ENAC Maths toutes filières 2002

J. 1968

ECOLE NATIONALE DE L'AVIATION CIVILE ANNEE 2002

CONCOURS DE RECRUTEMENT D'ELEVES
PILOTE DE LIGNE

EPREUVE DE MATHEMATIQUES

Durée : 2 Heures
Coefficient : 1

Le sujet comprend :
. 1 page de garde,
. 2 pages (recto--verso) d'instructions pour remplir le QCM,
. 12 pages de texte, numérotées de 1 à 12.

CALCULATRICE AUTORISEE

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

A LIRE TRÈS ATTENTIVEMENT

L'épreuve de mathématiques de ce concours est un questionnaire à choix multiple 
qui sera corrigé automati-
quement par une machine à lecture optique.

ATTENTION, IL NE vous EST DÉLIVRÊ QU'UN SEUL QCM

1) Vous devez coller dans la partie droite prévue à cet effet, l'étiquette 
correspondant à l'épreuve que
vous passez, c'est-à--dire épreuve de mathématiques (voir modèle ci-dessous)

POSITIONNEMENT DES ETIQUETTES

Pour permettre la lecture optique de l'étiquette, le trait vertical 
matérialisant l'axe de lecture du code à barres
(en haut à droite de votre QCM) doit traverser la totalité des barres de ce 
code.

EXEMPLES :

BON MAUVAIS MAUVAIS

X
X
X
X
X'!
>'X
XX
XX
XX
XX
XX
X)!
X
X
X
X

68L99bEUR3 LO

Il"

AXE
AXE
AXE

2) Pour remplir ce QCM, vous devez utiliser un STYLO BILLE ou une POINTE FEUTRE 
de couleur NOIRE.

3) Utilisez le sujet Comme brouillon et ne retranscrlvez vos réponses qu'après 
vous être relu soigneuse-
ment.

4) Votre QCM ne doit pas être souillé, froissé, plié, écorné ou porter des 
inscriptions superflues, sous peine
d'être rejeté par la machine et de ne pas être corrigé.

5) Cette épreuve comporte 30 questions, certaines, de numéros consécutifs, sont 
liées. La liste des ques--
tions liées est donnée au début du texte du sujet.

Chaque candidat devra choisir au plus 25 questions parmi les 30 proposées.

Il est inutile de répondre à plus de 25 questions : la machine à lecture 
optique lira les réponses en

séquence en partant de la ligne 1, et s'arrêtera de lire lorsqu'elle aura 
détecté des réponses à 25 ques-
tions, quelle que soit la valeur de ces réponses.

Chaque question comporte au plus deux réponses exactes.

6) A chaque question numérotée entre 1 et 30, correspond sur la 
feuille-réponses une ligne de cases qui

porte le même numéro (les lignes de 31 à 100 sont neutralisées). Chaque ligne 
comporte 5 cases A, B,
C, D, E.

Pour chaque ligne numérotée de 1 à 30, vous vous trouvez en face de 4 
possibilités :

b soit vous décidez de ne pas traiter cette question,
la ligne correspondante doit rester vierge.

. soit vous jugez que la question comporte une seule bonne réponse,
vous devez noircir l'une des cases A, B, C, D.

b soit vous jugez que la question comporte deux réponses exactes,
vous devez noircir deux des cases A, B, C, D et deux seulement.

) soit vous jugez qu'aucune des réponses proposées A, B, C, D n'est bonne,
vous devez alors noircir la case E.

En cas de réponse fausse, aucune pénalité ne sera appliquée.

7) EXEMPLES DE RÉPONSES

Question 1 : 12 + 22 vaut:
A)3 B)5 C)4 D)-1

Question 2 : le produit (--1) (-3) vaut :
A) -3 B) --1 C) 4 D) 0

. , . 2
Question 3: Une racrne de l'equatnon x -- 1 = 0 est:

A)1 B)0 c>-1 D)2

Vous marquerez sur la feuille réponse :

E.": _ [: [: [::l
1 A B C D E
E:! [II:] III:] @ E:!
E:] [:::] [=] E:] _
2 A B C D E
[:=] [: E:] E [:=]
_ [:D _ [: [III
3 A B C D E
[::] ÈÎÎ1 [:D E:] [:::l

Questions liées: 1 à 16
17 à 25
26 à 30

PARTIE I

Dans toute cette partie le corps de base est celui des nombres réels; on désigne

par E (x) la partie entière du nombre réel x et par n un entier naturel.

Question 1

Soit un polynôme de degré n à une indéterminée à coefficients entiers de la 
forme

n - - P
anx + + ao avec ao := O, admettant une rac1ne rationnelle -- ou p & Z* , q & Z* 
, p et q

étant premiers entre eux ou étrangers. On a alors: q

a) p divise an et q divise ao

b) p et q divisent ao

c) p divise ao et q divise an car q divise an p"

d) p d1v1se ao mars pq ne d1vrse pas an ao

Question 2

Soit f la fonction polynôme définie par Vx E R f(x) = x3 --x -- 1

a) f admet au moins 2 racines réelles car sa dérivée s'annule en 2 points
b) f admet une racine rationnelle et 2 racines complexes conjuguées

c) f ne possède aucune racine réelle
d) f admet 2 racines complexes conjuguées et une racine réelle dans l'intervalle

1-53 fil

'

3 3

Question 3

Soit x un réel quelconque, on peut écrire cos (nx) sous la forme Pn( cosx) où 
Pn est un poly--
nôme à une indéterminée.

a) de degré n + 1 à coefficients entiers relatifs
b) de degré n à coefficients réels non entiers

c) de degré n à coefficients entiers relatifs
d) unique car l'application cos est surjective de R sur [--1,1]

Question 4

Le polynôme Pn défini dans la question 3 s'écrit pour n = 0

&) PO(X) : X
wæm=l
2

et pour n = 1

c) P1(X) : 2X2--1
d) P1(X) = X

Question 5

On a la relation, pour tout réels a, b

a) cosacosb : 2(cos(a+ b)--cos(a-- b))

b) cosacosb= l(cos(a+b)--cos(a--b))

2
et la suite (Pn) " E N définie dans la question 3 vérifie, pour tout entier n 
strictement positif.

c) P...(X3--Pn_lm= 2XP,,(X)
d>Pn+loo +Pn_l(X)= XPn(X)

Question 6

Cette suite de polynômes (Pn)n & N est telle que:

k "_ k
a) Pn(X) : X"-CÏX"'2(1--X2) +...+(--1)Cn2kX 2k(1--X2)+...

et Pn est impair 31 n est pair

b) le coefficient de X n est, pour tout entier n non nul,

2 2k _
CO+C +...+C +...=2"1

n ïl n

c) Pn(-1) : (--1)"'1 Vne N*

d) Pn(O) = (--1)" Vne N

Question 7

Pour tout entier n strictement positif les racines xk de ce polynôme Pn sont:

1: kTC

a) ---- +-- où k estun entiertel que OSkSn--l
271 n
n 2k7t \ . .

b) ---- + ---- ou k est un entrer est un ent1er tel que 0 .<. k S n -- l 211 n c) des réels n'appartenant pas à l'intervalle [--l, l] d) les n réels de l'intervalle ]--1 ,l[ définis par xk : cos (Â + 15--75) où k est un entier tel 2n n que 0 5 k S n -- 1 Question 8 Supposons n 2 2 , on note pour k entier tel que 0 S k 5 n --- 2 , x k les racines de Pn et y k celles n_l,onaalorsz a) xk+l>yk>xk
b)xk+l>xk>yk
TC kTC TC (k+1)1t

+------_---
2(n--l) n--l 2n "

yk>xk+1 car

" + k1c__7_r__lg >O

2(n--1) n--12n "
TC + k7t_£_ k+11t >0

2(n--l) n--12n "

et

d) xk>yk>xk+1 car

11: knnkn<0 et 2(n--1) n--12n " Question 9 La fonction fn définie sur R par fn(x) : cos(nx) a) forme une base de l'espace des solutions de (E n) b) est une solution de (En) pour tout n e N c) vérifie l'équation (En) uniquement pour n E N* d) vérifie l'équation différentielle y" -- n2y : O pour tout n EUR N Question 10 Si on pose X : cos x on obtient pour y fonction de x 2 dy dy a)-- =--X dx2 dX 612 y 22d y d b) _ : sin 2----x --cosx--y- dx2 dX2 dX et l'équation (En) est transformée en l'équation (En) de la forme, d'y c) (1+X2)-------- -- dy+n2y= 0 cpf dX d2y d)(l--X2)-------- -- +n2y= 0 dX2 dX Question 11 Pour tout n ,entier naturel, la fonction polynôme Pn définie àla question 3 a) est solution de (En) b) est solution de (En) car (1 + x2)P"n(x)--xP'n(x) + n2Pn(x) = 0Vx & R c) ne vérifie ni (En) , ni (En) d) vérifie (En) car Vx e [--1 ,1] (1 + x2)P"n(x)--xP'n(x) + n2Pn(x) = E(Hl Question 12 2 Pour tout entier naturel n , on considère la fonction polynôme Qn(x) : 2 an'k x Si Qn est solution de l'équation (E 'n) , définie àla question 10, les coefficients an, k vérifient pour tout k compris entre 0 et E (g) . a) (n --- 2k)(n --2k-- l )amk + (n -- 2k+ 2)(n--2k+ l)an,k_ 1--(n -- 2k)amk + n2an,k : 0 l 1 b) an,k :_ÀÎçn--k(n_2k+2)(n_2k+l)an,k-l C) an,k :_ C d) an,k : Question 13 Pour tout entier naturel n , le polynôme Pn défini àla question 3 est donc de la forme: E

a) P,,(X) = 2
k

:O H--k

(--1)k--1 n--2k--l k n--2k

k n n--2k--l k n--2k+l

C) Pn(XÛ= (--1) 2 C X
këo n--k "'k
E(â) k

d) P,,(X)= 2 (_1)k n 2n--2k--1 C Xn--2k
k=0 n--k n_k

Soient p et q, 2 entiers naturels non nuls premiers entre eux (ou étrangers), 
tels
1

que le rationnel r : 'î--Ë vérifie 0 < r < Î et cos(rrr) EUR © ( @ désignant l'ensemble des nombres rationnels ) Question 14 On a alors: a) q = 2 et cosOE)EUR@ b) 3(u,V)EURZZÏCI ttîu+ttv =g c) qa 3 et El(u,v)EURZth cos(£)= Pu(cos(m)) 61 d) q 2 3 cos(î--) EUR @ car 3vEURZ 3nEUR th cos<-Ë) : (--l)an(cos(m)) Question 15 La relation q : 4k où k est un entier non nul. a) est impossible puisque q = 2 b) est impossible car q est nécessairement impair c) peut être réalisée d) est impossible car Pk(cos(Æ)) : cosE OE @ 4k 4 Question 16 L'égalité q = h entier impair a) ne peut être réalisée Si cette égalité est réalisée on a: b) Ph(cos(î')) = --1 h 0) cos (%) est racine du polynôme Ph. d) cos<%) est racine de 2h_1Xh+ + ah h 1X+ ]: 0 car Ph a un terme constant nul. "? PARTIE II On désignera par E l'espace vectoriel réel R[X] , des polynômes & une indétermi- née & coeficients réels et par F le sous-espace vectoriel des polynômes de E de degré inférieur ou égal à 3. On considère l 'application f qui à tout élément P de E associe le polynôme f(P) défini par [f(P)](X) : P(X) -- P(X --- 1 ) et on note fF la restriction de f & F Question 17 Le sous--espace vectoriel F est de dimension a) 3 b)4 et on a: c) f est une application linéaire de E dans F (1) fF est un endomorphisme de F Question 18 La matrice M de l'application f F par rapport aux bases canoniques des espaces de départ et d'arrivée de cette application s'écrit: 1--11 æM=02--3 00 3 0 000 1000 --1200 1--330 b)M= ("_--___"! 01-11 ClM= 002-3 0003 01--11 002--3 0003 0000 d)M= [___--_"! Question 19 De manière générale, pour des matrices de type (n,p) (n lignes et p colonnes) à coefficients dans le corps K (K = R ou C), on a: a) 2 matrices équivalentes sont semblables b) 2 matrices équivalentes ont même rang et lorsque l'on ajoute à la ligne i 0 d'une matrice de EDÈn,p(K ) la ligne il. multipliée par ?» e K , le rang de cette matrice, c) est inchangée (1) peut être modifié Question 20 Le rang de l'application f F a) vaut 3 car est égal au nombre de colonnes non nulles de M b) est nécessairement inférieur ou égal à 3 car l'espace F est de dimension 3 c) vaut 2 car il y a 2 colonnes de M linéairement indépendantes d) vaut 3 car on peut extraire au plus 3 colonnes ou lignes linéairement indépendantes deM Question 21 Les sous--espaces vectoriels noyau et image de ]} sont tels que: a) dim kerfF= dimF-- rng = 2 c) la famille de polynômes (1,X) forme une base de Im fF d) Im fF est le sous--espace R2[x] des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 On considère la famille (AQ,A1,A2 ,A3) des polynômes de E définie par AO : 1 et Vie {1,2, 3} fF(Ai) : iAi_1 avec O racine de Ai. Question 22 Ces polynômes vérifient: a) 0 < degA,£ 3 Vi EUR {O, 1, 2, 3} b) Ai est divisible par X, Vi & {O, 1, 2, 3} c) A2()0 : X(X+ 1) et A3(X) : X(X+ 1)(X+2) d) la famille (AO,A1,A2 ,A3) forme une base de F On note B base canonique de F et .ÿfl la base de F formée à l'aide des polynômes (AO,A 1,A2 ,A3) classés par ordre croissant de degré. Question 23 La matrice de passage P de la base B àla base al s'écrit: 1000 0100 0110 0231 100 011 001 1000 0112 0013 0001 a)P b)P C)P= 1000 0111 0013 0031 d)P= Question 24 La matrice M' de l'application fF lorsque l'on rapporte F àla base .szï s'écrit: 0000 a)M' 1000 0200 0030 100 020 003 b) M' 0100 0020 0003 0000 c) M' PMP"' : 0100 d)M' 0020=P--1MP 0003 0000 Question 25 Soit g l'application définie par g(X') : A l. Vi & {(), l, 2, 3} . On a alors: a) g est un endomorphisme injectif mais non bijectif de F b) g est un endomorphisme bijectif de F car g transforme une base de F en une base de F et la matrice G de g par rapport àla base canonique de F vérifie: 1000 001--3 0001 d)G=P 10 PARTIE III 7t/2 On pose pour tout entier naturel n : In : J sin"x dx 0 Question 26 La suite (In)" E N est telle que: a) 10 = 0 c) In --- In _1 peut être nul pour certaines valeurs de n EUR N* d) In_In--1>O Vne N*
Question 27

Pour tout entier n 2 2 on ala relation:

1

8') In : In--2--n+lln
17

b) In: n-lIn--2
--1

C) In : nn In--2

n+1
d)ln= " 1...
Question28

Le terme général In de cette suite s'écrit, pour tout entier naturel n

&) In = (n+1)10

2p 2
_ 2 (p!)1t _ (2p+1)!
b)12p_ (2p)! îet12p+l--mVPEN
2p 2
_ (2P)! _ 2 (P!)
C) IZP_W TCCÏIZP+1 ----(2p+l)!VpEURN
2p 2
_ (219)! _ 2 (P!)
("lap--W TCÊÏI2P+1 -- (2p+1)!VPEN

11

Question 29

La suite (In)" E N

a) est strictement croissante
b) est décroissante et peut être stationnaire
et elle vérifie les inégalités

c) 12p+1>12p>12p--1 VpEN*
d) 12p+1<12p--1 etlzp>lzp_2 VpEN*

Question 30

La suite (ln )n E N

a) est convergente car les suites (1217 )p & N et (12!) + 1)p E N sont 
adjacentes

b) est dwergente car les suites (Ï2p )p E N et (12p + 1)p & N ne convergent pas 
vers la meme

limite

et pour tout entier naturel n , on a, en introduisant le changement de variable 
x cost

1
c) f0(1--x2)ndx= 12...

1 n
d)f0(1--x2) dx= 421

12

IMPRIMER/E NA TIONAL E. -- D'après documents fournis.