ENAC Maths toutes filières 2001

J. 4696

ECOLE NATIONALE DE L'AVIATION CIVILE ANNEE 2001

CONCOURS DE RECRUTEMENT D'ELEVES
PILOTE DE LIGNE

EPREUVE DE MATHEMATIQUES

Durée : 2 Heures
Coefficient : 1

Le sujet comprend :
O 1 page de garde,
0 2 pages (recto-verso) d'instructions pour remplir le QCM,
. 9 pages de textes, numérotées de 1 à 9.

CALCULATRICE AUTORISEE

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

A LIRE TRÈS ATTENTIVEMENT

L'épreuve de mathématiques de ce concours est un questionnaire à choix multiple 
qui sera corrigé automati-
quement par une machine à lecture optique.

ATTENTION, IL NE VOUS EST DELIVRÉ QU'UN SEUL QCM

1) Vous devez coller dans la partie droite prévue à cet effet, l'étiquette 
correspondant à l'épreuve que
vous passez, c'est-à-dire épreuve de mathématiques (voir modèle ci--dessous).

POSITIONNEMENT DES ETIQUETTES

Pour permettre la lecture optique de l'étiquette, le trait vertical 
matérialisant l'axe de lecture du code à barres
(en haut à droite de votre QCM) doit traverser la totalité des barres de ce 
code.

EXEMPLES :

BON MAUVAIS MAUVAIS

ë

XXXXXXXXXXXXXXXX

69L9978Zl0

'lh; {Æ

AXE
AXE
AXE

2) Pour remplir ce QCM, vous devez utiliser un STYLO BILLE ou une POINTE FEUTRE 
de couleur NOIRE.

3) Utilisez le sujet comme brouillon et ne retranscrivez vos réponses qu'après 
vous être relu soigneuse-
ment.

4) Votre QCM ne doit pas être souillé, froissé, plié, écorné ou porter des 
inscriptions superflues, sous peine
d'être rejeté parla machine et de ne pas être corrigé.

5) Cette épreuve comporte 32 questions, certaines, de numéros consécutifs, sont 
liées. La liste des ques-
tions liées est donnée au début du texte du sujet.

Chaque candidat devra choisir au plus 25 qUestions parmi les 32 proposées.

Il est inutile de répondre à plus de 25 questions : la machine à lecture 
optique lira les réponses en

séquence en partant de la ligne 1, et s'arrêtera de lire lorsqu'elle aura 
détecté des réponses à 25 ques--
tions, quelle que soit la valeur de ces réponses.

Chaque question comporte au plus deux réponses exactes.

6) A Chaque question numérotée entre 1 et 32, correspond sur la 
feuille-réponses une ligne de cases qui

porte le même numéro (les lignes de 33 à 100 sont neutralisées). Chaque ligne 
comporte 5 cases A, B,
C, D, E.
Pour chaque ligne numérotée de 1 à 32, vous vous trouvez en face de 4 
possibilités :

» soit vous décidez de ne pas traiter cette question,
la ligne correspondante doit rester vierge.

» soit vous jugez que la question comporte une seule bonne réponse,
vous devez noircir l'une des cases A, B, C, D.

b soit vous jugez que la question comporte deux réponses exactes,
vous devez noircir deux des cases A, B, C, D et deux seulement.

» soit vous jugez qu'aucune des réponses proposées A, B, C, D n'est bonne,
vous devez alors noircir la case E.

En cas de réponse fausse, aucune pénalité ne sera appliquée.

7) EXEMPLES DE REPONSES

Question1 : 12 + 22 vaut:
A)3 B)5 C)4 D)-1

Question 2 : le produit (-1) (-3) vaut :
A) -3 B) -1 C) 4 D) 0

. . , . 2
Question 3 : les racunes de I'equatron x -- 1 = 0 sont :

A)1 B)O c>-1 D)2

Vous marquerez sur la feuille réponse :

[::] _ I:] E:] [:
1 A B C D E
E:] E:] E:] E: ::
[::] [::] [::] II:] _
2 A B C D E
E E:] [::] [: OE
_ =3 _ [::] E:
3 A B C D E
[: =1 [:::] I:] E

Questions liées : 1 à 10
11 à 19
20 à 32

On considère 3 réels ua, vo, wo vérifiant ua > vo > wo > 0 et les suites (un), 
(vn), (wn) défi--

nieSpar uo,vo,wo et Vne N 3un+1 : un+vn+wn

3lnvn+1 : lnun+lnvn+lnwn
3 1 1 1
: --+--+--
w u v w

n+l n n n

1. Soit f la fonction de la variable réelle définie par f(x) = (x + b + c)3 -- 
27xbc où b et c
sont des réels strictement positifs tels que b := c. On note f ' la dérivée de 
f si elle existe :

a) f' est positive sur [----(b + c) -- 3JbZ', --(b + c) + l'.../bb]
b) f' est négative sur [b + c -- 3JbZ', b + c + 3JË]

c) f est maximum en b + c -- 3Jb--c

d) f est minimum en -- (b + c) + 3Jb_c

2. Dans le cas où -- (b + c) + 3Jb_c < 0 , le minimum de la fonction f sur R+ est : a) 27bc0 (a+b+c)3--27abc>o
d) Va>0 (a+b+c)3--27abc<0 4. Supposant un, vn, wn réels strictement positifs pour n entier fixé, on obtient en prenant b=vnetc=wn &) un+lwn+l>0

en prenant b = l etc :

1
vn wn
C) un+l>vn+l

d) vn+l>wn+l>o

5 . Pour tout n & N , on peut écrire :

&) vn+1 : 3./un+vn+wn

b) vn+1 : unvnwn
c) u w v2 unvnwn(un+vn+wn)
__ : ----------------------u V W
n+1 n+1 n+1 unvn+unwn+vnwn n n n
d 2 _ unvnwn(un+vn+wn) 2 2 2 1/3
) un+1wn+l--vn+l "' "(unvnwn

unvn + Ltan + Van

. , 2 . , .
6. La quantite An : un +1wn +1 -- vn +1 peut, pour tout n ent1er, s expnmer 
sous la forme

3 3 \ ,, . _
An : Bn[unvnwn(un+vn+wn) --(unvn+unwn+vnwn) ] ou En 5 ecr1t.

(u v w )2
n n n
a) Bn : 3
(unvn + "'an + vnwn)
b)
2/3
B _ (unvnwn) 1
n " 2/3 2 2
' unvn+unwn+vnwn (unvnwn) (un+vn+wn) +(unvn+unwn+vnwn) 
+(unvnwn)l/3(un+vn+wn)(unvn+unwn+vnwn)
2/3
C) B : (unvnwn 1
" unvn+unwn+vnwn (u v 2/3( + + )2+( + + 2
n nwn un vn wn unvn "'an vnwn)
_ (un+vn+wn)2
(1) B =

3
(unvn + "'an + vnwn)

3
7. Pour tout n & N , le terme unvnwn(un + vn + W") -- (unvn + "an + v,,wn)3 : 
Cn peut
s'écrire:
2 2 3 3 2 2
a) C" : --(unwn -- vn)[vnunwn + vn(un + W") + unwn]

2 2 3 3 2 2
b) Cn : (Ltan -- vn)[--unvnwn + un(vn + wn)--vnwn]

et le signe de An est, donc pour tout n E N ,

2

c)é alausi nedeu w --v2 doncausi nedeu w --v
g g n n n g 0 0 0

d)o oséausinedeuw --v2
PP g n n n

8. La suite (un) est:
a) décroissante car (vn --- un) + (wn --- un) < 0 Vn E N b) croissante car u -- un 2 0 Vn & N n+1 et la suite (wn) est: c) décroissante car un(vn -- W") + vn(un -- wn) < 0 un(vn -- W") + vn(un -- wn) d) croissante car wn + 1 ---- wn : ------------------------------- > 0
unvn + "'an + "an

9. Les suites (un) et (wn) sont:

a) convergentes car elles sont toutes deux croissantes et majorées
b) convergentes car elles sont adjacentes puisque l'on a aussi

2
un+l--Wn+l<ä(un_wn) Vne N et les 3 suites (un) ; (vn) et (wn) c) sont convergentes mais de limites différentes car un > vn > wn Vn G N

(1) sont convergentes et ont même limite car un S vn S wn Vn E N*

2 . . . .
vo , la su1te (vn) a pour limite, 31 elle converge :

10. Dans le cas particulier où u0wo
a) 0

b) ./uovo
et dans le cas particulier où u 0w 0 > vî , la suite (vn) est :
c) adjacente àla suite (un)

d) adjacente àla suite (wn)

-11-

Soit la fonction f de la variable réelle x définie par f(x) = (1 + sin x)°°oe"x

11. ' f(x) peut s'écrire sous la forme :

cotanx In 1 + sin
3) e( ) ( X)

b) ln [e(l + sinx)ln(cotanx)]

c) ln[(1 + sinx)ln(cotanx)]
d) eln(l + sinx)ln(cotanx)

12.
a) La fonction x --> sinx est définie sur R, il en est donc de même pour f.

b) La fonction x --> cotanx est 1t -- périodique, il en est donc de même pour f.

c) f est définie en 0 car lim cotanx : --oo d'où lim f(x) = 0
x---->O x---->O

d) f est 11: -- périodique car cotan(n -- x) : cotanx et sin(7t -- x) : sinx

13. La fonction f est définie ou prolongeable par continuité au point :

' 7c
&) 5
b) 0

f n'est pas définie ou n'est pas prolongeable par continuité au point :

3%
C) Î

d)TC

14. Si f est prolongeable par continuité en ces points alors on peut poser :

&) f(0) = --1

b) f(2n) = --e
0) f(27t) = i--

_ 31t _

d) f(Î) .. 1

On considère la fonction g définie sur E = ]O, 7: [ U ]Tt, @ [ U ]ê-7--ç, 27t[ 
par

2 2
g(x) : (cotanx)ln(l + sinx)

15. '
a) La fonction g est prolongeable par continuité sur [O, 2711]

b) lim g(x) : --oo
31t

x----->----

2
c) lim g(x) : + oo
x-->1r
d) lim g(x) : -----1
x-->()+

16. On a pour tout x appartenant à E :

a) (cotanx)' : .12
sm x
b) [ln(l + sinx)]' = 1"fîÏîx
c) [ln(cotanx)]' : -- sinl2x
d) %cotanx : l---- sinx

17. La fonction g est dérivable sur E et :

sin 2x

...(1 + 2811136)

a) fg' =

b) g est monotone sur E
c) g n'est pas bornée sur E

d) g'(x) > O pour tout x E ]1t, -3--2E [

' 18.

a) La fonction ln(l + sinx) n'admet pas de développement limité à l'ordre 2 au 
point E

2
car le nombre dérivé de cette fonction est indéterminé en ce point.

. b) La fonction cotanx admet un développement limité au moins à l'ordre 2 au 
point E .

2
Si la fonction g admet un développement limité au moins à l'ordre 2 de la forme

g(x) : oc + B(x -- %) + (x -- %)£(x) alors:

c) B : ----ln2
d) ou = --1

19.
a) La fonction f n'est pas dérivable sur E.

Si la fonction f est dérivable sur E , sa dérivée est de la forme :

b) f'(x)= "?

8111 2x
c) f'M(--f--Î--'ï--)ÿ--"Ë-- "");--î m----------_----(x ")2îx '"

22. On obtient l'encadrement :

(b'1"23SÙ) b----a (b--a)3
a>_M "m 12
3
b) _m(b-- 23a) <ÊÎh(X)dX--b--a(h(b)+h(a))S--M(bî2a) 3 e) M...; 23_2 ___----
" "" +12(n--1)

24. La suite (un) vérifie:
l
2
12(n + 1)
_ b) (un) est croissante et majorée
1
2
12(n + 1)
d) (un) est décroissante et convergente

__unS--

C) (un+lmun)Z

25. Si la suite (un) est convergente alors la suite (vn) est :

a) décroissante et non minorée
b) convergente de limite commune avec la suite (un)

c) convergente car les 2 suites (un) et (vn) sont adjacentes
d) croissante

26. De manière générale :
a) toute suite positive et décroissante est convergente
b) toute suite négative non majorée est divergente
c) toute suite monotone non bornée est convergente
(1) toute suite négative majorée par une suite divergente converge

1t/2 _ "
On pose pour tout n EUR N In : J sm xdx
0

27.
a) 11 = 0

b) 11 :]
c)In--In_l<0 VneN* (1) In existe car toute fonction définie sur un segment est intégrable sur ce segment 28. La suite (In) vérifie: a) In : ";11n_2,vn22 b) In : n(n-- 1)In_2,Vn22 c) 1" : nÎ11n_2,vnzz d) I = n(n-- 1)In_l,Vn21 29. On a alors pour tout n & N a) 12n+1 : 0 \ (Zn)! b 1 : ----------------fl: ) 2" 22n+l(n!)2 (2n+1) ...... 3 °)12"+1= 2n ...... 2 d) In : n!10 et 10 =Ï2-° 30. On obtient pour n e N* a) (271 + 2)! > 12" > (2n -- 2)!

b) 1>[(2n)!]24 n TC> 2n

24 "(n!)4 2n+1
22(n-- ])

22n(n')2[(n--1)']2
) (2n+1)'<12" (2n--1)! d) 22n(În--l)! 2n<<12 <(22n+1)2! [(ïl--1)']222n(71')2 31. Soit ! la limite de la suite (un) si elle existe. Un équivalent de -I--1-- lorsque n tend vers + oo est: 2n e_21 a) 7 b) 0 C) 6-21 6--1 (1) ÎÆ 32. La limite [ dela suite (un) est égale à :