ENAC Maths toutes filières 2006

ÉCOLE NATIONALE DE L'AVIATION CIVILE ANNÉE 2006

coNcDURS DE RECRUTEMENT -
D'ELEVES PILOTE DE LIGNE

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée : 2 Heures
Coefficient: 1 _

Ce sujet comporte :
o 1 page de garde,
0 2 pages (recto-verso) d'instructions pour remplir le QCM,
. 1 page d'avertissement . .
o 8 pages de texte numérotées de 1 à 8.

CALCULATRICE AUTORISÉE

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

A LIRE TRÈS ATTENT/VEMENT

L'épreuve de mathématiques de ce concours est un questionnaire à choix multiple 
qui sera corrigé automati-
quement par une machine à lecture optique.

ATTENTION, IL NE vous EST DÉLIVRÉ QU'UN SEUL QCM

1) Vous devez coller dans la partie droite prévue à cet effet, l'étiquette 
correspondant à l'épreuve que
vous passez, c'est-à--dire épreuve de mathématiques (voir modèle ci--dessous).

POSITIONNEMENT DES ETIQUETTES

Pour permettre la lecture optique de l'étiquette, le trait vertical 
matérialisant l'axe de lecture du code à barres
(en haut à droite de votre QCM) doit traverser la totalité des barres de ce 
code.

EXEMPLES :
BON MAUVAIS MAUVAIS

>< >< >< >< . >< >< >< >< xxxxxxxxxxxxxxxx & GL 9 E? 3 Z L 0 Xxxxxxxxx . xxxxx u.: >< >< LI.I _ < < à 2) Pour remplir ce QCM, vous devez utiliser un STYLO BILLE ou une POINTE FEUTRE de couleur NOIRE. 3) Utilisez le sujet comme brouillon et ne retranscrivez vos réponses qu'après vous être relu soigneuse- ment. ' 4) Votre QCM ne doit pas être souillé, froissé, plié, écorné ou porter des inscriptions superflues, sous peine d'être rejeté parla machine et de ne pas être corrigé. 5) Cette épreuve comporte 36 questions, certaines, de numéros Consécutifs, sont liées. La liste des ques- tions liées est donnée au début du texte du sujet. Chaque candidat devra choisir au plus 24 questions parmi les 36 proposées. . Il est inutile de répondre à plus de 24 questions : la machine à lecture optique lira les réponses en séquence en partant de la ligne 1, et s'arrêtera de lire lorsqu'elle aura détecté des réponses à 24 ques-- tions, quelle que soit la valeur de ces réponses. Chaque question comporte au plus deux réponses exactes. 6) A chaque question numérotée entre 1 et 36, correspond sur la feuille-réponses une ligne de cases qui porte le même numéro (les lignes de 37 à 100 sont neutralisées). Chaque ligne comporte 5 cases A, B, C, D, E. ' Pour chaque ligne numérotée de 1 à 36, vous vous trouvez en face de 4 possibilités : > soit vous décidez de ne pas traiter cette question,
la ligne correspondante doit rester vierge.

> soit vous jugez que la question comporte une seule bonne réponse,
vous devez noircir l'une des cases A, B, C, D.

> soit vous jugez que la question comporte deux réponses exactes,
vous devez noircir deux des cases A, B, C, D et deux seulement.

> soit vous jugez qu'aucune des réponses proposées A, B, C, D n'est bonne,
vous devez alors noircir la case E.

En cas de réponse fausse, aucune pénalité ne sera appliquée.

7) EXEMPLES DE REPONSES

Question 1 : 12 +22 vaut:
A)3 B)5 C)4 D)-1

Question 2 : le produit (-1) (-3) vaut :
A) -3 B) -1 C) 4 D) 0

Question 3 : Une racine de l'équation x2 --1 = O est :
A) 1 B) 0 C) -1 D) 2

Vous marquerez sur la feuille réponse :

=1 -- c:: := |:
A B (: D E
1 [:::] :] i:i :: ::
:=1 :: :=: l:] _
A B (: D E
2 :: :: c:: :: l=l
-- :=: - :: E:]
A B C D E
3 =: :=: =: =: |__--__:

©... ...... mm
mm « ?.
â @ 3
mm .... NN
...maw...
...... a S
a .... ...
oe..._Ëq oeZO--Hoe...--DO

PARTIE I

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (0, u, v). On 
considère une
transformation qui à tout point m d'affixe le nombre complexe non nul 2, 
associe le point M
d'afiixe le nombre complexe Z vérifiant l'équation (H) : Z = (22 +1) / 22 . On 
note z = reie la
forme trigonométrîque ou exponentielle du complexe z.

Question 1 : La forme trigonométfique ou exponentielle de Z s'écrit
a) ( l/r2) e"2i9
b) 1- (1/72) e*2f9
0) 1+ (1/r2) e"2ie
d) 1- (1/fi) e2ie

Question 2 : La partie réelle de Z s'écrit
a) (1/r2) cos(--29)
b) 1+ cos(--2G )
0) 1+ sin(29)
d) 1+(1/fi) cos(29)

Question 3 : La partie imaginaire de Z s'écrit
a) 1+ (1/r2) cos(--29)
b) sin(--26)
c) --(1/fi) sin(2fi)
d) 1-(1/fi) sin(29)

Question 4 : Dans cette question on suppose que Z est un nombre complexe donné 
Za,
distinct de let afiixe d'un point Mo . Pour un tel Z

a) on ne peut pas trouver 2, non nul, vérifiant l'équation (H)

b) il est toujours possible de déterminer 2, non nul, vérifiant l'équation (H)

c) l'équation (H) a une solution unique za
d) l'équation (H) admet deux solutions

Question 5 : Soit Z un complexe, distinct de l, représenté sous forme 
cartésienne par le
nombre X+iY, où X et Y sont deux nombres réels. Pour un tel Z, on note 2 = x+iy 
un

complexe, solution, s'il en existe, de l'équation (H) : Z = (22 +1) / 22. On a 
nécessairement
a) X difi°érent de l et Y non nul
b) x2+ y2 = (x --1) / ((X --1)2 + Y2)
c) x2-- yz = (X --1)/<