ENAC Maths toutes filières 2005

ECOLE NATIONALE DE L'AVIAI'ION CIVILE ANNEE 2005

CONCOURS DE RECRUTEMENT D'ELEVES
PILOTE DE LIGNE

{___--m...__ .
_EPREÛVÈ DE MATHEMATIQUES __ 1

----

Durée : 2 Heures
Coefficient : 1

Le sujet comprend :
0 1 page de garde,
. 2 pages (recto--verso) d'instructions pour remplir le QCM,
. 1 page de consignes
. 7 pages de texte, numérotées de 1 à 7.

CALCULATRICE AUTORISEE

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

A LIRE TRÈS ATTENTIVEMENT

L'épreuve de mathématiques de ce concours est un questionnaire à choix multiple 
qui sera corrigé automati--
quement par une machine à lecture optique.

ATTENTION, IL NE vous EST DÉLIVRÊ QU'UN SEUL QCM

1) Vous devez coller dans la partie droite prévue à cet effet, l'étiquette 
correspondant à l'épreuve que
vous passez, c'est--à--dire épreuve de mathématiques (voir modèle ci--dessous).

POSITIONNEMENT DES ETIQUETTES

Pour permettre la" lecture optique de l'étiquette, le trait vertical 
matérialisant l'axe de lecture du code à barres
(en haut à droite de votre QCM) doit traverser la totalité des barres de ce 
code.

EXEMPLES :
BON MAUVAIS MAUVAIS

X
xä
XX
XX
XX
XX
ää'< XX X X X X 53£95ÜEZLD l/f"' ' "'fW l.l.l < . :: 2) Pour remplir ce QCM, vous devez utiliser un STYLO BILLE ou une POINTE FEUTRE de couleur ,. NOIRE. AXE 3) Utilisez le sujet comme brouillon et ne retranscflvez vos réponses qu'après vous être relu soigneuse-- ment. v * . 4) Votre QCM ne doit pas être souiIlé, froissé, plié, écorné ou porter des inscriptions superflues, sous peine d'être rejeté parla machine et de ne pas être corrigé. 5) Cette épreuve comporte 30 questions, certaines, de numéros consécutifs, sont liées. La liste des ques-- tions liées est donnée au début du texte du sujet. Chaque candidat devra choisir au plus 20 questions parmi les 30 proposées. Il est inutile de répondre à plus de 20 questions : la machine à lecture optique lira les réponses en séquence en partant de la ligne 1, et s'arrêtera de lire lorsqu'elle aura détecté des réponses à 20 ques- tions, quelle que soit la valeur de ces réponses. Chaque question comporte au plus deux réponses exactes. 6) A chaque question numérotée entre 1 et 30, correspond sur la feuille--réponses une ligne de cases qui porte le même numéro (les lignes de 31 à 100 sont neutralisées). Chaque ligne comporte 5 cases A, B, C, D, E. Pour chaque ligne numérotée de 1 à 30, vous vous trouvez en face de 4 possibilités : > soit vous décidez de ne pas traiter cette question,
la ligne correspondante doit rester vierge.

> soit vous jugez que la question comporte une seule bonne réponse,
vous devez noircir l'une des cases A, B, C, D.

> soit vous jugez que la question comporte deux réponses exactes,
vous devez noircir deux des cases A, B, C, D et deux seulement.

> soit vous jugez qu'aucune des réponses proposées A, B, C, D n'est bonne,
vous devez alors noircir la case E.

En cas de réponse fausse, aucune pénalité ne sera appliquée.

7) EXEMPLES DE REPONSES

Question 1 : 12 +22 vaut:
A)3 B)5 C)4 D)-1

Question 2 : le produit (--1) (--3) vaut:
A) -3 B) -1 C)4 D)0

Question 3 : Une racine de l'équation x2 ----1 = 0 est:
A)1 B)0 C)-1 D)2

Vous marquerez sur la feuille réponse :

=: _ I:: :: ::
A B C D E
1 E:] :: E::l :: ::
c:: :: :: :: --
A B C D E
2 !: :: t:! :: c=1
_ :: _ :: c::
A B C D E
3 == :: c:: :=: :=:

QUESTIONS LOEES

1 à 13
14à 17
18à26
27à30

PARTIE 1

On désigne par a, un réel strictement positif et par fa la fonction définie sur 
[O, +o<:[ par: fi, (x)= a e"x On considère la suite (un)" , N , N désignant l'ensemble des entiers naturels, définie par : un 3 [O, +oc[ et V n 3 N u,,+1= fi,(u,,) On suppose qu'il existe un et un seul x 3 [O, +oc[ qui vérifie l'équation x =fi, (x), on note la cette solution. l. Le réel la vérifie : a) v a ; ]O,+oe[ 1, / (1-1, +(1,2/2))<' a < 1,/(1--la) b) Va3 ]O,+oc[ !,  k

d) la 51 ou bien uo= la

3. Soitx,ydeuxréelsvéfifiant O.<.x}, soit monotone et V n > k, 
u,, 3 [O,a]

d) VnaN lun+1--lal_<_ a"+1 On note Fa la fonction composée fi, of}, lorsqu'elle est définie. 5. La fonction g qui au couple (x , y) de réels associe le réel y e"Jr a) n'est définie que sur [O,+c>c[2

b) est définie et continue sur [R2

c) a pzour dérivée partielle, par rapport à x, D1g(x , y) = e"Jr -- y e"" en 
tout point (x , y) de
[R

d) est de classe C1 sur IR2 car les fonctions dérivées partielles D1g et ng, 
par rapport à x et
y rg:spectivement, définies par D1g(x , y) = -- y e :'et ng(x , y)= e J'sont 
continues sur
IR

6. La fonction Fa
a) est définie sur [R pour tout a > 0, puisque la fonction g est définie sur IR2

b) est définie sur IR* pour tout a < 1 c) n'est définie et continue que sur [a, +oc[ , pour tout a > 0
(1) n'est définie que pour a < 1 7. La fonction F,, est a) croissante pour tout a > 0
b) décroissante pour tout a > 0

c) défivable sur [O,+oc[ et on a F,; (x) = - ( f, (x))2 v (x , a) 3 [0,+oe[2
d) défivable sur ]O,+oc[ et on a Fa' ( la) = la2 pour tout a > 0

8. Pour tout a > 0, on a pour tout x 3 [O,a]:
a) a ..<. x + fi,(x) b) 1+ln(a).<. x+ fi,(x) c) Fa' (x) ..<. a/e d) F,,' (x) .<. a2 e"' 9. Pour tout a appartenant à l'intervalle [l ,e[ et pour tout un 3 [O, +oc[, on a: a) V n 3 N | un -- ! |< | uo| (a2 e "')" terme général d'une suite qui converge vers 0 b) | un +1 -- u;...| < (ale)" | u1--uo| terme général d'une suite convergeant vers 0, donc la suite (un) est convergente e) V n 3 N | u2n +1 --la | < | u;-- --la | (a/e)" terme général d'une suite convergeant vers 0 d) La suite extraite (u;,,) est croissante et majorée, donc convergente 10. On suppose dans la suite de cette partie 1 que a = e. On a alors : a) Vx3 [O,+OE[xSFAx)et Fa(l)=Fa'(l)=l b) Vx 3 [O,+oc[ Fa (x) S x et Fa' (x) _<_ 1 c) Vx 3 [0,1[ U ]1,+oc[ (Fa (x) ----x) (x -- l) > 0
d) Vx 3 [0,1[U]1,+OE[ (Fa (x) --x) (x-- 1) <0 11. On considère la suite (v..) définie par : , . vo=uo et VnaN v,,+1 = Fa(vn) La suite (v") est a) croissante et ne tend vers 1 que si uo .<. 1 b) monotone et converge vers 1 pour tout un c) décroissante et ne tend pas vers 1 si uo < 1 d) décroissante pour n > 1, et converge vers l pour tout uo

12. La suite (un)
a) ne tend vers 1 que si uo $ 1
b) est décroissante et ne tend pas vers 1 si uo < 1 c) est Croissante et ne tend pas vers 1 si uo < 1 d) converge vers 1 pour tout uo ' 13. On considère la suite (w.),,..., définie par ; v n 5 N w,, =(1/(un--l)) + (1/(u... -1)). Cette suite (w,,), a pour limite lorsque n tend vers +oc, si elle existe : a) 1 b) --1 c) +oc d) ' ---oc PARTIE II On désigne par mun réel tel que 0 < a; S 5 et par S(æ) l'ensemble des fonctions y de classe C2 sur [O,+oe[ à valeurs complexes vérifiant : Y(O) =Y(2fi) et V x 3 [O,+OE[ y"(x) + 6 y'(x) + (9 +Û)2) y(x) : eSix 14. On a : a) Toutes les fonctions y de S(æ) tendent vers 0 lorsque x tend vers +oc ( b) Pour w= 4, il existe au moins une fonction y de S(4) qui n'est pas bomée sur [O,+oc[ c) Il existe une fonction Y de S(m) telle que pour tout y 3 S(w), la fonction y(x) -- Y(x) tend vers 0 lorsque x tend vers +oe d) Il existe au moins une fonction y de S(æ) qui eSt périodique 15. On note So(a)) l'ensemble des fonctions y de S(æ) telles que y(O) = O. L'ensemble So(w) a) contient un élément et un seul pour tout a) b) contient au moins deux éléments pour un nombre fini de valeurs de a) c) est vide pour certaines valeurs de (0 d) contient un élément et un seul sauf pour un nombre fini de valeurs de w 16. On appelle Y l'élément de S(4) tel que 2 Y '(0) + 1 = 0. On note, pour tout x positif ou nul, Y 1 (x) la partie réelle de Y(x). La fonction Y], ainsi définie, est telle que : a) Vn3N Yl(mt)=0 b) v n 3 N Yl(mr /2) = Y.(0) 53" c) Les points x,, = (2n+l)n /2, n 3 N* sont des extrêma de Y 1 d) Les points x" = ( 4n+1)1t /4. n 3 N sont des extrêma de Y1 17. On revient au cas général où ma ]0,5]. On constate que pour tout y 3 S(æ), la fonction | y(x)| a une limite L(y) quand x tend vers +oc. On a alors a) L(y) est une fonction, non constante, de y'(O) _ b) La fonction qui à x associe L(y) e5ix appartient à S(co) c) L(y) < 1/6 pour tout y 3 S(æ) et tout wa ]0,5] d) L(y) = l/| a?-- 16 +611 pour touty 3 S(w) PARTIE III 18. Les racines cubiques de 1 sont a) --l ; (l--zVî)/2 ;(--l--zVî)/2 b) 1 ; (l--zVî)/2 = z; et zz conjugué de zl c) --1 ;(l+zVî)/2 ;(--1+NÎ)/2 d) 1 ; (1+Nî )/2 ; (--'--1--zVî)/2 On désigne par j une des racines cubiques non réelles de 1 et on pose Z=1+j221/3+J-41/3 19. Les complexes y et z vérifient : a) z=y2 et yz=21/3--1 b) z=y et yz=1--2ll3 c) |yl= '2IB-1et lzl=lfl=2"£1 d) |2| et |yl sont supérieurs à 1 20. Le nombre x", pour tout n entier strictement positif, peut s'écrire sous la forme x" = a,, + b,, 2... + c,, 41/3 où (au), (b"), (en) sont des suites de réels telles que : a) (a,,), (b"), (en) sont des suites d'entiers strictement positifs b) au moins une des suites contient des nombres réels non rationnels c) a... = a,, + 2b,,+ 26,,; bn+l = a,, + b,,+ 2"2 c,,; c... = a,, + b,,+ c,, V n 3 N' (1) a,... = a" + 2b,,+ 20,,; b... = a,, + b,,+ 20,,; c... = 2a,, +26,,+ C" V n 3 N* en (a"), (b"), (c,,) sont les suites définies dans la question III. 20, on a la relation matricielle X... = A X,, avec 122 a)A=112"2 111 11 mA=21 1 2 122 c)A=112 111 2 d)A=ll 22 22. La matrice A, définie dans la question III. 21, est : a) inversible car det A = 3 b) inversible car det A = --1 c) inversible car son déterminant est à valeurs non entières d) non inversible car son déterminant est non nul 21. n Pour tout n entier strictement positif, si l'on désigne par X.. la matrice unicolonne (bn) , Où _ _ .h--'NN 23. La matrice A, définie dans la question III. 21, est a) symétrique car elle est inversible b) de rang 3 donc symétrique _ ' c) de rang au moins égal à 2 car les deux premières colonnes sont indépendantes d) de rang inférieur ou égal à 2 car A n'est pas inversible 24. Pour tout ?. réel le déterminant POL) de la matrice (A --M), où I désigne la matrice unité dans l'ensemble des matrices carrées d'ordre 3 à coeflicients réels et A la matrice définie dans la question III. 21, s'écrit : a) PO.) = -28 +31' +371 --1 b) POL) = -23 +322 +(1+2"')}. +1--2"2 c) POL) = 46 +312 +72 +3 d) P(À) = --13 +32.2 +3}. +1 25. Le polynôme P, défini dans la question III. 24 a) admet trois racines réelles car tout polynôme de degré n à coefficients réels admet n » _ racines réelles b) n'admet aucune racine réelle . c) admet au moins une racine réelle car tout polynôme de degré impair à coefficients réels admet au moins une racine réelle d) admet une racine réelle et deux racines complexes conjuguées 26. Les racines M, Àp_, À3 du polynôme P, défini dans la question III. 24, vérifient, si l'on note 81 : X] + Âz+ Â3; Sz= À]Âg + Â.1Â3 + Â2À3; S3= Â1Â.z Â3 a) 81:32 ;Sz=--3 ; S3=dCÎA=--l b) sl=3 ; s2=-(1 +Vz') ; Sg=detA c) Sl=3 ; Sz=--7 ; S3=3 d) Sl=3;Sz=3 ; S3=1 27. La fonction f a) est dérivable sur [0,1[ puisque continue sur cet intervalle b) est défivable sur ]0,1[ 0) est défivable en 1/(2 I"""), pour p entier positif mais de dérivée discontinue en ces points " (1) n'est pas dérivable en l/(2"°""Ô, pour p entier positif 28. Soit j' la dérivée de la fonction f, si elle existe, on a a) fest au signe de 2px"(l--x) + 2x" - 1 sur ]1/(2W),1/(2"Wb[ b) fest négative sur ]1/(2"P),1/(2IW>)[
c) fest décroissante sur [0,1[ car f est continue en l/(2Up), pour tout p 
entier strictement
positif
d) fest une bijection de [0,1[ dans IR+

29. La foncüon f venfie pour tout p entier strictement positif
&) p < f(x) < p+l v x 3 [1/(2"P),1/(2"W))[ b) p--1 < f(x)