gestion de = :
l'énergie
DC
AC
Systèmes énergétiques ca
' FE 7
Ms KE]
) ==
LIL: Ê
Climatisation -- géothermie -chauffage électrique/au bois Stockage

1. Présentation de l'étude

1.1. Contexte et problématique de l'étude

Le rapport du GIEC 2022 a mis en exergue l'importance du secteur du bâtiment 
dans la lutte contre le
réchauffement climatique. Le secteur du bâtiment représente 44% de l'énergie 
consommée en France
et émet plus de 123 millions de tonnes de CO2 (chiffres officiels du 
gouvernement Français en 2021).
Ainsi, les experts du GIEC estiment qu'en mobilisant des solutions 
performantes, 61% des émissions
de polluants pourraient être évitées dues au secteur du bâtiment en s'appuyant 
sur trois stratégies :

e Une politique d'efficacité énergétique (42%) ;
e Réduction de la demande en matériaux et en énergie (10%) ;
e Favoriser les énergies renouvelables (9%).

Plusieurs éléments viennent aider cette transition comme l'émergence des 
nouveaux réseaux
« intelligents » : smart grid, éco maisons, green buildings, éco quartiers. Ces 
réseaux possèdent une
vision locale du rapport producteur -- consommateur d'énergie.

Dans ce sujet, nous allons aborder les différentes problématiques liées au 
green building. Le green
building est conçu pour réduire l'impact global du bâtiment sur l'environnement 
tout en garantissant
un niveau de confort important aux utilisateurs.

Pour cela, les green buildings produisent et stockent une partie de leur 
énergie nécessaire sous
différentes formes comme thermique, électro-chimique, etc. Ces réseaux sont 
également guidés par
l'IOT (Internet of Things) formant un écosystème digital. Les capteurs de 
température, de
consommation d'énergie, de présence sont connectés à internet et permettent une 
gestion optimale
des énergies pour un ensemble de bâtiments.

La première étape pour concevoir un éco-bâtiment est de prévoir dès la phase de 
conception du
bâtiment des matériaux respectueux de l'environnement, de l'extraction de la 
matière première, à la
fabrication, l'utilisation puis le recyclage. Cette démarche est appelée 
éco-conception. Nous ne la
traiterons pas dans ce sujet.

Dans un second temps, pour mettre en place des stratégies optimales d'énergies, 
il est nécessaire de
modéliser la thermique du bâtiment. Cette étape est primordiale mais néanmoins 
très complexe. La
modélisation dépend de l'environnement (ensoleillement, températures, 
pluviométrie, etc.), de la
structure du bâtiment et des moyens de contrôle des énergies.

À partir des besoins en énergies exprimés pour le fonctionnement du bâtiment, 
il est nécessaire de
prévoir les différents moyens d'approvisionnement en énergie du bâtiment du 
point de vue thermique,
électrique, solaire, en fluide, etc.

Une fois tout cela exprimé, il est possible de définir une stratégie haut 
niveau de contrôle du bâtiment
prenant en compte toutes les sources d'énergie et la maximisation du confort de 
l'utilisateur.

1.2. Rôle des différents capteurs

Le green building ne peut être efficient sans un nombre important de capteurs 
pour contrôler,
anticiper, réguler les différentes sources d'énergies. Le développement des IOT 
permet de centraliser
toutes ces informations de manière efficace mais également de traiter un grand 
nombre
d'informations.

Une solution possible par la gestion des informations des différents capteurs 
est l'utilisation d'une base
de données, Tableau 1, où l'on vient enregistrer périodiquement les 
informations issues des capteurs.
capteurs

id adresse 12C date heure UTC mesure

1 11110yz0O 2022-09-01 14:00:00 20,5
901 11110yz0O 2022-09-14 14:00:00 21
902 11110yz2 2022-09-14 14:05:00 27
903 11110yz4 2022-09-14 14:10:00 166
904 11110YzZ6 2022-09-14 14:15:00 54
905 11110yz8 2022-09-14 14:20:00 14
906 11110yz0O 2022-09-14 14:30:00 21
907 11110yz2 2022-09-14 14:35:00 27,5
908 11110yz4 2022-09-14 14:40:00 160
909 11110YzZ6 2022-09-14 14:45:00 50
910 11110yz8 2022-09-14 14:50:00 14
911 11110yz0O 2022-09-14 15:00:00 21,5
912 11110yz2 2022-09-14 15:05:00 28
913 11110yz4 2022-09-14 15:10:00 155
914 11110YzZ6 2022-09-14 15:15:00 42
915 11110yz8 2022-09-14 15:20:00 13

Tableau 1 : Base de données capteurs regroupant la mesure de tous les capteurs.

Sur le Tableau 2, il est indiqué la correspondance entre l'adresse du capteur 
sur un bus I2C et le type
de mesure effectué. La mise à jour de la base de données et l'extraction des 
données des capteurs ne
sont pas demandées. Pour chaque capteur, une mesure est effectuée toutes les 
demi-heures.

Adresse 12C capteur Type de capteur

11110yz0 Mesure température interne du bâtiment [°c] (float)
11110yz2 Mesure température externe [°c] (float)

11110yz4 Mesure éclairement [W/m'] (float)

11110yz6 Mesure humidité [%] (float)

11110yz8 Mesure vitesse du vent [m/s] (float)

Tableau 2 : Correspondance entre l'adresse du capteur au format 12C et le 
capteur de mesure.

Question 1 : À partir de la base de données capteurs, écrire une requête SQL 
permettant d'extraire
les valeurs de la température interne T+ et externe T.x+ du bâtiment à une date 
souhaitée. On
propose ici de prendre les valeurs de température le 14 septembre 2022 sur 
l'intervalle [14h,
14h30.

Les mesures de vitesse à l'extérieur du bâtiment peuvent être fortement 
bruitées, voir contenir des
données aberrantes. On propose de réaliser un filtrage de la mesure sur les 
trois dernières mesures.

Question 2 : À partir de la base de données capteurs, écrire une requête SQL 
permettant d'extraire
les trois dernières mesures de vitesse de vent V,.+ puis d'en faire la moyenne. 
On propose ici de
prendre comme valeur finale de vitesse de vent, la vitesse de vent mesurée le 
14 septembre 2022
sur l'intervalle [14h, 14h30[. Cette valeur sera la dernière valeur à 
considérer pour effectuer le
filtrage.

Il est nécessaire de prévoir la puissance solaire accessible à un instant donné 
afin de prévoir les
différents échanges d'énergies.

Question 3 : À partir de la base de données capteurs, écrire une requête SQL 
permettant de
récupérer l'éclairement Esoiaire à Une date souhaitée puis de calculer la 
puissance solaire disponible
pour le bâtiment en considérant qu'il y a 20m° de panneaux solaires ayant un 
rendement solaire --
électrique de 20%. On propose ici de prendre les valeurs de température le 14 
septembre 2022 sur
l'intervalle [14h, 14h30.

À partir de ces données capteurs, il est possible de définir des stratégies 
haut niveau de contrôle du
bâtiment en y incluant la thermique et la gestion d'énergie électrique.

2. Modélisation et contrôle thermique d'un bâtiment

2.1. Choix du modèle thermique du bâtiment
Pour modéliser la thermique du bâtiment, différentes approches sont mises en 
jeu :

e Une approche globale. Le bâtiment est considéré dans son ensemble avec peu de 
points de
mesure et des modèles de faible complexité.

e Une approche locale. Le bâtiment est découpé en plusieurs zones. La 
complexité des modèles
s'accroit avec le nombre de mesures à considérer.

e Une approche de simulation fine. Réservée à la recherche car extrêmement 
gourmande en
ressources informatiques. Correspond souvent à une modélisation par des 
éléments finis.

Dans cette étude, pour la modélisation des interactions entre les sources de 
production de chaleur et
les bâtiments, nous adoptons une approche globale. Dans ce cadre, les modèles 
appliqués utilisent
une analogie avec les systèmes électriques en utilisant des résistances 
thermiques et capacités
thermiques : modèle R;C,. X et Y représentent le nombre de résistances 
thermiques et de capacités
thermiques du modèle.

Pour rappel une résistance thermique est définie par la relation extraite de la 
loi de Fourier pour la
conduction thermique :

Avec À l'élévation de température et o le flux thermique en Watt. La variation 
de température joue
par analogie le rôle d'une tension électrique et le flux thermique le rôle du 
courant électrique.

La capacité thermique quant à elle est définie par :
Q = C;nA6

Avec Q le transfert de chaleur en Joule. Le transfert de chaleur joue alors le 
rôle de la charge électrique
stockée d'un condensateur électrique.

Question 4 : Quelle est la relation entre le transfert de chaleur (Joule) et le 
flux thermique (Watt) ?

Écrire la relation qui lie le flux thermique et l'élévation de température dans 
le cadre d'une capacité
thermique.

Le modèle le plus basique néanmoins qui fournit des résultats fidèles est le 
modèle R:C:. C'est le
modèle que nous allons utiliser. Ce modèle est représenté sur la Figure 1.

R
es |

+6 10

Intérieur Enveloppe bâtiment Extérieur
Figure 1 : Représentation d'un bâtiment par un schéma équivalent R:C2. Les 
différents éléments
équivalents passifs et les générateurs de courant et le générateur de tension 
sont pris en convention
générateur.

Les différentes variables sont décrites dans le Tableau 3 :

Nom Unité Description

6, Kelvin Température à l'intérieur du bâtiment

O, Kelvin Température à l'intérieur de l'enveloppe du bâtiment (variable 
interne)
Oxt Kelvin Température à l'extérieur du bâtiment
ref Kelvin Température de référence prise constante (variable de calcul)

Pr Watt Flux thermique interne correspondant aux systèmes de chauffage, de

climatisation, etc.
Ps Watt Flux thermique apporté par le rayonnement solaire

Tableau 3 : Les différentes variables de la modélisation thermique.

Dans la suite du problème, on supposera que le système est linéaire, ainsi, il 
sera possible d'utiliser le
théorème de superposition au besoin.

Afin d'améliorer les stratégies de gestion d'énergie, il nous faut dans un 
premier temps identifier les
paramètres passifs du modèle (capacités thermiques et résistances thermiques). 
Dans un second
temps, il faudra mettre en place un asservissement permettant de contrôler la 
température interne 8,
par le biais du flux thermique +, et une régulation pour maintenir le 
température interne constante.

L'identification en tant que telle ne sera pas traitée dans ce sujet. Nous 
supposons donc connaitre tous
les paramètres du modèle.

2.2. Positionnement du problème

Dans cette partie, nous proposons de définir un correcteur permettant d'assurer 
des performances
satisfaisantes en asservissement et en régulation.

Question 5 : Expliciter en quoi consiste l'étude d'un asservissement et l'étude 
d'une régulation. Vous
pouvez vous aider de schémas de principe.

Dans un premier temps, nous modélisons le système thermique représenté sur la 
Figure 1 par un
schéma bloc faisant intervenir l'entrée, la sortie et les perturbations. Les 
capteurs seront supposés
idéaux.

Question 6 : Les schémas blocs sont définis au sens des petites variations. 
Expliciter la signification
des petites variations au sens de l'automatique. Donner un exemple concret dans 
le cadre de cette
étude.

Nous proposons d'utiliser le schéma bloc défini par la Figure 2 pour modéliser 
le système.

Perturbations (p)

E(p) E(p) C(p) U(p)

H(p} * S,(p)

Figure 2 : Schéma bloc modélisant le système. Ep) représente l'entrée, S(p) la 
sortie, U(p) la
commande, Perturbations (p) les perturbations appliquées au système, £(p) 
l'erreur, H(p) le système
et C(p) le correcteur. p représente la variable de Laplace.

La correspondance entre les variables est donnée sur le Tableau 4.

Domaine temporel | Domaine de Laplace Description
0,.(t) S;(p) Sortie du système (capteur inclus)
0. (t) Non utilisée (variable muette)
Oext(t) O,,1(P) Perturbations du système
Pr(t) U(p) Entrée de commande
D(t) ®.(p) Perturbations du système
E(p) Entrée de l'asservissement en boucle fermée

Tableau 4 : Correspondance entre les variables physiques et le schéma bloc. Les 
fonctions en p
sont définies au sens des petites variations.

Question 7 : Expliquer pourquoi 8, et @. sont considérées comme des 
perturbations.

On notera dans la suite les différentes fonctions de transfert de la manière 
suivante :

S .

°_ Hs. y) = T (p) la fonction de transfert entre la sortie et la commande pour 
des
Ps--0; Oext--0

variations nulles de la perturbation (ï.e. le flux thermique solaire et la 
température externe qui

seront constants).

Sr
e Hs oe, (D) = o.

S

(p) la fonction de transfert entre la sortie et le flux thermique
U=0; Oext=0

solaire pour des variations nulles de la commande et de la température externe.

Sr
° so, (D) =

(p) la fonction de transfert entre la sortie et la commande pour
U=0; P,=0

des variations nulles de la commande et du flux thermique solaire.

ext

Pour rendre plus lisible les résultats, nous allons définir deux grandeurs :
© q -- Ro
isolation de l'intérieur vis-à-vis de l'apport d'énergie solaire et g = T à un 
apport intégral
d'énergie solaire à l'intérieur du bâtiment.

Rf
Rf+kRi

une très grande importance des fuites thermiques dans le bâtiment et a = 1 à 
une isolation
des fuites thermiques du bâtiment par rapport à l'extérieur

qui correspond à la transmittance d'énergie solaire. g = 0 correspond à une

ee a = qui correspond à la transmittance de déperdition énergétique. æ = 0 
correspond à

2.3. Etude de l'asservissement en température

Question 8 : À partir de la Figure 1, expliciter la fonction de transfert Hs 
u(P). La mettre sous la
forme :

He (D) = @kR; 1 + gk;C
|
Couche de type P-- @
(conductivité des trous)
Jonction n-p TF
(champs électrique) \
FREE ARE---- Vo 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
Tension(V) Vo
Figure 5 : Principe de conversion Figure 6 : Caractéristique courant-tension
photovoltaïque d'une cellule photovoltaïque

12

Chaque cellule ou module photovoltaïque a ses propres caractéristiques de 
fonctionnement ; la Figure
6 présente la caractéristique courant-tension d'une cellule. Des associations 
parallèle/série
permettent d'obtenir des valeurs plus élevées.

e Le courant de court-circuit Z,. : Il correspond au courant maximal généré par 
la cellule. 1, est
directement proportionnel à l'éclairement à la température ambiante. Il varie 
également en
fonction de la surface de la cellule.

e La tension à vide Y,, : Elle correspond à la tension maximale générée par la 
cellule. La tension
en circuit-ouvert d'une cellule photovoltaïque varie de manière logarithmique 
avec
l'éclairement et baisse avec l'augmentation de la température.

Question 18 : Sur le graphique du document réponse, localiser le point de 
puissance maximale délivrée
par la cellule. Donner une interprétation géométrique expliquant votre démarche.

Dans le cadre de notre étude, nous ne nous intéressons qu'à l'utilisation de 
l'énergie solaire
photovoltaïque pour l'électrification de sites isolés, non raccordés à un 
réseau public de distribution.

On pourrait envisager de connecter directement un panneau photovoltaïque à une 
charge DC : c'est
le principe de fonctionnement le moins cher et le plus répandu (Figure 7).

Générateur Charge
photovoltaïque Diode DC
anti-retour
D
R

| nn à 1%

Figure 7 : Caractéristiques électriques d'un générateur photovoltaïque en 
connexion
directe avec la charge

Question 19: Expliquez pourquoi, lorsqu'on connecte une charge résistive R, la 
puissance délivrée
par le générateur photovoltaïque est rarement maximale.

Pour surmonter ce problème, il est nécessaire d'insérer des éléments 
intermédiaires, des
convertisseurs statiques, dans le but d'optimiser le transfert de puissance. 
Ces étages d'adaptation
présentent un surcoût par rapport à la connexion directe mais ils permettent 
d'augmenter le
rendement et la stabilité du système.

La Figure 8 présente le schéma de principe d'une chaîne de conversion 
photovoltaïque dotée d'un
étage d'adaptation DC-DC et d'un système de pilotage lui permettant de suivre 
le point de puissance
maximum du panneau.

13

Générateur
photovoltaïque

Etage d'adaptation DC-DC Charge

(Convertisseur Boost) DC

D

CP

Tension Courant
Vpv YY pv

DC

DC

Commande MPPT
(Maximum Power Point Tracking)

Figure 8 : Chaîne de conversion photovoltaïque avec étage d'adaptation DC-DC

Le schéma de principe du convertisseur étudié est donné Figure 9, il s'agit 
d'un convertisseur Boost à
trois niveaux (CBTN). Par simplicité nous utilisons ici une charge résistive.

L
il nn ins D:
<-------- <---- ., Vz LT, Vpn, LC, . Ls T Vr, Ci Ve, À OL " LT, ic, + P Vr, Cry | Ve, Vn, é--- D; Cette structure est composée : e de deux interrupteurs 7, T; ; e de deux diodes D, D, ; e d'une inductance L, dont la résistance interne est négligée e de deux condensateurs C,, C, de capacité identique C; e d'une résistance de charge À. V£: tension d'entrée, supposée constante ; VS : tension de sortie. Figure 9 : Schéma de principe d'un Boost à trois niveaux (CBTN) De plus on utilisera les notations suivantes : La fréquence de commutation est notée f, la période T'; Le rapport cyclique est noté &, il est compris entre 0 et 1. Selon l'état de ces deux interrupteurs qui peuvent conduire ou bloquer en même temps, on peut définir quatre séquences de fonctionnement du convertisseur, modélisées par les schémas électriques suivants (Figure 10) : 14 Etat 1 :7T, fermé-T; fermé Etat 2 :T, fermé - T, ouvert LL L ip, D; LL L ip, D; PE Te WT -- Vi 4 V, "1 Vi 1 * M, É L L Ti l Yr. C lv. ° T | 2 C + | Ve, ° "| D el lk "| D ll L vw . vw : F2 * CT Te è IC, T P À Vr, C> = Vo, D Vr, C> il Ve,
V, Vpn,
D; D; |
Etat 3 : T, ouvert - T; fermé Etat 4 : T, ouvert - T> ouvert
LL L ip, D LL L ID, D
7 nf ? 7 ° ] nl «<---- Figure 10 : Schémas électriques équivalents selon les fermetures des transistors Le CBTN est ici piloté en mode symétrique : les rapports cycliques de T; et T, sont égaux, mais leurs commandes sont décalées entre elles d'une demi-période (Figure 11). Le cycle des états de 7, et 1, dépend de la valeur de «&. On distingue deux modes de fonctionnement, appelés régions : "  Région1:a«< 0,5 n  Région2:a > 0,5

Question 20 : Un diagramme d'états (incomplet) du CBTN est présenté sur le 
document réponse.
Compléter ce diagramme, en fonction des valeurs de à, en considérant que le 
régime est établi dès la
première période. Quelle est la succession d'états pour la région 1 ? Pour la 
région 2 ?

15

Région 1 : & < 0.5 Région 2 : &æ > 0.5
Etats | : À ! Etats | M
A | ! | a E
UN TN TN vs 2
AN NN Pa | |
on] -- on |: L
BR | | 12 E
Vip _-- pi Nr _ ri
OF--- On ra
T L U T | | | F
Off -- > D -- | F
aT 7 r(a+:) R ft r(a-;) L'or R
2 2 2

Figure 11 : Etats de T, et T, et signaux du CBTN
La notation (x) désignera la valeur moyenne d'une grandeur physique x sur la 
période T.
(Vs) = Vso

On note : (is) = iso

e Les tensions moyennes aux bornes des condensateurs sont supposées équilibrées 
:

V V
(Ve) = (Ve,) = © =

e L'étude porte sur le régime établi, V et is sont donc des constantes.
e  Dansla région 2,ona:V,, < V, (ce résultat sera démontré par la suite). Question 21 : Sur le document réponse, compléter les diagrammes de la région 2 (sans développer de calculs). Vous indiquerez la valeur sur le diagramme de VC et Wr,, ainsi que les états successifs dans les 2 régions. Question 22 : Quelle hypothèse permet de justifier le comportement linéaire des tensions aux bornes des condensateurs ? Justifier. - / . di . Question 23 : Pour les quatre états, exprimer E en fonction de VW, V,, Vs et Vz. Question 24 : En déduire le gain G;, tel que Vo = GyV£. Montrer que ce gain est indépendant de la région de fonctionnement. 16 Une étude expérimentale a permis de relever le gain en tension. La Figure 12 représente la tension de sortie moyenne théorique et la tension réelle, en fonction du rapport cyclique. Théorique Tension de sortie (V) 5 se | Réelle 0 20 40 60 80 100 120 Rapport cyclique (%) Figure 12 : Courbes du gain théorique et du gain réel de la structure. Question 25 : Donner le domaine de validité du modèle présenté dans cette partie et proposer une explication pour les différences observées. Ce modèle soulève une difficulté majeure de la représentation du convertisseur : il présente plusieurs configurations distinctes et il est non linéaire, ce qui est un obstacle à la création d'une loi de commande permettant d'atteindre le point de puissance maximale du panneau photovoltaïque. Nous allons maintenant établir le modèle moyen du CBTN et voir s'il représente le fonctionnement du contrôleur quelle que soit la région de fonctionnement. x(t) est le vecteur d'état défini par: T x (EUR) = [i,(@) Ve, © Ve, ©] Pour chaque état, les équations électriques du circuit peuvent se mettre sous la forme : À = Aix + BVz i = 1,2,3,4 Vs = CXx Question 26 : Donner les expressions de B, C et A; pour & = 1,2, 3, 4. A une plus grande échelle de temps, on peut proposer un modèle moyen sous la forme : fs) = À(x) + BV; (Vs) = C{x) Question 27 : Donner l'expression de À en fonction de la région de fonctionnement. Question 28 : Conclure sur la pertinence d'utiliser le modèle moyen pour représenter le comportement du contrôleur. La puissance délivrée par un générateur photovoltaïque (GPV) dépend fortement du niveau de l'ensoleillement, de la température des cellules et aussi de la nature de la charge. La courbe caractéristique de puissance du GPV présente un point de puissance maximale PPM correspondant à un point de fonctionnement de coordonnées V/,,/, pour la tension et /» pour le courant. 17 La Figure 13 présente 3 cas de changement de caractéristique : y ' À 3 3 L 3 ... 5 Caractéristique de ? Caractéristique de : Caractéristique de à la charge. à la charge à la charge. Î à Î Variation ë Variation du jPPM; VAR pp, ne durapport  PPM, 400" rapport cyclique. À rapport cyclique. | \Varation b cyclique. / : N Variation à i \Y L ) PPM; i | ot PL 4 ; d / Î ; " Variation C ( 4 D < %:\ #P j VV] VV] VV] (a) (b) (c) Figure 13 : Trois cas de perturbation du point de fonctionnement Question 29 : Associer à chaque figure un type de variation parmi les propositions suivantes : variation de température, de charge, d'ensoleillement. La partie suivante décrit une méthode de poursuite du point de puissance maximale, qui consiste à agir sur le rapport cyclique en fonction des variations de conditions atmosphériques et/ou de charge. La détermination du point de puissance maximale est basée ici sur la mesure du courant et de la tension aux bornes de la charge. Mais selon les conditions de variation du rapport cyclique, le système peut osciller autour de ce point et, dans le cas de variations rapides des conditions météorologiques, l'algorithme peut même diverger. La méthode proposée doit donc assurer la stabilité du contrôleur. La figure 14 illustre la structure de commande pour la recherche du point de puissance maximale. Générateur photovoltaïque Convertisseur boost Charge à trois niveaux (CBTN) DC D is L D; | -- D ls Cp R Vs Tension Courant Vpy Lpy Rapport cyclique Commande MPPT (Maximum Power Point Tracking) © >| ML

Figure 14 : Schéma de la commande du MPPT

18
Le modèle moyen développé dans la partie précédente permet d'écrire les 
équations décrivant le
comportement de la chaîne de production photovoltaïque (les deux condensateurs 
ont la même
valeur : C1 = C> = C):

CA ii
P dt PV L
di,
à La Vpy -- (1 -- a)Vs
dVs | |
CE -- 2(1 -- @)iy -- Zis

La stratégie de cette commande est d'introduire une variable z, égale à

op |
V puis de faire tendre cette
OVpy

variable vers une référence z:,.- (dans notre cas z1,ef = Ü).

z1 S'appelle la première erreur de poursuite.

Question 30 : Exprimer z. en fonction de ipy, Vpy et éventuellement leurs 
dérivées partielles. En

r q . . dz = y .
déduire la relation entre z; = Te Cp, L, tpy et ses dérivées partielles.

Pour étudier la stabilité de ce système dynamique, nous nous appuyons ici sur 
l'existence d'une
fonction de Lyapunov et le théorème associé (aucune connaissance particulière 
n'est requise ici) :

Fonction de Lyapunov : fonction continue V(x), définie positive, telle que :

0e Vxƣ0O V(x)>0 et V(x) =0 pour x =0;

e VxÆ0 V(x)<0 et V(x) =0 pour x = 0; Théorème de Lyapunov : e __Siune fonction de Lyapunov existe pour un système donné alors ce système est stable ; ° Si la fonction de Lyapunov est strictement décroissante, V(x) < 0 Vx + 0, alors la stabilité est en plus asymptotique. 1 On propose la fonction suivante : V, (z1) = 4° Question 31 : A l'aide d'une constante K., déterminer une relation entre Z, et z. pour que la fonction V, soit une bonne candidate pour assurer la stabilité du système. Il n'est pas demandé d'expliciter K.. Question 32 : En déduire une relation entre K,, C», ipy, i et Vhy (et leurs dérivées). La figure suivante (Figure 15) représente ce qui vient d'être établi: le courant i; permettant d'atteindre le point de puissance maximale du générateur photovoltaïque. rs ur Vpy Lpy li Relation de la question 32 ---- Courant Figure 15 : Positionnement de la relation établie à la question 32 Si cette relation intégrait directement le rapport cyclique «, il serait facile de piloter le contrôleur tout en assurant la stabilité du système. Mais i, n'est pas la commande effective, il s'agit de «. 19 La grandeur i; qui intervient dans la relation trouvée devient alors la consigne de pilotage ë,.ç (Figure 16). Tension Courant Courant Vpy Lpy LL | Commande MPPT LM MN M . v À | l | Rapport cyclique . lc + Z2 , . a Question 32 À déterminer >

Figure 16 : Architecture de la loi de commande MPPT

Cette consigne dépend du temps. Le pilotage du rapport cyclique peut alors 
induire une erreur entre
la valeur souhaitée 1,.- et l'intensité réelle i,. On note 7, cette erreur :

Z2 -- lg -- lc

La commande recherchée doit donc également faire tendre l'erreur z, vers 0.

dz

Question 33 : Exprimer z; -- Te en fonction de &, i,. et des tensions V,, et W.

t

e e , dv. . # e f f
Question 34 : Exprimer V, = Pr en fonction de z., z, et des grandeurs 
électriques du générateur

photovoltaïque.

L'apparition de cette erreur remet en question la stabilité du système 
dynamique. On fait alors appel

à une seconde fonction de Lyapunov :

1
V:(z1) = 5 A + --7,°

2

Question 35 : Par un raisonnement similaire à la première fonction V,, établir 
une relation entre z, et
Z, avec une nouvelle constante K,, pour que V, puisse assurer la stabilité du 
système.

Question 36 : En déduire l'expression du rapport cyclique æ qui permettra 
d'atteindre l'objectif de
poursuite du point de puissance maximale.

20

4. Construction d'une loi de pilotage prédictive

Dans cette partie, nous allons mettre en place une loi de commande qui pilotera 
les différents systèmes
de régulation énergétiques afin d'obtenir une température consigne du bâtiment. 
En s'appuyant sur
le modèle développé en seconde partie, cette commande devra être prédictive et 
exploitera la base
de données mise en place au début de ce sujet : elle prendra en compte les 
variations météorologiques
futures issues de prévisions et/ou données des années précédentes.

Cette commande doit répondre aux besoins de confort thermique et de 
consommation énergétique.

On souhaite que la température à l'intérieur du bâtiment se rapproche d'une 
température consigne
T,. On note y = Te -- Tinitine la Variation de température correspondante, ce 
qui permet d'avoir des
conditionsinitiales nulles.

La commande des systèmes de régulation sera notée x(t).

La méthode consiste à déterminer la séquence future et la commande à appliquer 
en vue de forcer la
sortie à suivre une trajectoire prédéfinie : la trajectoire de référence, 
Figures 17 et 18.

À
Consigne : variation de température y.

Vref (tx+1)
Ym (r+1)
Yr(tr+1)
À Â D-
passé ty Cryr futur instant ty4y, horizon de prédiction : TEMPS
À, = À,, : la trajectoire de référence est
rejointe

Figure 17 : Evolutions de la température réelle, de la température issue du 
modèle et de la
trajectoire de référence

Bâtiment réel

À
2 G,.@) » ,.(p)
Signal pilotant le
processus de chauffage
Modèle
D> Gn (p) D Ym (p)

Figure 18 : Schéma du système avec le bâtiment réel et le modèle

21
En se basant sur le travail réalisé dans la première partie de ce sujet (en ne 
gardant que le pôle
dominant), on propose :
Go) = KE) 2 Kre Go) = EP) 2 Km
' X(P)  1+7,p 7 X(P)  1+7TmP
Le retard 7, provient de la réactivité des systèmes de régulation. L'incrément 
de température qui doit
être atteint, entre l'instant t4 et l'horizon de prédiction t,.Hest :

À; ( tr+n) -- A tr+n) -- Yr( tr)

Où t4 représente l'instant présent. On peut également fixer l'incrément désiré 
dans l'espace du
modèle :

Am ( tr+n) -- Ym tr+n) -- Ym tr)

La loi de commande prédictive s'obtient à partir de l'égalité entre la 
trajectoire de référence et la sortie
prédite du processus en un point de coïncidence tz1y :

À; (tr+n) = AmCtr+n) = Yref( tr+n) -- Yref( tr)
Il s'agit maintenant de construire le modèle échantillonné.

La période d'échantillonnage est constante (7,) et on utilise un bloqueur 
d'ordre zéro (BOZ), qui
maintient le signal constant jusqu'à l'échantillon suivant, Figures 19 et 20 :

À A
y(t) : évolution continue y; (EUR) : fonction échantillonnée
° y; (EUR) : fonction échantillonnée avec bloqueur
d je . ;
7 Utilisation d'un

LT bloqueur d'ordre |

zéro

| »

t t

O T, 2T, nt, O T, 2T, nt,

Figure 19 : Fonctionnement du bloqueur d'ordre 0

Te k
XD) _- 807 c Yr @)
---- r()
Signal échantillonné

Figure 20 : Modèle dans le domaine de Laplace du bloqueur et du système

La réponse impulsionnelle du bloqueur est représentée sur la Figure 21 :
À

1!

t

D.
D"

t t+T,

Figure 21 : Réponse impulsionnelle du bloqueur d'ordre 0

Question 37 : Exprimer la réponse impulsionnelle du usoz(t) bloqueur. En 
déduire sa fonction de
transfert U:0z(D).

22

On peut ainsi obtenir l'équation de récurrence du système, mais en utilisant 
une méthode (la
transformée en z) qui n'est pas au programme de PSI. Nous ne la développerons 
donc pas plus ici.
Cette équation de récurrence, exacte, est la suivante :

Le
Yr(tr+1) -- &yYr (tx) + K,(1 -- dr)X(tx+1 -- Nr) avec a =e Tr

(On considère que 7. est un multiple de la période T.).

Nous pouvons en revanche obtenir une approximation de cette équation, en 
utilisant la méthode
d'Euler.

Question 38 : Ecrire l'équation différentielle à l'origine de la fonction de 
transfert G,;.(p) puis exprimer
Yr(tr+1) en vous appuyant sur le schéma d'Euler explicite.

Question 39 : En déduire l'équation de récurrence approchée à l'ordre 1, sous 
la forme :

Yr(tr+1) -- @gYr(tr) + Bex(tr -- Nr)

Question 40 : Donner la relation entre f; et ak. Comparer ensuite les 
coefficients «,. et «; et formuler
une relation entre T, et 7, pour que le schéma d'Euler soit précis.

On considère la commande comme constante, égale à une valeur x(k) après son 
application à l'instant
k :

X(tr) = X(tx+1) = Xr42) = + = X(tx+n)

Question 41 : Déterminer la prédiction de l'évolution du système de régulation :

Vr(tr+n) = Or (x), XGx), ar, kr)

Question 42 : Par analogie, exprimer la commande prédictive du modèle :

Ymr+4) = fm), X(tr), Ar, Km)

La trajectoire de référence est choisie de forme exponentielle, avec une 
constante de temps t.liée au
délai souhaité pour que la température consigne soit atteinte :

ITR
Yref ) -- Yref x) + (ve -- Yrer (Ex)) (: --e Te ]

Question 43 : En exploitant la coïncidence à l'horizon t,.,, entre le système 
réel et la référence,
_Te
déterminer l'incrément 4,(t4+#) en fonction de y, y;er(tx), Heti=e Te.

Question 44 : Exprimer l'incrément du modèle 4,,(t;,:) en fonction de y,,(t4), 
x(tz), &r, Km et H.

La première partie de ce sujet a mis en évidence l'utilisation d'une base de 
données, actualisée
régulièrement. L'intérêt de la commande développée ici est d'utiliser ces 
données pour recaler la
trajectoire de référence à chaque pas de temps. Ce recalage s'exprime par :

Vref (tx) -- Yr (tx)

Question 45 : En exprimant la coïncidence, à l'horizon t,.,7, entre l'écart 
réel et l'écart du modèle,
exprimer la loi de commande x(t,) en fonction de y,,(t4), y; (tx), Ve, &r, Km 
EURt H.

23

La période d'échantillonnage étant faible devant le temps de réponse des 
systèmes de régulation, on
admet que le modèle continu est similaire au modèle discret développé.

Question 46 : La Figure 22, ci-dessous, présente une ébauche de la commande 
prédictive. Reproduire
et compléter ce schéma bloc sur le document réponse.

Bâtiment réel

Y,.(p)

Y-(p) X(p)
----{$Q- >| GC) ,

Modèle
Gn()

X

Yn (D)

v

Figure 22 : Schéma bloc (incomplet) de la commande prédictive
Modèle obtenu par Machine Learning

On veut maintenant simplifier le système de commande en améliorant la qualité 
de ses prédictions :
la température de sortie, prédite ou réelle, appartiendra à une des 6 classes 
décrites par le tableau
suivant :

Classe | Température y: Classe | Température y,.,:
1 [+7; +20 4 [--2; OI
2 [+2; +7| 5 [--7; --2|
3 [O; +2] 6 [--20; --7[

Figure 23 - Catégories des températures de sortie

On commence par enrichir la base de données d'observations créée dans la 
première partie de ce sujet
avec des données issues des diagnostics énergétiques (DPE): prise en compte du 
type et de l'année de
construction, de la surface habitable, de la hauteur de réalisation, du nombre 
de niveaux, de la surface
des parois opaques verticales déperditives, etc...

Le modèle prédictif précédent a également permis d'associer à cette base de 
données les valeurs de
sortie pendant une période d'observation.

On se tourne donc vers un modèle d'apprentissage (Machine Learning) supervisé 
(Figure 24) :

Base de données

Modèle par
apprentissage )

supervisé

6

Processus de contrôle
des systèmes de
Uk régulation thermique Vi

v

v

Figure 24 - Schéma de l'identification

24

Question 47 : Cet apprentissage doit-il utiliser une méthode de régression ou 
de classification ?

Question 48 : Sans rentrer dans le niveau de détail d'un algorithme, donner les 
différentes étapes de

cet apprentissage et associer une méthode de classification ou de régression 
(selon la réponse à la
question précédente).

Après avoir nourri l'algorithme correspondant avec la base de données, on 
mesure sa performance
avec une matrice de confusion, donnée ci-dessous :

112413110100
8 1215133, 20/0 0
S 3 | 1 | 1 M9ON 3 1 | 0
& |4| 0 | 4 | 3 M86\ 2 | 0
£|5[011|15]51)29|7
61001012 | 3 |17
1121314) 516
Vr+1 {TUE

Figure 25 -- Matrice de confusion de l'algorithme d'apprentissage supervisé

Question 49 : Evaluer la sensibilité de chaque classe de la matrice. Cet 
apprentissage est-il performant
(sensibilité>80%) ?

Question 50 : Les caractéristiques du logement sont susceptibles d'évoluer au 
cours du temps.
Proposer un autre choix d'apprentissage permettant d'améliorer les performances 
de ce modèle.

25

Annexes

Global horizontal irradiation Europe
| de LEnbso Ds CO TE Te |
f Ja Stocks solarqgis
t Moskva http://solargis.info
SG _ LT
Kebenhavn ns | Fa
$ l TN ç
> n." EX Minsk ss ES
nu
. + : : \
. Berlin 'Warszawa ? A i
| A ha
Li D \ SN è à
$ + Praha", 7 : f° . : $ = \
. DE POS <- | « L- » 8 Ne RTE ee, en S en. ner roue ? ? dE 4 Budépest A çà ° TK D Average annual sum (4/2004 - 3/2010) 0 250 500 km < 700 900 1100 1300 1500 1700 1900 > kWh/m2 © 2011 GeoModel Solar s.r.o.

Carte de l'irradiation solaire globale : Energie (kWh) reçue par un panneau 
photovoltaïque de 1 m'orienté dans
des conditions optimales, en 1 an.

% 14,4%
131% 14,4% 0

10,9%
77% 9,2%
5,8%
1: 42% l LI li: 3,0% 2,3%
D
K, @

S ù
© S 'a S NX re
+ à N v S S

S © ©
Y Y S
DR Y ©

Source : Centre Observation, Impacts, Energie - O.IL.E -- MINES ParisTech & 
ACOFI

Répartition mensuelle de l'irradiation annuelle globale horizontale en France

26

Inclinaison (°)
0 15 25 35 50 70 90
Est 88% 87% 85% 83% 71% 65%
$ Sud-est 88% 93% 95% 95% 92% 81% 64%
Ë Sud 88% 96% 99% 100% 98% 87% 68%
? Sud-ouest 88% 93% 95% 95% 92% 81% 64%
Ouest 88% 87% 85% 82% 76% 65%

Influence de l'orientation et de l'inclinaison sur le rendement d'un panneau 
photovoltaïque

Rendement constructeur habituel

Type de module
Minimum Maximum

Polycristallin 14 % 18 %
Photovoltaique à silicium Monocristallin 16% 25 %
Amorphe 5 % 7 %
Polycristallin 15 % 20 %

Hybride à eau ou aérovoltaique
Monocristallin 17 % 28 %
Photovoltaique à pérovskite 19 % 33 %

Rendement des panneaux photovoltaïques selon la technologie utilisée (2022)

Monocristallin Polycristallin Amorphe

Elles ont un faible rendement,
mais ne nécessitent que de très

Ce sont celles qui ont le Leur conception étant plus faibles épaisseurs de 
silicium et
meilleur rendement mais aussi | facile, leurs coûts de fabrication ont un coût 
peu élevé. Elles
celles qui ont le cout le plus sont moins importants, sont utilisées couramment 
dans
élevé, du fait d'une fabrication | cependant leur rendement est de petits 
produits de
compliquée. plus faible. consommation telle que les

calculatrices solaires ou encore
les montres.
Les différents types de cellules photovoltaïques et leurs caractéristiques

27
AUTANT RATS) TR TO TISSU Te [LS

1SUelOU(A)
4 0'S he th te a

CNT Tete)

eET SERIE Ie NET NIUE RTE TN Te UT Te UNIT Ale a RS) del) Tel TT Te Ce TUE LU o 
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QUE TACIUES L'OTAN TEC Le) le Ne D e (SET 7e ES lolo TITI SAS 010707 e CDS TNT 
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CR LA 01 Te TNT TENTE NT EN EEE Re CAT LE Te ARTS TORETICANT Re ele] TNT Eos er 
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