ECOLE NATIONALE DE L'AVIATION CIVILE ANNEE 2004
CONCOURS DE RECRUTEMENT D'ELEVES
PILOTE DE LIGNE
EPREUVE DE MATHEMATIQUES
Durée : 2 Heures
Coefficient: 1
Le sujet comprend :
O 1 page de garde,
0 2 pages (recto-verso) d'instructions pour remplir le QCM,
. 12 pages de texte, numérotées de 1 à 12.
CALCULATRICE AUTORISEE
EPREUVE DE MATHEMATIQUES
A LIRE TRÈS A TTENTIVEMENT
L'épreuve de mathématiques de ce concours est un questionnaire à choix multiple
qui sera corrigé automati--
quement par une machine à lecture optique.
ATTENTION, IL NE VOUS EST OEUVRE QU'UN SEUL QCM
1) Vous devez coller dans la partie droite prévue 'a cet effet, l'étiquette
correspondant à l'épreuve que
vous passez, c'est-à-dire épreuve de mathématiques (voir modèle ci-dessous).
POSITIONNEMENT nes Énouerres
Pour permettre la lecture optique de l'étiquette, le trait vertical
matérialisant l'axe de lecture du code à barres
(en haut à droite de votre QCM) doit traverser la totalité des barres de ce
code.
EXEMPLES :
BON MAUVAIS MAUVAIS
"'> '
"! !
%
XX
XX
XX
XX
XX
ää
XX
X
X
X
X
63L99?B3l0
Ill" ""W/
l.l.l
à'
2) Pour remplir ce QCM, vous devez utiliser un STYLO BILLE ou une POINTE FEUTRE
de couleur
NOIRE.
3) Utilisez le sujet comme brouillon et ne retranscrivez vos réponses qu'après
vous être relu soigneuse-
ment. '
4) Votre QCM ne doit pas être souillé, froissé, plié, écorné ou porter des
inscriptions superflues, sous
peine d'être rejeté par la machine et de ne pas être corrigé.
5) Cette épreuve comporte 32 questions, certaines, de numéros consécutifs, sont
liées. La liste des ques-
_ tions liées est donnée au début du texte du sujet.
Chaque candidat devra choisir au plus 25 questions parmi les 32 proposées.
il est inutile de répondre à plus de 25 questions : la machine à lecture
optique lira les réponses en
séquence en partant de la ligne 1, et s'arrêtera de lire lorsqu'elle aura
détecté des réponses à 25 ques-
tions, quelle que soit la valeur de ces réponses.
Chaque question comporte au plus deux réponses exactes.
6) A chaque question numérotée entre 1 et 32, correspond sur la
feuille--réponses une ligne de cases qui
porte le même numéro (les lignes de 33 à 100 sont neutralisées). Chaque ligne
comporte 5 cases A, B,
C, D, E.
Pour chaque ligne numérotée de 1 à 32, vous vous trouvez en face de 4
possibilités :
> soit vous décidez de ne pas traiter cette question,
la ligne correspondante doit rester vierge.
> soit vous jugez que la question comporte une seule bonne réponse,
vous devez noircir l'une des cases A, B, C, D.
> soit vous jugez que la question comporte deux réponses exactes,
vous devez noircir deux des cases A, B, C, D et deux seulement.
> soit vous jugez qu'aucune des réponses proposées A, B, C, D n'est bonne,
vous devez alors noircir la case E.
En cas de réponse fausse, aucune pénalité ne sera appliquée.
7) EXEMPLES DE REPONSES
Question1 : 12 +22 vaut:
A)3J B)5 C)4 D)-1
Question 2 : le produit (-1) (-3) vaut :
A) -3 B) --1 C) 4 D) 0
Question 3 : Une racine de l'équation x2 --1 = 0 est :
A) 1 B) 0 C) -1 D) 2
Vous marquerez sur la feuille réponse :
IH [H] [H]
Url] Url] [H
[H l]°l] + M
[H] M M
M M IHI
Questions liées : 1 à 18 ; 19 5122 ; 23 à29 ; 30 5132
-PARTOEI-'
Pour n e N , on définit la fonction f ,, par:
f,,:Rî-->n
!!
x--> fn(x)= ?" si x$1
x --1
kn si x=1
où kn est un réel fixé et ln désigne la fonction logarithme népérien. On notera
C,, la
courbe représentative de f " dans un repère lorthonormé. n désignera un entier
naturel
dans cette partie. '
Question 1 :
Le développement limité dela fonction 1n(1 + x) à l'ordre 3 au voisinage de 0
s'écrit ; &
désignant une fonction telle que 1imÛe(x) : 0
:: ->
x2 x3 3 x2 x3 3
a)l+x--Î+--3--+x S(X) b)x+--2--+--è--+x S(X)
x2 x3 3 x2 x3 3
c)x----2--+ä--!+x EUR(X) d)x---2--+î+x Ê(X)
Question 2 :
1
2+u
désignant toujours une fonction telle que limoe(u) : 0
u --->
à1'ordre 2 au voisinage de O s'écrit ; s
Le développement limité de la fonction
2 2
a)1-â+%+uä(u) b)%+ï+%--+uä(u)
2
u u '2 1 u 2
c) 4+--8--+ue(u) d)î--Z+ue(u)
Question 3 :
Le développement limité à l'ordre 2 dela fonction f 0 au voisinage de 1 est
alors ; 80 étant
une fonctionvénfiant lim eo(x) : 0
x--->l
x--l 5 2 2
a)l----2----+î--2-(x--l) +(x--1)So(x)
l x---1 5 2 2
b ___--_ __ _ ..
)2 2 +12(x l) +(x 1)eo(x)
2
l 2x--1 10x --9x+3 2
c)â-- 4 +---------2--4------ +x 8.0(x)
1 x 5 2 '2
d)î--î +-1-êx +x ÊO(X)
Question 4 :
Pour tout entier n strictement positif on a :
a) fn(x) = fo(x)' Vxe Rî b) fn(x)'--= x"fà(x) ' Vxe RÏ_
et le développement limité à l'ordre 2 de la fonction x" au voisinage de 1
s'écrit; EUR désignant
une fonction telle que lim e(x) : 0
x ---> 1
n(n-- 1) 2
c) l+nx+ 2 x +xze(x)
n(n--l)
2
d)1+n(x-l)+ (x--1)2+(x--1)23(x)
Question 5 :
Pour n e N , le développement limité à l'ordre 2 au voisinage de 1 de la
fonction f ,, est alors ;
avec lim au(x) : 0
x-->l
3n2--9n+5
a) %--ïâÀ(x--1)+ (x--1)2+(x--1)28n(x)
12
2
b)1+"51(x--1)+ân--:Ï-Ê--Efl(x--1)2+(x--1)Zen(x)
2
1 n--1 3n +9n+5 2 2
C)2+ 2 (x--1)+------fi------(x--l) +(x--1) EURn(X)
2
1 n--1 3n --9n+5 2 2
d) 5+ 2 x+-------ñ----x +x 8n(X)
Question 6 :
*
Pour que, pour tout n e N , la fonction f ,, soit continue sur R+ il faut poser
:
d)kn = --%
*
On suppose dorénavant que kn prend une valeur rendant f ,, continue sur R+ ,
pour n
entier naturel fixé.
Question 7 :
a) kn = 1 b) k,, : c)kn =
l
2
Nl3
Pour tout entier n , la fonction f "
a) n'est pas dérivable en 1
b) est dérivable en 1 car toute fonction continue en un point x0 est dérivable
en x0
c) est dérivable en 1 puisque f " admet un développement limité d'ordre 1 en 1
, . , . , n -- 1 . _
d) est denvable en 1 et a pour denvee f,,( 1) = ----2--- , car toute fonction
admettant un
développement limité d'ordre n en un point x0 a une dérivée d'ordre n en x0 , '
Vn E N*
Question 8 :
L'équation de la tangente à Cn au point de coordonnées (1, kn) s'écrit, pour
tout n e N ,
y : hn(x) avec pour tout x E R
_1.
2
n--1 1 __n--
2 (x--1)+-- b)hn(x) -- 2
2 1(x--i)+
&) hn(x) : --
C) hn(X) : --Î-x----+l d) hn(x) : E--â--£x+â
Question 9 :
Pour tout n EUR N , la fonction fn - h,, est au voisinage de 1 du signe de Q(n)
où Q est la fonc-
tion polynôme définie sur R par :
a) Q(x) = 3x2-9x+5 b) Q(x) = 3x2+9x+5
c) Q(x) = --3x2+9x--5 d) Q(x) = -15--2
Question 10 :
La fonction polynôme Q
a) n'admet pas de racines réelles
b) admet nécessairement des racines réelles puisqu'elle est à coéfficients réels
c) admet 2 racines réelles positives x1 :
d) admet 2 racines réelles négatives x1
||
(0
fi
&
N
Il
Question 11
Au voisinage du point d' abscisse 1,1a courbe C " reste :
a) pour tout n e N , au dessus de sa tangente car Q(n) > 0 Vn & N
b) pour tout n e N au-dessous de sa tangente car Q(n) < 0 Vn & N c) pour tout entier n ?. 2 au dessus de sa tangente et au dessous pour n S 1 d) pour tout n e N -- { l, 2} au dessus de sa tangente et au-dessous pour n EUR { 1, 2} Question 12 : Onapourtoutxe [R:-{1} : 2 2 _ _ 1 x 17 2x ânx b) fo(x) : 2 x(x" -- 1) 2x 3) &... = et pour tout n & N C) f'n(x) = xn--2(nlnx+ l) d)f' ... = ... n (x2 _1)2 Question 13 : La fonction f " : a) est prolongeable par continuité en 0 par 0 pour tout n e N car lim x"lnx = 0 x --> 0+
b) est prolongeable par continuité en 0 uniquement pour n entier strictement
positif
c) n'est prolongeable par continuité en 0 pour aucune valeur de l'entier n
d) est prolongeable par continuité en 0 uniquement pour n 2 2
Question 14 : =
fn(X)--fn(0)
La fonction tn(x) : -----------;-------- , lorsqu'elle est définie, a pour
limite à droite en O :
a) lim tn(x) : 0 Vn & N b) lim t1(x) : +oe
x _? Ü+ .: --> 0+
et la courbe C ,, admet
c) une demi-tangente horizontale en (0,0) Vn & N*
(1) une demi-tangente horizontale en (0,0) pour n .>. 2 et une demi-tangente
verticale au
point d' abscisse 0 pour n 6 {O, 1}
_ *
On considère les fonctions %» (pl et % défimes sur R+ par :
1
cpo(x) = l-- --5 -- 21nx
):
x2-- 1
x+l
(p2(x) : x2 -- 1 --- 21nx
Question 15 :
La fonction (po
1
a) a pour dérivée la fonction (p'0(x) : --J--c Vx & R:
2( 2 1) *
b) a pour dérivée la fonction (p'o(x) : ----Ï--3:-- Vx & R+
x
c) atteint son maximum au point x = 1
d) atteint son minimum au point x = 1
Question 16 :
La fonction f a
* _
a) est décroissante sur [R+ mais n'est pas stnctement décrmssante
b) est strictement décroissante sur R: car f'o(x) : '%"3'Pa(x) < 0 Vx & Rî -- { l} (x --- 1) et f (1) = ---1- ° 2 * c) est stnctement croissante sur R+ et la courbe C a admet d) les droites x = 0 et y = 0 pour asymptotes car lim f a(x) = 0 et lim f o(x) : +oe X -) 0 x ----) +oo Question 17 : Ona: (2 1)2 =-- a) 'P'1(x) = ---%:----5Vxe R+ b) lim (pl(x)='_oe x(x +1) "") +" c) lim (p2(x)=+oe d)(p2(x)SO VxeRî x---) +00 - Question 18 : La fonction f 1 prolongée à R: , si cela est possible, a) est décroissante sur [O, 1] et croissante sur [l , +oo[ b) est positive sur R+ car croissante sur R+ et nulle en 0 et la droite ay est c) direction asymptotique de la courbe C 2 d) asymptote àla courbe C1 a) est décroissante sur [O, 1] et croissante sur [1 , +eo[ b) est positive sur R+ car croissante sur R+ et nulle en 0 et la droite ay est c) direction asymptotique de la courbe C2 d) asymptote à la courbe C1 - PARTIE II - R3 est rapporté àla base canonique B : (el, e2, e3) avec el = (L 0, 0) ; e2 = (O, 1, O) et e3 : (O, 0, l) . On considère f l'endomorphisme de R3 qui a tout triplet (x, y, z) E R3 associe le triplet ((b + c)x+ (c -- a)y + (b --- a)z, (c --b)x+ (a + c)y + (a --b)z, (b -c)x+ (a --c)y+ (a + b)z) où a, b, c sont des réels distincts 2 à2. Question 19 : . La matrice A de f par rapport àla base B s'écrit : (b+c) (c--b) (b--c) (b+c) (c--a)_(b--a) a)A= (C--d) (a+c) (a--c) b)A= (c:--b) (a+c) (a--b) (b--a) (a--b) (a+b) (b--c)_(a--c) (a+b) (2b+2c--2a) 0 0 CM = o (2a+20--2b) o 0 0 (2a+2b-2c:) (b--a) (c--a) (b+c) d)A : (cz--b) (a+c) (c'--b) (a+b) (cz--c) (IJ--C) Question 20 : Pour tout X réel lamatrice A --- M a pour déterminant A 1'(c--b) . (b--c) a)A=(2c--k) O(a+b--M (a--b) 0 (a--b) (a+b-Â.) O (a+b--À) (cz--b) b)A=(2c--M 1(a+c--À) (a--c) * 0 (a--b) (a+b--À.) . _ 1 o o c) A = (Za--M(2c-k) (c--b) (2b--k) (cz--b) @ 0 1 d) A = k3 -- 7L2(2a + 2h + 2c) + À(4ab + 4ac + 4bc) -- 8abc Question 21 : La matrice A -- , : , 3 a) est egale a sa transposee pour tout (a, b, c) EUR R . . 3 b) est 1nver31ble pour tout (a, b, C) G R A . . , . 3 c) n'est pas 1nver51ble car son deterrmnant est nul V(a, b, c) & R d) est inver5ible si et seulement si a et b sont non nuls Question 22 : Le polynôme PO») = det(A -- M ) , pour (a, b, c) e R3 a) est de degré 2 _ b) admet 0 pour racine car detA = 0 c) est égal à (Za -- k)(2b - À)(26 -- A.) d) est égal à (>: -- 2a)(l - 2b)(k--
2c)
- PARTIE IH -
Soit (xn) E N une suite bomée de nombres réels.
77
On définit la s 't
m e (y")n 6 N par
"
VHEN yn : 1 Zxk
' k=0
n+1_
On désigne par inf x,, (ISSp. sup X") la borne inférieure (resp. supérieure) de
l'ensemble
"ZP n2p
{xn/n 2p}
Question 23 :
La suite de terme général inf :: , n e N , est
p 2 n
a) convergente car décroissante et minorée
b) croissante et majorée mais divergente car elle n'est pas de signe constant
c) croissante, minorée et convergente "
d) convergente car toute suite bornée converge.
Question 24 :
La suite (inf yp)n E N est
p ?. n
a) décroissante et minorée car elle a les mêmes propriétés que la suite (inf
xp)n E N
p 2 72
b) croissante et majorée donc convergente
c) divergente carla serre de terme general ; diverge
cl) minorée et convergente
Question 25 :
Les limites des suites (inf xp)" EUR N et (mf yp)n & N verrfient, 51 elles
emstent
p2n ' pZn
a) lim (inf xp)S lim (inf yp)
n ---) +°° P 2 " I'l---> +oo p _>_ "
b) lim (inf xp) ?. lim (inf yp)
n ---> +°° p _>_ " n--> +°° p 2 n
et celles des suites (sup xp)" 6 N et (sup yp)ne.N
p2n pZn
c) 11m (sup yp) 2 hm (sup xp)
n--->+oe P2n n-->+oe P->--n
d) lim (inf--yp)2-- lim (sup yp).>.-- lim (sup xp)
n----)+°° pZn n--)+ao p2n n_---)+co P->.n
Question 26 :
On considère dans cette question le cas particulier où la suite (xn) & N est
définie par :
- n
Vn & N xn : '(--1)". On a alors
1
n+l
0 si n est impair et yn = si n est pair
DJ
V
\< 3 || 1 n+l Ü" ' \./ \< 3 | sin est impair et y,, = 0 si n est pair c) lim (inf xp) : 0 : lim (sup xp) p?.n """" p.>.n
d) lim (infxp)< lim (infyp) : lim (sup yp)< lim ...--(sup xp) n--->+oo pZfl n-->+oe pZn n-->+oe pZn _.n-->+oo pZn
Question 27 :
On peut avoir pour certaines suites bomées (x n)
l'IGN
&) (xn)n convergente et (inf xp)" E N divergente
EN p?.n
b) (xn) divergente et (inf xp)" E N convergente
ne_N p_>_n
et pour toute suite bornée (xn) N on a l'équivalence
n &
convergente] @ [(inf xp)" & N et (sup xp)" & N convergentes]
p2n pZn
e) [(xn)nE N
convergente] <=: [( inf xp)" E N et (sup xp)" E N sont cpnveîge}1ttees et] p2n pZn ontmemeum d) [Lvn)n E N Soit A un nombre réel non nul, a un élément de l'intervalle ]l, + ao[ et (un) de nombres réels strictement positifs convergeant vers 0 et vérifiant lim 9 = A où 1--a a 9 =un --un+1un VneN Question 28 : On & nécessairement &) AO
et la suite (xn) définie par x" = u},ÇÎ--- u}f°' Vn & N
nelN
c) est convergente eta pour limite (1 -- on) A
. .. 1-oc _
d) est dwergente car Vn & N x" = [(1--9nuî£ 1) --l]ui a et
11111 ul--OE= + oo
n-->+oe
Question 29:
Soit x et les suites définies ar:
( ,,,)H E N (yn)n p
EURlN
n
1-a 1--a 1 ' .
Vne N x" -- un+1-- un et y" -- n+l kzoxk.Lasmte (y")ne N
&) a pour limite (OL -- l)A car (x ") converge vers (oc -- l)A
ne N
b) apour limite (1 --cc)A
et la suite (u ) est équivalente àla suite
" n 5 N
_.1_
'l--a
c)n
_L__'__
1-1-
d> [(.l--a)Al °'n °°
PARTIE IV
On considère la fonction réelle g définie sur l'intervalle [O, %]par
sint .
------51t=-'0
= 0 où 8 est un réel fixé.
Question 30 :
La fonction g est
a) dérivable sur [O, %]pour tout Zrée1
b) continue mais_non dérivable sur {O, %}dans le cas où &? =1
cost _
C) pour Ê=1, de classe 81 sur [ , %}et a pour dérivée g'(t) = , tz (t -tant)
Sit # 0
O sit = 0
d) de classe 631 sur :J0, %} uniquement, pour tout! & IR
Question 31 :
La fonction g est, pour tout Eréel
a) croissante sur [O, %]
b) décroissante sur [O,
} car g'(t)SO sur [0, %]
mais n'est pas décroissante sur [O, %] pour 2 & IR -- {l} 031" g'
Nl=l N|â
. . v
c) décroissante sur :}0,
n'est pas définie en 0
F!
d) décroissante sur [O, -2--] 'quement pour 321
Question 32 :
On a alors, pour tout Zrée1
a)1Sg(t)£g(%)Vte]O,-ËJ b)-Ê£sü)sttfê}0»ä
_2_ ,, E 2 "
c)nsc(t)51Vte]O, 2] d);Sg(t)Sthê[oaî]
